Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Numere prime
Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Numărul 7, de exemplu, se împarte exact doar la 1 și la 7, deci este prim.
Primele numere prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Numărul 2 este singurul număr prim par — toate celelalte numere prime sunt impare, fiindcă orice alt număr par se împarte și la 2.
🧮 De ținut minte
număr prim = exact 2 divizori
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
✓Divizorii unui număr prim p sunt doar 1 și p.
✓Numerele prime devin tot mai rare pe măsură ce numerele cresc, dar nu se termină niciodată.
✏️Exemplu rezolvat
Arată că 17 este număr prim.
1Încercăm să-l împărțim la numerele mai mici: 17 : 2 dă rest 1, 17 : 3 dă rest 2.
217 : 4 dă rest 1, iar de la 5 în sus câtul ar fi mai mic decât împărțitorul, deci nu mai are rost să căutăm.
3Singurii divizori sunt 1 și 17, deci 17 este număr prim.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Numere prime și numere compuse: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Un număr prim are exact doi divizori naturali: 1 și numărul însuși. Un număr compus are mai mult de doi divizori.
Numere prime
Un număr natural este prim dacă are exact doi divizori: pe 1 și pe el însuși. Numărul 7, de exemplu, se împarte exact doar la 1 și la 7, deci este prim.
Primele numere prime sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Numărul 2 este singurul număr prim par — toate celelalte numere prime sunt impare, fiindcă orice alt număr par se împarte și la 2.
număr prim = exact 2 divizori
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
•Divizorii unui număr prim p sunt doar 1 și p.
•Numerele prime devin tot mai rare pe măsură ce numerele cresc, dar nu se termină niciodată.
Exemplu rezolvat
Arată că 17 este număr prim.
Încercăm să-l împărțim la numerele mai mici: 17 : 2 dă rest 1, 17 : 3 dă rest 2.
17 : 4 dă rest 1, iar de la 5 în sus câtul ar fi mai mic decât împărțitorul, deci nu mai are rost să căutăm.
Singurii divizori sunt 1 și 17, deci 17 este număr prim.
Numere compuse. Cazul lui 0 și al lui 1
Un număr natural este compus dacă are mai mult de doi divizori. De exemplu, 12 are divizorii 1, 2, 3, 4, 6 și 12, adică șase divizori, deci este compus. Alte numere compuse sunt 4, 6, 8, 9, 10, 14, 15.
Orice număr natural mai mare decât 1 este fie prim, fie compus. Numerele 0 și 1 nu intră în nicio categorie: 1 are un singur divizor, pe el însuși, deci nu este prim, dar nici compus.
12 are divizorii 1, 2, 3, 4, 6, 12 → compus
1 nu este nici prim, nici compus
•„Mai mult de doi divizori” este singura condiție pentru un număr compus.
•Greșeala clasică este să spui că 1 este prim; el are un singur divizor, nu doi.
Exemplu rezolvat
Este 21 prim sau compus?
Căutăm un divizor diferit de 1 și de 21.
21 : 3 = 7 este împărțire exactă, deci 3 este divizor.
Numărul are divizorii 1, 3, 7 și 21, adică mai mult de doi, deci 21 este compus.
Cum stabilești natura unui număr
Ca să afli dacă un număr este prim sau compus, îl împarți pe rând la numerele prime mai mici: 2, 3, 5, 7, 11 și așa mai departe. Dacă găsești o împărțire exactă, numărul este compus; dacă nu găsești niciuna, este prim.
Nu e nevoie să încerci toate numerele: te oprești când câtul devine mai mic decât împărțitorul. Pentru 91, de exemplu, ajungi la 91 : 7 = 13 și afli imediat că este compus.
91 : 7 = 13 → 91 este compus
criteriile cu 2, 3 și 5 se verifică primele
•Începe cu criteriile de divizibilitate: dacă numărul e par sau are suma cifrelor divizibilă cu 3, e deja compus.
•Între 10 și 20 sunt patru numere prime: 11, 13, 17 și 19.
Exemplu rezolvat · alte date
Enumeră numerele prime strict între 20 și 30.
Un număr prim are exact doi divizori naturali: 1 și el însuși.
Dintre 21–29, numerele pare se elimină; 21 și 27 se divid cu 3, iar 25 cu 5.
Rămân 23 și 29, care sunt prime.
Descompunerea în produs de numere prime
Orice număr compus poate fi scris ca produs de numere prime. Metoda este simplă: împarți numărul, pas cu pas, la cel mai mic număr prim posibil, până ajungi la 1.
Pentru 60: 60 : 2 = 30, 30 : 2 = 15, 15 : 3 = 5, 5 : 5 = 1, deci 60 = 2 × 2 × 3 × 5, scris prescurtat 22 × 3 × 5. Descompunerea se verifică înmulțind factorii la loc.
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
84 = 22 × 3 × 7
•Se începe mereu cu cel mai mic număr prim care divide numărul.
•Descompunerea unui număr este unică, oricum ai lucra.
Exemplu rezolvat
Descompune 84 în produs de numere prime și verifică.
84 : 2 = 42, apoi 42 : 2 = 21.
21 nu se mai împarte exact la 2, trecem la 3: 21 : 3 = 7, iar 7 : 7 = 1.
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Care număr este prim?
Vezi rezolvarea
29 nu este divizibil cu 2, 3 sau 5.
Nu are alți divizori naturali în afară de 1 și 29.
29 este prim.
Răspuns: 29
Exercițiul 2
Care afirmație despre numărul 1 este corectă?
Vezi rezolvarea
Numărul 1 are un singur divizor natural.
Nu îndeplinește nici definiția numărului prim, nici pe cea a numărului compus.
Este nici prim, nici compus.
Răspuns: Nu este nici prim, nici compus
Exercițiul 3
Care este cel mai mic număr prim?
Vezi rezolvarea
Numărul 1 nu este prim.
Divizorii lui 2 sunt 1 și 2.
Cel mai mic număr prim este 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 4
Descompunerea lui 36 în factori primi este:
Vezi rezolvarea
36 = 2 × 18 = 2 × 2 × 9.
9 = 3 × 3.
Deci 36 = 22 × 32.
Răspuns: 22 × 32
Exercițiul 5
Câte numere prime există între 10 și 20?
Vezi rezolvarea
Numerele prime sunt 11, 13, 17 și 19.
Celelalte au divizori proprii.
Sunt 4 numere prime.
Răspuns: 4
Exercițiul 6
Care număr este compus?
Vezi rezolvarea
13, 17 și 23 au doar divizorii 1 și ei înșiși.
21 = 3 × 7.
21 este număr compus.
Răspuns: 21
Exercițiul 7
Câți divizori naturali are un număr prim?
Vezi rezolvarea
Un număr prim se împarte doar la 1 și la el însuși.
Acestea sunt doi divizori diferiți.
Un număr prim are exact 2 divizori.
Răspuns: 2
Exercițiul 8
Descompunerea în factori primi a lui 60 este:
Vezi rezolvarea
60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2 × 2 × 3 × 5.
Factorii 2, 3 și 5 sunt primi.
60 = 22 × 3 × 5.
Răspuns: 22 × 3 × 5
Exercițiul 9
Scrie cel mai mare număr prim mai mic decât 30.
Vezi rezolvarea
29 nu se împarte la 2, 3 sau 5.
Nu are alți divizori în afară de 1 și 29.
29 este cel mai mare număr prim mai mic decât 30.
Răspuns: 29
Exercițiul 10
Câte numere prime sunt mai mici decât 20?
Vezi rezolvarea
Numerele prime mai mici decât 20 sunt 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Le numărăm.
Sunt 8 numere prime.
Răspuns: 8
Exercițiul 11
Numărul 91 este:
Vezi rezolvarea
91 : 7 = 13.
Deci 91 are și divizorii 7 și 13.
91 este compus; faptul că e impar nu îl face prim.
Răspuns: compus, pentru că 91 = 7 × 13
Exercițiul 12
Descompune 84 în factori primi: 84 = 2a × 3 × 7. Cât este a?
Vezi rezolvarea
84 : 2 = 42, 42 : 2 = 21.
21 = 3 × 7.
84 = 22 × 3 × 7, deci a = 2.
Răspuns: 2
Fișă de consolidare din material (15)
1. Dificultate redusă
Scrie divizorii numerelor 6, 11 și 15, apoi stabilește care dintre ele sunt numere prime.
Vezi răspunsul
D6 = {1, 2, 3, 6}, D11 = {1, 11}, D15 = {1, 3, 5, 15}. Doar 11 este prim (are exact doi divizori).
2. Dificultate redusă
Scrie toate numerele prime mai mici decât 25.
Vezi răspunsul
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23
3. Dificultate redusă
Este numărul 0 prim sau compus? Justifică.
Vezi răspunsul
Nici prim, nici compus: 0 se împarte la orice număr nenul, deci nu are exact doi divizori.
4. Dificultate redusă
Stabilește dacă numărul 33 este prim sau compus.
Vezi răspunsul
Compus: 33 = 3 × 11.
5. Dificultate redusă
Descompune numărul 18 în produs de numere prime.
Vezi răspunsul
18 = 2 × 32
6. Dificultate medie
Descompune în produs de numere prime numerele 40 și 54.
Vezi răspunsul
40 = 23 × 5; 54 = 2 × 33.
7. Dificultate medie
Găsește toate numerele prime cuprinse între 50 și 70.
Vezi răspunsul
53, 59, 61, 67
8. Dificultate medie
Un număr are exact 2 divizori. Ce poți spune despre acest număr?
Vezi răspunsul
Este număr prim: divizorii lui sunt doar 1 și el însuși.
9. Dificultate medie
Stabilește dacă numărul 77 este prim sau compus (verifică împărțirea la 7).
Vezi răspunsul
Compus: 77 = 7 × 11.
10. Dificultate medie
Scrie toate numerele compuse mai mici decât 20.
Vezi răspunsul
4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18
11. Dificultate ridicată
Suma a două numere prime este 30. Află cele două numere, știind că sunt diferite între ele. (Există mai multe variante corecte, găsește cel puțin două.)
Vezi răspunsul
7 + 23, 11 + 19 sau 13 + 17.
12. Dificultate ridicată
Descompune numărul 360 în produs de numere prime, apoi calculează câți factori primi diferiți are.
Vezi răspunsul
360 = 23 × 32 × 5; are 3 factori primi diferiți (2, 3 și 5).
13. Dificultate ridicată
Un număr compus are exact 4 divizori, iar descompunerea sa în produs de numere prime este p × q, unde p și q sunt numere prime diferite. Găsește un astfel de număr mai mic decât 30 și scrie descompunerea lui.
Vezi răspunsul
De exemplu 6 = 2 × 3, cu divizorii 1, 2, 3, 6. Merg și 10, 14, 15, 21, 22, 26.
14. Dificultate ridicată
Numărul de forma 2 × 5 × a este egal cu 70, unde a este un număr necunoscut. Află valoarea lui a și stabilește dacă este număr prim sau compus.
Vezi răspunsul
a = 7 (2 × 5 × a = 10 × a = 70); 7 este număr prim.
15. Dificultate ridicată
Într-o cutie sunt un număr de bomboane egal cu produsul primelor 4 numere prime. Câte bomboane sunt în cutie? Descompune apoi acest număr pentru a verifica rezultatul.