Încărcăm partea curentă…

Vectori

Vectori echipolenți

Un vector este determinat de trei lucruri: direcție, sens și lungime, numită și modul. Punctul de aplicație nu contează.

Doi vectori se numesc echipolenți dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime — practic, sunt același vector, desenat în alt loc. Într-un paralelogram ABCD, vectorul AB este echipolent cu DC.

Vectorul −v are aceeași direcție și aceeași lungime ca v, dar sensul opus.

De ținut minte

vector = direcție + sens + lungime
în ABCD paralelogram: AB echipolent cu DC
  • Doi vectori paraleli, de lungimi diferite, nu sunt echipolenți.
  • Sensul opus schimbă vectorul, chiar dacă direcția și lungimea rămân aceleași.

Exemplu rezolvat

Față de vectorul v, ce are vectorul −v?

  1. 1Semnul minus nu schimbă direcția dreptei pe care se află vectorul.
  2. 2Nu schimbă nici lungimea, deci modulele sunt egale.
  3. 3Se schimbă doar sensul: −v are sens opus lui v.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Vectori: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un vector este un segment orientat, caracterizat prin direcție, sens și lungime. Vectorii echipolenți au toate aceste caracteristici identice, chiar dacă au origini diferite.

Vectori echipolenți

Un vector este determinat de trei lucruri: direcție, sens și lungime, numită și modul. Punctul de aplicație nu contează.

Doi vectori se numesc echipolenți dacă au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime — practic, sunt același vector, desenat în alt loc. Într-un paralelogram ABCD, vectorul AB este echipolent cu DC.

Vectorul −v are aceeași direcție și aceeași lungime ca v, dar sensul opus.

  • vector = direcție + sens + lungime
  • în ABCD paralelogram: AB echipolent cu DC
  • Doi vectori paraleli, de lungimi diferite, nu sunt echipolenți.
  • Sensul opus schimbă vectorul, chiar dacă direcția și lungimea rămân aceleași.

Exemplu rezolvat

Față de vectorul v, ce are vectorul −v?

  1. Semnul minus nu schimbă direcția dreptei pe care se află vectorul.
  2. Nu schimbă nici lungimea, deci modulele sunt egale.
  3. Se schimbă doar sensul: −v are sens opus lui v.

Înmulțirea unui vector cu un număr

Înmulțind un vector v cu un număr k, obții un vector paralel cu el, a cărui lungime este |k| ori lungimea lui v.

Dacă k > 0, sensul rămâne același; dacă k < 0, sensul se inversează. Astfel, 3v are lungimea triplă și același sens, iar −2v are lungimea dublă și sens opus.

Împărțirea la un număr funcționează la fel: v : 2 are jumătate din lungimea lui v.

  • |k × v| = |k| × |v|
  • |3v| = 3|v|
  • |−2v| = 2|v|
  • Lungimea se înmulțește cu valoarea absolută a numărului, deci este mereu pozitivă.
  • Semnul lui k decide sensul, nu lungimea.

Exemplu rezolvat · alte date

Un vector v are lungimea 7. Află lungimea lui −3v și compară sensurile.

  1. Lungimea se înmulțește cu modulul scalarului.
  2. |−3|·7 = 21.
  3. −3v are lungimea 21 și sens opus lui v.

Adunarea vectorilor: regula triunghiului

Regula triunghiului spune că, dacă vectorii se leagă cap la coadă, suma lor este vectorul care unește începutul primului cu sfârșitul ultimului: AB + BC = AC.

Regula se extinde la oricâți vectori: AB + BC + CD = AD. Punctele intermediare se „simplifică”, ca într-un lanț.

De aici rezultă și că AB + BA = 0: mergi și te întorci, deci obții vectorul nul.

  • AB + BC = AC
  • AB + BC + CD = AD
  • AB + BA = 0
  • Vectorii se adună cap la coadă, nu vârf la vârf.
  • Când punctele sunt coliniare și în același sens, lungimile se adună.

Exemplu rezolvat

Punctele A, B și C sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 4 cm și BC = 6 cm. Cât este |AB + BC|?

  1. Prin regula triunghiului, AB + BC = AC.
  2. Punctele fiind coliniare, în această ordine, AC = AB + BC = 4 + 6.
  3. Deci |AB + BC| = 10 cm.

Regula paralelogramului și lungimea sumei

Când doi vectori pornesc din același punct, suma lor se obține prin regula paralelogramului: construiești paralelogramul pe cei doi vectori, iar suma este diagonala care pleacă din același punct. În ABCD, AB + AD = AC.

Lungimea sumei nu este, în general, suma lungimilor. Când vectorii sunt perpendiculari, se aplică teorema lui Pitagora: |AB + AD| = |AB|2 + |AD|2.

Pentru vectori perpendiculari de 3 cm și 4 cm, lungimea sumei este 5 cm, nu 7 cm.

  • AB + AD = AC, în paralelogram
  • vectori perpendiculari: |u + v| = |u|2 + |v|2
  • Lungimea sumei depinde de unghiul dintre vectori.
  • Doar la vectori de același sens lungimile se adună direct.

Exemplu rezolvat

Vectorii AB și AD sunt perpendiculari, cu lungimile 5 cm și 12 cm. Cât este |AB + AD|?

  1. Suma este diagonala AC a dreptunghiului construit pe cei doi vectori.
  2. Aplicăm teorema lui Pitagora: AC2 = 25 + 144 = 169.
  3. Deci |AB + AD| = 13 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce caracteristici au doi vectori echipolenți?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector are direcție, sens și lungime; sensul este indicat de vârful săgeții.
    2. Pentru echipolență verificăm toate cele trei caracteristici, nu doar lungimea.
    3. Echipolența cere coincidența tuturor celor trei caracteristici.

    Răspuns: Aceeași direcție, același sens și aceeași lungime

  2. Exercițiul 2

    Un vector are lungimea 5 cm. Ce lungime are vectorul 3v?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector are direcție, sens și lungime; sensul este indicat de vârful săgeții.
    2. Înmulțirea cu un scalar pozitiv multiplică lungimea cu acel scalar.
    3. |3v| = 3 · 5 = 15 cm.

    Răspuns: 15

  3. Exercițiul 3

    Un vector are lungimea 8 cm. Ce lungime are vectorul −2v?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector are direcție, sens și lungime; sensul este indicat de vârful săgeții.
    2. Lungimea se multiplică cu valoarea absolută a scalarului; minusul inversează sensul.
    3. |−2v| = 2 · 8 = 16 cm; semnul minus schimbă numai sensul.

    Răspuns: 16

  4. Exercițiul 4

    În paralelogramul ABCD, ce vector este echipolent cu AB?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector are direcție, sens și lungime; sensul este indicat de vârful săgeții.
    2. Urmărim săgețile pe laturile opuse, în ordinea indicată de litere.
    3. Vectorii AB și DC au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime.

    Răspuns: DC

  5. Exercițiul 5

    Vectorii AB și BC sunt perpendiculari, cu lungimi 4 cm și 3 cm. Cât este |AB + BC|?

    Vezi rezolvarea
    1. Un vector are direcție, sens și lungime; sensul este indicat de vârful săgeții.
    2. Prin regula triunghiului AB + BC = AC; perpendicularitatea permite folosirea lui Pitagora.
    3. AC = 42 + 32 = 5 cm.

    Răspuns: 5

  6. Exercițiul 6

    Un vector are lungimea 6 cm. Ce lungime are vectorul v2, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. k = 12.
    2. |v2| = 6 : 2.
    3. Lungimea este 3 cm.

    Răspuns: 3

  7. Exercițiul 7

    Față de vectorul v, vectorul −v are:

    Vezi rezolvarea
    1. |−v| = |v|.
    2. Direcția rămâne aceeași.
    3. Sensul se inversează.

    Răspuns: aceeași direcție și lungime, dar sens opus

  8. Exercițiul 8

    Cât este AB + BC + CD?

    Vezi rezolvarea
    1. AB + BC = AC.
    2. AC + CD = AD.
    3. Rezultatul este AD.

    Răspuns: AD

  9. Exercițiul 9

    Cât este AB + BA?

    Vezi rezolvarea
    1. AB + BA = AA.
    2. AA are originea egală cu extremitatea.
    3. Rezultatul este vectorul nul.

    Răspuns: vectorul nul

  10. Exercițiul 10

    În paralelogramul ABCD, AB + AD este:

    Vezi rezolvarea
    1. AD este echipolent cu BC.
    2. AB + BC = AC.
    3. Deci AB + AD = AC.

    Răspuns: AC

  11. Exercițiul 11

    Vectorii AB și AD sunt perpendiculari, cu lungimile 5 cm și 12 cm. Cât este |AB + AD|, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. AB + AD = AC, diagonala dreptunghiului ABCD.
    2. AC2 = 25 + 144 = 169.
    3. |AB + AD| = 13 cm.

    Răspuns: 13

  12. Exercițiul 12

    Punctele A, B, C sunt coliniare, în această ordine, cu AB = 4 cm și BC = 6 cm. Cât este |AB + BC|, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. Regula triunghiului: AB + BC = AC.
    2. B este între A și C, deci AC = 4 + 6.
    3. |AB + BC| = 10 cm.

    Răspuns: 10

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Ce caracteristici are un vector?

    Vezi răspunsul

    Direcție, sens și lungime (modul).

  2. 2. Dificultate redusă

    Ce înseamnă că doi vectori sunt echipolenți?

    Vezi răspunsul

    Au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime.

  3. 3. Dificultate redusă

    Se dă un vector v cu lungimea 6 cm. Calculează lungimea vectorului 4×v.

    Vezi răspunsul

    4 × 6 = 24 cm

  4. 4. Dificultate redusă

    Se dă un vector v cu lungimea 9 cm. Calculează lungimea vectorului −3×v.

    Vezi răspunsul

    3 × 9 = 27 cm (sensul se schimbă, lungimea nu poate fi negativă)

  5. 5. Dificultate redusă

    Într-un paralelogram MNPQ, ce vector este echipolent cu MN?

    Vezi răspunsul

    Vectorul QP (de la Q la P).

  6. 6. Dificultate medie

    Se dau vectorii AB și BC, cu AB=6 cm și BC=8 cm, perpendiculari între ei. Calculează lungimea vectorului sumă AC.

    Vezi răspunsul

    36 + 64 = 10 cm

  7. 7. Dificultate medie

    Se dă un paralelogram ABCD, cu AB=9 cm și AD=12 cm, perpendiculare. Calculează lungimea diagonalei AC.

    Vezi răspunsul

    81 + 144 = √225 = 15 cm

  8. 8. Dificultate medie

    Un vector v are lungimea 12 cm. Calculează lungimea vectorului (13)×v.

    Vezi răspunsul

    12 : 3 = 4 cm

  9. 9. Dificultate medie

    Explică, folosind regula triunghiului, cum se calculează suma a 2 vectori consecutivi.

    Vezi răspunsul

    Așezi originea celui de-al doilea vector în vârful primului. Suma pleacă din originea primului și ajunge în vârful celui de-al doilea: AB + BC = AC.

  10. 10. Dificultate medie

    Se dau doi vectori echipolenți, MN și PQ. Ce relație există între lungimile MN și PQ?

    Vezi răspunsul

    Sunt egale: vectorii echipolenți au aceeași lungime.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Într-un triunghi MNP, vectorii MN și MP au lungimile 9 cm și 12 cm, iar unghiul dintre ei este 90°. Calculează lungimea vectorului sumă MN+MP.

    Vezi răspunsul

    Vectorul sumă este diagonala dreptunghiului construit pe MN și MP: 81 + 144 = 15 cm.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Se dă un vector v. Calculează, în funcție de lungimea inițială L a lui v, lungimea vectorului 5×v − 3×v.

    Vezi răspunsul

    5v − 3v = 2v, deci lungimea este 2L.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Într-un paralelogram MNPQ, se știe că MN + MQ = MP. Dacă MP = 13 cm și MN = 5 cm, iar unghiul dintre MN și MQ este 90°, calculează MQ.

    Vezi răspunsul

    MQ = 132 − 52 = √144 = 12 cm

  14. 14. Dificultate ridicată

    Se dau 3 puncte coliniare M, N, P, cu N între M și P. Explică de ce vectorul MN + NP = MP este valabil întotdeauna.

    Vezi răspunsul

    Mergi de la M la N, apoi de la N la P: ajungi exact unde ai fi ajuns mergând direct de la M la P. Este regula triunghiului; aici N este chiar pe drum, iar MN + NP = MP și ca lungimi.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Un vector u are lungimea 4 cm, iar un vector v, cu aceeași direcție și sens ca u, are lungimea 18 cm. Determină scalarul k, astfel încât v = k × u.

    Vezi răspunsul

    k = 18 : 4 = 4,5

  16. 16. Excelență

    Într-un triunghi ABC, M este mijlocul laturii BC. Explică, folosind vectori, de ce AM = AB + AC2 (medie a celor 2 vectori), și ce legătură are acest lucru cu conceptul de mediană, cunoscut de la geometria triunghiului.

    Vezi răspunsul

    AM = AB + BM și AM = AC + CM. Adunând, 2AM = AB + AC + (BM + CM), iar BM + CM = 0 (M este mijlocul lui BC). Deci AM = AB + AC2, iar AM este chiar mediana din A.

  17. 17. Excelență

    Se dau vectorii AB, BC, CD, cu extremitatea fiecăruia coincizând cu originea următorului. Explică, folosind regula triunghiului aplicată succesiv, de ce AB + BC + CD = AD.

    Vezi răspunsul

    AB + BC = AC (regula triunghiului), apoi AC + CD = AD. Deci AB + BC + CD = AD.

  18. 18. Excelență

    Într-un hexagon regulat ABCDEF, cu centrul O, explică de ce suma vectorilor OA + OB + OC + OD + OE + OF este vectorul nul (folosind simetria hexagonului regulat, unde fiecare vector este echilibrat de un vector opus).

    Vezi răspunsul

    Vârfurile opuse sunt simetrice față de O, deci OA + OD = 0, OB + OE = 0 și OC + OF = 0. Suma tuturor este vectorul nul.

  19. 19. Excelență

    Se dă un vector v cu lungimea 20 cm. Se cere un vector w, cu aceeași direcție și sens ca v, dar cu lungimea 5 cm. Determină scalarul k, astfel încât w = k×v, apoi explică de ce 0 < k < 1.

    Vezi răspunsul

    k = 5 : 20 = 14. k > 0 pentru că sensul este același, iar k < 1 pentru că w este mai scurt decât v.

  20. 20. Excelență

    Într-un paralelogram ABCD, diagonalele AC și BD se intersectează în O. Explică, folosind proprietatea că diagonalele se înjumătățesc reciproc (cunoscută din geometria paralelogramului), de ce vectorul AO este egal cu vectorul OC, iar vectorul BO este egal cu vectorul OD.

    Vezi răspunsul

    O este mijlocul lui AC, deci AO și OC au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime: sunt vectori egali. La fel, O este mijlocul lui BD, deci BO = OD.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.