Vectori

Un vector este un segment orientat, caracterizat prin direcție, sens și lungime. Vectorii echipolenți au toate aceste caracteristici identice, chiar dacă au origini diferite.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

În paralelogramul ABCD, vectorii AB și DC au aceeași direcție, lungime și sens. Suma AB + BC este AC: săgețile se parcurg una după alta. Vectorul BA ar avea sens opus lui AB.

Vectori echipolenți

Un vector este determinat de trei lucruri: direcție, sens și lungime, numită și modul. Punctul de aplicație nu contează.

Doi vectori se numesc echipolenți dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime — practic, sunt același vector, desenat în alt loc. Într-un paralelogram ABCD, vectorul AB este echipolent cu DC.

Vectorul −v are aceeași direcție și aceeași lungime ca v, dar sensul opus.

vector = direcție + sens + lungime

în ABCD paralelogram: AB echipolent cu DC

Doi vectori paraleli, de lungimi diferite, nu sunt echipolenți.
Sensul opus schimbă vectorul, chiar dacă direcția și lungimea rămân aceleași.

Exemplu rezolvat

Față de vectorul v, ce are vectorul −v?

1.Semnul minus nu schimbă direcția dreptei pe care se află vectorul.
2.Nu schimbă nici lungimea, deci modulele sunt egale.
3.Se schimbă doar sensul: −v are sens opus lui v.

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțind un vector v cu un număr k, obții un vector paralel cu el, a cărui lungime este |k| ori lungimea lui v.

Dacă k > 0, sensul rămâne același; dacă k < 0, sensul se inversează. Astfel, 3v are lungimea triplă și același sens, iar −2v are lungimea dublă și sens opus.

Împărțirea la un număr funcționează la fel: v : 2 are jumătate din lungimea lui v.

|k × v| = |k| × |v|

|3v| = 3|v|

|−2v| = 2|v|

Lungimea se înmulțește cu valoarea absolută a numărului, deci este mereu pozitivă.
Semnul lui k decide sensul, nu lungimea.

Exemplu rezolvat

Un vector are lungimea 8 cm. Ce lungime are vectorul −2v?

1.Lungimea se înmulțește cu valoarea absolută a coeficientului: |−2| = 2.
2.Calculăm 2 × 8.
3.Vectorul −2v are lungimea 16 cm, cu sens opus lui v.

Adunarea vectorilor: regula triunghiului

Regula triunghiului spune că, dacă vectorii se leagă cap la coadă, suma lor este vectorul care unește începutul primului cu sfârșitul ultimului: AB + BC = AC.

Regula se extinde la oricâți vectori: AB + BC + CD = AD. Punctele intermediare se „simplifică”, ca într-un lanț.

De aici rezultă și că AB + BA = 0: mergi și te întorci, deci obții vectorul nul.

AB + BC = AC

AB + BC + CD = AD

AB + BA = 0

Vectorii se adună cap la coadă, nu vârf la vârf.
Când punctele sunt coliniare și în același sens, lungimile se adună.

Exemplu rezolvat

Punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 4 cm și BC = 6 cm. Cât este |AB + BC|?

1.Prin regula triunghiului, AB + BC = AC.
2.Punctele fiind coliniare, în această ordine, AC = AB + BC = 4 + 6.
3.Deci |AB + BC| = 10 cm.

Regula paralelogramului și lungimea sumei

Când doi vectori pornesc din același punct, suma lor se obține prin regula paralelogramului: construiești paralelogramul pe cei doi vectori, iar suma este diagonala care pleacă din același punct. În ABCD, AB + AD = AC.

Lungimea sumei nu este, în general, suma lungimilor. Când vectorii sunt perpendiculari, se aplică teorema lui Pitagora: |AB + AD| = |AB|² + |AD|².

Pentru vectori perpendiculari de 3 cm și 4 cm, lungimea sumei este 5 cm, nu 7 cm.

AB + AD = AC, în paralelogram

vectori perpendiculari: |u + v| = |u|² + |v|²

Lungimea sumei depinde de unghiul dintre vectori.
Doar la vectori de același sens lungimile se adună direct.

Exemplu rezolvat

Vectorii AB și AD sunt perpendiculari, cu lungimile 5 cm și 12 cm. Cât este |AB + AD|?

1.Suma este diagonala AC a dreptunghiului construit pe cei doi vectori.
2.Aplicăm teorema lui Pitagora: AC² = 25 + 144 = 169.
3.Deci |AB + AD| = 13 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce caracteristici are un vector?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Direcție, sens și lungime (modul).
Ex. 2Dificultate redusă
Ce înseamnă că doi vectori sunt echipolenți?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime.
Ex. 3Dificultate redusă
Se dă un vector v cu lungimea 6 cm. Calculează lungimea vectorului 4×v.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 6 = 24 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Se dă un vector v cu lungimea 9 cm. Calculează lungimea vectorului −3×v.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 × 9 = 27 cm (sensul se schimbă, lungimea nu poate fi negativă)
Ex. 5Dificultate redusă
Într-un paralelogram MNPQ, ce vector este echipolent cu MN?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Vectorul QP (de la Q la P).
Ex. 6Dificultate medie
Se dau vectorii AB și BC, cu AB=6 cm și BC=8 cm, perpendiculari între ei. Calculează lungimea vectorului sumă AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 64 = 10 cm
Ex. 7Dificultate medie
Se dă un paralelogram ABCD, cu AB=9 cm și AD=12 cm, perpendiculare. Calculează lungimea diagonalei AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
81 + 144 = √225 = 15 cm
Ex. 8Dificultate medie
Un vector v are lungimea 12 cm. Calculează lungimea vectorului (13)×v.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 : 3 = 4 cm
Ex. 9Dificultate medie
Explică, folosind regula triunghiului, cum se calculează suma a 2 vectori consecutivi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Așezi originea celui de-al doilea vector în vârful primului. Suma pleacă din originea primului și ajunge în vârful celui de-al doilea: AB + BC = AC.
Ex. 10Dificultate medie
Se dau doi vectori echipolenți, MN și PQ. Ce relație există între lungimile MN și PQ?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Sunt egale: vectorii echipolenți au aceeași lungime.
Ex. 11Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, vectorii MN și MP au lungimile 9 cm și 12 cm, iar unghiul dintre ei este 90°. Calculează lungimea vectorului sumă MN+MP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Vectorul sumă este diagonala dreptunghiului construit pe MN și MP: 81 + 144 = 15 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă un vector v. Calculează, în funcție de lungimea inițială L a lui v, lungimea vectorului 5×v − 3×v.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5v − 3v = 2v, deci lungimea este 2L.
Ex. 13Dificultate ridicată
Într-un paralelogram MNPQ, se știe că MN + MQ = MP. Dacă MP = 13 cm și MN = 5 cm, iar unghiul dintre MN și MQ este 90°, calculează MQ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MQ = 13² − 5² = √144 = 12 cm
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dau 3 puncte coliniare M, N, P, cu N între M și P. Explică de ce vectorul MN + NP = MP este valabil întotdeauna.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mergi de la M la N, apoi de la N la P: ajungi exact unde ai fi ajuns mergând direct de la M la P. Este regula triunghiului; aici N este chiar pe drum, iar MN + NP = MP și ca lungimi.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un vector u are lungimea 4 cm, iar un vector v, cu aceeași direcție și sens ca u, are lungimea 18 cm. Determină scalarul k, astfel încât v = k × u.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 18 : 4 = 4,5
Ex. 16Excelență
Într-un triunghi ABC, M este mijlocul laturii BC. Explică, folosind vectori, de ce AM = (AB + AC) / 2 (medie a celor 2 vectori), și ce legătură are acest lucru cu conceptul de mediană, cunoscut de la geometria triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM = AB + BM și AM = AC + CM. Adunând, 2AM = AB + AC + (BM + CM), iar BM + CM = 0 (M este mijlocul lui BC). Deci AM = AB + AC2, iar AM este chiar mediana din A.
Ex. 17Excelență
Se dau vectorii AB, BC, CD, cu extremitatea fiecăruia coincizând cu originea următorului. Explică, folosind regula triunghiului aplicată succesiv, de ce AB + BC + CD = AD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB + BC = AC (regula triunghiului), apoi AC + CD = AD. Deci AB + BC + CD = AD.
Ex. 18Excelență
Într-un hexagon regulat ABCDEF, cu centrul O, explică de ce suma vectorilor OA + OB + OC + OD + OE + OF este vectorul nul (folosind simetria hexagonului regulat, unde fiecare vector este echilibrat de un vector opus).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Vârfurile opuse sunt simetrice față de O, deci OA + OD = 0, OB + OE = 0 și OC + OF = 0. Suma tuturor este vectorul nul.
Ex. 19Excelență
Se dă un vector v cu lungimea 20 cm. Se cere un vector w, cu aceeași direcție și sens ca v, dar cu lungimea 5 cm. Determină scalarul k, astfel încât w = k×v, apoi explică de ce 0 < k < 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 5 : 20 = 14. k > 0 pentru că sensul este același, iar k < 1 pentru că w este mai scurt decât v.
Ex. 20Excelență
Într-un paralelogram ABCD, diagonalele AC și BD se intersectează în O. Explică, folosind proprietatea că diagonalele se înjumătățesc reciproc (cunoscută din geometria paralelogramului), de ce vectorul AO este egal cu vectorul OC, iar vectorul BO este egal cu vectorul OD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O este mijlocul lui AC, deci AO și OC au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime: sunt vectori egali. La fel, O este mijlocul lui BD, deci BO = OD.