Încărcăm partea curentă…

Trunchiul de con circular drept

Elementele trunchiului de con

Un trunchi de con circular drept se obține tăind un con cu un plan paralel cu baza și îndepărtând vârful. Rămân două baze circulare, de raze R și r, cu R mai mare.

Segmentul care unește un punct de pe cercul mare cu punctul corespunzător de pe cercul mic, pe suprafața laterală, se numește generatoare și se notează G.

Înălțimea h este distanța dintre planele bazelor, iar secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r.

De ținut minte

baze: cercuri de raze R și r
secțiunea axială: trapez isoscel
  • Generatoarea este latura oblică din secțiunea axială, nu înălțimea.
  • Bazele sunt paralele, deci cercurile au același centru pe axă.

Exemplu rezolvat

În secțiunea axială a unui trunchi de con, care segment este generatoarea?

  1. 1Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r.
  2. 2Laturile neparalele ale trapezului sunt cele care unesc cele două cercuri.
  3. 3Deci generatoarea este latura oblică, notată G.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trunchiul de con circular drept: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Trunchiul de con se obține prin tăierea unui con cu un plan paralel cu baza. Are două baze circulare de raze R și r, o înălțime h și o generatoare G pe suprafața laterală.

Elementele trunchiului de con

Un trunchi de con circular drept se obține tăind un con cu un plan paralel cu baza și îndepărtând vârful. Rămân două baze circulare, de raze R și r, cu R mai mare.

Segmentul care unește un punct de pe cercul mare cu punctul corespunzător de pe cercul mic, pe suprafața laterală, se numește generatoare și se notează G.

Înălțimea h este distanța dintre planele bazelor, iar secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r.

  • baze: cercuri de raze R și r
  • secțiunea axială: trapez isoscel
  • Generatoarea este latura oblică din secțiunea axială, nu înălțimea.
  • Bazele sunt paralele, deci cercurile au același centru pe axă.

Exemplu rezolvat

În secțiunea axială a unui trunchi de con, care segment este generatoarea?

  1. Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r.
  2. Laturile neparalele ale trapezului sunt cele care unesc cele două cercuri.
  3. Deci generatoarea este latura oblică, notată G.

Legătura dintre R, r, h și G

Coborând o perpendiculară din capătul bazei mici pe baza mare, în secțiunea axială apare un triunghi dreptunghic cu catetele h și R − r, iar ipotenuza G.

De aici rezultă formula G2 = h2 + (R − r)2. Diferența R − r apare fiindcă ea este exact cateta orizontală a acelui triunghi.

Formula se folosește în ambele sensuri: afli generatoarea din h și raze, sau înălțimea din G și raze.

  • G2 = h2 + (R − r)2
  • h2 = G2 − (R − r)2
  • Cateta orizontală este diferența razelor, nu suma lor.
  • Generatoarea este ipotenuza, deci cea mai lungă dintre cele trei.

Exemplu rezolvat

R = 7 cm, r = 4 cm și h = 4 cm. Calculează generatoarea G.

  1. Calculăm diferența razelor: 7 − 4 = 3 cm.
  2. Aplicăm formula: G2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25.
  3. Deci G = 5 cm.

Aria laterală și aria totală

Aria laterală a trunchiului de con se calculează cu Al = πG(R + r).

Aria totală adaugă cele două baze circulare: At = πG(R + r) + πR2 + πr2.

Pentru R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm: Al = π × 5 × 8 = 40π cm2.

  • Al = πG(R + r)
  • At = Al + πR2 + πr2
  • În aria laterală apare suma razelor, spre deosebire de formula generatoarei, unde apare diferența.
  • Se adună două baze, de arii diferite.

Exemplu rezolvat

R = 5 cm, r = 2 cm și G = 6 cm. Cât este aria laterală, în funcție de π?

  1. Adunăm razele: 5 + 2 = 7 cm.
  2. Aplicăm formula: Al = π × 6 × 7.
  3. Aria laterală este 42π cm2.

Volumul trunchiului de con

Volumul se calculează cu V = [πh × (R2 + Rr + r2)] : 3. Este aceeași idee ca la trunchiul de piramidă, cu media geometrică a bazelor scrisă prin termenul Rr.

Termenul Rr este cel mai des uitat: fără el, formula ar fi greșită și ar da un volum prea mic.

Pentru R = 4 cm, r = 2 cm și h = 3 cm: V = [π × 3 × (16 + 8 + 4)] : 3 = 28π cm3.

  • V = [πh × (R2 + Rr + r2)] : 3
  • Paranteza are trei termeni: R2, Rr și r2.
  • În formulă intră înălțimea, nu generatoarea — dacă ai doar G, calculeaz-o pe h întâi.

Exemplu rezolvat

R = 3 cm, r = 1 cm și h = 6 cm. Cât este volumul, în funcție de π?

  1. Calculăm paranteza: 32 + 3 × 1 + 12 = 9 + 3 + 1 = 13.
  2. Înmulțim cu înălțimea: 13 × 6 = 78.
  3. Împărțim la 3: volumul este 26π cm3.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În desen, care segment este generatoarea?

    Vezi rezolvarea
    1. Generatoarea G unește cercurile pe suprafața laterală și este oblică.

    Răspuns: G

  2. Exercițiul 2

    R = 8 cm, r = 5 cm și h = 4 cm. Cât este R − r?

    Vezi rezolvarea
    1. R − r = 8 − 5 = 3 cm.

    Răspuns: 3

  3. Exercițiul 3

    Pentru datele anterioare, calculează generatoarea G.

    Vezi rezolvarea
    1. G = 42 + 32 = √25 = 5 cm.

    Răspuns: 5

  4. Exercițiul 4

    R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm. Scrie aria laterală în funcție de π.

    Vezi rezolvarea
    1. Al = π · (6 + 2) · 5 = 40π cm2.

    Răspuns: 40π

  5. Exercițiul 5

    R = 5 cm, r = 3 cm și G = 4 cm. Scrie aria totală în funcție de π.

    Vezi rezolvarea
    1. Al = π(5 + 3)·4 = 32π.
    2. Abaze = 25π + 9π = 34π.
    3. At = 66π cm2.

    Răspuns: 66π

  6. Exercițiul 6

    R = 4 cm, r = 2 cm și h = 3 cm. Scrie volumul în funcție de π.

    Vezi rezolvarea
    1. V = 3π3 · (16 + 8 + 4) = 28π cm3.

    Răspuns: 28π

  7. Exercițiul 7

    De ce folosim R − r în formula generatoarei?

    Vezi rezolvarea
    1. În secțiunea axială, diferența razelor măsoară deplasarea orizontală dintre marginile bazelor.

    Răspuns: Este cateta orizontală din secțiunea axială

  8. Exercițiul 8

    Ce lipsește din expresia greșită V = πh3 · (R2 + r2)?

    Vezi rezolvarea
    1. Formula corectă este V = πh3 · (R2 + Rr + r2).

    Răspuns: Termenul Rr

  9. Exercițiul 9

    R = 7 cm, r = 4 cm și h = 4 cm. Calculează generatoarea G, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. R − r = 3.
    2. G2 = 16 + 9 = 25.
    3. G = 5 cm.

    Răspuns: 5

  10. Exercițiul 10

    R = 10 cm, r = 4 cm și G = 10 cm. Calculează înălțimea h, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. R − r = 6.
    2. h2 = 100 − 36 = 64.
    3. h = 8 cm.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    R = 5 cm, r = 2 cm și G = 6 cm. Aria laterală, în funcție de π, este:

    Vezi rezolvarea
    1. R + r = 7.
    2. 7 · 6 = 42.
    3. Al = 42π cm2.

    Răspuns: 42π cm2

  12. Exercițiul 12

    R = 3 cm, r = 1 cm și h = 6 cm. Volumul, în funcție de π, este:

    Vezi rezolvarea
    1. R2 + Rr + r2 = 9 + 3 + 1 = 13.
    2. h3 = 2.
    3. V = 2 · 13 · π = 26π cm3.

    Răspuns: 26π cm3

Fișă de consolidare din material (8)

  1. 1. Dificultate redusă

    În desen, care segment este generatoarea?

    Vezi răspunsul

    Latura oblică a secțiunii axiale: segmentul care unește un punct al cercului bazei mari cu punctul corespunzător al bazei mici.

  2. 2. Dificultate redusă

    R = 8 cm, r = 5 cm și h = 4 cm. Cât este R − r?

    Vezi răspunsul

    R − r = 3 cm

  3. 3. Dificultate redusă

    Pentru datele anterioare, calculează generatoarea G.

    Vezi răspunsul

    G = h2 + (R − r)2 = 16 + 9 = 5 cm

  4. 4. Dificultate redusă

    R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm. Scrie aria laterală în funcție de π.

    Vezi răspunsul

    Al = πG(R + r) = π × 5 × 8 = 40π cm2

  5. 5. Dificultate redusă

    R = 5 cm, r = 3 cm și G = 4 cm. Scrie aria totală în funcție de π.

    Vezi răspunsul

    At = πG(R + r) + πR2 + πr2 = 32π + 25π + 9π = 66π cm2

  6. 6. Dificultate medie

    R = 4 cm, r = 2 cm și h = 3 cm. Scrie volumul în funcție de π.

    Vezi răspunsul

    V = πh3 × (R2 + r2 + Rr) = π × (16 + 4 + 8) = 28π cm3

  7. 7. Dificultate medie

    De ce folosim R − r în formula generatoarei?

    Vezi răspunsul

    În secțiunea axială, generatoarea este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele h și R − r (diferența razelor).

  8. 8. Dificultate medie

    Ce lipsește din expresia greșită V = πh3 · (R2 + r2)?

    Vezi răspunsul

    Lipsește termenul Rr: formula corectă este V = πh3 × (R2 + r2 + Rr).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.