Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Ce este o mulțime și cum o notăm
O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate, numite elementele mulțimii. „Bine determinate” înseamnă că, pentru orice obiect, poți spune sigur dacă face parte din mulțime sau nu.
În jurul tău sunt mulțimi peste tot: elevii din clasa ta, zilele săptămânii, fructele dintr-un coș, numerele 1, 2, 3, 4, 5. În schimb, „elevii înalți din clasă” nu este o mulțime: nu se știe de la ce înălțime începe „înalt”, deci nu poți decide sigur cine intră.
Mulțimea se notează cu o literă mare — A, B, C, M — iar elementele se scriu între acolade, despărțite prin virgulă. În A = {1, 2, 3, 4, 5}, litera A este numele mulțimii, iar 1, 2, 3, 4 și 5 sunt elementele ei.
🌍 În viața reală
O listă de cumpărături bine scrisă este o mulțime: știi exact ce intră în coș. „Ceva bun de mâncare” nu este, pentru că fiecare ar alege altceva.
🧮 De ținut minte
A = {1, 2, 3, 4, 5}
M = {luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică}
✓Numele mulțimii se scrie cu literă mare.
✓Elementele stau între acolade, despărțite prin virgulă.
✓O colecție fără o regulă clară nu este mulțime.
✏️Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie mulțimea Z a zilelor săptămânii care încep cu litera „m”.
2Păstrăm doar zilele care încep cu „m”: marți și miercuri.
3Scriem Z = {marți, miercuri}.
⚠️ Greșeală frecventă
Greșit: A = (1, 2, 3) sau a = {1, 2, 3}.
De ce: Mulțimea are numele scris cu literă mare, iar elementele stau între acolade { }. Parantezele rotunde nu notează o mulțime.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Mulțimi: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Pornești de la zero și ajungi la întrebările cu mulțimi de la Evaluarea Națională. Fiecare parte are o idee mică, un exemplu animat sau desenat, o greșeală de evitat și trei exerciții.
Ce este o mulțime și cum o notăm
O mulțime este o colecție de obiecte bine determinate, numite elementele mulțimii. „Bine determinate” înseamnă că, pentru orice obiect, poți spune sigur dacă face parte din mulțime sau nu.
În jurul tău sunt mulțimi peste tot: elevii din clasa ta, zilele săptămânii, fructele dintr-un coș, numerele 1, 2, 3, 4, 5. În schimb, „elevii înalți din clasă” nu este o mulțime: nu se știe de la ce înălțime începe „înalt”, deci nu poți decide sigur cine intră.
Mulțimea se notează cu o literă mare — A, B, C, M — iar elementele se scriu între acolade, despărțite prin virgulă. În A = {1, 2, 3, 4, 5}, litera A este numele mulțimii, iar 1, 2, 3, 4 și 5 sunt elementele ei.
A = {1, 2, 3, 4, 5}
M = {luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică}
•Numele mulțimii se scrie cu literă mare.
•Elementele stau între acolade, despărțite prin virgulă.
•O colecție fără o regulă clară nu este mulțime.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie mulțimea Z a zilelor săptămânii care încep cu litera „m”.
Păstrăm doar zilele care încep cu „m”: marți și miercuri.
Scriem Z = {marți, miercuri}.
Greșeală frecventă:A = (1, 2, 3) sau a = {1, 2, 3}.Mulțimea are numele scris cu literă mare, iar elementele stau între acolade { }. Parantezele rotunde nu notează o mulțime.
Scrierea corectă: literă mare, acolade, fără repetări
Când scrii o mulțime, verifică trei lucruri: numele este o literă mare (A, B, M), elementele stau între acolade { } și sunt despărțite prin virgulă, iar fiecare element apare o singură dată.
Ordinea elementelor nu contează: {1, 2, 3} și {3, 1, 2} sunt aceeași mulțime. Contează doar ce elemente are.
Atenție la litere: ă, â și a sunt litere diferite. Mulțimea literelor cuvântului „mână” are elementele m, â, n și ă.
•Literă mare pentru nume, acolade pentru elemente.
•Un element repetat se scrie o singură dată.
•Ordinea elementelor nu schimbă mulțimea.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie corect mulțimea C a cifrelor numărului 30 330.
Cifrele numărului sunt 3, 0, 3, 3 și 0.
Păstrăm fiecare cifră o singură dată: 3 și 0.
C = {0, 3}; la fel de corect este C = {3, 0}, pentru că ordinea nu contează.
Greșeală frecventă:B = {2, 5, 5, 8}.5 apare de două ori. Într-o mulțime fiecare element se scrie o singură dată: B = {2, 5, 8}.
Apartenența: ∈ și ∉
Ca să arăți că un element face parte dintr-o mulțime, folosești simbolul ∈, care se citește „aparține”. Dacă elementul nu face parte din mulțime, folosești ∉, adică „nu aparține”.
Fie A = {1, 2, 3, 4, 5}. Scrierea 3 ∈ A este adevărată, pentru că 3 se află printre elementele lui A. Și 7 ∉ A este adevărată, fiindcă 7 nu apare în mulțime. În schimb, 7 ∈ A este falsă.
3 ∈ A se citește „3 aparține mulțimii A”
7 ∉ A se citește „7 nu aparține mulțimii A”
•Simbolul se scrie între element și mulțime, în această ordine.
•Ca să decizi, cauți elementul printre cele scrise între acolade.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Fie B = {0, 5, 10}. Completează cu ∈ sau ∉: 5 … B și 7 … B.
Căutăm 5 printre elementele lui B: apare, deci 5 ∈ B.
Căutăm 7: elementele sunt 0, 5 și 10, iar 7 nu e printre ele.
Prin urmare, 7 ∉ B.
Greșeală frecventă:Scrii A ∈ 3 în loc de 3 ∈ A.Simbolul stă între element și mulțime, în ordinea element ∈ mulțime: „3 aparține lui A”.
Enumerare și proprietate caracteristică
O mulțime se poate scrie în două feluri. Prin enumerare scrii toate elementele, unul câte unul: A = {2, 4, 6, 8, 10}.
Prin proprietate caracteristică descrii regula pe care o îndeplinesc toate elementele: A = {x | x este număr par, 2 ≤ x ≤ 10}. Bara „|” se citește „cu proprietatea că”, deci rândul se citește „A este mulțimea numerelor x, cu proprietatea că x este par și cuprins între 2 și 10”.
Cele două scrieri descriu aceeași mulțime. Când primești o proprietate, treci prin numere pe rând și le păstrezi doar pe cele care o respectă.
prin enumerare: A = {2, 4, 6, 8, 10}
prin proprietate: A = {x | x este număr par, 2 ≤ x ≤ 10}
•Semnul ≤ include capătul, iar < nu îl include.
•Verifică fiecare număr înainte să îl treci în mulțime.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie prin enumerare mulțimea B = {x | x este număr natural impar, x < 10} și află câte elemente are.
Condiția cere numere naturale impare, mai mici decât 10.
Numerele naturale mai mici decât 10 sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Dintre ele păstrăm doar impare: 1, 3, 5, 7, 9.
Scriem B = {1, 3, 5, 7, 9}, deci B are 5 elemente.
Greșeală frecventă:La {x | x natural, x < 6} pui și pe 6.Semnul < nu include capătul: 6 < 6 este fals. Doar semnul ≤ include capătul.
A treia scriere: diagrama
O mulțime se poate și desena. Tragi o linie închisă, ca un oval, scrii numele mulțimii lângă ea și pui fiecare element înăuntru. Ce nu aparține mulțimii stă în afara liniei.
Aceeași mulțime are deci trei scrieri: prin enumerare (A = {0, 2, 4}), prin proprietate caracteristică (A = {x | x este cifră pară, x < 5}) și prin diagramă. Toate trei spun același lucru.
•În interiorul diagramei: elementele (∈).
•În afară: ce nu aparține mulțimii (∉).
•Enumerare, proprietate sau diagramă: aceeași mulțime.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Desenează mulțimea M = {x | x este cifră impară, x < 8} și spune unde stă 9.
Cifrele impare mai mici decât 8 sunt 1, 3, 5 și 7.
Le scriem în interiorul ovalului cu numele M: M = {1, 3, 5, 7}.
9 este impar, dar nu este mai mic decât 8, deci stă în afară: 9 ∉ M.
Greșeală frecventă:Scrii în diagrama lui M și numerele care nu respectă regula, „ca să fie toate”.În interior stau doar elementele mulțimii. Un număr din interior înseamnă ∈; dacă nu respectă regula, îl pui în afară, ca ∉.
Mulțimea numerelor naturale: ℕ și ℕ*, finit și infinit
Numerele naturale formează o mulțime cu nume propriu: ℕ = {0, 1, 2, 3, …}. Cele trei puncte arată că numerele nu se termină: după orice număr natural urmează altul.
ℕ* (citim „N stelat”) înseamnă numerele naturale fără 0: ℕ* = {1, 2, 3, …}. Steluța scoate doar pe zero.
O mulțime cu un număr limitat de elemente este finită: cifrele, literele unui cuvânt, zilele săptămânii. Una ale cărei elemente nu se termină este infinită: ℕ, numerele pare, numerele care se termină în 0.
Scrierea x ∈ ℕ dintr-o proprietate spune de unde iei candidații: din numerele naturale, începând cu 0.
•ℕ începe cu 0; ℕ* începe cu 1.
•Finită: poți număra toate elementele. Infinită: elementele nu se termină.
•Mulțimea vidă și orice mulțime scrisă complet prin enumerare sunt finite.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie prin enumerare A = {x ∈ ℕ | x ≤ 3} și B = {x ∈ ℕ* | x ≤ 3}.
Pentru A pornim de la 0: 0, 1, 2 și 3 respectă x ≤ 3, deci A = {0, 1, 2, 3}.
Pentru B, 0 nu este în ℕ*, deci pornim de la 1.
B = {1, 2, 3}: are cu un element mai puțin decât A, pe 0.
Greșeală frecventă:Pentru {x ∈ ℕ | x < 4} începi cu 1 și scrii {1, 2, 3}.0 este număr natural, deci intră: {0, 1, 2, 3}. Doar ℕ* începe cu 1.
Mulțimea vidă
Mulțimea vidă este mulțimea care nu are niciun element. Se notează cu ∅ sau cu { }.
Apare din condiții pe care nu le îndeplinește nimic. Mulțimea elevilor din clasă mai înalți de 3 metri este vidă, pentru că nu există niciun elev care să respecte condiția.
∅ = { }
card(∅) = 0
•∅ nu este același lucru cu {0}: mulțimea {0} are un element, numărul 0.
•Nici {∅} nu este mulțimea vidă: are un element, chiar mulțimea vidă.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie mulțimea M = {x | x este număr natural, 7 < x < 8}.
„7 < x < 8” cere un număr mai mare decât 7 și mai mic decât 8.
După 7 urmează direct 8, deci niciun număr natural nu stă între ele.
Mulțimea nu are elemente: M = ∅.
Greșeală frecventă:{0} este mulțimea vidă.{0} are un element, numărul 0. Mulțimea vidă nu are niciun element și se scrie ∅ sau { }.
Cardinalul unei mulțimi
Cardinalul unei mulțimi este numărul elementelor ei. Se notează card(A) sau |A|.
Fiecare element se numără o singură dată, chiar dacă apare scris de mai multe ori. În {1, 1, 2, 3, 3} sunt doar trei elemente diferite: 1, 2 și 3.
A = {1, 2, 3, 4, 5} → card(A) = 5
card(∅) = 0
•Numeri elementele diferite, nu de câte ori sunt scrise.
•La literele dintr-un cuvânt, o literă repetată se numără o singură dată.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Află card(L), unde L este mulțimea literelor din cuvântul ACASA.
Literele cuvântului sunt A, C, A, S, A.
Păstrăm fiecare literă o singură dată: A, C, S.
Mulțimea are 3 elemente, deci card(L) = 3.
Greșeală frecventă:card({7, 7, 8}) = 3, pentru că sunt scrise trei numere.Numeri elementele diferite: 7 și 8. Un element scris de două ori se numără o singură dată, deci cardinalul este 2.
Mulțimi construite cu o regulă: încerci pe rând și te oprești
Uneori elementele se obțin dintr-o altă mulțime. Dacă A = {1, 2, 3} și B = {2 · a | a ∈ A}, iei fiecare element a din A și calculezi 2 · a: obții 2, 4 și 6. Deci B = {2, 4, 6}.
Alteori regula conține un calcul: C = {n ∈ ℕ | 3 · n < 14}. Încerci n = 0, 1, 2, … pe rând. Când condiția devine falsă și rezultatele doar cresc de acolo înainte, te oprești: niciun n mai mare nu mai intră.
•„a ∈ A” spune de unde iei valorile: doar din A.
•Încerci candidații în ordine și scrii pentru fiecare dacă respectă regula.
•Te oprești când rezultatul a depășit limita și de acolo doar crește.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Scrie C = {n ∈ ℕ | 3 · n < 14} și află card(C).
n = 0, 1, 2, 3, 4 dau 0, 3, 6, 9, 12: toate mai mici decât 14.
n = 5 dă 15, care nu este mai mic decât 14; de aici produsele doar cresc, deci ne oprim.
C = {0, 1, 2, 3, 4}, iar card(C) = 5.
Greșeală frecventă:La B = {2 · a | a ∈ A}, cu A = {1, 2, 3}, scrii B = {1, 2, 3, 2, 4, 6}.B conține doar rezultatele regulii, 2 · a: B = {2, 4, 6}. Elementele lui A arată doar de unde pornești.
Recapitulare: descrii, verifici și numeri
Orice exercițiu cu mulțimi urmează aceiași pași. Citești regula și stabilești ce obiecte sunt candidați: numere, litere, zile.
Verifici fiecare candidat. Scrii mulțimea cu literă mare și acolade, iar la final numeri elementele diferite.
•Regula trebuie să fie clară: altfel colecția nu este mulțime.
•∈ pentru „aparține”, ∉ pentru „nu aparține”.
•< exclude capătul, ≤ îl include.
•Fiecare element se scrie și se numără o singură dată.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Fie D mulțimea numerelor de două cifre care au cifra unităților 5. Scrie D și află card(D).
Un număr de două cifre are cifra zecilor de la 1 la 9; cifra unităților este 5.
D = {15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95}.
Cifra zecilor ia 9 valori, deci card(D) = 9.
Greșeală frecventă:La numerele de două cifre cu cifra unităților 5 numeri și 05.05 este de fapt 5, un număr cu o singură cifră. Un număr de două cifre începe cu o cifră diferită de 0.
Ca la Evaluarea Națională: întrebări scurte cu mulțimi
La Evaluarea Națională, mulțimile apar în Subiectul I, la întrebări de 5 puncte: cel mai mare sau cel mai mic element cu o proprietate, numărul de elemente al unei mulțimi scrise cu x ∈ ℕ, ori scrierea prin enumerare.
Lucrezi la fel ca în lecție: scrii mulțimea prin enumerare, verifici fiecare element și abia apoi răspunzi exact la întrebare: cel mai mare, cel mai mic sau câte elemente are.
•Scrie întâi mulțimea prin enumerare, chiar dacă e dată printr-o proprietate.
•Citește cerința de două ori: „cel mai mare impar” nu înseamnă „cel mai mare”.
•La „câte elemente” numeri elementele diferite.
Exemplu rezolvat, cu alte date
Cel mai mare număr impar din mulțimea M = {2, 5, 8, 9, 12} este …
Numerele impare din M sunt 5 și 9.
Dintre ele, cel mai mare este 9.
Atenție: 12 este cel mai mare element al lui M, dar este par.
Greșeală frecventă:La „cel mai mare număr impar din M” răspunzi cu cel mai mare element al lui M, chiar dacă e par.Cerința are două condiții: impar și cel mai mare. Întâi păstrezi doar numerele impare, apoi alegi cel mai mare dintre ele.
Exerciții rezolvate din lecție (33)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Fie A = {2, 4, 6, 8}. Care afirmație este adevărată?
Vezi rezolvarea
Elementele lui A sunt 2, 4, 6 și 8.
Numărul 6 apare în mulțime.
Prin urmare, 6 ∈ A.
Răspuns: 6 ∈ A
Exercițiul 2
Află card({a, e, i, o, u}).
Vezi rezolvarea
Mulțimea conține a, e, i, o și u.
Sunt 5 elemente distincte.
Cardinalul este 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 3
Care dintre mulțimi este vidă?
Vezi rezolvarea
Nu există niciun număr natural strict mai mare decât 4 și strict mai mic decât 5.
Mulțimea nu are elemente.
Ea este mulțimea vidă.
Răspuns: Numerele naturale dintre 4 și 5
Exercițiul 4
Scrie cardinalul mulțimii {1, 1, 2, 3, 3}.
Vezi rezolvarea
Elementele distincte sunt 1, 2 și 3.
Repetițiile nu creează elemente noi.
Cardinalul este 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 5
Mulțimea numerelor naturale pare mai mici decât 7 este:
Vezi rezolvarea
Numerele naturale pare sunt 0, 2, 4, 6, ...
Păstrăm doar numerele mai mici decât 7.
Rezultă {0, 2, 4, 6}.
Răspuns: {0, 2, 4, 6}
Exercițiul 6
Fie B = {3, 6, 9}. Care afirmație este falsă?
Vezi rezolvarea
B are elementele 3, 6 și 9.
4 nu apare printre ele, deci 4 ∉ B.
Afirmația falsă este „4 ∈ B”.
Răspuns: 4 ∈ B
Exercițiul 7
Câte elemente are mulțimea literelor din cuvântul CARTE?
Vezi rezolvarea
Literele sunt C, A, R, T, E.
Toate sunt diferite.
Mulțimea are 5 elemente.
Răspuns: 5
Exercițiul 8
Mulțimea A = {x | x este număr natural, 2 ≤ x < 6}, scrisă prin enumerare, este:
Vezi rezolvarea
Semnul ≤ înseamnă că 2 face parte din mulțime.
Semnul < înseamnă că 6 nu face parte din mulțime.
A = {2, 3, 4, 5}.
Răspuns: {2, 3, 4, 5}
Exercițiul 9
Care mulțime are exact 3 elemente?
Vezi rezolvarea
{0} are un element, iar ∅ niciunul.
{a, b, a, b} are doar 2 elemente diferite.
{2, 4, 6} are exact 3 elemente.
Răspuns: {2, 4, 6}
Exercițiul 10
Câte elemente are mulțimea literelor din cuvântul MATEMATICA?
Vezi rezolvarea
Literele sunt M, A, T, E, M, A, T, I, C, A.
Păstrăm fiecare literă o singură dată: M, A, T, E, I, C.
Mulțimea are 6 elemente.
Răspuns: 6
Exercițiul 11
Câte elemente are mulțimea {x | x este număr natural, 10 < x < 20}?
Vezi rezolvarea
Numerele sunt 11, 12, …, 19.
De la 11 la 19 sunt 19 − 11 + 1 = 9 numere.
Mulțimea are 9 elemente.
Răspuns: 9
Exercițiul 12
Câte elemente are mulțimea numerelor de două cifre care au cifra zecilor 7?
Vezi rezolvarea
Numerele sunt 70, 71, …, 79.
Cifra unităților ia 10 valori.
Mulțimea are 10 elemente.
Răspuns: 10
Exercițiul 13
Care dintre următoarele NU este o mulțime?
Vezi rezolvarea
Pentru celelalte trei poți spune sigur, despre orice, dacă face parte sau nu.
La „elevii înalți” nu se știe de la ce înălțime începe „înalt”.
Fără o regulă clară, colecția nu este mulțime.
Răspuns: Elevii înalți din clasă
Exercițiul 14
Cum se scrie corect mulțimea A formată din literele a, b și c?
Vezi rezolvarea
Numele mulțimii se scrie cu literă mare, deci „m =” nu este corect.
Elementele se scriu între acolade, nu între paranteze rotunde și nici fără ele.
Scrierea corectă este A = {a, b, c}.
Răspuns: A = {a, b, c}
Exercițiul 15
Cum se notează mulțimea vidă?
Vezi rezolvarea
Mulțimea vidă se notează ∅ sau { }.
{0} are un element, numărul 0, iar 0 este doar un număr, nu o mulțime.
{∅} are și ea un element: chiar mulțimea vidă.
Răspuns: ∅ sau { }
Exercițiul 16
Mulțimea L a literelor din cuvântul LUNA se scrie:
Vezi rezolvarea
Elementele sunt literele cuvântului: L, U, N și A.
Numele mulțimii este litera mare L, iar elementele stau între acolade.
Scrierea corectă este L = {L, U, N, A}.
Răspuns: L = {L, U, N, A}
Exercițiul 17
Fie C mulțimea cifrelor numărului 2026. Care afirmație este adevărată?
Vezi rezolvarea
Cifrele numărului 2026 sunt 2, 0, 2 și 6.
În mulțime fiecare cifră apare o singură dată: C = {0, 2, 6}.
Prin urmare 0 ∈ C, iar 1 ∉ C.
Răspuns: 0 ∈ C
Exercițiul 18
Câte elemente are mulțimea numerelor naturale pare cuprinse strict între 6 și 8?
Vezi rezolvarea
„Strict între 6 și 8” înseamnă mai mare decât 6 și mai mic decât 8: rămâne doar 7.
7 este impar, deci nu intră în mulțime.
Mulțimea nu are niciun element: este mulțimea vidă, cu 0 elemente.
Răspuns: 0
Exercițiul 19
Care mulțime este scrisă corect?
Vezi rezolvarea
Numele unei mulțimi este o literă mare.
Elementele stau între acolade și se scriu o singură dată.
Doar D = {1, 2, 7} respectă toate regulile.
Răspuns: D = {1, 2, 7}
Exercițiul 20
Mulțimea cifrelor numărului 40 440 este:
Vezi rezolvarea
Cifrele numărului sunt 4, 0, 4, 4 și 0.
Fiecare cifră se scrie o singură dată.
Mulțimea cifrelor este {0, 4}.
Răspuns: {0, 4}
Exercițiul 21
Care afirmație despre mulțimile A = {1, 2, 3} și B = {3, 2, 1} este adevărată?
Vezi rezolvarea
A are elementele 1, 2 și 3.
B are tot 1, 2 și 3, scrise în altă ordine.
Mulțimile cu aceleași elemente sunt egale: A = B.
Răspuns: A = B
Exercițiul 22
În desen este diagrama mulțimii A. Cum se scrie A prin enumerare?
Vezi rezolvarea
În interiorul diagramei sunt 2, 5 și 8.
3 este în afară, deci 3 ∉ A.
A = {2, 5, 8}.
Răspuns: A = {2, 5, 8}
Exercițiul 23
Mulțimea B = {x | x este număr natural, 3 < x ≤ 7} se desenează ca diagramă. Ce numere scriem în interior?
Vezi rezolvarea
3 < 3 este fals, deci 3 nu intră.
7 ≤ 7 este adevărat, deci 7 intră.
În interiorul diagramei scriem 4, 5, 6 și 7.
Răspuns: 4, 5, 6 și 7
Exercițiul 24
Diagrama mulțimii C are în interior literele a, e și i, iar litera m este desenată în afară. Care afirmație este adevărată?
Vezi rezolvarea
Literele a, e și i sunt în interior: C = {a, e, i}.
Litera m este în afară.
Deci m ∉ C.
Răspuns: m ∉ C
Exercițiul 25
Care este cel mai mic element al mulțimii ℕ*?
Vezi rezolvarea
ℕ = {0, 1, 2, 3, …}.
Steluța scoate doar pe 0: ℕ* = {1, 2, 3, …}.
Cel mai mic element al lui ℕ* este 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 26
Câte elemente are mulțimea A = {x ∈ ℕ | x < 5}?
Vezi rezolvarea
x ∈ ℕ: pornim de la 0.
x < 5: ne oprim la 4.
A = {0, 1, 2, 3, 4} are 5 elemente.
Răspuns: 5
Exercițiul 27
Care dintre mulțimi este infinită?
Vezi rezolvarea
O mulțime este infinită dacă elementele ei nu se termină.
Cifrele, literele unui cuvânt și numerele mai mici decât 100 se pot număra: sunt mulțimi finite.
Numerele pare 0, 2, 4, 6, … nu se termină: mulțimea lor este infinită.
Răspuns: Numerele naturale pare
Exercițiul 28
Fie A = {1, 2, 3} și B = {a + 4 | a ∈ A}. Mulțimea B este:
Vezi rezolvarea
Luăm pe rând a = 1, 2, 3 din A.
Calculăm a + 4: 5, 6 și 7.
B = {5, 6, 7}.
Răspuns: {5, 6, 7}
Exercițiul 29
Câte elemente are mulțimea D = {n ∈ ℕ* | n · n < 30}?
Vezi rezolvarea
Pornim de la 1, pentru că n ∈ ℕ*.
1, 4, 9, 16, 25 sunt mai mici decât 30, dar 6 · 6 = 36 nu mai este.
D = {1, 2, 3, 4, 5} are 5 elemente.
Răspuns: 5
Exercițiul 30
Fie E = {n ∈ ℕ | 2 · n + 1 ≤ 9}. Mulțimea E este:
Vezi rezolvarea
Pentru n = 0, 1, 2, 3, 4 obținem 1, 3, 5, 7, 9, toate cel mult 9.
Pentru n = 5 obținem 11 > 9, iar mai departe valorile doar cresc.
E = {0, 1, 2, 3, 4}.
Răspuns: {0, 1, 2, 3, 4}
Exercițiul 31
Cel mai mic număr par din mulțimea A = {3, 7, 10, 4, 15} este:
Vezi rezolvarea
Numerele pare din A sunt 10 și 4.
Dintre ele, cel mai mic este 4.
Atenție: 3 este cel mai mic element al lui A, dar este impar.
Răspuns: 4
Exercițiul 32
Numărul de elemente ale mulțimii M = {x ∈ ℕ | 2 ≤ x < 8} este:
Vezi rezolvarea
2 ≤ 2 este adevărat, deci 2 ∈ M.
8 < 8 este fals, deci 8 ∉ M.
M = {2, 3, 4, 5, 6, 7} are 6 elemente.
Răspuns: 6
Exercițiul 33
Care este scrierea prin enumerare a mulțimii B = {x ∈ ℕ* | x ≤ 4}?
Vezi rezolvarea
x ∈ ℕ*: pornim de la 1.
x ≤ 4: și 4 intră.
B = {1, 2, 3, 4}.
Răspuns: B = {1, 2, 3, 4}
Fișă de consolidare din material (12)
1. Dificultate redusă
Scrie mulțimea vocalelor din alfabet.
Vezi răspunsul
{a, ă, â, e, i, î, o, u} (vocalele alfabetului românesc)
3. Dificultate redusă
Câte elemente are mulțimea C = {a, b, c, d, e}? Scrie card(C).
Vezi răspunsul
card(C) = 5
4. Dificultate redusă
Este mulțimea D = {x | x este ziua din săptămână care începe cu litera "T"} o mulțime vidă? Justifică.
Vezi răspunsul
Da, D = ∅: nicio zi a săptămânii (luni, marți, miercuri, joi, vineri, sâmbătă, duminică) nu începe cu litera „T”.
5. Dificultate redusă
Scrie mulțimea F = {1, 2, 3, 4, 5} prin enumerare și precizează câte elemente are.
Vezi răspunsul
F = {1, 2, 3, 4, 5}; are 5 elemente.
6. Dificultate medie
Scrie prin enumerare mulțimea E = {x | x este număr natural par, x < 12}.
Vezi răspunsul
E = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
7. Dificultate medie
Scrie prin proprietate caracteristică mulțimea G = {5, 10, 15, 20, 25}.
Vezi răspunsul
G = {x | x = 5 · k, k ∈ {1, 2, 3, 4, 5}}, adică multiplii nenuli ai lui 5 mai mici sau egali cu 25.
10. Dificultate medie
O mulțime M conține primele 6 numere naturale impare.
Vezi răspunsul
M = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
11. Dificultate ridicată
Scrie două moduri diferite (enumerare și proprietate caracteristică) prin care poți defini mulțimea numerelor naturale mai mici decât 5.
Vezi răspunsul
Enumerare: {0, 1, 2, 3, 4}. Proprietate caracteristică: {x | x este număr natural, x < 5}.
12. Dificultate ridicată
Fie mulțimea N = {x | x este număr natural, 3 ≤ x ≤ 15, x se obține înmulțind 3 cu un număr natural}.
Vezi răspunsul
N = {3, 6, 9, 12, 15}
13. Dificultate ridicată
Un elev afirmă: "Mulțimea zilelor săptămânii care se termină cu litera 'a' este o mulțime vidă." Este afirmația adevărată sau falsă? Scrie mulțimea respectivă și justifică răspunsul.
Vezi răspunsul
Adevărată: nicio zi nu se termină cu litera „a” (sâmbătă și duminică se termină cu „ă”), deci mulțimea este ∅.
14. Dificultate ridicată
Scrie o mulțime P, prin proprietate caracteristică, care să aibă exact 4 elemente, formată din numere naturale pare mai mici decât 20. (Există mai multe variante corecte — scrie una singură.)
Vezi răspunsul
De exemplu P = {x | x este număr natural par, 12 ≤ x < 20} = {12, 14, 16, 18}.
15. Dificultate ridicată
Fie mulțimea Q = {x | x este număr natural, x < 20, x se obține înmulțind 4 cu un număr natural}.