Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min
{x,y}

Teorie înainte de exerciții

Sisteme de ecuații

Un sistem liniar cu două necunoscute poate avea o soluție, nicio soluție sau o infinitate. Algebric folosim substituția ori reducerea, iar grafic soluția este punctul de intersecție al dreptelor.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Metoda substituției și problemele cu sisteme

La substituție izolezi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă. Metoda este cea mai potrivită când o necunoscută apare deja singură, ca în y = 2x sau x = y + 3.

Dacă sistemul conține paranteze sau fracții, îl simplifici întâi: din 2(x + y) = 14 obții x + y = 7, împărțind la 2.

Problemele cu două mărimi necunoscute se traduc direct în sistem: notezi necunoscutele, scrii câte o ecuație pentru fiecare informație și rezolvi.

y = 2x și x + y = 12 ⇒ 3x = 12
2(x + y) = 14 ⇒ x + y = 7
  • Izolează necunoscuta cu coeficientul 1, ca să eviți fracțiile.
  • În probleme, scrie clar ce înseamnă fiecare necunoscută înainte de ecuații.

Exemplu rezolvat

Un bilet de copil costă 10 lei, iar unul de adult 25 de lei. S-au vândut 30 de bilete pe 480 de lei. Câte bilete de adult s-au vândut?

  1. 1.Notăm cu c biletele de copil și cu a pe cele de adult: c + a = 30 și 10c + 25a = 480.
  2. 2.Din prima ecuație c = 30 − a; înlocuim: 10(30 − a) + 25a = 480, adică 300 + 15a = 480.
  3. 3.Rezultă a = 12 bilete de adult, iar c = 18.
2

Metoda reducerii

La reducere aduni sau scazi ecuațiile, ca una dintre necunoscute să dispară. Merge direct când coeficienții aceleiași necunoscute sunt egali sau opuși.

Pentru x + y = 7 și x − y = 1, adunând obții 2x = 8, deci x = 4, iar apoi y = 3.

Dacă coeficienții nu se potrivesc, înmulțești una dintre ecuații cu un număr potrivit: pentru 2x + 3y = 13 și 3x − y = 3, înmulțești a doua cu 3 și aduni.

x + y = 7 și x − y = 1 ⇒ 2x = 8
înmulțește o ecuație ca să potrivești coeficienții
  • Alege necunoscuta ale cărei coeficiente sunt cel mai ușor de egalat.
  • După ce afli o necunoscută, înlocuiește în ecuația mai simplă.

Exemplu rezolvat

În sistemul 2x + 3y = 13 și 3x − y = 3, cât este y?

  1. 1.Înmulțim a doua ecuație cu 3: 9x − 3y = 9.
  2. 2.Adunăm cu prima: 11x = 22, deci x = 2.
  3. 3.Înlocuim în 3x − y = 3: 6 − y = 3, deci y = 3.
3

Câte soluții are un sistem

Fiecare ecuație de gradul I cu două necunoscute reprezintă o dreaptă în plan, iar soluția sistemului este punctul lor de intersecție.

Dacă dreptele sunt secante, sistemul are exact o soluție. Dacă sunt paralele distincte, nu are nicio soluție — la calcul ajungi la o egalitate falsă, cum ar fi 3 = 5.

Dacă cele două ecuații reprezintă aceeași dreaptă, sistemul are o infinitate de soluții: a doua ecuație este doar prima înmulțită cu un număr.

drepte secante: o soluție
paralele distincte: nicio soluție
aceeași dreaptă: o infinitate
  • x + y = 3 și 2x + 2y = 6 sunt aceeași ecuație, deci o infinitate de soluții.
  • x + y = 3 și x + y = 5 se contrazic, deci nicio soluție.

Exemplu rezolvat

Câte soluții are sistemul x + y = 3 și 2x + 2y = 6?

  1. 1.Împărțim a doua ecuație la 2 și obținem x + y = 3.
  2. 2.Cele două ecuații sunt identice, deci reprezintă aceeași dreaptă.
  3. 3.Sistemul are o infinitate de soluții.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { x + y = 11, x − y = 5 }.

    Vezi răspunsul

    x = 8, y = 3

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Simplifică prima ecuație a sistemului { 3×(x+y) = 18, x − y = 2 }, apoi rezolvă sistemul.

    Vezi răspunsul

    x + y = 6 și x − y = 2: x = 4, y = 2.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { 3x + y = 16, x + y = 8 }.

    Vezi răspunsul

    Scăzând ecuațiile: 2x = 8, deci x = 4 și y = 4.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Se dă sistemul { x + y = 8, x × y = 12 }. Izolează y din prima ecuație.

    Vezi răspunsul

    y = 8 − x

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Ce metodă se folosește OBLIGATORIU la un sistem cu o ecuație de gradul II?

    Vezi răspunsul

    Metoda substituției.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x + y = 9, x × y = 20 }, folosind substituția.

    Vezi răspunsul

    y = 9 − x, iar x(9 − x) = 20 dă x2 − 9x + 20 = 0: soluțiile (4, 5) și (5, 4).

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { 4×(x−y) = 12, x + y = 9 }.

    Vezi răspunsul

    x − y = 3 și x + y = 9: x = 6, y = 3.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x3 + y = 6, x − y = 4 }, eliminând mai întâi fracția.

    Vezi răspunsul

    Înmulțim prima cu 3: x + 3y = 18. Cu x − y = 4: 4y = 14, deci y = 3,5 și x = 7,5.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x + y = 13, x × y = 40 }.

    Vezi răspunsul

    x și y sunt 5 și 8: soluțiile (5, 8) și (8, 5).

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Un sistem liniar devine, după reducere, 0 = 7. Ce înseamnă acest lucru?

    Vezi răspunsul

    Sistemul nu are soluții (este incompatibil).

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { x+32 + y = 5, 2x − y = 2 }, eliminând mai întâi fracția.

    Vezi răspunsul

    Prima devine x + 2y = 7; din a doua, y = 2x − 2. Rezultă 5x = 11: x = 2,2 și y = 2,4.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { x + y = 6, x2 + y2 = 20 }, folosind substituția.

    Vezi răspunsul

    y = 6 − x, iar x2 + (6 − x)2 = 20 dă x2 − 6x + 8 = 0: soluțiile (2, 4) și (4, 2).

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Suma a două numere este 15, iar produsul lor este 44. Scrie sistemul corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    x + y = 15 și x × y = 44: numerele sunt 4 și 11.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Un sistem liniar devine, după reducere, 0 = 0. Ce înseamnă acest lucru?

    Vezi răspunsul

    Ecuațiile spun același lucru: sistemul are o infinitate de soluții.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 3x − 2y = 5, 2x + 3y = 14 }, folosind metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Prima ×3, a doua ×2 și adunăm: 13x = 43, deci x = 4313 și y = 3213.

  16. Ex. 16Excelență

    Rezolvă sistemul { x2 − y2 = 16, x − y = 2 }, folosind faptul că x2 − y2 = (x−y)(x+y) pentru a simplifica prima ecuație, apoi rezolvă sistemul liniar rezultat.

    Vezi răspunsul

    (x − y)(x + y) = 16, iar x − y = 2, deci x + y = 8: x = 5, y = 3.

  17. Ex. 17Excelență

    Suma a două numere este 20, iar suma pătratelor lor este 218. Scrie sistemul corespunzător, folosind identitatea (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 pentru a afla mai întâi produsul xy, apoi rezolvă sistemul.

    Vezi răspunsul

    400 = 218 + 2xy, deci xy = 91. Numerele cu suma 20 și produsul 91 sunt 7 și 13.

  18. Ex. 18Excelență

    Rezolvă sistemul { x−1y+1 = 2, x + y = 11 }, stabilind CE (y ≠ −1), apoi rezolvând sistemul rezultat.

    Vezi răspunsul

    CE: y ≠ −1. x − 1 = 2(y + 1), deci x = 2y + 3; cu x + y = 11: y = 83 și x = 253.

  19. Ex. 19Excelență

    Un dreptunghi are perimetrul 34 cm și diagonala 13 cm. Scrie sistemul folosind perimetrul (2(L+l)=34) și teorema lui Pitagora (L2+l2=169), apoi rezolvă-l pentru a afla dimensiunile.

    Vezi răspunsul

    L + l = 17 și L2 + l2 = 169, deci 2Ll = 289 − 169 = 120 și Ll = 60: L = 12 cm, l = 5 cm.

  20. Ex. 20Excelență

    Rezolvă sistemul { x + 2y = 7, x2 + 4xy + 4y2 = 49 }, observând că a doua ecuație este pătratul primei expresii ((x+2y)2), apoi verifică dacă sistemul are o infinitate de soluții sau dacă apare o contradicție.

    Vezi răspunsul

    A doua ecuație este (x + 2y)2 = 49, adevărată ori de câte ori x + 2y = 7. Nu apare nicio contradicție: sistemul are o infinitate de soluții, toate perechile cu x + 2y = 7.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.