Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 26–30 min

⏢

Încărcăm partea curentă…

Trunchiul de piramidă

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce este un trunchi de piramidă

Un trunchi de piramidă se obține tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza și îndepărtând vârful. Rămân două baze: cea inițială și secțiunea.

Cele două baze sunt poligoane asemenea și paralele, iar fețele laterale ale unui trunchi regulat sunt trapeze isoscele identice.

Înălțimea trunchiului este distanța dintre planele bazelor, iar apotema trunchiului este înălțimea unei fețe laterale trapezoidale.

De ținut minte

baze: poligoane asemenea și paralele

fețe laterale: trapeze isoscele

Planul de secțiune trebuie să fie paralel cu baza, altfel bazele nu ar fi asemenea.
Apotema trunchiului este înălțimea trapezului lateral, nu muchia laterală.

Exemplu rezolvat · alte date

Secționăm o piramidă pentagonală regulată cu un plan paralel bazei și îndepărtăm vârful. Câte fețe laterale rămân?

1Fiecare dintre cele 5 fețe triunghiulare este tăiată de paralela la bază.
2Partea rămasă din fiecare față este un trapez.
3Rămân 5 fețe laterale trapezoidale.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trunchiul de piramidă: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Trunchiul de piramidă se obține când tăiem o piramidă cu un plan paralel cu baza și păstrăm partea dintre cele două baze. Bazele sunt poligoane asemenea, iar fețele laterale sunt trapeze.

Ce este un trunchi de piramidă

Un trunchi de piramidă se obține tăind o piramidă cu un plan paralel cu baza și îndepărtând vârful. Rămân două baze: cea inițială și secțiunea.

Cele două baze sunt poligoane asemenea și paralele, iar fețele laterale ale unui trunchi regulat sunt trapeze isoscele identice.

Înălțimea trunchiului este distanța dintre planele bazelor, iar apotema trunchiului este înălțimea unei fețe laterale trapezoidale.

baze: poligoane asemenea și paralele
fețe laterale: trapeze isoscele

Planul de secțiune trebuie să fie paralel cu baza, altfel bazele nu ar fi asemenea.
Apotema trunchiului este înălțimea trapezului lateral, nu muchia laterală.

Exemplu rezolvat · alte date

Secționăm o piramidă pentagonală regulată cu un plan paralel bazei și îndepărtăm vârful. Câte fețe laterale rămân?

Fiecare dintre cele 5 fețe triunghiulare este tăiată de paralela la bază.
Partea rămasă din fiecare față este un trapez.
Rămân 5 fețe laterale trapezoidale.

Aria laterală

Aria laterală a unui trunchi de piramidă regulată se calculează cu A_l = [(P₁ + P₂) × a] : 2, unde P₁ și P₂ sunt perimetrele bazelor, iar a este apotema trunchiului.

Formula este de fapt aria unui trapez, aplicată tuturor fețelor laterale deodată: semisuma „bazelor” — adică perimetrele — înmulțită cu înălțimea trapezului.

Pentru P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm: A_l = (56 × 7) : 2 = 196 cm².

A_l = [(P₁ + P₂) × a] : 2
P = n × latura

Perimetrele se calculează întâi, din laturile bazelor.
În formulă intră apotema trunchiului, nu înălțimea lui.

Exemplu rezolvat

Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 10 cm și 4 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală.

Perimetrele bazelor sunt 4 × 10 = 40 cm și 4 × 4 = 16 cm.
Aplicăm formula: A_l = [(40 + 16) × 5] : 2 = 280 : 2.
Aria laterală este 140 cm².

Aria totală

Aria totală se obține adunând la aria laterală ariile ambelor baze: A_t = A_l + A₁ + A₂.

Spre deosebire de prismă, aici bazele au arii diferite, fiindcă poligoanele sunt asemenea, dar nu identice.

Doar cu aria laterală nu poți afla aria totală: ai nevoie și de ariile celor două baze.

A_t = A_l + A₁ + A₂

Se adună ambele baze, chiar dacă au dimensiuni diferite.
Verifică unitățile: toate ariile trebuie să fie în aceeași unitate.

Exemplu rezolvat

Aria laterală este 160 cm², iar ariile bazelor sunt 100 cm² și 36 cm². Cât este aria totală?

Adunăm cele două baze: 100 + 36 = 136 cm².
Adăugăm aria laterală: 160 + 136.
Aria totală este 296 cm².

Volumul trunchiului

Volumul se calculează cu V = [h × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂)] : 3, unde A₁ și A₂ sunt ariile bazelor, iar h este înălțimea trunchiului.

Termenul A₁ × A₂ este media geometrică a ariilor și nu poate lipsi: fără el, rezultatul iese mai mic decât cel real.

Pentru A₁ = 64 cm², A₂ = 16 cm² și h = 6 cm: 64 × 16 = 32, deci V = [6 × (64 + 16 + 32)] : 3 = 224 cm³.

V = [h × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂)] : 3

În formula volumului intră înălțimea, nu apotema.
Nu uita termenul cu radical, cel mai des omis.

Exemplu rezolvat

A₁ = 36 cm², A₂ = 9 cm² și h = 4 cm. Calculează volumul.

Calculăm media geometrică a ariilor: 36 × 9 = √324 = 18.
Adunăm: 36 + 9 + 18 = 63, apoi înmulțim cu înălțimea: 63 × 4 = 252.
Împărțim la 3: volumul este 84 cm³.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce relație există între cele două baze din desen?
Vezi rezolvarea
1. O secțiune paralelă cu baza produce un poligon asemenea bazei.
Răspuns: Sunt poligoane asemenea și paralele
Exercițiul 2
Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?
Vezi rezolvarea
1. Fiecare față triunghiulară a piramidei devine un trapez isoscel.
Răspuns: Trapeze isoscele
Exercițiul 3
În formula ariei laterale, ce lungime folosim?
Vezi rezolvarea
1. Aria trapezelor laterale se calculează cu apotema trunchiului.
Răspuns: Apotema trunchiului
Exercițiul 4
P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm. Calculează aria laterală.
Vezi rezolvarea
1. A_l = (36 + 20) · 7 : 2 = 56 · 7 : 2 = 196 cm².
Răspuns: 196
Exercițiul 5
Aria laterală este 196 cm², iar ariile bazelor sunt 81 cm² și 25 cm². Cât este aria totală?
Vezi rezolvarea
1. A_t = 196 + 81 + 25 = 302 cm².
Răspuns: 302
Exercițiul 6
A₁ = 64 cm², A₂ = 16 cm² și h = 6 cm. Calculează volumul.
Vezi rezolvarea
1. V = 63 · (64 + 16 + 32) = 2 · 112 = 224 cm³.
Răspuns: 224
Exercițiul 7
Care mărime intră în formula volumului?
Vezi rezolvarea
1. Volumul folosește înălțimea perpendiculară pe baze.
Răspuns: Înălțimea h
Exercițiul 8
Putem calcula aria totală cunoscând doar aria laterală?
Vezi rezolvarea
1. A_t = A_l + A₁ + A₂.
Răspuns: Nu, trebuie adăugate ariile celor două baze
Exercițiul 9
P₁ = 40 cm, P₂ = 24 cm și apotema trunchiului a = 5 cm. Calculează aria laterală, în cm².
Vezi rezolvarea
1. P₁ + P₂ = 64.
2. 64 · 5 = 320.
3. A_l = 320 : 2 = 160 cm².
Răspuns: 160
Exercițiul 10
Aria laterală este 160 cm², iar ariile bazelor sunt 100 cm² și 36 cm². Cât este aria totală, în cm²?
Vezi rezolvarea
1. A_t = A_l + A₁ + A₂.
2. 160 + 100 + 36.
3. A_t = 296 cm².
Răspuns: 296
Exercițiul 11
A₁ = 36 cm², A₂ = 9 cm² și h = 4 cm. Calculează volumul, în cm³.
Vezi rezolvarea
1. 36 · 9 = √324 = 18.
2. A₁ + A₂ + A₁A₂ = 36 + 9 + 18 = 63.
3. V = 43 · 63 = 84 cm³.
Răspuns: 84
Exercițiul 12
Un trunchi de piramidă patrulateră regulată are laturile bazelor 10 cm și 4 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală, în cm².
Vezi rezolvarea
1. P₁ = 40 cm, P₂ = 16 cm.
2. (40 + 16) · 5 = 280.
3. A_l = 280 : 2 = 140 cm².
Răspuns: 140

Fișă de consolidare din material (8)

1. Dificultate redusă
Ce relație există între cele două baze din desen?
Vezi răspunsul
Sunt în plane paralele și sunt poligoane asemenea (la trunchiul de piramidă regulată, poligoane regulate cu același număr de laturi).
2. Dificultate redusă
Ce formă au fețele laterale ale unui trunchi de piramidă regulată?
Vezi răspunsul
Trapeze isoscele congruente.
3. Dificultate redusă
În formula ariei laterale, ce lungime folosim?
Vezi răspunsul
Apotema trunchiului, adică înălțimea unei fețe laterale (trapez).
4. Dificultate redusă
P₁ = 36 cm, P₂ = 20 cm și a = 7 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsul
A_l = (P₁ + P₂) × a : 2 = (36 + 20) × 7 : 2 = 196 cm²
5. Dificultate redusă
Aria laterală este 196 cm², iar ariile bazelor sunt 81 cm² și 25 cm². Cât este aria totală?
Vezi răspunsul
A_t = 196 + 81 + 25 = 302 cm²
6. Dificultate medie
A₁ = 64 cm², A₂ = 16 cm² și h = 6 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsul
V = h3 × (A₁ + A₂ + A₁ × A₂) = 63 × (64 + 16 + 32) = 2 × 112 = 224 cm³
7. Dificultate medie
Care mărime intră în formula volumului?
Vezi răspunsul
Înălțimea trunchiului (h), împreună cu ariile celor două baze.
8. Dificultate medie
Putem calcula aria totală cunoscând doar aria laterală?
Vezi răspunsul
Nu: trebuie adunate și ariile celor două baze.