Sisteme de ecuații

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Metoda substituției și problemele cu sisteme

La substituție izolezi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă. Metoda este cea mai potrivită când o necunoscută apare deja singură, ca în y = 2x sau x = y + 3.

Dacă sistemul conține paranteze sau fracții, îl simplifici întâi: din 2(x + y) = 14 obții x + y = 7, împărțind la 2.

Problemele cu două mărimi necunoscute se traduc direct în sistem: notezi necunoscutele, scrii câte o ecuație pentru fiecare informație și rezolvi.

De ținut minte

y = 2x și x + y = 12 ⇒ 3x = 12

2(x + y) = 14 ⇒ x + y = 7

Izolează necunoscuta cu coeficientul 1, ca să eviți fracțiile.
În probleme, scrie clar ce înseamnă fiecare necunoscută înainte de ecuații.

Exemplu rezolvat · alte date

Biletele costă 8 lei pentru copil și 20 pentru adult. Pentru 15 bilete se plătesc 180 lei. Câte sunt de adult?

1Notăm adulții cu a, copiii cu 15 − a.
220a + 8(15 − a) = 180, deci 12a = 60.
3a = 5; verificare: 5·20 + 10·8 = 180.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Sisteme de ecuații: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un sistem liniar cu două necunoscute poate avea o soluție, nicio soluție sau o infinitate. Algebric folosim substituția ori reducerea, iar grafic soluția este punctul de intersecție al dreptelor.

Metoda substituției și problemele cu sisteme

La substituție izolezi o necunoscută dintr-o ecuație și o înlocuiești în cealaltă. Metoda este cea mai potrivită când o necunoscută apare deja singură, ca în y = 2x sau x = y + 3.

Dacă sistemul conține paranteze sau fracții, îl simplifici întâi: din 2(x + y) = 14 obții x + y = 7, împărțind la 2.

Problemele cu două mărimi necunoscute se traduc direct în sistem: notezi necunoscutele, scrii câte o ecuație pentru fiecare informație și rezolvi.

y = 2x și x + y = 12 ⇒ 3x = 12
2(x + y) = 14 ⇒ x + y = 7

Izolează necunoscuta cu coeficientul 1, ca să eviți fracțiile.
În probleme, scrie clar ce înseamnă fiecare necunoscută înainte de ecuații.

Exemplu rezolvat · alte date

Biletele costă 8 lei pentru copil și 20 pentru adult. Pentru 15 bilete se plătesc 180 lei. Câte sunt de adult?

Notăm adulții cu a, copiii cu 15 − a.
20a + 8(15 − a) = 180, deci 12a = 60.
a = 5; verificare: 5·20 + 10·8 = 180.

Metoda reducerii

La reducere aduni sau scazi ecuațiile, ca una dintre necunoscute să dispară. Merge direct când coeficienții aceleiași necunoscute sunt egali sau opuși.

Pentru x + y = 7 și x − y = 1, adunând obții 2x = 8, deci x = 4, iar apoi y = 3.

Dacă coeficienții nu se potrivesc, înmulțești una dintre ecuații cu un număr potrivit: pentru 2x + 3y = 13 și 3x − y = 3, înmulțești a doua cu 3 și aduni.

x + y = 7 și x − y = 1 ⇒ 2x = 8
înmulțește o ecuație ca să potrivești coeficienții

Alege necunoscuta ale cărei coeficiente sunt cel mai ușor de egalat.
După ce afli o necunoscută, înlocuiește în ecuația mai simplă.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă x + y = 11 și 2x − y = 4.

Adunăm ecuațiile: 3x = 15.
x = 5, apoi y = 11 − 5 = 6.
Verificare: 5 + 6 = 11 și 10 − 6 = 4.

Câte soluții are un sistem

Fiecare ecuație de gradul I cu două necunoscute reprezintă o dreaptă în plan, iar soluția sistemului este punctul lor de intersecție.

Dacă dreptele sunt secante, sistemul are exact o soluție. Dacă sunt paralele distincte, nu are nicio soluție — la calcul ajungi la o egalitate falsă, cum ar fi 3 = 5.

Dacă cele două ecuații reprezintă aceeași dreaptă, sistemul are o infinitate de soluții: a doua ecuație este doar prima înmulțită cu un număr.

drepte secante: o soluție
paralele distincte: nicio soluție
aceeași dreaptă: o infinitate

x + y = 3 și 2x + 2y = 6 sunt aceeași ecuație, deci o infinitate de soluții.
x + y = 3 și x + y = 5 se contrazic, deci nicio soluție.

Exemplu rezolvat

Câte soluții are sistemul x + y = 3 și 2x + 2y = 6?

Împărțim a doua ecuație la 2 și obținem x + y = 3.
Cele două ecuații sunt identice, deci reprezintă aceeași dreaptă.
Sistemul are o infinitate de soluții.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Rezolvă sistemul x + y = 9, x − y = 3.
Vezi rezolvarea
1. 2x = 12, deci x = 6, apoi y = 3.
Răspuns: (6, 3)
Exercițiul 2
În sistemul y = 2x și x + y = 12, cât este x?
Vezi rezolvarea
1. x + 2x = 12, deci 3x = 12 și x = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 3
Pentru același sistem y = 2x, x + y = 12, cât este y?
Vezi rezolvarea
1. y = 2 · 4 = 8.
Răspuns: 8
Exercițiul 4
Câte soluții are un sistem reprezentat de două drepte paralele distincte?
Vezi rezolvarea
1. Dreptele paralele distincte nu au punct comun.
Răspuns: Nicio soluție
Exercițiul 5
Care este soluția sistemului 2x + y = 11, x − y = 1?
Vezi rezolvarea
1. Adunarea dă 3x = 12, deci x = 4 și y = 3.
Răspuns: (4, 3)
Exercițiul 6
Rezolvă sistemul x + y = 7, x − y = 1.
Vezi rezolvarea
1. 2x = 8, deci x = 4.
2. y = 7 − 4 = 3.
3. Soluția este (4, 3).
Răspuns: (4, 3)
Exercițiul 7
În sistemul x = y + 3 și 2x + y = 12, cât este y?
Vezi rezolvarea
1. 2(y + 3) + y = 12.
2. 3y + 6 = 12, deci 3y = 6.
3. y = 2 (și x = 5).
Răspuns: 2
Exercițiul 8
În sistemul 3x + 2y = 12 și x − 2y = 4, cât este x?
Vezi rezolvarea
1. (3x + 2y) + (x − 2y) = 12 + 4.
2. 4x = 16.
3. x = 4 (și y = 0).
Răspuns: 4
Exercițiul 9
Câte soluții are sistemul x + y = 3, 2x + 2y = 6?
Vezi rezolvarea
1. 2x + 2y = 6 devine x + y = 3.
2. Cele două ecuații reprezintă aceeași dreaptă.
3. Dreptele coincid: o infinitate de soluții.
Răspuns: o infinitate
Exercițiul 10
Câte soluții are sistemul x + y = 3, x + y = 5?
Vezi rezolvarea
1. x + y nu poate fi simultan 3 și 5.
2. Dreptele sunt paralele distincte.
3. Sistemul nu are soluții.
Răspuns: niciuna
Exercițiul 11
În sistemul 2x + 3y = 13 și 3x − y = 3, cât este y?
Vezi rezolvarea
1. 2x + 3(3x − 3) = 13.
2. 11x − 9 = 13, deci x = 2.
3. y = 3 · 2 − 3 = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
Un bilet de copil costă 10 lei, iar unul de adult 25 de lei. S-au vândut 30 de bilete pe 480 de lei. Câte bilete de adult s-au vândut?
Vezi rezolvarea
1. c + a = 30 și 10c + 25a = 480.
2. 10(30 − a) + 25a = 480, deci 300 + 15a = 480.
3. a = 12 bilete de adult (și 18 de copil).
Răspuns: 12

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Rezolvă sistemul { x + y = 11, x − y = 5 }.
Vezi răspunsul
x = 8, y = 3
2. Dificultate redusă
Simplifică prima ecuație a sistemului { 3×(x+y) = 18, x − y = 2 }, apoi rezolvă sistemul.
Vezi răspunsul
x + y = 6 și x − y = 2: x = 4, y = 2.
3. Dificultate redusă
Rezolvă sistemul { 3x + y = 16, x + y = 8 }.
Vezi răspunsul
Scăzând ecuațiile: 2x = 8, deci x = 4 și y = 4.
4. Dificultate redusă
Se dă sistemul { x + y = 8, x × y = 12 }. Izolează y din prima ecuație.
Vezi răspunsul
y = 8 − x
5. Dificultate redusă
Ce metodă se folosește OBLIGATORIU la un sistem cu o ecuație de gradul II?
Vezi răspunsul
Metoda substituției.
6. Dificultate medie
Rezolvă sistemul { x + y = 9, x × y = 20 }, folosind substituția.
Vezi răspunsul
y = 9 − x, iar x(9 − x) = 20 dă x² − 9x + 20 = 0: soluțiile (4, 5) și (5, 4).
7. Dificultate medie
Rezolvă sistemul { 4×(x−y) = 12, x + y = 9 }.
Vezi răspunsul
x − y = 3 și x + y = 9: x = 6, y = 3.
8. Dificultate medie
Rezolvă sistemul { x3 + y = 6, x − y = 4 }, eliminând mai întâi fracția.
Vezi răspunsul
Înmulțim prima cu 3: x + 3y = 18. Cu x − y = 4: 4y = 14, deci y = 3,5 și x = 7,5.
9. Dificultate medie
Rezolvă sistemul { x + y = 13, x × y = 40 }.
Vezi răspunsul
x și y sunt 5 și 8: soluțiile (5, 8) și (8, 5).
10. Dificultate medie
Un sistem liniar devine, după reducere, 0 = 7. Ce înseamnă acest lucru?
Vezi răspunsul
Sistemul nu are soluții (este incompatibil).
11. Dificultate ridicată
Rezolvă sistemul { x+32 + y = 5, 2x − y = 2 }, eliminând mai întâi fracția.
Vezi răspunsul
Prima devine x + 2y = 7; din a doua, y = 2x − 2. Rezultă 5x = 11: x = 2,2 și y = 2,4.
12. Dificultate ridicată
Rezolvă sistemul { x + y = 6, x² + y² = 20 }, folosind substituția.
Vezi răspunsul
y = 6 − x, iar x² + (6 − x)² = 20 dă x² − 6x + 8 = 0: soluțiile (2, 4) și (4, 2).
13. Dificultate ridicată
Suma a două numere este 15, iar produsul lor este 44. Scrie sistemul corespunzător și rezolvă-l.
Vezi răspunsul
x + y = 15 și x × y = 44: numerele sunt 4 și 11.
14. Dificultate ridicată
Un sistem liniar devine, după reducere, 0 = 0. Ce înseamnă acest lucru?
Vezi răspunsul
Ecuațiile spun același lucru: sistemul are o infinitate de soluții.
15. Dificultate ridicată
Rezolvă sistemul { 3x − 2y = 5, 2x + 3y = 14 }, folosind metoda reducerii.
Vezi răspunsul
Prima ×3, a doua ×2 și adunăm: 13x = 43, deci x = 4313 și y = 3213.
16. Excelență
Rezolvă sistemul { x² − y² = 16, x − y = 2 }, folosind faptul că x² − y² = (x−y)(x+y) pentru a simplifica prima ecuație, apoi rezolvă sistemul liniar rezultat.
Vezi răspunsul
(x − y)(x + y) = 16, iar x − y = 2, deci x + y = 8: x = 5, y = 3.
17. Excelență
Suma a două numere este 20, iar suma pătratelor lor este 218. Scrie sistemul corespunzător, folosind identitatea (x+y)² = x² + 2xy + y² pentru a afla mai întâi produsul xy, apoi rezolvă sistemul.
Vezi răspunsul
400 = 218 + 2xy, deci xy = 91. Numerele cu suma 20 și produsul 91 sunt 7 și 13.
18. Excelență
Rezolvă sistemul { x−1y+1 = 2, x + y = 11 }, stabilind CE (y ≠ −1), apoi rezolvând sistemul rezultat.
Vezi răspunsul
CE: y ≠ −1. x − 1 = 2(y + 1), deci x = 2y + 3; cu x + y = 11: y = 83 și x = 253.
19. Excelență
Un dreptunghi are perimetrul 34 cm și diagonala 13 cm. Scrie sistemul folosind perimetrul (2(L+l)=34) și teorema lui Pitagora (L²+l²=169), apoi rezolvă-l pentru a afla dimensiunile.
Vezi răspunsul
L + l = 17 și L² + l² = 169, deci 2Ll = 289 − 169 = 120 și Ll = 60: L = 12 cm, l = 5 cm.
20. Excelență
Rezolvă sistemul { x + 2y = 7, x² + 4xy + 4y² = 49 }, observând că a doua ecuație este pătratul primei expresii ((x+2y)²), apoi verifică dacă sistemul are o infinitate de soluții sau dacă apare o contradicție.
Vezi răspunsul
A doua ecuație este (x + 2y)² = 49, adevărată ori de câte ori x + 2y = 7. Nu apare nicio contradicție: sistemul are o infinitate de soluții, toate perechile cu x + 2y = 7.