CMMDC și CMMMC

CMMDC este cel mai mare număr care divide toate numerele date, iar CMMMC este cel mai mic multiplu pozitiv comun.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Divizori comuni și CMMDC

Divizorii comuni a două numere sunt divizorii pe care îi au amândouă în același timp, iar cel mai mare dintre ei se numește cel mai mare divizor comun, pe scurt CMMDC.

Prima metodă este să scrii divizorii fiecărui număr. Divizorii lui 12 sunt {1, 2, 3, 4, 6, 12}, ai lui 18 sunt {1, 2, 3, 6, 9, 18}, divizorii comuni sunt {1, 2, 3, 6}, deci CMMDC(12, 18) = 6.

A doua metodă, mai rapidă la numere mari, folosește descompunerea în factori primi: înmulțești doar factorii primi comuni, fiecare luat la puterea cea mai mică.

CMMDC(12, 18) = 6

24 = 2³ × 3 și 36 = 2² × 3² → CMMDC = 2² × 3 = 12

CMMDC nu poate fi mai mare decât cel mai mic dintre numere.
La CMMDC se iau numai factorii care apar în ambele descompuneri.

Exemplu rezolvat

Calculează CMMDC(24, 36) prin descompunere în factori primi.

1.24 = 2 × 2 × 2 × 3, iar 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
2.Factorii comuni sunt 2 (de cel mult două ori în ambele) și 3 (o dată în ambele).
3.CMMDC(24, 36) = 2 × 2 × 3 = 12.

Multipli comuni și CMMMC

Multiplii comuni a două numere sunt multiplii pe care îi au amândouă, iar cel mai mic dintre ei, diferit de 0, se numește cel mai mic multiplu comun, pe scurt CMMMC.

Multiplii lui 4 sunt {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, …}, ai lui 6 sunt {0, 6, 12, 18, 24, …}, deci primul multiplu comun nenul este 12: CMMMC(4, 6) = 12.

Prin descompunere în factori primi, la CMMMC se iau toți factorii care apar, comuni și necomuni, fiecare la puterea cea mai mare.

CMMMC(4, 6) = 12

8 = 2³ și 12 = 2² × 3 → CMMMC = 2³ × 3 = 24

CMMMC este cel puțin egal cu cel mai mare dintre numere.
Pentru trei numere se procedează la fel, luând factorii la puterea cea mai mare dintre toate.

Exemplu rezolvat

Calculează CMMMC(8, 12) prin descompunere în factori primi.

1.8 = 2 × 2 × 2, iar 12 = 2 × 2 × 3.
2.Factorul 2 apare de cel mult trei ori, iar factorul 3 o singură dată.
3.CMMMC(8, 12) = 2 × 2 × 2 × 3 = 24.

Legătura dintre CMMDC și CMMMC

Pentru orice două numere naturale nenule, produsul celui mai mare divizor comun cu cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul numerelor. Dacă știi trei dintre aceste valori, o afli pe a patra fără să mai descompui nimic.

Când CMMDC-ul a două numere este 1, singurul lor divizor comun este 1 și spunem că numerele sunt prime între ele. Atunci CMMMC-ul lor este chiar produsul lor.

CMMDC(a, b) × CMMMC(a, b) = a × b

CMMDC(7, 10) = 1 → CMMMC(7, 10) = 70

Numere prime între ele nu înseamnă numere prime: 8 și 9 sunt prime între ele, deși niciunul nu e prim.
Relația funcționează doar pentru două numere, nu pentru trei.

Exemplu rezolvat

Află CMMMC(15, 20), știind că CMMDC(15, 20) = 5.

1.Folosim relația CMMDC × CMMMC = 15 × 20 = 300.
2.Împărțim produsul la CMMDC: 300 : 5 = 60.
3.Deci CMMMC(15, 20) = 60.

Probleme practice: când folosești fiecare

Multe probleme nu spun direct ce să calculezi. Regula practică: dacă împarți o cantitate în grupuri identice cât mai mari, folosești CMMDC; dacă aștepți momentul în care două lucruri care se repetă se întâmplă din nou împreună, folosești CMMMC.

„Câte pachete identice pot face din 24 de mere și 36 de pere?” cere CMMDC, fiindcă numărul de pachete trebuie să dividă ambele cantități. „După câte secunde clipesc iar împreună două becuri?” cere CMMMC, fiindcă momentul trebuie să fie multiplu pentru amândouă.

pachete identice, cât mai multe → CMMDC

se întâmplă iar împreună → CMMMC

Întreabă-te dacă rezultatul trebuie să încapă în numere (CMMDC) sau să le depășească (CMMMC).
La probleme cu pachete, împarte apoi fiecare cantitate la CMMDC ca să afli conținutul unui pachet.

Exemplu rezolvat

Un fermier are 60 de mere și 84 de pere și vrea cât mai multe coșuri identice, fără resturi. Câte coșuri poate face?

1.Numărul de coșuri trebuie să dividă și 60, și 84, deci este CMMDC(60, 84).
2.60 = 2² × 3 × 5 și 84 = 2² × 3 × 7, deci CMMDC = 2² × 3 = 12.
3.Se pot face 12 coșuri, fiecare cu 60 : 12 = 5 mere și 84 : 12 = 7 pere.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Scrie divizorii comuni ai numerelor 10 și 15.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 și 5
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează CMMDC(12, 18), scriind mai întâi divizorii fiecărui număr.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
D₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, D₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}; CMMDC(12, 18) = 6.
Ex. 3Dificultate redusă
Scrie primii 4 multipli comuni ai numerelor 2 și 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10, 20, 30, 40 (dacă numeri și 0: 0, 10, 20, 30).
Ex. 4Dificultate redusă
Calculează CMMMC(4, 7), scriind mai întâi multiplii fiecărui număr.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M₄: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, …; M₇: 7, 14, 21, 28, …; CMMMC(4, 7) = 28.
Ex. 5Dificultate redusă
Descompune numerele 16 și 24 în produs de numere prime.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 = 2⁴; 24 = 2³ × 3.
Ex. 6Dificultate medie
Calculează CMMDC(42, 56), folosind descompunerea în factori primi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
42 = 2 × 3 × 7, 56 = 2³ × 7; CMMDC = 2 × 7 = 14.
Ex. 7Dificultate medie
Calculează CMMMC(8, 10), folosind descompunerea în factori primi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 = 2³, 10 = 2 × 5; CMMMC = 2³ × 5 = 40.
Ex. 8Dificultate medie
Află CMMDC și CMMMC ale numerelor 18 și 30.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5; CMMDC = 6, CMMMC = 90.
Ex. 9Dificultate medie
Două numere au CMMDC egal cu 1. Ce poți spune despre divizorii lor comuni?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Singurul lor divizor comun este 1 (numerele sunt prime între ele).
Ex. 10Dificultate medie
Calculează CMMDC(60, 90) și CMMMC(60, 90).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
60 = 2² × 3 × 5, 90 = 2 × 3² × 5; CMMDC = 30, CMMMC = 180.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un florar are 45 de trandafiri și 63 de lalele. Vrea să facă un număr maxim de buchete identice, astfel încât fiecare buchet să conțină același număr de trandafiri și același număr de lalele, fără să rămână flori nefolosite. Câte buchete poate face, și câte flori de fiecare fel conține un buchet?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 buchete (CMMDC(45, 63) = 9); fiecare are 5 trandafiri și 7 lalele.
Ex. 12Dificultate ridicată
Două autobuze pleacă simultan din aceeași stație. Primul se întoarce în stație la fiecare 15 minute, iar al doilea la fiecare 20 de minute. După câte minute vor pleca din nou simultan din stație?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
După 60 de minute (CMMMC(15, 20) = 60).
Ex. 13Dificultate ridicată
Suma a două numere este 72, iar CMMDC-ul lor este 12. Știind că fiecare număr este un multiplu al lui 12, află cele două numere.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 și 60. Cu 24 și 48 CMMDC ar fi 24, iar cu 36 și 36 ar fi 36.
Ex. 14Dificultate ridicată
Calculează CMMDC(a, b) și CMMMC(a, b), unde a = 2³ × 3 × 5 și b = 2 × 3² × 5², scriind rezultatele tot ca produs de factori primi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 120, b = 450; CMMDC = 2 × 3 × 5 = 30; CMMMC = 2³ × 3² × 5² = 1.800.
Ex. 15Dificultate ridicată
Trei cicliști pornesc simultan de pe aceeași linie. Primul parcurge un tur al pistei în 4 minute, al doilea în 9 minute, iar al treilea în 12 minute. După câte minute se vor întâlni din nou toți trei în punctul de plecare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
După 36 de minute (CMMMC(4, 9, 12) = 36).