Încărcăm partea curentă…

Logaritmi de la zero · ce putere căutăm?

Ce întrebare pune logaritmul?

Știm că 23=8 înseamnă 2·2·2=8. La log28 pornim de la 2 și 8 și căutăm tocmai numărul 3: la ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8?

Citim «logaritm în baza 2 din 8». Baza este 2, numărul mic de jos. Argumentul este 8, numărul pe care vrem să-l obținem. Rezultatul logaritmului este exponentul căutat. Nu împărțim 8 la 2.

De ținut minte

logab = c înseamnă ac = b
  • a este baza, b este argumentul, iar c este exponentul căutat.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log216.

  1. 1Ne întrebăm: la ce putere ridicăm 2 ca să obținem 16?
  2. 22·2·2·2=16, adică 24=16.
  3. 3Exponentul este 4, deci log216=4.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Logaritmi de la zero · ce putere căutăm?: teorie, exemple și exerciții rezolvate

La ce putere ridicăm baza ca să obținem argumentul? Învățăm să punem această întrebare, apoi calculăm și folosim operațiile.

Ce întrebare pune logaritmul?

Știm că 23=8 înseamnă 2·2·2=8. La log28 pornim de la 2 și 8 și căutăm tocmai numărul 3: la ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8?

Citim «logaritm în baza 2 din 8». Baza este 2, numărul mic de jos. Argumentul este 8, numărul pe care vrem să-l obținem. Rezultatul logaritmului este exponentul căutat. Nu împărțim 8 la 2.

  • logab = c înseamnă ac = b
  • a este baza, b este argumentul, iar c este exponentul căutat.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log216.

  1. Ne întrebăm: la ce putere ridicăm 2 ca să obținem 16?
  2. 2·2·2·2=16, adică 24=16.
  3. Exponentul este 4, deci log216=4.

Scriem numărul ca putere a bazei

Căutăm o putere cunoscută: 2, 4, 8, 16, 32 sunt puteri ale lui 2. Exponentul spune de câte ori se repetă baza în înmulțire.

Dacă nu recunoști puterea, înmulțește baza cu ea însăși până ajungi la argument. La sfârșit scrii exponentul, nu rezultatul înmulțirii.

  • loga(ak)=k
  • k este exponentul puterii; nu înmulțim baza cu exponentul.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log381.

  1. Înmulțim: 3·3=9, apoi 9·3=27 și 27·3=81.
  2. 34=81: avem patru factori egali cu 3.
  3. Logaritmul este 4.

Când răspunsul este zero sau unu

Orice bază pozitivă ridicată la puterea 0 dă 1. De aceea logaritmul lui 1 este 0.

La puterea 1 obținem baza însăși. De aceea logaritmul bazei este 1. Argumentul 1 și răspunsul 1 nu sunt același lucru.

  • loga1=0; logaa=1
  • Aceste reguli cer o bază pozitivă și diferită de 1.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log51 și log55.

  1. 50=1, deci log51=0.
  2. 51=5, deci log55=1.
  3. Argumentele sunt diferite: 1 în primul calcul, 5 în al doilea.

Condiții de existență: ce numere sunt permise?

Pentru logab în numere reale verificăm trei lucruri: baza a este pozitivă, baza nu este 1, iar argumentul b este strict pozitiv. Strict pozitiv înseamnă mai mare decât 0; zero nu este permis ca argument.

Nu cerem ca rezultatul logaritmului să fie pozitiv. El poate fi 0, negativ sau fracționar. O bază între 0 și 1 este permisă, chiar dacă în primele exemple folosim baze mai mari decât 1.

  • a>0, a≠1, b>0
  • Nu confunda argumentul pozitiv cu un rezultat pozitiv.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Există log101? Dar log30?

  1. La log101: baza 10 este pozitivă și diferită de 1, iar argumentul 1 este pozitiv.
  2. Primul există și este 0, deoarece 100=1.
  3. log30 nu există în numere reale: argumentul 0 nu este pozitiv.

Argumente fracții: exponenți negativi

O putere negativă înseamnă inversul unei puteri: 2−3=123=18. Nu înseamnă −8.

Întrebarea rămâne aceeași: la ce putere ridicăm baza ca să obținem fracția? La baza 2, pentru a obține 18 folosim exponentul −3.

  • a−k=1ak; loga(1ak)=−k
  • Argumentul este pozitiv, chiar dacă exponentul căutat este negativ.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log5(1125).

  1. 125=53, deci 1125=5−3.
  2. La ce putere ridicăm 5 ca să obținem 1125? La puterea −3.
  3. Logaritmul este −3. Argumentul 1125 este pozitiv.

Și exponentul poate fi o fracție

Puterea 12 înseamnă rădăcină pătrată: 412=√4=2. De aceea log42=12. Puterea 13 înseamnă rădăcină cubică: 813=2, deoarece 23=8.

Dacă baza și argumentul sunt puteri ale aceluiași număr, comparăm exponenții. De exemplu 25=52, iar 125=53: avem (52)t=53, deci 2t=3 și t=32.

  • log42=12; log82=13
  • t este doar numele dat exponentului pe care îl căutăm.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log25125.

  1. Scriem baza 25=52 și argumentul 125=53.
  2. Pentru (52)t=53 avem 2t=3, de unde t=32.
  3. Rezultatul este 32; nu inversăm fracția.

Plus: calculăm logaritmii, apoi adunăm

În log28 + log24 sunt două calcule. Primul întreabă la ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8, iar al doilea ca să obținem 4.

Obținem 3 și 2. Păstrăm plusul și adunăm: 3+2=5. Nu adunăm direct argumentele și nu scriem log212.

  • log28 + log24 = 3+2 = 5
  • Numerele 8 și 4 sunt argumente, nu valorile logaritmilor.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log216 + log22.

  1. 24=16, deci primul logaritm este 4.
  2. 21=2, deci al doilea logaritm este 1.
  3. Rezultatul complet este 4+1=5.

Minus: păstrăm ordinea

Calculăm logaritmii separat, exact ca la plus. Apoi scădem al doilea rezultat din primul. Nu inversăm termenii ca să obținem neapărat un număr pozitiv.

Dacă primul logaritm este mai mic, rezultatul poate fi negativ. Dacă sunt egali, diferența este zero.

  • log24 − log28 = 2−3 = −1
  • Nu înlocui scăderea cu împărțirea valorilor logaritmilor.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log327 − log381.

  1. Primul logaritm este 3, pentru că 33=27.
  2. Al doilea este 4, pentru că 34=81.
  3. Păstrăm ordinea: 3−4=−1.

Produsul din argument devine sumă

Când în argument avem un produs de numere pozitive, putem separa logaritmul într-o sumă. Baza trebuie să fie aceeași.

Este regula puterilor spusă invers: 22·23=25. Exponenții se adună când înmulțim puteri cu aceeași bază. Nu înmulțim valorile logaritmilor.

  • loga(uv)=logau+logav, u>0 și v>0
  • u și v sunt factorii pozitivi din argument; a este baza.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log2(8·16).

  1. Separăm: log2(8·16)=log28+log216.
  2. Cei doi logaritmi sunt 3 și 4.
  3. Rezultatul este 7. Control: 8·16=128=27.

Câtul din argument devine diferență

La un raport de numere pozitive, logaritmul numărătorului rămâne primul, iar din el scădem logaritmul numitorului.

Regula păstrează ordinea fracției. Dacă inversezi fracția, schimbi și semnul logaritmului. Toți logaritmii au aceeași bază.

  • loga(uv)=logau−logav, u>0 și v>0
  • Nu împărțim valorile celor doi logaritmi.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează log2(324).

  1. Separăm: log232−log24.
  2. Cei doi logaritmi sunt 5 și 2.
  3. Rezultatul este 3. Control: 324=8=23.

Numărul din față și puterea argumentului

În 3·log28, numărul 3 înmulțește valoarea logaritmului. Calculăm log28=3 și obținem direct 3·3=9.

Dacă argumentul este ridicat la o putere, exponentul poate coborî în fața logaritmului ca factor. log2(83)=3·log28=9. Nu este același lucru cu (log28)3=27.

  • loga(uk)=k·logau, u>0
  • k este exponentul argumentului, nu o putere aplicată întregului logaritm.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 2·log5125.

  1. 125=53, deci log5125=3.
  2. Numărul din față rămâne 2: 2·3=6.
  3. Rezultatul complet este 6.

Nu toate rezultatele sunt întregi

La log210 întrebarea este tot «La ce putere ridicăm 2 ca să obținem 10?». Știm 23=8 și 24=16: numărul 10 este între 8 și 16.

Pentru o bază mai mare decât 1, puterile cresc când exponentul crește. Exponentul căutat este deci între 3 și 4. Nu este exact 3 sau 4 și logaritmul există. Cu un calculator obținem aproximativ 3,322, nu cerem să memorezi această valoare.

  • 23 < 10 < 24 ⇒ 3 < log210 < 4
  • Nu inventăm un răspuns întreg dacă argumentul nu este o putere întreagă a bazei.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Între ce întregi se află log520?

  1. 51=5 și 52=25.
  2. 20 este între 5 și 25, iar baza 5 este mai mare decât 1.
  3. Exponentul căutat este între 1 și 2.

Exerciții rezolvate din lecție (36)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează log2(8).

    Vezi rezolvarea
    1. La ce putere ridicăm 2 ca să obținem 8?. log2(8) întreabă la ce putere ridicăm 2 pentru a obține 8.
    2. 3. 23 = 8. Exponentul este 3, deci log2(8) = 3.

    Răspuns: 3

  2. Exercițiul 2

    Calculează log3(9).

    Vezi rezolvarea
    1. La ce putere ridicăm 3 ca să obținem 9?. log3(9) întreabă la ce putere ridicăm 3 pentru a obține 9.
    2. 2. 32 = 9. Exponentul este 2, deci log3(9) = 2.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    Calculează log5(25).

    Vezi rezolvarea
    1. 2. 52 = 25. Exponentul este 2, deci log5(25) = 2.

    Răspuns: 2

  4. Exercițiul 4

    Calculează log2(32).

    Vezi rezolvarea
    1. La ce putere ridicăm 2 ca să obținem 32?. log2(32) întreabă la ce putere ridicăm 2 pentru a obține 32.
    2. 5. 25 = 32. Exponentul este 5, deci log2(32) = 5.

    Răspuns: 5

  5. Exercițiul 5

    Calculează log3(27).

    Vezi rezolvarea
    1. 3. 33 = 27. Exponentul este 3, deci log3(27) = 3.

    Răspuns: 3

  6. Exercițiul 6

    Calculează log10(1000).

    Vezi rezolvarea
    1. 3. 103 = 1000. Exponentul este 3, deci log10(1000) = 3.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Calculează log3(1).

    Vezi rezolvarea
    1. 0. 30 = 1. Exponentul este 0, deci log3(1) = 0.

    Răspuns: 0

  8. Exercițiul 8

    Calculează log7(7).

    Vezi rezolvarea
    1. 1. 71 = 7. Exponentul este 1, deci log7(7) = 1.

    Răspuns: 1

  9. Exercițiul 9

    Calculează log10(1).

    Vezi rezolvarea
    1. 0. 100 = 1. Exponentul este 0, deci log10(1) = 0.

    Răspuns: 0

  10. Exercițiul 10

    Există log20 în numere reale?

    Vezi rezolvarea
    1. Argumentul trebuie să fie strict pozitiv. 2 la orice putere reală rămâne pozitiv și nu poate fi 0.

    Răspuns: Nu, argumentul este 0

  11. Exercițiul 11

    Există log15 în numere reale?

    Vezi rezolvarea
    1. Baza 1 este interzisă: 1 la orice putere rămâne 1. Nu obținem 5.

    Răspuns: Nu, baza este 1

  12. Exercițiul 12

    Care dintre următorii logaritmi există în numere reale?

    Vezi rezolvarea
    1. La log4(14), baza 4 este pozitivă și diferită de 1, iar argumentul 14 este pozitiv. Rezultatul este −1, lucru permis.

    Răspuns: log4(14)

  13. Exercițiul 13

    Calculează log2(14).

    Vezi rezolvarea
    1. La ce putere ridicăm 2 ca să obținem 14?. log2(14) întreabă la ce putere ridicăm 2 pentru a obține 14.
    2. -2. 2−2 = 14. Exponentul este -2, deci log2(14) = -2.

    Răspuns: -2

  14. Exercițiul 14

    Calculează log3(127).

    Vezi rezolvarea
    1. -3. 3−3 = 127. Exponentul este -3, deci log3(127) = -3.

    Răspuns: -3

  15. Exercițiul 15

    Calculează log10(1100).

    Vezi rezolvarea
    1. -2. 10−2 = 1100. Exponentul este -2, deci log10(1100) = -2.

    Răspuns: -2

  16. Exercițiul 16

    Calculează log4(2).

    Vezi rezolvarea
    1. 12. 4 la puterea 12 este 2. De aceea log4(2) = 12.

    Răspuns: 12

  17. Exercițiul 17

    Calculează log8(2).

    Vezi rezolvarea
    1. 13. 8 la puterea 13 este 2. De aceea log8(2) = 13.

    Răspuns: 13

  18. Exercițiul 18

    Calculează log9(27).

    Vezi rezolvarea
    1. 32. 9 la puterea 32 este 27. De aceea log9(27) = 32.

    Răspuns: 32

  19. Exercițiul 19

    Calculează log2(8) + log2(4).

    Vezi rezolvarea
    1. 3 + log2(4). 23 = 8, deci log2(8) = 3. Al doilea logaritm rămâne de calculat.
    2. 5. log2(8) = 3, iar log2(4) = 2. Avem 3 + (2) = 5.

    Răspuns: 5

  20. Exercițiul 20

    Calculează log3(9) + log3(27).

    Vezi rezolvarea
    1. 2 + log3(27). 32 = 9, deci log3(9) = 2. Al doilea logaritm rămâne de calculat.
    2. 5. log3(9) = 2, iar log3(27) = 3. Avem 2 + (3) = 5.

    Răspuns: 5

  21. Exercițiul 21

    Calculează log5(25) + log5(5).

    Vezi rezolvarea
    1. 3. log5(25) = 2, iar log5(5) = 1. Avem 2 + (1) = 3.

    Răspuns: 3

  22. Exercițiul 22

    Calculează log2(32) − log2(4).

    Vezi rezolvarea
    1. 5 − log2(4). 25 = 32, deci log2(32) = 5. Al doilea logaritm rămâne de calculat.
    2. 3. log2(32) = 5, iar log2(4) = 2. Avem 5 − (2) = 3.

    Răspuns: 3

  23. Exercițiul 23

    Calculează log3(9) − log3(81).

    Vezi rezolvarea
    1. 2 − log3(81). 32 = 9, deci log3(9) = 2. Al doilea logaritm rămâne de calculat.
    2. -2. log3(9) = 2, iar log3(81) = 4. Avem 2 − (4) = -2.

    Răspuns: -2

  24. Exercițiul 24

    Calculează log5(25) − log5(25).

    Vezi rezolvarea
    1. 0. log5(25) = 2, iar log5(25) = 2. Avem 2 − (2) = 0.

    Răspuns: 0

  25. Exercițiul 25

    Calculează log2(4 · 8).

    Vezi rezolvarea
    1. log2(4) + log2(8). Argumentele sunt pozitive și baza este aceeași. log2(4 · 8) = log2(4) + log2(8).
    2. 5. log2(4) = 2 și log2(8) = 3. Rezultatul este 2 + 3 = 5.

    Răspuns: 5

  26. Exercițiul 26

    Calculează log3(3 · 9).

    Vezi rezolvarea
    1. log3(3) + log3(9). Argumentele sunt pozitive și baza este aceeași. log3(3 · 9) = log3(3) + log3(9).
    2. 3. log3(3) = 1 și log3(9) = 2. Rezultatul este 1 + 2 = 3.

    Răspuns: 3

  27. Exercițiul 27

    Calculează log5(5 · 25).

    Vezi rezolvarea
    1. 3. log5(5) = 1 și log5(25) = 2. Rezultatul este 1 + 2 = 3.

    Răspuns: 3

  28. Exercițiul 28

    Calculează log2(648).

    Vezi rezolvarea
    1. log2(64) − log2(8). Argumentele sunt pozitive și baza este aceeași. log2(648) = log2(64) − log2(8).
    2. 3. log2(64) = 6 și log2(8) = 3. Rezultatul este 6 − 3 = 3.

    Răspuns: 3

  29. Exercițiul 29

    Calculează log3(813).

    Vezi rezolvarea
    1. log3(81) − log3(3). Argumentele sunt pozitive și baza este aceeași. log3(813) = log3(81) − log3(3).
    2. 3. log3(81) = 4 și log3(3) = 1. Rezultatul este 4 − 1 = 3.

    Răspuns: 3

  30. Exercițiul 30

    Calculează log5(25125).

    Vezi rezolvarea
    1. -1. log5(25) = 2 și log5(125) = 3. Rezultatul este 2 − 3 = -1.

    Răspuns: -1

  31. Exercițiul 31

    Calculează 2 · log3(9).

    Vezi rezolvarea
    1. 4. log3(9) = 2. 2 · 2 = 4.

    Răspuns: 4

  32. Exercițiul 32

    Calculează 3 · log2(4).

    Vezi rezolvarea
    1. 6. log2(4) = 2. 3 · 2 = 6.

    Răspuns: 6

  33. Exercițiul 33

    Calculează log2(43).

    Vezi rezolvarea
    1. 6. log2(43) = 3 · log2(4) = 3 · 2 = 6.

    Răspuns: 6

  34. Exercițiul 34

    Între ce numere întregi se află log2(10)?

    Vezi rezolvarea
    1. 23 = 8 < 10 < 16 = 24. Baza este mai mare decât 1, deci exponentul căutat este între 3 și 4.

    Răspuns: Între 3 și 4

  35. Exercițiul 35

    Între ce numere întregi se află log3(20)?

    Vezi rezolvarea
    1. 32 = 9 < 20 < 27 = 33. Baza este mai mare decât 1, deci exponentul căutat este între 2 și 3.

    Răspuns: Între 2 și 3

  36. Exercițiul 36

    Între ce numere întregi se află log10(50)?

    Vezi rezolvarea
    1. 101 = 10 < 50 < 100 = 102. Baza este mai mare decât 1, deci exponentul căutat este între 1 și 2.

    Răspuns: Între 1 și 2

De la prima întrebare la operații simple (36)

  1. 1. Pornim de la zero

    Calculează log2(8).

    Vezi răspunsul

    3

  2. 2. Pornim de la zero

    Calculează log3(9).

    Vezi răspunsul

    2

  3. 3. Pornim de la zero

    Calculează log5(25).

    Vezi răspunsul

    2

  4. 4. Pornim de la zero

    Calculează log2(32).

    Vezi răspunsul

    5

  5. 5. Pornim de la zero

    Calculează log3(27).

    Vezi răspunsul

    3

  6. 6. Pornim de la zero

    Calculează log10(1000).

    Vezi răspunsul

    3

  7. 7. Pornim de la zero

    Calculează log3(1).

    Vezi răspunsul

    0

  8. 8. Pornim de la zero

    Calculează log7(7).

    Vezi răspunsul

    1

  9. 9. Pornim de la zero

    Calculează log10(1).

    Vezi răspunsul

    0

  10. 10. Pornim de la zero

    Există log20 în numere reale?

    Vezi răspunsul

    Nu, argumentul este 0

  11. 11. Pornim de la zero

    Există log15 în numere reale?

    Vezi răspunsul

    Nu, baza este 1

  12. 12. Pornim de la zero

    Care dintre următorii logaritmi există în numere reale?

    Vezi răspunsul

    log4(14)

  13. 13. Exersăm pas cu pas

    Calculează log2(14).

    Vezi răspunsul

    -2

  14. 14. Exersăm pas cu pas

    Calculează log3(127).

    Vezi răspunsul

    -3

  15. 15. Exersăm pas cu pas

    Calculează log10(1100).

    Vezi răspunsul

    -2

  16. 16. Exersăm pas cu pas

    Calculează log4(2).

    Vezi răspunsul

    12

  17. 17. Exersăm pas cu pas

    Calculează log8(2).

    Vezi răspunsul

    13

  18. 18. Exersăm pas cu pas

    Calculează log9(27).

    Vezi răspunsul

    32

  19. 19. Exersăm pas cu pas

    Calculează log2(8) + log2(4).

    Vezi răspunsul

    5

  20. 20. Exersăm pas cu pas

    Calculează log3(9) + log3(27).

    Vezi răspunsul

    5

  21. 21. Exersăm pas cu pas

    Calculează log5(25) + log5(5).

    Vezi răspunsul

    3

  22. 22. Exersăm pas cu pas

    Calculează log2(32) − log2(4).

    Vezi răspunsul

    3

  23. 23. Exersăm pas cu pas

    Calculează log3(9) − log3(81).

    Vezi răspunsul

    -2

  24. 24. Exersăm pas cu pas

    Calculează log5(25) − log5(25).

    Vezi răspunsul

    0

  25. 25. Calculăm singuri

    Calculează log2(4 · 8).

    Vezi răspunsul

    5

  26. 26. Calculăm singuri

    Calculează log3(3 · 9).

    Vezi răspunsul

    3

  27. 27. Calculăm singuri

    Calculează log5(5 · 25).

    Vezi răspunsul

    3

  28. 28. Calculăm singuri

    Calculează log2(648).

    Vezi răspunsul

    3

  29. 29. Calculăm singuri

    Calculează log3(813).

    Vezi răspunsul

    3

  30. 30. Calculăm singuri

    Calculează log5(25125).

    Vezi răspunsul

    -1

  31. 31. Calculăm singuri

    Calculează 2 · log3(9).

    Vezi răspunsul

    4

  32. 32. Calculăm singuri

    Calculează 3 · log2(4).

    Vezi răspunsul

    6

  33. 33. Calculăm singuri

    Calculează log2(43).

    Vezi răspunsul

    6

  34. 34. Calculăm singuri

    Între ce numere întregi se află log2(10)?

    Vezi răspunsul

    Între 3 și 4

  35. 35. Calculăm singuri

    Între ce numere întregi se află log3(20)?

    Vezi răspunsul

    Între 2 și 3

  36. 36. Calculăm singuri

    Între ce numere întregi se află log10(50)?

    Vezi răspunsul

    Între 1 și 2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.