Teorie înainte de exerciții
Trunchiul de con circular drept
Trunchiul de con se obține prin tăierea unui con cu un plan paralel cu baza. Are două baze circulare de raze R și r, o înălțime h și o generatoare G pe suprafața laterală.
Figura de referință
Citește desenul înainte de formule
Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.
Elementele trunchiului de con
Un trunchi de con circular drept se obține tăind un con cu un plan paralel cu baza și îndepărtând vârful. Rămân două baze circulare, de raze R și r, cu R mai mare.
Segmentul care unește un punct de pe cercul mare cu punctul corespunzător de pe cercul mic, pe suprafața laterală, se numește generatoare și se notează G.
Înălțimea h este distanța dintre planele bazelor, iar secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r.
- Generatoarea este latura oblică din secțiunea axială, nu înălțimea.
- Bazele sunt paralele, deci cercurile au același centru pe axă.
Exemplu rezolvat
În secțiunea axială a unui trunchi de con, care segment este generatoarea?
- 1.Secțiunea axială este un trapez isoscel cu bazele 2R și 2r.
- 2.Laturile neparalele ale trapezului sunt cele care unesc cele două cercuri.
- 3.Deci generatoarea este latura oblică, notată G.
Legătura dintre R, r, h și G
Coborând o perpendiculară din capătul bazei mici pe baza mare, în secțiunea axială apare un triunghi dreptunghic cu catetele h și R − r, iar ipotenuza G.
De aici rezultă formula G2 = h2 + (R − r)2. Diferența R − r apare fiindcă ea este exact cateta orizontală a acelui triunghi.
Formula se folosește în ambele sensuri: afli generatoarea din h și raze, sau înălțimea din G și raze.
- Cateta orizontală este diferența razelor, nu suma lor.
- Generatoarea este ipotenuza, deci cea mai lungă dintre cele trei.
Exemplu rezolvat
R = 7 cm, r = 4 cm și h = 4 cm. Calculează generatoarea G.
- 1.Calculăm diferența razelor: 7 − 4 = 3 cm.
- 2.Aplicăm formula: G2 = 42 + 32 = 16 + 9 = 25.
- 3.Deci G = 5 cm.
Aria laterală și aria totală
Aria laterală a trunchiului de con se calculează cu Al = πG(R + r).
Aria totală adaugă cele două baze circulare: A_t = πG(R + r) + πR2 + πr2.
Pentru R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm: Al = π × 5 × 8 = 40π cm2.
- În aria laterală apare suma razelor, spre deosebire de formula generatoarei, unde apare diferența.
- Se adună două baze, de arii diferite.
Exemplu rezolvat
R = 5 cm, r = 2 cm și G = 6 cm. Cât este aria laterală, în funcție de π?
- 1.Adunăm razele: 5 + 2 = 7 cm.
- 2.Aplicăm formula: Al = π × 6 × 7.
- 3.Aria laterală este 42π cm2.
Volumul trunchiului de con
Volumul se calculează cu V = [πh × (R2 + Rr + r2)] : 3. Este aceeași idee ca la trunchiul de piramidă, cu media geometrică a bazelor scrisă prin termenul Rr.
Termenul Rr este cel mai des uitat: fără el, formula ar fi greșită și ar da un volum prea mic.
Pentru R = 4 cm, r = 2 cm și h = 3 cm: V = [π × 3 × (16 + 8 + 4)] : 3 = 28π cm3.
- Paranteza are trei termeni: R2, Rr și r2.
- În formulă intră înălțimea, nu generatoarea — dacă ai doar G, calculeaz-o pe h întâi.
Exemplu rezolvat
R = 3 cm, r = 1 cm și h = 6 cm. Cât este volumul, în funcție de π?
- 1.Calculăm paranteza: 32 + 3 × 1 + 12 = 9 + 3 + 1 = 13.
- 2.Înmulțim cu înălțimea: 13 × 6 = 78.
- 3.Împărțim la 3: volumul este 26π cm3.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
În desen, care segment este generatoarea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura oblică a secțiunii axiale: segmentul care unește un punct al cercului bazei mari cu punctul corespunzător al bazei mici.
- Ex. 2Dificultate redusă
R = 8 cm, r = 5 cm și h = 4 cm. Cât este R − r?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R − r = 3 cm
- Ex. 3Dificultate redusă
Pentru datele anterioare, calculează generatoarea G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
G = h2 + (R − r)2 = 16 + 9 = 5 cm
- Ex. 4Dificultate redusă
R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm. Scrie aria laterală în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = πG(R + r) = π × 5 × 8 = 40π cm2
- Ex. 5Dificultate redusă
R = 5 cm, r = 3 cm și G = 4 cm. Scrie aria totală în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_t = πG(R + r) + πR2 + πr2 = 32π + 25π + 9π = 66π cm2
- Ex. 6Dificultate medie
R = 4 cm, r = 2 cm și h = 3 cm. Scrie volumul în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = πh3 × (R2 + r2 + Rr) = π × (16 + 4 + 8) = 28π cm3
- Ex. 7Dificultate medie
De ce folosim R − r în formula generatoarei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În secțiunea axială, generatoarea este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele h și R − r (diferența razelor).
- Ex. 8Dificultate medie
Ce lipsește din expresia greșită V = πh3 · (R2 + r2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lipsește termenul Rr: formula corectă este V = πh3 × (R2 + r2 + Rr).
- Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În desen, care segment este generatoarea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Generatoarea este latura oblică: unește un punct de pe cercul bazei mari cu punctul de pe cercul bazei mici aflat pe aceeași generatoare a conului inițial.
- Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: R = 8 cm, r = 5 cm și h = 4 cm. Cât este R − r?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R − r = 8 − 5 = 3 cm: este cateta orizontală a triunghiului dreptunghic din secțiunea axială.
- Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Pentru datele anterioare, calculează generatoarea G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
G = 5 cm: în triunghiul dreptunghic cu catetele h = 4 și R − r = 3, generatoarea este ipotenuza, 16 + 9.
- Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm. Scrie aria laterală în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
40π cm2: A_l = πG(R + r) = π × 5 × (6 + 2).
- Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: R = 5 cm, r = 3 cm și G = 4 cm. Scrie aria totală în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
66π cm2: la aria laterală πG(R + r) = 32π se adaugă cele două baze, 25π și 9π.
- Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: R = 4 cm, r = 2 cm și h = 3 cm. Scrie volumul în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
28π cm3: V = πh3 × (R2 + r2 + Rr) = π × 33 × (16 + 4 + 8).
- Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: De ce folosim R − r în formula generatoarei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Generatoarea este ipotenuza triunghiului dreptunghic format de înălțime și de diferența razelor (R − r), deci G2 = h2 + (R − r)2.
- Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce lipsește din expresia greșită V = πh3 · (R2 + r2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Termenul Rr. Volumul trunchiului este V = πh3 × (R2 + r2 + Rr); fără Rr rezultatul ar fi prea mic.
- Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În desen, care segment este generatoarea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: generatoarea trunchiului de con este partea rămasă din generatoarea conului inițial, între cele două baze. În desen, este latura oblică dintre cercul mare și cel mic.
- Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: R = 8 cm, r = 5 cm și h = 4 cm. Cât este R − r?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: R − r este diferența razelor, cateta orizontală a triunghiului din secțiunea axială. Aici 8 − 5 = 3 cm.
- Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Pentru datele anterioare, calculează generatoarea G.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: G2 = h2 + (R − r)2. Deci G = 16 + 9 = 5 cm.
- Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: R = 6 cm, r = 2 cm și G = 5 cm. Scrie aria laterală în funcție de π.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: A_l = πG(R + r). Deci A_l = π × 5 × 8 = 40π cm2.