Încărcăm partea curentă…

Subiectul al III-lea · probleme cu rezolvare completă

Model · problemă cu text

Tradu fiecare situație din text într-o relație între necunoscute. Păstrează separat suma necesară și contribuția participanților.

Scrie ambele situații, apoi scade ecuațiile pentru a elimina prețul. Verifică numărul găsit în ambele condiții.

Tiparul problemei 1

Mai mulți copii cumpără împreună o minge. Dacă fiecare dă 15 lei, mai trebuie 20 de lei; dacă fiecare dă 20 de lei, rămân 10 lei. Cât costă mingea?

  1. 1Notăm cu n numărul copiilor. Prețul mingii se scrie în două feluri: 15n + 20 = 20n − 10.
  2. 220 + 10 = 20n − 15n, deci 5n = 30 și n = 6 copii.
  3. 3Prețul: 15 · 6 + 20 = 110 lei. Verificare: 20 · 6 − 10 = 110 lei.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Subiectul al III-lea · probleme cu rezolvare completă: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Subiectul al III-lea are 6 probleme cu rezolvare completă. Fiecare are un punct a) de 2 puncte și un punct b) de 3 puncte; aici se scriu toți pașii, nu doar rezultatul.

Model · problemă cu text

Tradu fiecare situație din text într-o relație între necunoscute. Păstrează separat suma necesară și contribuția participanților.

Scrie ambele situații, apoi scade ecuațiile pentru a elimina prețul. Verifică numărul găsit în ambele condiții.

Tiparul problemei 1

Mai mulți copii cumpără împreună o minge. Dacă fiecare dă 15 lei, mai trebuie 20 de lei; dacă fiecare dă 20 de lei, rămân 10 lei. Cât costă mingea?

  1. Notăm cu n numărul copiilor. Prețul mingii se scrie în două feluri: 15n + 20 = 20n − 10.
  2. 20 + 10 = 20n − 15n, deci 5n = 30 și n = 6 copii.
  3. Prețul: 15 · 6 + 20 = 110 lei. Verificare: 20 · 6 − 10 = 110 lei.

Recapitulare: transformări algebrice

Păstrăm domeniul expresiei înainte de simplificare.

Aplicăm formulele de calcul prescurtat și evaluăm numai după reducerea expresiei.

  • (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab

Model cu alte date

Calculează (x + 5)2 − (x − 5)2 în x = 3.

  1. Dezvoltăm și reducem: x2 + 10x + 25 − x2 + 10x − 25 = 20x.
  2. Înlocuim x = 3.
  3. Valoarea este 60.

Model · funcția liniară

Pe Ox avem y = 0, iar pe Oy avem x = 0. Aceste condiții dau intersecțiile graficului cu axele.

Pentru un mijloc, calculăm separat mediile coordonatelor. Lungimea unui segment se calculează apoi din diferențele de coordonate.

Tiparul problemei 3

Graficul funcției f(x) = 2x − 4 taie axa Ox în A și axa Oy în B. M este mijlocul segmentului AB. Calculează OM.

  1. Pe Ox: 2x − 4 = 0, deci A(2, 0). Pe Oy: f(0) = −4, deci B(0, −4).
  2. Triunghiul AOB este dreptunghic în O, deci AB = 22 + 42 = √20 = 2√5.
  3. OM este mediana dusă din unghiul drept, deci OM = AB2 = √5.

Recapitulare: figură, ipoteze, teoremă

Marcăm datele și figura auxiliară înaintea calculelor.

La o coardă folosim raza și perpendiculara din centru. La paralelism, comparăm raporturile segmentelor corespunzătoare.

  • ipotenuză2 = catetă2 + catetă2

Model cu alte date

O coardă este la 9 cm de centrul unui cerc cu raza 15 cm. Află jumătate din coardă.

  1. Perpendiculara din centru înjumătățește coarda; numim piciorul M.
  2. În triunghiul dreptunghic, AM2 = 152 − 92 = 144.
  3. AM = 12 cm.

Recapitulare: prisma și cubul

Aria laterală a prismei drepte este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea.

Volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Diagonala spațială se află aplicând Pitagora întâi în bază, apoi în spațiu.

  • Al = Pb·h
  • V = Ab·h

Model cu alte date

Prismă dreaptă cu baza pătrat de latură 4 cm și înălțimea 7 cm. Află aria laterală.

  1. Perimetrul bazei este 16 cm.
  2. Aria laterală este 16·7.
  3. Rezultatul este 112 cm2.

Atelier EN: scrii demonstrația, apoi compari cu baremul

O demonstrație leagă ipotezele de concluzie prin teoreme. Desenul localizează punctele, dar aspectul lui nu este probă că dreptele sunt paralele sau laturile egale.

Pentru fiecare afirmație scrie motivul. La final compari propria redactare cu cele patru criterii din barem. Autoevaluarea urmărește redactarea și rămâne separată de evaluarea independentă.

  • într-un triunghi: rapoarte corespunzătoare egale ⇒ paralelism (reciproca lui Thales)

Model cu alte date

D ∈ AB, E ∈ AC, AD = 3, DB = 6, AE = 5, EC = 10. Demonstrează DE ∥ BC.

  1. D și E sunt pe laturile triunghiului, conform ipotezei.
  2. ADDB = 36 = 12 și AEEC = 510 = 12.
  3. Rapoartele bucăților corespunzătoare sunt egale, deci se aplică reciproca lui Thales.
  4. DE ∥ BC. Egalitatea nu a fost dedusă prin măsurarea desenului.

Distanța de la un punct la grafic: aceeași arie, două baze

Distanța până la o dreaptă este lungimea segmentului perpendicular pe ea. Pentru graficul unei funcții liniare alegem două puncte A și B de pe grafic și formăm triunghiul ABC cu punctul C dat.

Calculăm aria triunghiului cu o bază și o înălțime ușor de citit din coordonate. Apoi alegem baza AB: înălțimea corespunzătoare este chiar distanța de la C la dreaptă. Nu trebuie să folosim o regulă despre produsul pantelor.

  • S = AB·CH2
  • CH = 2SAB

Model cu alte date

Dreapta trece prin A(3, 0) și B(0, −4). Află distanța de la C(3, −4) la dreapta AB.

  1. BC = 3 este orizontal, iar CA = 4 este vertical: triunghiul ABC este dreptunghic în C.
  2. Aria este S = 3·42 = 6; Pitagora dă AB = 32 + 42 = 5.
  3. Cu baza AB, înălțimea este CH ⟂ AB. Aceeași arie dă CH = 2·65 = 125.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Problema 1 · Mai mulți copii strâng bani pentru un cadou. Dacă fiecare dă câte 12 lei, mai trebuie 18 lei; dacă fiecare dă câte 15 lei, rămân 6 lei. Câți copii sunt?

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm cu n numărul copiilor: 12n + 18 = 15n − 6.
    2. 18 + 6 = 15n − 12n, deci 3n = 24.
    3. n = 8 copii.

    Răspuns: 8

  2. Exercițiul 2

    Problema 1 · Opt copii dau fiecare câte 12 lei pentru un cadou, dar mai sunt necesari 18 lei. Cât costă cadoul?

    Vezi rezolvarea
    1. Copiii strâng 8 · 12 = 96 de lei.
    2. Mai trebuie 18 lei: 96 + 18 = 114 lei.

    Răspuns: 114

  3. Exercițiul 3

    Problema 1 · Un elev citește în prima zi 30% dintr-o carte, iar în a doua zi restul de 84 de pagini. Câte pagini are cartea?

    Vezi rezolvarea
    1. În a doua zi citește 100% − 30% = 70% din carte.
    2. 70% din carte = 84 de pagini, deci 1% = 84 : 70 = 1,2 pagini.
    3. Cartea are 100 · 1,2 = 120 de pagini.

    Răspuns: 120

  4. Exercițiul 4

    Problema 1 · Prețul unui obiect de 200 de lei crește cu 10%, apoi noul preț scade cu 10%. Care este prețul final?

    Vezi rezolvarea
    1. După scumpire: 200 + 10% · 200 = 220 de lei.
    2. Ieftinirea: 10% · 220 = 22 de lei.
    3. Prețul final: 220 − 22 = 198 de lei.

    Răspuns: 198

  5. Exercițiul 5

    Problema 2 · Se consideră E(x) = (x + 3)2 − (x − 3)2. Calculează E(2).

    Vezi rezolvarea
    1. (x + 3)2 − (x − 3)2 = [(x + 3) − (x − 3)] · [(x + 3) + (x − 3)] = 6 · 2x = 12x.
    2. E(2) = 12 · 2 = 24.

    Răspuns: 24

  6. Exercițiul 6

    Problema 2 · Se consideră E(x) = x2 − 9x − 3, unde x ≠ 3. Calculează E(5).

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
    2. Pentru x ≠ 3: E(x) = x + 3.
    3. E(5) = 5 + 3 = 8.

    Răspuns: 8

  7. Exercițiul 7

    Problema 2 · Se consideră E(x) = xx − 2 − 2x − 2, unde x ≠ 2. Arată că E(x) are aceeași valoare pentru orice x ≠ 2 și scrie această valoare.

    Vezi rezolvarea
    1. E(x) = x − 2x − 2.
    2. Pentru x ≠ 2, numărătorul și numitorul sunt egale și nenule.
    3. E(x) = 1 pentru orice x ≠ 2.

    Răspuns: 1

  8. Exercițiul 8

    Problema 2 · Dacă E(4) = 2, calculează numărul A = (E(4))n + (E(4))n+3 pentru n = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. A = 2n + 2n+3 = 2n(1 + 23) = 9 · 2n.
    2. Pentru n = 1: A = 2 + 24 = 2 + 16 = 18.
    3. În general A = 9 · 2n = 18 · 2n−1, deci e divizibil cu 18 pentru orice n nenul.

    Răspuns: 18

  9. Exercițiul 9

    Problema 3 · Se consideră funcția f: ℝ → ℝ, f(x) = 2x − 8. Calculează f(1) + f(7).

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 2 · 1 − 8 = −6.
    2. f(7) = 2 · 7 − 8 = 6.
    3. f(1) + f(7) = −6 + 6 = 0.

    Răspuns: 0

  10. Exercițiul 10

    Problema 3 · Graficul funcției f(x) = 2x − 8 intersectează axa Ox în punctul A. Care este abscisa punctului A?

    Vezi rezolvarea
    1. Pe Ox avem f(x) = 0: 2x − 8 = 0.
    2. 2x = 8, deci x = 4.
    3. A(4, 0), deci abscisa lui A este 4.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Problema 3 · Graficul funcției f(x) = 2x − 8 intersectează axele Ox și Oy în punctele A, respectiv B. Punctul M este mijlocul segmentului AB. Calculează lungimea segmentului OM.

    Vezi rezolvarea
    1. A(4, 0) și B(0, −8), deci OA = 4 și OB = 8.
    2. AB = 42 + 82 = √80 = 4√5.
    3. OM este mediana din unghiul drept: OM = AB2 = 2√5.

    Răspuns: 2√5

  12. Exercițiul 12

    Problema 4 · Un cerc are centrul O și raza de 10 cm. Punctul M este mijlocul coardei AB, iar OM = 6 cm. Calculează lungimea segmentului AM.

    Vezi rezolvarea
    1. M este mijlocul coardei, deci OM ⟂ AB și triunghiul OMA este dreptunghic în M.
    2. OA este raza: OA = 10 cm.
    3. AM = 102 − 62 = √64 = 8 cm.

    Răspuns: 8

  13. Exercițiul 13

    Problema 4 · Un cerc cu raza de 13 cm are o coardă AB aflată la distanța de 5 cm de centrul cercului. Calculează lungimea coardei AB.

    Vezi rezolvarea
    1. Perpendiculara din centru pe coardă cade în mijlocul M al coardei: OM = 5 cm.
    2. AM = 132 − 52 = √144 = 12 cm.
    3. AB = 2 · AM = 24 cm.

    Răspuns: 24

  14. Exercițiul 14

    Problema 5 · Paralelogramul ABCD are AB = 10 cm și AD = 6 cm. Punctele T și N sunt mijloacele laturilor AB, respectiv CD. Calculează perimetrul patrulaterului ATND.

    Vezi rezolvarea
    1. AT = AB2 = 5 cm și DN = CD2 = 5 cm.
    2. AT ∥ DN și AT = DN, deci ATND este paralelogram, cu TN = AD = 6 cm.
    3. P = 5 + 6 + 5 + 6 = 22 cm.

    Răspuns: 22

  15. Exercițiul 15

    Problema 5 · În triunghiul ABC, punctele D ∈ AB și E ∈ AC sunt astfel încât DE ∥ BC. Știind că AD = 4 cm, DB = 6 cm și AE = 6 cm, calculează lungimea segmentului EC.

    Vezi rezolvarea
    1. DE ∥ BC, deci din teorema lui Thales: ADDB = AEEC.
    2. 46 = 6EC, deci 4 · EC = 36.
    3. EC = 9 cm.

    Răspuns: 9

  16. Exercițiul 16

    Problema 6 · Prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ are baza pătratul ABCD, cu AB = 3 cm, și înălțimea AA′ = 5 cm. Calculează aria laterală a prismei.

    Vezi rezolvarea
    1. Perimetrul bazei: 4 · 3 = 12 cm.
    2. Al = Pb · h = 12 · 5 = 60 cm2.

    Răspuns: 60

  17. Exercițiul 17

    Problema 6 · Prisma dreaptă ABCDA′B′C′D′ are baza pătratul ABCD, cu AB = 3 cm, și înălțimea AA′ = 5 cm. Calculează volumul prismei.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria bazei: 32 = 9 cm2.
    2. V = Ab · h = 9 · 5 = 45 cm3.

    Răspuns: 45

  18. Exercițiul 18

    Problema 6 · Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia de 4 cm. Calculează lungimea diagonalei AC′ a cubului.

    Vezi rezolvarea
    1. AC este diagonala feței: AC = 4√2 cm.
    2. Triunghiul ACC′ este dreptunghic în C: AC′2 = AC2 + CC′2 = 32 + 16 = 48.
    3. AC′ = √48 = 4√3 cm.

    Răspuns: 4√3

  19. Exercițiul 19

    D ∈ AB, E ∈ AC, AD = 4, DB = 8, AE = 7, EC = 14. Demonstrează DE ∥ BC.

    Vezi rezolvarea
    1. D ∈ AB și E ∈ AC, conform ipotezelor.
    2. ADDB = 48 = 12 și AEEC = 714 = 12.
    3. Rapoartele egale permit aplicarea reciprocei teoremei lui Thales.
    4. Concluzia este DE ∥ BC.

  20. Exercițiul 20

    În trapezul ABCD cu AB ∥ CD, M și N sunt mijloacele laturilor AD și BC. Demonstrează MN ∥ AB și MN = AB + CD2.

    Vezi rezolvarea
    1. Notăm P mijlocul diagonalei AC. În triunghiul ADC, M și P sunt mijloace; în ABC, P și N sunt mijloace.
    2. MP ∥ CD și MP = CD2; PN ∥ AB și PN = AB2, prin teorema liniei mijlocii.
    3. Cum AB ∥ CD, dreptele MP și PN sunt aceeași paralelă prin P, deci M, P, N sunt coliniare, cu P între M și N.
    4. MN ∥ AB și MN = MP + PN = AB + CD2.

  21. Exercițiul 21

    În cubul ABCDA′B′C′D′, demonstrează că AA′ este perpendiculară pe planul ABC și că distanța de la A′ la acest plan este AA′.

    Vezi rezolvarea
    1. AB și AD sunt drepte din planul ABC, concurente în A.
    2. Fețele ABB′A′ și ADD′A′ sunt pătrate, deci AA′ ⟂ AB și AA′ ⟂ AD.
    3. O dreaptă perpendiculară pe două drepte concurente din plan este perpendiculară pe plan: AA′ ⟂ (ABC).
    4. Piciorul perpendicularei din A′ este A; prin definiție distanța de la A′ la (ABC) este A′A.

  22. Exercițiul 22

    Dreapta trece prin A(15, 0) și B(0, −20). Află distanța de la C(15, −20) la dreapta AB.

    Vezi rezolvarea
    1. BC = 15, CA = 20, deci S = 150; AB = 225 + 400 = 25.
    2. Cu baza AB, înălțimea CH este perpendiculara din C; S = AB·CH2.
    3. CH = 30025 = 12.

    Răspuns: 12

  23. Exercițiul 23

    Dreapta trece prin A(30, 0) și B(0, −40). Află distanța de la C(30, −40) la dreapta AB.

    Vezi rezolvarea
    1. BC = 30, CA = 40, deci S = 600; AB = 900 + 1600 = 50.
    2. Cu baza AB, înălțimea CH este perpendiculara din C; S = AB·CH2.
    3. CH = 120050 = 24.

    Răspuns: 24

  24. Exercițiul 24

    Dreapta trece prin A(45, 0) și B(0, −60). Află distanța de la C(45, −60) la dreapta AB.

    Vezi rezolvarea
    1. BC = 45, CA = 60, deci S = 1350; AB = 2025 + 3600 = 75.
    2. Cu baza AB, înălțimea CH este perpendiculara din C; S = AB·CH2.
    3. CH = 270075 = 36.

    Răspuns: 36

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.