Încărcăm partea curentă…

Progresii aritmetice

Ce este un șir și care este regula lui?

Un șir este o listă de numere așezate într-o anumită ordine. Fiecare număr se numește termen și are un loc precis: primul termen este a1, al doilea este a2, al treilea este a3 și așa mai departe.

Privește șirul 0, 2, 4, 6, 8. Ca să trecem de la un termen la următorul, adunăm de fiecare dată 2. Regula este «adunăm 2», iar următorul termen va fi 10.

În viața reală

Locurile dintr-un rând de cinema numerotate din 2 în 2 (2, 4, 6, …) formează o progresie aritmetică: pe ce poziție ești spune indicele, iar numărul de pe scaun este valoarea.

Termenii șirului, în ordine

Regula: +2
  1. a10
  2. a22
  3. a34
  4. a46
  5. a58

Observă că indicele arată locul termenului, nu valoarea lui: a3 este al treilea termen și are valoarea 4.

  • Ordinea contează: a1 este primul termen, a2 este al doilea termen.
  • Întrebarea de început este mereu: «Ce operație repet ca să ajung la termenul următor?»
  • Dacă adunăm același număr la fiecare pas, șirul este o progresie aritmetică.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Este șirul 6, 10, 14, 18 o progresie aritmetică?

  1. 110 − 6 = 4 și 14 − 10 = 4.
  2. 218 − 14 = 4: diferența nu s-a schimbat.
  3. 3Da, este P.A. cu rația r = 4.

Greșeală frecventă

Greșit: În șirul 6, 10, 14, 18 citești a3 = 3, luând indicele drept valoare.

De ce: Indicele arată locul termenului: a3 este al treilea termen, adică 14. Valoarea și poziția sunt lucruri diferite.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Progresii aritmetice: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Pornești de la „ce este un șir” și ajungi la exercițiul 1 de la Bac. Fiecare parte are o idee mică, un exemplu animat, o greșeală de evitat și trei exerciții.

Ce este un șir și care este regula lui?

Un șir este o listă de numere așezate într-o anumită ordine. Fiecare număr se numește termen și are un loc precis: primul termen este a1, al doilea este a2, al treilea este a3 și așa mai departe.

Privește șirul 0, 2, 4, 6, 8. Ca să trecem de la un termen la următorul, adunăm de fiecare dată 2. Regula este «adunăm 2», iar următorul termen va fi 10.

  • Ordinea contează: a1 este primul termen, a2 este al doilea termen.
  • Întrebarea de început este mereu: «Ce operație repet ca să ajung la termenul următor?»
  • Dacă adunăm același număr la fiecare pas, șirul este o progresie aritmetică.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Este șirul 6, 10, 14, 18 o progresie aritmetică?

  1. 10 − 6 = 4 și 14 − 10 = 4.
  2. 18 − 14 = 4: diferența nu s-a schimbat.
  3. Da, este P.A. cu rația r = 4.

Greșeală frecventă: În șirul 6, 10, 14, 18 citești a3 = 3, luând indicele drept valoare. Indicele arată locul termenului: a3 este al treilea termen, adică 14. Valoarea și poziția sunt lucruri diferite.

Poziția termenului și numărul trecerilor

Indicele indică poziția. De la primul termen la termenul n sunt n−1 treceri. La fiecare trecere adunăm rația, care poate fi pozitivă, negativă sau zero.

  • an=a1+(n−1)r

Exemplu rezolvat, cu alte date

a1=5, r=4. Află a4.

  1. Până la poziția 4 facem 3 treceri.
  2. a4=5+3·4.
  3. a4=17.

Greșeală frecventă: a4 = a1 + 4r, pentru că este al patrulea termen. De la a1 la a4 sunt trei treceri (1→2→3→4), deci a4 = a1 + 3r. Numărul trecerilor este n − 1.

Înainte și înapoi: rație negativă și primul termen

Spre dreapta, de la a3 la a4, adunăm rația. Spre stânga, de la a4 la a3, facem invers: scădem rația. Așa aflăm termenii dinaintea celui cunoscut, inclusiv pe a1.

Rația poate fi și negativă. Dacă r = −2, fiecare termen este cu 2 mai mic decât cel dinainte, iar progresia scade. Mersul înapoi scade rația: 8 − (−2) = 10, adică spre stânga termenii cresc.

  • an+1 = an + r
  • an−1 = an − r
  • r > 0: progresia crește; r < 0: progresia scade; r = 0: toți termenii sunt egali.
  • Ca să afli a1 din a2 scazi rația o dată; din a5, o scazi de 4 ori.
  • Rația se află mereu ca termenul din dreapta minus cel din stânga.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Într-o P.A., a3 = 8 și a4 = 6. Află rația și primul termen.

  1. r = a4 − a3 = 6 − 8 = −2: progresia scade.
  2. Mergem înapoi scăzând rația: a2 = 8 − (−2) = 10, iar a1 = 10 − (−2) = 12.
  3. Verificare: 12, 10, 8, 6 scad mereu cu 2.

Greșeală frecventă: Din a4 = 6 și r = −2 scrii a3 = 6 − 2 = 4. Spre stânga scazi rația: a3 = a4 − r = 6 − (−2) = 8. Minus cu minus dă plus, deci termenii cresc spre stânga.

Doi termeni cunoscuți și aflarea rangului

Scriem câte o relație pentru fiecare termen. Scăderea elimină a1. Dacă știm valoarea termenului și căutăm rangul, rezolvăm aceeași formulă în n și verificăm că n este întreg pozitiv.

  • an−ak=(n−k)r

Exemplu rezolvat, cu alte date

Se dau a3 = 7 și a8 = 22. Determinați a1, r și a15.

  1. a3 = a1 + 2r = 7 și a8 = a1 + 7r = 22.
  2. Scădem ecuațiile: 5r = 15, deci r = 3.
  3. a1 = 1, iar a15 = a1 + 14r = 43.

Greșeală frecventă: Între a3 și a8 numeri 8 − 3 + 1 = 6 treceri. Trecerile sunt diferența pozițiilor: 8 − 3 = 5. Sunt 6 poziții, dar doar 5 săgeți între ele.

Trei termeni consecutivi

Pentru trei termeni consecutivi x,y,z, diferența y−x este egală cu z−y. Regrupând obținem 2y=x+z. Termenul central este media aritmetică a vecinilor.

  • y=x+z2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Află y dacă 9, y, 21 formează o P.A.

  1. Distanțele sunt egale: y − 9 = 21 − y.
  2. 2y = 9 + 21 = 30.
  3. y = 15; verificare: 15 − 9 = 21 − 15 = 6.

Greșeală frecventă: Pentru 9, y, 21 scrii y = 21 − 9 = 12. 21 − 9 este distanța totală, adică două rații. Mijlocul este media vecinilor: y = (9 + 21) : 2 = 15.

Când nu știi de unde să începi: scrii totul cu a1 și r

Orice termen al unei P.A. se scrie cu doar două numere: primul termen a1 și rația r. De exemplu, a3 = a1 + 2r și a10 = a1 + 9r. Cu a1 și r afli orice termen și orice sumă.

Când enunțul dă o relație între mai mulți termeni (o sumă, o diferență), înlocuiești fiecare termen cu forma lui în a1 și r. Obții o ecuație simplă, o rezolvi și ai ce cere problema.

Un caz des întâlnit este suma a trei termeni consecutivi: a1 + a2 + a3 = (a2 − r) + a2 + (a2 + r) = 3a2, pentru că rația se reduce.

  • ak = a1 + (k − 1)r
  • a1 + a2 + a3 = 3a2
  • Scrie fiecare termen din enunț sub forma a1 + (k − 1)r.
  • Adună separat termenii cu a1 și termenii cu r.
  • Dacă știi rația, ecuația are o singură necunoscută: a1.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Într-o P.A. cu rația r = 2, a3 + a4 = 8. Află a1.

  1. a3 = a1 + 2r și a4 = a1 + 3r.
  2. Suma devine 2a1 + 5r = 8, adică 2a1 + 10 = 8.
  3. 2a1 = −2, deci a1 = −1. Verificare: a3 = 3, a4 = 5, iar 3 + 5 = 8.

Greșeală frecventă: Din a3 + a4 = 8 scrii a7 = 8, adunând indicii. Indicii arată pozițiile și nu se adună. Scrii fiecare termen cu a1 și r: (a1 + 2r) + (a1 + 3r) = 2a1 + 5r.

Suma termenilor unei P.A.

Adunăm primul și ultimul termen, înmulțim cu numărul termenilor și împărțim la 2. Pentru un număr impar de termeni, media este chiar termenul central; suma este numărul termenilor înmulțit cu acesta.

  • Sn=n(a1+an)2

Exemplu rezolvat, cu alte date

În P.A. cu a1 = 4 și r = 3, calculați a8 și S8.

  1. a8 = a1 + (8 − 1)r = 4 + 7·3 = 25.
  2. S8 = 8(a1 + a8)2 = 4(4 + 25) = 116.
  3. Răspuns: a8 = 25 și S8 = 116.

Greșeală frecventă: Sn = n(a1 + an), fără împărțirea la 2. Scriind suma de două ori, a doua oară invers, obții 2Sn = n(a1 + an). Pentru Sn mai împarți la 2.

Câți termeni are o sumă? Numeri pașii și adaugi 1

La o sumă scrisă cu puncte, de exemplu 2 + 5 + 8 + … + 20, formula Sn cere numărul de termeni n. Îl aflăm din termenul general: ultimul termen = primul + (n − 1) · r.

Practic, scazi primul termen din ultimul și împarți la rație: afli câți pași sunt. Adaugi 1, pentru că se numără și primul termen. Abia apoi aplici formula sumei.

  • n = (ultimul − primul) : r + 1
  • Verifică întâi că diferențele sunt egale: altfel nu este P.A.
  • Pașii sunt cu 1 mai puțini decât termenii.
  • Exemplu ușor de verificat: 2 + 4 + 6 are (6 − 2) : 2 + 1 = 3 termeni.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 2 + 5 + 8 + … + 20.

  1. Diferențele sunt 3, deci este P.A. cu primul termen 2 și r = 3.
  2. n = (20 − 2) : 3 + 1 = 6 + 1 = 7 termeni.
  3. S7 = 7 · (2 + 20) : 2 = 7 · 11 = 77.

Greșeală frecventă: La 2 + 5 + 8 + … + 20 spui că sunt (20 − 2) : 3 = 6 termeni. 6 sunt pașii dintre termeni. Termenii sunt cu unul mai mulți, pentru că se numără și primul: 7.

Recapitulare: alegi singur formula

La o cerință nouă, întâi spui ce se cere: un termen, rația, rangul, termenul din mijloc sau o sumă.

Apoi scrii ce știi cu a1 și r, numeri trecerile și abia la final calculezi. Verifică rezultatul scriind câțiva termeni.

  • Un termen: an = a1 + (n − 1)r.
  • Doi termeni cunoscuți: creșterea împărțită la numărul trecerilor dă rația.
  • Trei termeni consecutivi: dublul mijlocului este suma vecinilor.
  • O sumă: Sn = n(a1 + an)2, cu primul și ultimul termen ai sumei.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Într-o P.A., a2 = 7 și a5 = 16. Calculează S5.

  1. Între a2 și a5 sunt 3 treceri: 16 − 7 = 9 = 3r, deci r = 3.
  2. a1 = a2 − r = 4, iar termenii sunt 4, 7, 10, 13, 16.
  3. S5 = 5(4 + 16)2 = 50.

Greșeală frecventă: Pentru S5 folosești a2 și a5, pentru că sunt termenii din enunț. Formula sumei cere primul și ultimul termen al sumei: a1 și a5. Dacă nu ai a1, îl afli întâi din rație.

Ca la Bac: Subiectul I, exercițiul 1

La Bac, exercițiul 1 cu progresii valorează 5 puncte și are de obicei două date: doi termeni (a1 și a2, a1 și a3, a3 și a4) sau un termen și rația. Se cere alt termen, rația, o sumă scurtă sau x dintr-un șir de trei termeni consecutivi.

Rețeta are patru pași: scrii datele cu indicii lor, afli rația (și a1, dacă lipsește), calculezi ce se cere și verifici scriind primii termeni. Pe foaie scrii și relația folosită, nu doar rezultatul: baremul punctează și formula, și calculul.

  • Doi termeni vecini: rația este diferența lor.
  • a1 și a3: a2 e la mijloc, a2 = (a1 + a3) : 2.
  • Trei termeni consecutivi cu x: dublul mijlocului este suma vecinilor.
  • Suma primilor trei termeni: S3 = 3a2.
  • Dacă din 2b = a + c iese x2, rezolvi o ecuație de gradul al doilea: x2 − 4x + 4 = 0 înseamnă (x − 2)2 = 0, deci x = 2.
  • Termenii pot fi și logaritmi: verifici tot 2b = a + c, folosind regulile logaritmilor.

Exemplu rezolvat, cu alte date

Determinați termenul a4 al progresiei aritmetice (an)n≥1, în care a1 = 3 și a2 = 8.

  1. Rația: r = a2 − a1 = 8 − 3 = 5.
  2. a4 = a1 + 3r = 3 + 3 · 5 = 18.
  3. Verificare: 3, 8, 13, 18 cresc cu câte 5.

Greșeală frecventă: La „a1 = 6 și a2 = 13” scrii rația r = 6 + 13 = 19. Rația este diferența a doi vecini: r = a2 − a1 = 13 − 6 = 7. Suma lor nu are legătură cu rația.

Cum recunoaștem o progresie aritmetică

Scădem fiecare termen din termenul următor. Dacă obținem mereu aceeași diferență, șirul este o progresie aritmetică. Diferența constantă se numește rație și se notează cu r.

  • 1, 4, 7, 10 este P.A.: diferențele sunt 3, 3, 3, deci r = 3.
  • 9, 6, 3, 0 este P.A.: diferențele sunt −3, −3, −3, deci r = −3.
  • 2, 4, 8, 16 nu este P.A.: diferențele sunt 2, 4, 8 și nu sunt egale.
  • Un șir poate fi crescător sau descrescător; important este ca diferența să rămână aceeași.

Verificare rapidă

Este șirul 5, 8, 11, 14 o progresie aritmetică?

  1. 8 − 5 = 3.
  2. 11 − 8 = 3 și 14 − 11 = 3.
  3. Toate diferențele sunt egale, deci șirul este P.A. cu r = 3.

De ce apare n − 1 în formulă

De la primul termen a1 până la a2 facem un pas. Până la a3 facem două treceri, iar până la a7 facem șase. Numărul trecerilor de la a1 la an este n − 1.

  • a2 = a1 + r
  • a3 = a1 + 2r
  • a4 = a1 + 3r
  • a7 = a1 + 6r
  • Indicele n spune poziția termenului.
  • Coeficientul lui r numără trecerile făcute de la a1.
  • Pentru a7 nu adunăm rația de 7 ori, ci de 6 ori.

Formulele esențiale, după ce am înțeles regula

O progresie aritmetică este un șir în care adunăm mereu aceeași rație r pentru a trece la termenul următor.

  • an+1 = an + r
  • r = an+1 − an
  • an = a1 + (n − 1)r
  • Sn = n(a1 + an)2
  • Dacă r > 0, progresia este crescătoare; dacă r < 0, este descrescătoare.
  • Pentru trei termeni consecutivi x, y, z folosim 2y = x + z.
  • Dacă n este impar, termenul din mijloc este egal cu media termenilor și cu Snn.

Cum aleg formula

  • Cauți un termen: folosești an = a1 + (n − 1)r.
  • Cunoști doi termeni: scrii formula pentru fiecare și scazi ecuațiile.
  • Cauți o sumă: folosești Sn = n(a1 + an)2.
  • Ai trei expresii consecutive: termenul din mijloc este media aritmetică a extremelor.

Model rezolvat · termen și sumă

Model A1

În P.A. cu a1 = 4 și r = 3, calculați a8 și S8.

  1. a8 = a1 + (8 − 1)r = 4 + 7·3 = 25.
  2. S8 = 8(a1 + a8)2 = 4(4 + 25) = 116.
  3. Răspuns: a8 = 25 și S8 = 116.

Model rezolvat · aflarea rației

Model A2

Se dau a3 = 7 și a8 = 22. Determinați a1, r și a15.

  1. a3 = a1 + 2r = 7 și a8 = a1 + 7r = 22.
  2. Scădem ecuațiile: 5r = 15, deci r = 3.
  3. a1 = 1, iar a15 = a1 + 14r = 43.

Exerciții rezolvate din lecție (30)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Privește șirul 0, 2, 4, 6, 8. Care este regula?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 − 0 = 2.
    2. 4 − 2 = 2, iar 6 − 4 = 2.
    3. Diferența este mereu 2, deci regula este «adunăm 2» și r = 2.

    Răspuns: Adunăm 2

  2. Exercițiul 2

    Care dintre următoarele șiruri este o progresie aritmetică?

    Vezi rezolvarea
    1. În șirul 5, 8, 11, 14 adunăm mereu 3.
    2. Diferențele sunt 3, 3, 3.
    3. Prin urmare, este P.A. cu r = 3.

    Răspuns: 5, 8, 11, 14

  3. Exercițiul 3

    Care șir NU este o progresie aritmetică?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru 2, 5, 8, 12 diferențele sunt 3, 3 și 4.
    2. Ultima diferență nu mai este egală cu celelalte.
    3. Așadar acest șir nu este o progresie aritmetică.

    Răspuns: 2, 5, 8, 12

  4. Exercițiul 4

    În șirul 5, 8, 11, 14, cum se notează corect al treilea termen?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = 5 și a2 = 8.
    2. Al treilea termen este 11.
    3. Îl notăm a3 = 11.

    Răspuns: a3 = 11

  5. Exercițiul 5

    Câte treceri egale facem de la a1 la a7?

    Vezi rezolvarea
    1. Trecerile sunt 1→2, 2→3, 3→4, 4→5, 5→6 și 6→7.
    2. Sunt 6 treceri.
    3. De aceea a7 = a1 + 6r.

    Răspuns: 6

  6. Exercițiul 6

    În P.A. cu a1 = 3 și r = 2, cât este a6?

    Vezi rezolvarea
    1. a6 = a1 + (6 − 1)r
    2. a6 = 3 + 5·2
    3. a6 = 13

    Răspuns: 13

  7. Exercițiul 7

    În P.A. cu a1 = −4 și r = 5, cât este a5?

    Vezi rezolvarea
    1. a5 = a1 + 4r
    2. a5 = −4 + 4·5
    3. a5 = 16

    Răspuns: 16

  8. Exercițiul 8

    Dacă a4 = 10 și a9 = 25, perechea (a1, r) este:

    Vezi rezolvarea
    1. a9 − a4 = 5r = 15, deci r = 3
    2. a4 = a1 + 3r = 10
    3. a1 = 10 − 9 = 1

    Răspuns: (1, 3)

  9. Exercițiul 9

    Dacă 14, x, 26 sunt termeni consecutivi ai unei P.A., atunci x este:

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim 2x = 14 + 26
    2. 2x = 40
    3. x = 20

    Răspuns: 20

  10. Exercițiul 10

    Într-o P.A. se știe că S15 = 150. Cât este a8?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru 15 termeni, termenul din mijloc este a8
    2. S15 = 15·a8
    3. a8 = 15015 = 10

    Răspuns: 10

  11. Exercițiul 11

    102 este termen al P.A. cu a1 = 2 și r = 2. Care este rangul lui?

    Vezi rezolvarea
    1. 102 = 2 + 2(n − 1)
    2. 100 = 2(n − 1), deci n − 1 = 50
    3. n = 51

    Răspuns: n = 51

  12. Exercițiul 12

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 2, pentru ce n avem Sn = 100?

    Vezi rezolvarea
    1. an = 1 + 2(n − 1) = 2n − 1
    2. Sn = n(1 + 2n − 1)2 = n2
    3. n2 = 100 și n ∈ ℕ*, deci n = 10

    Răspuns: n = 10

  13. Exercițiul 13

    Pentru ca m + 1, 2m − 3, 5m − 15 să fie termeni consecutivi ai unei P.A., m este:

    Vezi rezolvarea
    1. 2(2m − 3) = (m + 1) + (5m − 15)
    2. 4m − 6 = 6m − 14
    3. 8 = 2m, deci m = 4

    Răspuns: 4

  14. Exercițiul 14

    În P.A. 7,x,19, află termenul central x.

    Vezi rezolvarea
    1. Diferențele egale dau 2x=7+19.
    2. 2x=26.
    3. x=13; verificare: 13−7=19−13=6.

    Răspuns: 13

  15. Exercițiul 15

    În P.A. cu a1=3 și a6=18, calculează S6.

    Vezi rezolvarea
    1. S6=6(a1+a6)2.
    2. Înlocuim: 6(3+18)2=3·21.
    3. S6=63.

    Răspuns: 63

  16. Exercițiul 16

    Într-o P.A. se dau a1 = 5 și a10 = 41. Calculează rația r.

    Vezi rezolvarea
    1. De la a1 la a10 sunt 10 − 1 = 9 treceri.
    2. Creșterea totală este 41 − 5 = 36.
    3. r = 36 : 9 = 4.

    Răspuns: 4

  17. Exercițiul 17

    Numerele 2x + 1, 13 și x + 16 sunt termeni consecutivi ai unei P.A. Află x.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru trei termeni consecutivi: 2 · 13 = (2x + 1) + (x + 16).
    2. 26 = 3x + 17, deci 3x = 9.
    3. x = 3; termenii sunt 7, 13, 19, cu diferența 6.

    Răspuns: 3

  18. Exercițiul 18

    Calculează suma 3 + 7 + 11 + … + 39.

    Vezi rezolvarea
    1. Este o P.A. cu a1 = 3 și r = 4; din 39 = 3 + 4(n − 1) rezultă n − 1 = 9, deci n = 10.
    2. S10 = 10 · (3 + 39) : 2.
    3. S10 = 10 · 42 : 2 = 210.

    Răspuns: 210

  19. Exercițiul 19

    Într-o P.A., a5 = 11 și r = −3. Cât este a1?

    Vezi rezolvarea
    1. De la a1 la a5 sunt 4 treceri: a5 = a1 + 4r.
    2. 11 = a1 + 4 · (−3) = a1 − 12.
    3. a1 = 23; termenii 23, 20, 17, 14, 11 scad cu 3.

    Răspuns: 23

  20. Exercițiul 20

    Șirul 20, 17, 14, … este o P.A. Cât este a6?

    Vezi rezolvarea
    1. r = 17 − 20 = −3: progresia scade.
    2. a6 = a1 + 5r = 20 + 5 · (−3).
    3. a6 = 20 − 15 = 5.

    Răspuns: 5

  21. Exercițiul 21

    Într-o P.A., a2 = 9 și a3 = 7. Calculează a6.

    Vezi rezolvarea
    1. r = a3 − a2 = 7 − 9 = −2.
    2. De la a2 la a6 sunt 4 treceri: a6 = a2 + 4r.
    3. a6 = 9 − 8 = 1.

    Răspuns: 1

  22. Exercițiul 22

    Într-o P.A. cu rația r = 3, a2 + a5 = 23. Află a1.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = a1 + r și a5 = a1 + 4r.
    2. Suma: 2a1 + 5r = 23, adică 2a1 + 15 = 23.
    3. 2a1 = 8, deci a1 = 4.

    Răspuns: 4

  23. Exercițiul 23

    Suma primilor trei termeni ai unei P.A. este 27. Cât este a2?

    Vezi rezolvarea
    1. a1 = a2 − r și a3 = a2 + r.
    2. a1 + a2 + a3 = 3a2, pentru că rația se reduce.
    3. 3a2 = 27, deci a2 = 9.

    Răspuns: 9

  24. Exercițiul 24

    Într-o P.A., 2a8 = a3 + a4 + 18. Află rația r.

    Vezi rezolvarea
    1. a8 = a1 + 7r, a3 = a1 + 2r și a4 = a1 + 3r.
    2. 2a1 + 14r = 2a1 + 5r + 18, deci 9r = 18.
    3. r = 2.

    Răspuns: 2

  25. Exercițiul 25

    Câți termeni are suma 4 + 9 + 14 + … + 49?

    Vezi rezolvarea
    1. Rația este 9 − 4 = 5.
    2. De la 4 la 49 sunt (49 − 4) : 5 = 9 pași.
    3. Termenii sunt cu unul mai mulți decât pașii: 10.

    Răspuns: 10

  26. Exercițiul 26

    Calculează suma 1 + 4 + 7 + … + 31.

    Vezi rezolvarea
    1. P.A. cu a1 = 1 și r = 3.
    2. n = (31 − 1) : 3 + 1 = 11 termeni.
    3. S11 = 11 · 32 : 2 = 176.

    Răspuns: 176

  27. Exercițiul 27

    Calculează suma 1 + 2 + 3 + … + 50.

    Vezi rezolvarea
    1. Suma are 50 de termeni, cu primul 1 și ultimul 50.
    2. S50 = 50 · (1 + 50) : 2.
    3. S50 = 25 · 51 = 1275.

    Răspuns: 1275

  28. Exercițiul 28

    Determinați termenul a2 al progresiei aritmetice (an)n≥1, în care a1 = 7 și a3 = 27.

    Vezi rezolvarea
    1. a1, a2, a3 sunt consecutivi, deci 2a2 = a1 + a3.
    2. 2a2 = 7 + 27 = 34.
    3. a2 = 17.

    Răspuns: 17

  29. Exercițiul 29

    Determinați rația progresiei aritmetice (an)n≥1, știind că a1 = a4 − 12.

    Vezi rezolvarea
    1. Din a1 = a4 − 12 rezultă a4 − a1 = 12.
    2. a4 − a1 = 3r.
    3. 3r = 12, deci r = 4.

    Răspuns: r = 4

  30. Exercițiul 30

    Determinați numărul real x pentru care numerele x − 1, 2x și 13 sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · 2x = (x − 1) + 13, adică 4x = x + 12.
    2. 3x = 12, deci x = 4.
    3. Verificare: 3, 8, 13 cresc cu câte 5.

    Răspuns: 4

Fișă de lucru A · progresii aritmetice (24)

  1. 1. Bază

    În P.A. cu a1 = 3 și r = 2, calculați a6.

    Vezi răspunsul

    a6 = 3 + 5 · 2 = 13

  2. 2. Bază

    În P.A. cu a1 = −4 și r = 5, calculați a5.

    Vezi răspunsul

    a5 = −4 + 4 · 5 = 16

  3. 3. Bază

    În P.A. cu a3 = 7 și r = 3, calculați a10.

    Vezi răspunsul

    a10 = a3 + 7r = 7 + 21 = 28

  4. 4. Bază

    În P.A. cu a5 = 18 și r = −2, determinați a1.

    Vezi răspunsul

    a1 = a5 − 4r = 18 + 8 = 26

  5. 5. Bază

    Scrieți primii cinci termeni ai P.A. cu a1 = 7 și r = 4.

    Vezi răspunsul

    7, 11, 15, 19, 23

  6. 6. Standard

    În P.A. cu a1 = 2 și r = 3, calculați S10.

    Vezi răspunsul

    S10 = 10 · (2 · 2 + 9 · 3) : 2 = 155

  7. 7. Standard

    În P.A. cu a1 = −1 și r = 2, calculați S12.

    Vezi răspunsul

    S12 = 12 · (2 · (−1) + 11 · 2) : 2 = 120

  8. 8. Standard

    Se dau a4 = 10 și a9 = 25. Determinați a1 și r.

    Vezi răspunsul

    5r = 25 − 10 = 15, deci r = 3 și a1 = 10 − 3 · 3 = 1.

  9. 9. Standard

    Se dau a2 = 5 și a7 = 20. Determinați a1, r și S7.

    Vezi răspunsul

    5r = 15, deci r = 3, a1 = 2 și S7 = 7 · (2 + 20) : 2 = 77.

  10. 10. Standard

    Determinați x astfel încât 14, x, 26 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    x = (14 + 26) : 2 = 20

  11. 11. Standard

    Determinați x astfel încât x − 2, x + 1, 2x să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(x + 1) = (x − 2) + 2x, deci x = 4.

  12. 12. Standard

    Determinați x astfel încât 3, x, 27 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    x = (3 + 27) : 2 = 15

  13. 13. Consolidare

    Trei termeni pozitivi, în ordine crescătoare, sunt în P.A.; suma lor este 36, iar produsul termenilor extremi este 128. Determinați termenii.

    Vezi răspunsul

    Termenii a − r, a, a + r: 3a = 36 dă a = 12, iar (12 − r)(12 + r) = 128 dă r = 4. Termenii: 8, 12, 16.

  14. 14. Consolidare

    Se dau a3 = 8 și a8 = 23. Calculați a20.

    Vezi răspunsul

    5r = 15, deci r = 3 și a1 = 2; a20 = 2 + 19 · 3 = 59.

  15. 15. Consolidare

    Într-o P.A. cu r = 2 se știe că a4 + a8 = 30. Determinați a1.

    Vezi răspunsul

    a4 + a8 = 2a1 + 10r = 2a1 + 20 = 30, deci a1 = 5.

  16. 16. Consolidare

    Într-o P.A. se știe că S15 = 150. Determinați a8.

    Vezi răspunsul

    S15 = 15 · a8 = 150, deci a8 = 10.

  17. 17. Consolidare

    În P.A. cu a1 = 5 și r = 3, determinați n pentru care an = 50.

    Vezi răspunsul

    5 + 3(n − 1) = 50, deci n = 16.

  18. 18. Consolidare

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 1, determinați n pentru care Sn = 78.

    Vezi răspunsul

    n(n + 1)2 = 78, deci n = 12.

  19. 19. Consolidare

    Determinați x astfel încât x + 1, 2x − 1, 4x − 7 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(2x − 1) = (x + 1) + (4x − 7), deci x = 4.

  20. 20. Tip Bac

    Arătați că 102 este termen al P.A. cu a1 = 2 și r = 2 și precizați rangul lui.

    Vezi răspunsul

    2 + 2(n − 1) = 102 dă n = 51: 102 este termenul de rang 51.

  21. 21. Tip Bac

    Într-o P.A. se știe că a2 + a5 = 18 și a3 = 7. Determinați a1, r și a10.

    Vezi răspunsul

    2a1 + 5r = 18 și a1 + 2r = 7 dau r = 4 și a1 = −1; a10 = −1 + 9 · 4 = 35.

  22. 22. Aprofundare

    Trei termeni pozitivi, în ordine crescătoare, sunt în P.A.; suma lor este 24, iar suma pătratelor lor este 224. Determinați termenii.

    Vezi răspunsul

    Termenii a − r, a, a + r: a = 8, iar 192 + 2r2 = 224 dă r = 4. Termenii: 4, 8, 12.

  23. 23. Tip Bac

    În P.A. cu a1 = 1 și r = 2, determinați n pentru care Sn = 100.

    Vezi răspunsul

    Sn = n2 = 100, deci n = 10.

  24. 24. Tip Bac

    Determinați m astfel încât m + 1, 2m − 3, 5m − 15 să fie termeni consecutivi ai unei P.A.

    Vezi răspunsul

    2(2m − 3) = (m + 1) + (5m − 15), deci m = 4.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.