Trunchiul de piramidă

Trunchiul de piramidă se obține când tăiem o piramidă cu un plan paralel cu baza și păstrăm partea dintre cele două baze. Bazele sunt poligoane asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Trunchiul are o bază mare, o bază mică paralelă și fețe laterale trapezoidale.

Ce este un trunchi de piramidă

Un trunchi de piramidă se obține tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza și îndepărtând vârful. Rămân două baze: cea inițială și secțiunea.

Cele două baze sunt poligoane asemenea și paralele, iar fețele laterale ale unui trunchi regulat sunt trapeze isoscele identice.

Înălțimea trunchiului este distanța dintre planele bazelor, iar apotema trunchiului este înălțimea unei fețe laterale trapezoidale.

baze: poligoane asemenea și paralele

fețe laterale: trapeze isoscele

Planul de secțiune trebuie să fie paralel cu baza, altfel bazele nu ar fi asemenea.
Apotema trunchiului este înălțimea trapezului lateral, nu muchia laterală.

Exemplu rezolvat

Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?

1.Fiecare față laterală are două laturi paralele: câte o latură din fiecare bază.
2.Laturile neparalele sunt muchii laterale egale, fiindcă trunchiul este regulat.
3.Deci fețele laterale sunt trapeze isoscele.

Aria laterală

Aria laterală a unui trunchi de piramidă regulată se calculează cu A_l = [(P₁ + P₂) × a] : 2, unde P₁ și P₂ sunt perimetrele bazelor, iar a este apotema trunchiului.

Formula este de fapt aria unui trapez, aplicată tuturor fețelor laterale deodată: semisuma „bazelor” — adică perimetrele — înmulțită cu înălțimea trapezului.

Pentru P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm: A_l = (56 × 7) : 2 = 196 cm².

A_l = [(P₁ + P₂) × a] : 2

P = n × latura

Perimetrele se calculează întâi, din laturile bazelor.
În formulă intră apotema trunchiului, nu înălțimea lui.

Exemplu rezolvat

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 10 cm și 4 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală.

1.Perimetrele bazelor sunt 4 × 10 = 40 cm și 4 × 4 = 16 cm.
2.Aplicăm formula: A_l = [(40 + 16) × 5] : 2 = 280 : 2.
3.Aria laterală este 140 cm².

Aria totală

Aria totală se obține adunând la aria laterală ariile ambelor baze: A_t = A_l + A₁ + A₂.

Spre deosebire de prismă, aici bazele au arii diferite, fiindcă poligoanele sunt asemenea, dar nu identice.

Doar cu aria laterală nu poți afla aria totală: ai nevoie și de ariile celor două baze.

A_t = A_l + A₁ + A₂

Se adună ambele baze, chiar dacă au dimensiuni diferite.
Verifică unitățile: toate ariile trebuie să fie în aceeași unitate.

Exemplu rezolvat

Aria laterală este 160 cm², iar ariile bazelor sunt 100 cm² și 36 cm². Cât este aria totală?

1.Adunăm cele două baze: 100 + 36 = 136 cm².
2.Adăugăm aria laterală: 160 + 136.
3.Aria totală este 296 cm².

Volumul trunchiului

Volumul se calculează cu V = [h × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂)] : 3, unde A₁ și A₂ sunt ariile bazelor, iar h este înălțimea trunchiului.

Termenul A₁ × A₂ este media geometrică a ariilor și nu poate lipsi: fără el, rezultatul iese mai mic decât cel real.

Pentru A₁ = 64 cm², A₂ = 16 cm² și h = 6 cm: 64 × 16 = 32, deci V = [6 × (64 + 16 + 32)] : 3 = 224 cm³.

V = [h × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂)] : 3

În formula volumului intră înălțimea, nu apotema.
Nu uita termenul cu radical, cel mai des omis.

Exemplu rezolvat

A₁ = 36 cm², A₂ = 9 cm² și h = 4 cm. Calculează volumul.

1.Calculăm media geometrică a ariilor: 36 × 9 = √324 = 18.
2.Adunăm: 36 + 9 + 18 = 63, apoi înmulțim cu înălțimea: 63 × 4 = 252.
3.Împărțim la 3: volumul este 84 cm³.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce relație există între cele două baze din desen?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Sunt în plane paralele și sunt poligoane asemenea (la trunchiul de piramidă regulată, poligoane regulate cu același număr de laturi).
Ex. 2Dificultate redusă
Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trapeze isoscele congruente.
Ex. 3Dificultate redusă
În formula ariei laterale, ce lungime folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Apotema trunchiului, adică înălțimea unei fețe laterale (trapez).
Ex. 4Dificultate redusă
P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = (P₁ + P₂) × a : 2 = (36 + 20) × 7 : 2 = 196 cm²
Ex. 5Dificultate redusă
Aria laterală este 196 cm², iar ariile bazelor sunt 81 cm² și 25 cm². Cât este aria totală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_t = 196 + 81 + 25 = 302 cm²
Ex. 6Dificultate medie
A₁ = 64 cm², A₂ = 16 cm² și h = 6 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = h3 × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂) = 63 × (64 + 16 + 32) = 2 × 112 = 224 cm³
Ex. 7Dificultate medie
Care mărime intră în formula volumului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea trunchiului (h), împreună cu ariile celor două baze.
Ex. 8Dificultate medie
Putem calcula aria totală cunoscând doar aria laterală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: trebuie adunate și ariile celor două baze.
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce relație există între cele două baze din desen?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Bazele sunt în plane paralele: trunchiul se obține tăind piramida cu un plan paralel cu baza. Secțiunea este asemenea cu baza, deci bazele sunt poligoane asemenea.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trapeze isoscele congruente: fiecare față laterală a piramidei regulate este un triunghi isoscel, iar tăietura paralelă cu baza îi scoate vârful și lasă un trapez isoscel.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În formula ariei laterale, ce lungime folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Apotema trunchiului: fețele laterale sunt trapeze, iar aria unui trapez se calculează cu înălțimea lui, care este chiar apotema trunchiului.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
196 cm²: aria laterală este suma ariilor trapezelor, adică (P₁ + P₂) × a : 2 = 56 × 7 : 2.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Aria laterală este 196 cm², iar ariile bazelor sunt 81 cm² și 25 cm². Cât este aria totală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
302 cm²: aria totală este aria laterală plus ariile celor două baze, 196 + 81 + 25.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: A₁ = 64 cm², A₂ = 16 cm² și h = 6 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
224 cm³: V = h3 × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂) = 2 × (64 + 16 + 8 × 4).
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Care mărime intră în formula volumului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea trunchiului, h (distanța dintre baze), nu apotema, alături de ariile bazelor.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Putem calcula aria totală cunoscând doar aria laterală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: aria totală = aria laterală + A₁ + A₂, deci trebuie cunoscute și ariile bazelor.
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ce relație există între cele două baze din desen?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: trunchiul se obține tăind piramida cu un plan paralel cu baza. Bazele sunt deci în plane paralele și sunt poligoane asemenea.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: tăietura paralelă cu baza scoate vârful fiecărui triunghi isoscel lateral. Fețele laterale sunt trapeze isoscele congruente.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În formula ariei laterale, ce lungime folosim?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: aria unui trapez se calculează cu înălțimea lui. La trunchi, această înălțime este apotema trunchiului.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: A_l = (P₁ + P₂) × a : 2. Deci A_l = (36 + 20) × 7 : 2 = 196 cm².