M2 · Științe⏱ 1 sesiune
T11

Teorie înainte de exerciții

Test final mixt 11 · M2 · Științe

Testul 11 din 11 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Răspunsurile scurte se verifică automat și acceptă forme numeric echivalente. La problemele cu demonstrație scrii rezolvarea, apoi o compari cu baremul.
1

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 124 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

De ținut minte

5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.
2

Ce se verifică în acest test

  • Progresii aritmetice
  • Geometrie analitică și vectori
  • Trigonometrie și geometrie
  • Derivate
  • Probabilități
  • Progresii geometrice
  • Numere complexe
  • Limite
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Matrice
  • Legi de compoziție
Verifică-te singur · cu răspunsuriItemii testului 11 · 32 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 350Progresii aritmetice · 4pM2 · Științe

    În progresia aritmetică cu a1 = 4, r = 5, determinați n dacă an = 54.

    Vezi răspunsul

    4 + 5(n − 1) = 54, deci n = 11.

  2. Ex. 351Geometrie analitică și vectori · 4pM2 · Științe

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1,2) și este paralelă cu dreapta 2x − y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este 2: y − 2 = 2(x − 1), adică y = 2x (2x − y = 0).

  3. Ex. 352Trigonometrie și geometrie · 5pM2 · Științe

    Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 5 și 12. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = 13

  4. Ex. 353Derivate · 3pM2 · Științe

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = -2(x)2 + 4.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −4x: crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, +∞); maximul este f(0) = 4.

  5. Ex. 354Probabilități · 4pM2 · Științe

    O urnă conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi răspunsul

    712

  6. Ex. 355Progresii geometrice · 3pM2 · Științe

    Într-o progresie geometrică, b2 = 12, b5 = 324. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q3 = 324 : 12 = 27, deci q = 3.

  7. Ex. 356Numere complexe · 5pM2 · Științe

    Calculați (-1 + 6i) + (4 − 2i).

    Vezi răspunsul

    3 + 4i

  8. Ex. 357Limite · 3pM2 · Științe

    Calculați limx→0 e−2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    −2

  9. Ex. 358Calcule, funcții și ecuații · 5pM2 · Științe

    Rezolvați ecuația 5x + 7 = 22.

    Vezi răspunsul

    5x = 15, deci x = 3.

  10. Ex. 360Matrice · 5pM2 · Științe

    Fie A = . Calculați 3A.

    Vezi răspunsul

    3A =

  11. Ex. 361Limite · 4pM2 · Științe

    Calculați limx→+∞ 6x2 + 53x2 − 2.

    Vezi răspunsul

    2

  12. Ex. 362Matrice · 3pM2 · Științe

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 10 și x − y = 4, deci x = 7, y = 3.

  13. Ex. 363Progresii aritmetice · 3pM2 · Științe

    Într-o progresie aritmetică, a2 = 5, a5 = 14. Calculați a10.

    Vezi răspunsul

    3r = 9, deci r = 3 și a1 = 2; a10 = 2 + 27 = 29.

  14. Ex. 364Progresii geometrice · 3pM2 · Științe

    Numerele pozitive 9, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi răspunsul

    x2 = 9 · 25 = 225, iar x > 0, deci x = 15.

  15. Ex. 365Numere complexe · 4pM2 · Științe

    Rezolvați ecuația (3 + i)z + (-2 + 2i) = 3 + 7i.

    Vezi răspunsul

    (3 + i)z = 5 + 5i, deci z = (5 + 5i)3 − i10 = 2 + i.

  16. Ex. 366Derivate · 2pM2 · Științe

    Folosind derivate, demonstrați că ln(1+x) ≤ x pentru orice x > −1.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x − ln(1 + x) are g′(x) = x1 + x, deci minimul pe (−1, ∞) este g(0) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică ln(1 + x) ≤ x.

  17. Ex. 367Probabilități · 3pM2 · Științe

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor să fie 5.

    Vezi răspunsul

    590 = 118 (14, 23, 32, 41, 50)

  18. Ex. 368Legi de compoziție · 3pM2 · Științe

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -1.

    Vezi răspunsul

    e = −a = −1, deci a = 1.

  19. Ex. 370Calcule, funcții și ecuații · 3pM2 · Științe

    Simplificați (x − 3)2 − (x + 3)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)2 − (x + 3)2 = −12x, deci expresia este −12.

  20. Ex. 371Trigonometrie și geometrie · 4pM2 · Științe

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 513, cos α = 1213. Calculați sin 2α.

    Vezi răspunsul

    sin 2α = 2 · (513) · (1213) = 120169

  21. Ex. 372Geometrie analitică și vectori · 4pM2 · Științe

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(3,-1) și este paralelă cu dreapta 2x + 3y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este −23: y + 1 = −(23)(x − 3), adică 2x + 3y − 3 = 0.

  22. Ex. 373Calcule, funcții și ecuații · 5pM2 · Științe

    Fie f(x) = 3x − 6. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 = 0, deci punctul (2, 0).

  23. Ex. 374Progresii aritmetice · 5pM2 · Științe

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 3, r = 2. Calculați a4.

    Vezi răspunsul

    a4 = 3 + 3 · 2 = 9

  24. Ex. 375Derivate · 4pM2 · Științe

    Fie f(x) = ex(x2 + 3x + 2). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = ex(x2 + 3x + 2) + ex(2x + 3) = ex(x2 + 5x + 5)

  25. Ex. 376Geometrie analitică și vectori · 5pM2 · Științe

    Determinați ecuația dreptei de pantă -1 care trece prin A(0,4).

    Vezi răspunsul

    y = −x + 4

  26. Ex. 377Progresii geometrice · 5pM2 · Științe

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b1 = 1, b5 = 16. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q4 = 16, iar q > 0, deci q = 2.

  27. Ex. 378Matrice · 4pM2 · Științe

    Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB =

  28. Ex. 379Numere complexe · 5pM2 · Științe

    Pentru z = 7 − 24i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 49 + 576 = 25; z̄ = 7 + 24i.

  29. Ex. 380Probabilități · 3pM2 · Științe

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    4590 = 12

  30. Ex. 381Limite · 3pM2 · Științe

    Calculați limx→0 sin(x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  31. Ex. 382Trigonometrie și geometrie · 3pM2 · Științe

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 7 și 14, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    7 · 14 : 2 = 49

  32. Ex. 384Legi de compoziție · 5pM2 · Științe

    Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 3. Rezolvați ecuația -1 ∘ x = 7.

    Vezi răspunsul

    −1 + x + 3 = 7, deci x = 5.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Test final mixt 11 · M2 · Științe: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Testul 11 din 11 al evaluării finale mixte. Itemii sunt intenționat amestecați, ca la examen: nu știi dinainte din ce capitol vine fiecare cerință.

Cum se lucrează testul

Testul conține 32 itemi, cu un punctaj total de 124 puncte. Punctajul fiecărui item reflectă cât de important și de frecvent este tiparul la Bacalaureat, nu cât de greu este exercițiul.

  • 5 puncte — tipar esențial, foarte probabil la examen
  • 4 puncte — cerință frecventă, cu un pas suplimentar
  • 3 puncte — consolidare, utilă pentru flexibilitate
  • 2 puncte — extensie, mai puțin frecventă
  • 1 punct — provocare cu prioritate redusă
  • La răspunsurile scurte poți introduce și o fracție echivalentă, de exemplu 2010 în loc de 2.
  • La itemii deschiși scrie pașii principali înainte să deschizi baremul.
  • Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
  • Metodă corectă, dar calcul greșit: aproximativ jumătate din punctaj.

Ce se verifică în acest test

  • Progresii aritmetice
  • Geometrie analitică și vectori
  • Trigonometrie și geometrie
  • Derivate
  • Probabilități
  • Progresii geometrice
  • Numere complexe
  • Limite
  • Calcule, funcții și ecuații
  • Matrice
  • Legi de compoziție

Exerciții rezolvate din lecție (32)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Itemul 350 · În progresia aritmetică cu a1 = 4, r = 5, determinați n dacă an = 54.

    Vezi rezolvarea
    1. n = 11.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 11

  2. Exercițiul 2

    Itemul 351 · Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1,2) și este paralelă cu dreapta 2x − y + 7 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația este 2x − y = 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

  3. Exercițiul 3

    Itemul 352 · Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 5 și 12. Calculați ipotenuza.

    Vezi rezolvarea
    1. Ipotenuza este 13.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 13

  4. Exercițiul 4

    Itemul 353 · Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = -2(x)2 + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. Funcția crește pe (−∞,0), descrește pe (0,+∞), maxim 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  5. Exercițiul 5

    Itemul 354 · O urnă conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 712.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 712

  6. Exercițiul 6

    Itemul 355 · Într-o progresie geometrică, b2 = 12, b5 = 324. Determinați q.

    Vezi rezolvarea
    1. q3 = b5b2 = 27, deci q = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Itemul 356 · Calculați (-1 + 6i) + (4 − 2i).

    Vezi rezolvarea
    1. Rezultatul este 3 + 4i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  8. Exercițiul 8

    Itemul 357 · Calculați limx→0 e−2x − 1x.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este -2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -2

  9. Exercițiul 9

    Itemul 358 · Rezolvați ecuația 5x + 7 = 22.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Itemul 360 · Fie A = . Calculați 3A.

    Vezi rezolvarea
    1. 3A = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  11. Exercițiul 11

    Itemul 361 · Calculați limx→+∞ 6x2 + 53x2 − 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    Itemul 362 · Determinați x și y dacă = .

    Vezi rezolvarea
    1. x = 7, y = 3.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 3

  13. Exercițiul 13

    Itemul 363 · Într-o progresie aritmetică, a2 = 5, a5 = 14. Calculați a10.

    Vezi rezolvarea
    1. r = 3, iar a10 = 29.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 29

  14. Exercițiul 14

    Itemul 364 · Numerele pozitive 9, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 = 225, deci x = 15.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 15

  15. Exercițiul 15

    Itemul 365 · Rezolvați ecuația (3 + i)z + (-2 + 2i) = 3 + 7i.

    Vezi rezolvarea
    1. z = 2 + i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  16. Exercițiul 16

    Itemul 366 · Folosind derivate, demonstrați că ln(1+x) ≤ x pentru orice x > −1.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru g=x−ln(1+x), minimul este 0 la x=0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

  17. Exercițiul 17

    Itemul 367 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor să fie 5.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 5 cazuri favorabile din 90; P = 118.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 118

  18. Exercițiul 18

    Itemul 368 · Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -1.

    Vezi rezolvarea
    1. a = 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

  19. Exercițiul 19

    Itemul 370 · Simplificați (x − 3)2 − (x + 3)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Expresia este -12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: -12

  20. Exercițiul 20

    Itemul 371 · Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 513, cos α = 1213. Calculați sin 2α.

    Vezi rezolvarea
    1. sin 2α = 120169.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 120169

  21. Exercițiul 21

    Itemul 372 · Determinați ecuația dreptei care trece prin A(3,-1) și este paralelă cu dreapta 2x + 3y + 7 = 0.

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația este 2x + 3y − 3 = 0.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 0

  22. Exercițiul 22

    Itemul 373 · Fie f(x) = 3x − 6. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

    Vezi rezolvarea
    1. A(2,0).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  23. Exercițiul 23

    Itemul 374 · Într-o progresie aritmetică, a1 = 3, r = 2. Calculați a4.

    Vezi rezolvarea
    1. a4 = a1 + 3r = 9.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 9

  24. Exercițiul 24

    Itemul 375 · Fie f(x) = ex(x2 + 3x + 2). Calculați f′(x).

    Vezi rezolvarea
    1. f′(x) = ex(x2 + 5x + 5).
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  25. Exercițiul 25

    Itemul 376 · Determinați ecuația dreptei de pantă -1 care trece prin A(0,4).

    Vezi rezolvarea
    1. y = −x + 4.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  26. Exercițiul 26

    Itemul 377 · Într-o progresie geometrică cu q > 0, b1 = 1, b5 = 16. Determinați q.

    Vezi rezolvarea
    1. q = 2.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 2

  27. Exercițiul 27

    Itemul 378 · Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = .
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  28. Exercițiul 28

    Itemul 379 · Pentru z = 7 − 24i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi rezolvarea
    1. |z| = 25, iar conjugatul este 7 + 24i.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

  29. Exercițiul 29

    Itemul 380 · Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt 45 cazuri favorabile din 90; P = 12.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 12

  30. Exercițiul 30

    Itemul 381 · Calculați limx→0 sin(x)x.

    Vezi rezolvarea
    1. Limita este 1.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 1

  31. Exercițiul 31

    Itemul 382 · Două laturi ale unui triunghi au lungimile 7 și 14, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria este 49.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 49

  32. Exercițiul 32

    Itemul 384 · Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 3. Rezolvați ecuația -1 ∘ x = 7.

    Vezi rezolvarea
    1. x = 5.
    2. Punctaj integral pentru răspuns corect și justificat.
    3. Pentru o metodă corectă, dar cu greșeală de calcul, se acordă aproximativ jumătate din punctajul itemului.

    Răspuns: 5

Itemii testului 11 (32)

  1. 350. Progresii aritmetice · 4p

    În progresia aritmetică cu a1 = 4, r = 5, determinați n dacă an = 54.

    Vezi răspunsul

    4 + 5(n − 1) = 54, deci n = 11.

  2. 351. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(1,2) și este paralelă cu dreapta 2x − y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este 2: y − 2 = 2(x − 1), adică y = 2x (2x − y = 0).

  3. 352. Trigonometrie și geometrie · 5p

    Un triunghi dreptunghic are catetele de lungimi 5 și 12. Calculați ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = 13

  4. 353. Derivate · 3p

    Studiați monotonia și extremul funcției f(x) = -2(x)2 + 4.

    Vezi răspunsul

    f′(x) = −4x: crescătoare pe (−∞, 0], descrescătoare pe [0, +∞); maximul este f(0) = 4.

  5. 354. Probabilități · 4p

    O urnă conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculați probabilitatea să fie roșie.

    Vezi răspunsul

    712

  6. 355. Progresii geometrice · 3p

    Într-o progresie geometrică, b2 = 12, b5 = 324. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q3 = 324 : 12 = 27, deci q = 3.

  7. 356. Numere complexe · 5p

    Calculați (-1 + 6i) + (4 − 2i).

    Vezi răspunsul

    3 + 4i

  8. 357. Limite · 3p

    Calculați limx→0 e−2x − 1x.

    Vezi răspunsul

    −2

  9. 358. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Rezolvați ecuația 5x + 7 = 22.

    Vezi răspunsul

    5x = 15, deci x = 3.

  10. 360. Matrice · 5p

    Fie A = . Calculați 3A.

    Vezi răspunsul

    3A =

  11. 361. Limite · 4p

    Calculați limx→+∞ 6x2 + 53x2 − 2.

    Vezi răspunsul

    2

  12. 362. Matrice · 3p

    Determinați x și y dacă = .

    Vezi răspunsul

    x + y = 10 și x − y = 4, deci x = 7, y = 3.

  13. 363. Progresii aritmetice · 3p

    Într-o progresie aritmetică, a2 = 5, a5 = 14. Calculați a10.

    Vezi răspunsul

    3r = 9, deci r = 3 și a1 = 2; a10 = 2 + 27 = 29.

  14. 364. Progresii geometrice · 3p

    Numerele pozitive 9, x, 25 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice. Determinați x.

    Vezi răspunsul

    x2 = 9 · 25 = 225, iar x > 0, deci x = 15.

  15. 365. Numere complexe · 4p

    Rezolvați ecuația (3 + i)z + (-2 + 2i) = 3 + 7i.

    Vezi răspunsul

    (3 + i)z = 5 + 5i, deci z = (5 + 5i)3 − i10 = 2 + i.

  16. 366. Derivate · 2p

    Folosind derivate, demonstrați că ln(1+x) ≤ x pentru orice x > −1.

    Vezi răspunsul

    g(x) = x − ln(1 + x) are g′(x) = x1 + x, deci minimul pe (−1, ∞) este g(0) = 0. Atunci g(x) ≥ 0, adică ln(1 + x) ≤ x.

  17. 367. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca suma cifrelor să fie 5.

    Vezi răspunsul

    590 = 118 (14, 23, 32, 41, 50)

  18. 368. Legi de compoziție · 3p

    Se definește x ∘ y = x + y + a. Determinați a astfel încât elementul neutru să fie -1.

    Vezi răspunsul

    e = −a = −1, deci a = 1.

  19. 370. Calcule, funcții și ecuații · 3p

    Simplificați (x − 3)2 − (x + 3)2x, pentru x ≠ 0.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)2 − (x + 3)2 = −12x, deci expresia este −12.

  20. 371. Trigonometrie și geometrie · 4p

    Fie α ∈ (0°,90°), sin α = 513, cos α = 1213. Calculați sin 2α.

    Vezi răspunsul

    sin 2α = 2 · (513) · (1213) = 120169

  21. 372. Geometrie analitică și vectori · 4p

    Determinați ecuația dreptei care trece prin A(3,-1) și este paralelă cu dreapta 2x + 3y + 7 = 0.

    Vezi răspunsul

    Panta este −23: y + 1 = −(23)(x − 3), adică 2x + 3y − 3 = 0.

  22. 373. Calcule, funcții și ecuații · 5p

    Fie f(x) = 3x − 6. Determinați punctul în care graficul intersectează axa Ox.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 = 0, deci punctul (2, 0).

  23. 374. Progresii aritmetice · 5p

    Într-o progresie aritmetică, a1 = 3, r = 2. Calculați a4.

    Vezi răspunsul

    a4 = 3 + 3 · 2 = 9

  24. 375. Derivate · 4p

    Fie f(x) = ex(x2 + 3x + 2). Calculați f′(x).

    Vezi răspunsul

    f′(x) = ex(x2 + 3x + 2) + ex(2x + 3) = ex(x2 + 5x + 5)

  25. 376. Geometrie analitică și vectori · 5p

    Determinați ecuația dreptei de pantă -1 care trece prin A(0,4).

    Vezi răspunsul

    y = −x + 4

  26. 377. Progresii geometrice · 5p

    Într-o progresie geometrică cu q > 0, b1 = 1, b5 = 16. Determinați q.

    Vezi răspunsul

    q4 = 16, iar q > 0, deci q = 2.

  27. 378. Matrice · 4p

    Fie A = și B = . Calculați AB.

    Vezi răspunsul

    AB =

  28. 379. Numere complexe · 5p

    Pentru z = 7 − 24i, calculați |z| și conjugatul lui z.

    Vezi răspunsul

    |z| = 49 + 576 = 25; z̄ = 7 + 24i.

  29. 380. Probabilități · 3p

    Se alege la întâmplare un număr natural de două cifre. Calculați probabilitatea ca acesta să fie divizibil cu 2.

    Vezi răspunsul

    4590 = 12

  30. 381. Limite · 3p

    Calculați limx→0 sin(x)x.

    Vezi răspunsul

    1

  31. 382. Trigonometrie și geometrie · 3p

    Două laturi ale unui triunghi au lungimile 7 și 14, iar unghiul cuprins este 90°. Calculați aria.

    Vezi răspunsul

    7 · 14 : 2 = 49

  32. 384. Legi de compoziție · 5p

    Pe ℝ, x ∘ y = x + y + 3. Rezolvați ecuația -1 ∘ x = 7.

    Vezi răspunsul

    −1 + x + 3 = 7, deci x = 5.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.