Logaritmare M1 · probleme mixte, pas cu pas

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Pătratul din logaritm și soluțiile negative

Lucrăm cu o bază b>0, b≠1. Nu coborâm mecanic orice exponent. log_b(x²) există pentru x≠0, inclusiv pentru x negativ. În schimb, 2log_b(x) există doar pentru x>0: cele două expresii nu au același domeniu.

Forma care păstrează tot domeniul este 2log_b|x|. Simbolul |x| este modulul: distanța față de zero; de exemplu |−3|=3. În ecuații putem evita modulul, egalând direct argumentele după ce scriem ambele părți ca logaritmi.

De ținut minte

log_b(x²)=2log_b|x|, x≠0

Exemplu rezolvat cu alte date

Rezolvă log₅(x²)=2.

1Condiție: x²>0, deci x≠0.
22=log₅25, așadar x²=25.
3x=−5 sau x=5; ambele valori verifică ecuația.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Logaritmare M1 · probleme mixte, pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Continuăm după logaritmarea expresiilor și ecuațiilor. Alegem transformarea potrivită și păstrăm condițiile.

Pătratul din logaritm și soluțiile negative

log_b(x²)=2log_b|x|, x≠0

Exemplu rezolvat cu alte date

Rezolvă log₅(x²)=2.

Condiție: x²>0, deci x≠0.
2=log₅25, așadar x²=25.
x=−5 sau x=5; ambele valori verifică ecuația.

O expresie lungă devine un calcul cu t

Dacă același logaritm apare de mai multe ori, îl notăm cu t. Înlocuim peste tot, nu doar într-un termen. Folosim log_b(1x)=−log_b(x), pentru x>0.

După înlocuire nu mai lucrăm cu reguli noi de logaritmi, ci cu algebra deja cunoscută. La −(u−v)² dezvoltăm mai întâi pătratul, apoi schimbăm toate semnele. Păstrăm întreaga expresie pe fiecare rând.

−(u−v)²=−u²+2uv−v²

Exemplu rezolvat cu alte date

Simplifică 16(log₃x)²+8log₃(1x)−(1−4log₃x)², x>0.

Notăm t=log₃x; expresia devine 16t²−8t−(1−4t)².
Dezvoltăm: 16t²−8t−1+8t−16t².
Termenii în t² și t se reduc. Rămâne −1, pentru orice x>0.

Schimbarea bazei când a apare în două rapoarte

Alegem o bază simplă și notăm cu t logaritmul celuilalt factor prim. Un produs r²·s are logaritmul 2+t în baza r. Astfel relația cunoscută devine o fracție cu t.

Îl aflăm pe t din relația cu a, apoi îl înlocuim în logaritmul cerut. Când apare o fracție într-o fracție, înmulțim și numărătorul, și numitorul cu același numitor comun, nenul.

log_B(A)=log_r(A)log_r(B)

Exemplu rezolvat cu alte date

a=log₁₂18. Exprimă log₃₆108 prin a.

Notăm t=log₂3. Atunci a=1+2t2+t.
Din 2a+at=1+2t aflăm t=2a−12−a. Avem 0<a<2.
log₃₆108=2+3t2+2t.
Înlocuim t: 2(2−a)+3(2a−1)2(2−a)+2(2a−1)=1+4a2+2a.

Ecuații cu logaritmi ascunși în exponenți

Calculăm mai întâi membrul care nu conține x. Pentru a>0, a≠1 și u>0, avem a^{1−log_a u}=au, dar a^{log_a u−1}=ua. Ordinea scăderii schimbă ordinea câtului.

Păstrăm semnele dintre termeni. După adunarea fracțiilor, dacă obținem a^x=R cu R>0, rezultă x=log_a R. Dacă R≤0, nu există soluție reală, fiindcă o putere cu bază pozitivă este mereu pozitivă.

a^{1−log_a u}=au; a^{log_a u−1}=ua

Exemplu rezolvat cu alte date

Rezolvă 2^x=2^1−log₂4+3^log₃6−1.

Prima putere este 24=12; a doua este 63=2.
Ecuația devine 2^x=52>0.
Aplicăm log₂ ambelor părți: x=log₂(52).

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Rezolvă în numere reale log₂(x²) = 4.
Vezi rezolvarea
1. x ≠ 0 — Cerem x²>0, deci x≠0. Și un număr negativ are pătratul pozitiv; nu îl eliminăm.
2. x² = 16 — 4=log₂(16). Logaritmii au aceeași bază, deci egalăm x² cu 16, nu x cu 16.
3. x ∈ {−4; 4} — Atât 4², cât și (−4)² sunt 16. Ambele valori sunt nenule și verifică ecuația inițială. Nu folosim 2log_b(x) pe tot domeniul: acea formă ar cere x>0.
Răspuns: x ∈ {−4; 4}
Exercițiul 2
Rezolvă în numere reale log₃(x²) = 4.
Vezi rezolvarea
1. x ≠ 0 — Cerem x²>0, deci x≠0. Și un număr negativ are pătratul pozitiv; nu îl eliminăm.
2. x² = 81 — 4=log₃(81). Logaritmii au aceeași bază, deci egalăm x² cu 81, nu x cu 81.
3. x ∈ {−9; 9} — Atât 9², cât și (−9)² sunt 81. Ambele valori sunt nenule și verifică ecuația inițială. Nu folosim 2log_b(x) pe tot domeniul: acea formă ar cere x>0.
Răspuns: x ∈ {−9; 9}
Exercițiul 3
Rezolvă în numere reale log₂(x²) = 6.
Vezi rezolvarea
1. x ≠ 0 — Cerem x²>0, deci x≠0. Și un număr negativ are pătratul pozitiv; nu îl eliminăm.
2. x² = 64 — 6=log₂(64). Logaritmii au aceeași bază, deci egalăm x² cu 64, nu x cu 64.
3. x ∈ {−8; 8} — Atât 8², cât și (−8)² sunt 64. Ambele valori sunt nenule și verifică ecuația inițială. Nu folosim 2log_b(x) pe tot domeniul: acea formă ar cere x>0.
Răspuns: x ∈ {−8; 8}
Exercițiul 4
Simplifică E=16·(log₂(x))² + 24·log₂(1x) − (3 − 4·log₂(x))², pentru x>0.
Vezi rezolvarea
1. E = 16t² − 24t − (3 − 4t)² — log₂(1x)=log₂(1)−log₂(x)=−t. Copiem ceilalți termeni și păstrăm minusul din fața pătratului.
2. E = 16t² − 24t − 9 + 24t − 16t² — (u−v)²=u²−2uv+v². Minusul exterior schimbă toate cele trei semne. Termenul din mijloc nu dispare.
3. E = −9 — +16t² se reduce cu −16t², iar −24t cu +24t. Rămâne doar −9, pentru orice x>0.
Răspuns: E = −9
Exercițiul 5
Simplifică E=36·(log₃(x))² + 24·log₃(1x) − (2 − 6·log₃(x))², pentru x>0.
Vezi rezolvarea
1. E = 36t² − 24t − (2 − 6t)² — log₃(1x)=log₃(1)−log₃(x)=−t. Copiem ceilalți termeni și păstrăm minusul din fața pătratului.
2. E = 36t² − 24t − 4 + 24t − 36t² — (u−v)²=u²−2uv+v². Minusul exterior schimbă toate cele trei semne. Termenul din mijloc nu dispare.
3. E = −4 — +36t² se reduce cu −36t², iar −24t cu +24t. Rămâne doar −4, pentru orice x>0.
Răspuns: E = −4
Exercițiul 6
Simplifică E=16·(log₅(x))² + 40·log₅(1x) − (5 − 4·log₅(x))², pentru x>0.
Vezi rezolvarea
1. E = 16t² − 40t − (5 − 4t)² — log₅(1x)=log₅(1)−log₅(x)=−t. Copiem ceilalți termeni și păstrăm minusul din fața pătratului.
2. E = 16t² − 40t − 25 + 40t − 16t² — (u−v)²=u²−2uv+v². Minusul exterior schimbă toate cele trei semne. Termenul din mijloc nu dispare.
3. E = −25 — +16t² se reduce cu −16t², iar −40t cu +40t. Rămâne doar −25, pentru orice x>0.
Răspuns: E = −25
Exercițiul 7
Se știe a=log₁₈(48). Exprimă log₃₆(432) în funcție de a.
Vezi rezolvarea
1. a = 1 + 4t2 + t — 18=3²·2, iar 48=3·2⁴. Logaritmii produselor devin sume: la numărător 1+4t, la numitor 2+t.
2. t = 2a − 14 − a — 2a+at=1+4t, deci 2a−1=(4−a)t. Avem a<4, deoarece 1+4t<4(2+t); numitorul nu este zero.
3. 3 + 4t2 + 2t — 432=3³·2⁴, iar 36=3²·2². Rezultă raportul 3+4t2+2t.
4. 8 + 5a6 + 2a — Numărătorul devine 3(4−a)+4(2a−1)=8+5a. Numitorul devine 2(4−a)+2(2a−1)=6+2a. Factorul comun se simplifică. Cum a>0, numitorul final este pozitiv.
Răspuns: 8 + 5a6 + 2a
Exercițiul 8
Se știe a=log₁₂(54). Exprimă log₃₆(1944) în funcție de a.
Vezi rezolvarea
1. a = 1 + 3t2 + t — 12=2²·3, iar 54=2·3³. Logaritmii produselor devin sume: la numărător 1+3t, la numitor 2+t.
2. t = 2a − 13 − a — 2a+at=1+3t, deci 2a−1=(3−a)t. Avem a<3, deoarece 1+3t<3(2+t); numitorul nu este zero.
3. 3 + 5t2 + 2t — 1944=2³·3⁵, iar 36=2²·3². Rezultă raportul 3+5t2+2t.
4. 4 + 7a4 + 2a — Numărătorul devine 3(3−a)+5(2a−1)=4+7a. Numitorul devine 2(3−a)+2(2a−1)=4+2a. Factorul comun se simplifică. Cum a>0, numitorul final este pozitiv.
Răspuns: 4 + 7a4 + 2a
Exercițiul 9
Se știe a=log₅₀(160). Exprimă log₁₀₀(1000) în funcție de a.
Vezi rezolvarea
1. a = 1 + 5t2 + t — 50=5²·2, iar 160=5·2⁵. Logaritmii produselor devin sume: la numărător 1+5t, la numitor 2+t.
2. t = 2a − 15 − a — 2a+at=1+5t, deci 2a−1=(5−a)t. Avem a<5, deoarece 1+5t<5(2+t); numitorul nu este zero.
3. 3 + 3t2 + 2t — 1000=5³·2³, iar 100=5²·2². Rezultă raportul 3+3t2+2t.
4. 12 + 3a8 + 2a — Numărătorul devine 3(5−a)+3(2a−1)=12+3a. Numitorul devine 2(5−a)+2(2a−1)=8+2a. Factorul comun se simplifică. Cum a>0, numitorul final este pozitiv.
Răspuns: 12 + 3a8 + 2a
Exercițiul 10
Rezolvă 2^x = 2^{1 − log₂(4)} − 3^{1 − log₃(3)} + 4^{log₄(8) − 1}.
Vezi rezolvarea
1. 2^x = 12 − 1 + 4^{log₄(8) − 1} — Despărțim puterea unui exponent-diferență în cât. Numărătorul este baza la puterea 1, iar numitorul se reduce prin a^{log_a u}=u. Copiem ultima putere: nu am calculat-o încă.
2. 2^x = 32 — Ultima putere este 84. Dreapta devine 12−1+2=32>0. Putem aplica logaritmul ambelor părți.
3. x = log₂(32) — Din 2^x=32>0 rezultă x = log₂(32). Verificare: 2^log₂(32)=32, exact valoarea calculată în dreapta. Nu este necesară o aproximare zecimală.
Răspuns: x = log₂(32)
Exercițiul 11
Rezolvă 3^x = 3^{1 − log₃(6)} − 4^{1 − log₄(4)} + 5^{log₅(10) − 1}.
Vezi rezolvarea
1. 3^x = 12 − 1 + 5^{log₅(10) − 1} — Despărțim puterea unui exponent-diferență în cât. Numărătorul este baza la puterea 1, iar numitorul se reduce prin a^{log_a u}=u. Copiem ultima putere: nu am calculat-o încă.
2. 3^x = 32 — Ultima putere este 105. Dreapta devine 12−1+2=32>0. Putem aplica logaritmul ambelor părți.
3. x = log₃(32) — Din 3^x=32>0 rezultă x = log₃(32). Verificare: 3^log₃(32)=32, exact valoarea calculată în dreapta. Nu este necesară o aproximare zecimală.
Răspuns: x = log₃(32)
Exercițiul 12
Rezolvă 5^x = 5^{1 − log₅(10)} − 6^{1 − log₆(6)} + 7^{log₇(21) − 1}.
Vezi rezolvarea
1. 5^x = 12 − 1 + 7^{log₇(21) − 1} — Despărțim puterea unui exponent-diferență în cât. Numărătorul este baza la puterea 1, iar numitorul se reduce prin a^{log_a u}=u. Copiem ultima putere: nu am calculat-o încă.
2. 5^x = 52 — Ultima putere este 217. Dreapta devine 12−1+3=52>0. Putem aplica logaritmul ambelor părți.
3. x = log₅(52) — Din 5^x=52>0 rezultă x = log₅(52). Verificare: 5^log₅(52)=52, exact valoarea calculată în dreapta. Nu este necesară o aproximare zecimală.
Răspuns: x = log₅(52)