Încărcăm partea curentă…

P.A. aplicată · nivel M3

Recunoaștem o creștere constantă

O progresie aritmetică este un șir în care adunăm mereu același număr. Acest număr se numește rație. Ca să verificăm, scădem termenii vecini și comparăm toate diferențele.

Termenii șirului, în ordine

Regula: +5
  1. a110
  2. a215
  3. a320
  4. a425
  5. a530

a1 este valoarea de pornire. Ca să ajungem la a5, facem 4 treceri de câte 5.

De ținut minte

r=a2−a1=a3−a2

Exemplu cu alte date

Șirul 6, 10, 14, 18 este P.A.?

  1. 110−6=4 și 14−10=4.
  2. 218−14=4: diferența nu s-a schimbat.
  3. 3Da, este P.A. cu rația 4.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

P.A. aplicată · nivel M3: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți o idee, urmărești un exemplu cu alte date, apoi rezolvi câteva exerciții. Teoria acelei idei rămâne disponibilă și la exercițiu.

Recunoaștem o creștere constantă

O progresie aritmetică este un șir în care adunăm mereu același număr. Acest număr se numește rație. Ca să verificăm, scădem termenii vecini și comparăm toate diferențele.

  • r=a2−a1=a3−a2

Exemplu cu alte date

Șirul 6, 10, 14, 18 este P.A.?

  1. 10−6=4 și 14−10=4.
  2. 18−14=4: diferența nu s-a schimbat.
  3. Da, este P.A. cu rația 4.

Termenul de pe o poziție

Primul termen este punctul de pornire. De la poziția 1 la poziția n sunt n−1 treceri; la fiecare adunăm rația. Numărăm trecerile înainte să calculăm.

  • an=a1+(n−1)r

Exemplu cu alte date

Dacă a1=7 și r=3, cât este a5?

  1. De la a1 la a5 sunt patru treceri.
  2. a5=7+4·3=7+12.
  3. a5=19; șirul începe 7,10,13,16,19.

Doi termeni cunoscuți

Scriem fiecare termen folosind a1 și r. Scădem relațiile ca să dispară a1, aflăm rația, apoi o înlocuim și calculăm ce cere problema.

  • aj−ai=(j−i)r

Exemplu cu alte date

Dacă a2=9 și a6=25, află rația și a1.

  1. Între pozițiile 2 și 6 sunt patru treceri: 25−9=4r.
  2. 16=4r, deci r=4.
  3. a2=a1+r: 9=a1+4, deci a1=5.

Suma primilor n termeni

Sn este suma tuturor celor n termeni, nu valoarea ultimului termen. Adunăm primul cu ultimul, înmulțim cu n și împărțim la 2.

  • Sn=n(a1+an)2

Exemplu cu alte date

Calculează 4+7+10+13.

  1. Sunt 4 termeni; primul este 4, ultimul este 13.
  2. S4=4(4+13)2=2·17.
  3. S4=34; verificare: 4+7+10+13=34.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În șirul 10, 15, 20, 25, care este regula?

    Vezi rezolvarea
    1. 15 − 10 = 5.
    2. 20 − 15 = 5 și 25 − 20 = 5.
    3. Regula este «adunăm 5», deci r = 5.

    Răspuns: Adunăm 5

  2. Exercițiul 2

    Care dintre următoarele șiruri este o progresie aritmetică?

    Vezi rezolvarea
    1. 11 − 7 = 4.
    2. 15 − 11 = 4 și 19 − 15 = 4.
    3. Șirul este P.A. cu r = 4.

    Răspuns: 7, 11, 15, 19

  3. Exercițiul 3

    În șirul 10, 15, 20, 25, ce valoare are a3?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = 10 și a2 = 15.
    2. Al treilea termen este 20.
    3. Așadar a3 = 20.

    Răspuns: 20

  4. Exercițiul 4

    Cum scriem a6 în funcție de a1 și r?

    Vezi rezolvarea
    1. De la a1 la a6 facem 6 − 1 = 5 treceri.
    2. La fiecare trecere adunăm r.
    3. Prin urmare, a6 = a1 + 5r.

    Răspuns: a6 = a1 + 5r

  5. Exercițiul 5

    Se dau a4 = 11 și a9 = 31. Pasul 1: cum scriem cei doi termeni în funcție de a1 și r?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru n = 4: a4 = a1 + (4 − 1)r = a1 + 3r.
    2. Pentru n = 9: a9 = a1 + (9 − 1)r = a1 + 8r.
    3. Aceste două ecuații vor fi scăzute la pasul următor.

    Răspuns: a4 = a1 + 3r și a9 = a1 + 8r

  6. Exercițiul 6

    Se dau a4 = 11 și a9 = 31. Pasul 2: cât este rația r?

    Vezi rezolvarea
    1. a9 − a4 = 5r.
    2. 31 − 11 = 5r, deci 20 = 5r.
    3. Rezultă r = 4.

    Răspuns: 4

  7. Exercițiul 7

    Pentru a4 = 11 și r = 4, pasul 3: cât este a1?

    Vezi rezolvarea
    1. a4 = a1 + 3r.
    2. 11 = a1 + 12.
    3. Rezultă a1 = −1.

    Răspuns: −1

  8. Exercițiul 8

    Rezolvă singur: dacă a3 = 9 și a7 = 25, determină a12.

    Vezi rezolvarea
    1. a7 − a3 = 4r, deci 25 − 9 = 4r și r = 4.
    2. a3 = a1 + 2r, deci 9 = a1 + 8 și a1 = 1.
    3. a12 = a1 + 11r = 1 + 44 = 45.
    4. Verificare: a7 = 1 + 6 · 4 = 25.

    Răspuns: 45

  9. Exercițiul 9

    O producție este de 120 de piese în prima zi și crește cu 15 piese zilnic. Câte piese se produc în ziua a 8-a?

    Vezi rezolvarea
    1. a8 = a1 + 7r.
    2. a8 = 120 + 7 · 15.
    3. a8 = 225 de piese.

    Răspuns: 225

  10. Exercițiul 10

    Într-o P.A., a3 = 11 și a7 = 27. Află rația.

    Vezi rezolvarea
    1. a7 − a3 = (7 − 3)r.
    2. 27 − 11 = 4r, deci 16 = 4r.
    3. r = 4.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Un elev rezolvă 3 probleme în prima zi și cu 2 mai multe în fiecare zi următoare. Câte rezolvă în ziua a șasea?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = 3 și r = 2.
    2. a6 = 3 + (6 − 1) · 2.
    3. În ziua a șasea rezolvă 13 probleme.

    Răspuns: 13

  12. Exercițiul 12

    Află suma primelor 10 numere impare pozitive.

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele impare formează o P.A. cu rația 2.
    2. S10 = 10(1 + 19)2.
    3. S10 = 100.

    Răspuns: 100

Exerciții M3 · de la algoritm la aplicație (4)

  1. 1. Ghidat

    Scrie a6 în funcție de a1 și r.

    Vezi răspunsul

    a6 = a1 + 5r

  2. 2. Ghidat

    Din a4 = 11 și a9 = 31 determină r.

    Vezi răspunsul

    a9 − a4 = 5r = 20, deci r = 4.

  3. 3. Ghidat

    După ce ai aflat r, determină a1.

    Vezi răspunsul

    a1 = a4 − 3r = 11 − 12 = −1

  4. 4. Independent

    Determină a12 și introdu rezultatul.

    Vezi răspunsul

    a12 = −1 + 11 · 4 = 43

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.