Sfera

Sfera este suprafața punctelor aflate la aceeași distanță de centru, iar bila este corpul din interiorul ei. Orice secțiune plană a sferei este un cerc; dacă planul trece prin centru, obținem un cerc mare.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Sfera este suprafața ale cărei puncte sunt la distanța r de centrul O. Un plan prin O o intersectează într-un cerc mare de rază r. Cercul mare este reprezentat în perspectivă printr-o elipsă. Bila include și interiorul.

Sfera, bila și secțiunile

Sfera este mulțimea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță, raza, față de un punct fix, centrul. Bila este corpul plin: sfera împreună cu tot interiorul ei.

Orice plan care taie o sferă o intersectează după un cerc. Dacă planul trece chiar prin centru, cercul obținut se numește cerc mare și are raza egală cu raza sferei.

Raza sferei, distanța de la centru la planul secant și raza cercului de secțiune formează un triunghi dreptunghic: R² = d² + r².

cerc mare: secțiune prin centru

R² = d² + r²

Sfera este suprafața, bila include și interiorul.
Cercul de secțiune este cu atât mai mic, cu cât planul este mai departe de centru.

Exemplu rezolvat

Un plan taie o sferă de rază 5 cm la 3 cm de centru. Ce rază are cercul de secțiune?

1.Raza sferei este ipotenuza, iar distanța până la plan și raza cercului sunt catetele.
2.Aplicăm teorema lui Pitagora: r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
3.Deci raza cercului de secțiune este 4 cm.

Aria sferei

Aria suprafeței unei sfere de rază R se calculează cu formula A = 4πR². Este exact de patru ori aria unui cerc mare al sferei.

Pentru R = 3 cm și π ≈ 3,14, aria este 4 × 3,14 × 9 = 113,04 cm².

Formula merge și invers: din arie afli raza, împărțind la 4π și extrăgând rădăcina pătrată.

A = 4πR²

R = A : 4π

R = 5 ⇒ A = 100π

Raza se ridică la pătrat, deci aria crește foarte repede.
Sfera nu are baze, deci nu se adaugă nimic la aria laterală.

Exemplu rezolvat

O sferă are aria 64π cm². Cât este raza?

1.Pornim de la A = 4πR², deci 64π = 4πR².
2.Împărțim ambii membri la 4π: R² = 16.
3.Rezultă R = 4 cm.

Volumul și efectul dublării razei

Volumul bilei se calculează cu V = (4πR³) : 3. Pentru R = 3 cm, volumul este (4π × 27) : 3 = 36π cm³.

Fiindcă în arie raza apare la pătrat, iar în volum la cub, o dublare a razei nu dublează aceste mărimi: aria crește de 2² = 4 ori, iar volumul de 2³ = 8 ori.

Este un motiv bun să fii atent la enunțuri: „de două ori mai mare” se referă la rază, nu la arie sau volum.

V = (4πR³) : 3

raza × 2 ⇒ aria × 4

raza × 2 ⇒ volumul × 8

Exponentul razei spune de câte ori crește mărimea: 2 pentru arie, 3 pentru volum.
Aceeași regulă se aplică la toate corpurile asemenea.

Exemplu rezolvat

Dacă raza unei sfere se dublează, cum se schimbă volumul?

1.În formula volumului, raza apare la puterea a treia.
2.Dublând raza, factorul devine 2³ = 8.
3.Deci volumul crește de 8 ori.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
O sferă are raza 6 cm. Calculează aria suprafeței sferice (π≈3,14).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 4πr² = 4 × 3,14 × 36 = 452,16 cm²
Ex. 2Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează volumul sferei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 4πr³3 = 4 × 3,14 × 216 : 3 = 904,32 cm³
Ex. 3Dificultate redusă
Ce este un cerc mic al unei sfere?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cercul obținut când secționezi sfera cu un plan care nu trece prin centru; raza lui este mai mică decât raza sferei.
Ex. 4Dificultate redusă
Ce reprezintă centrul unei sfere?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Punctul aflat la aceeași distanță, raza, de toate punctele sferei.
Ex. 5Dificultate redusă
O sferă are raza 5 cm. Calculează aria suprafeței sferice.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 4 × 3,14 × 25 = 314 cm²
Ex. 6Dificultate medie
O sferă are raza 9 cm. Calculează aria suprafeței și volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 4π × 81 = 324π ≈ 1.017,36 cm²; V = 4π × 729 : 3 = 972π ≈ 3.052,08 cm³.
Ex. 7Dificultate medie
O sferă are aria suprafeței de 1256 cm². Calculează raza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 3,14 × r² = 1.256, deci r² = 100 și r = 10 cm.
Ex. 8Dificultate medie
O sferă are volumul de 972π cm³. Calculează raza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4πr³3 = 972π, deci r³ = 729 și r = 9 cm.
Ex. 9Dificultate medie
O minge de fotbal are diametrul de 22 cm. Calculează volumul aproximativ al mingii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = 11 cm, deci V = 4π × 1.331 : 3 ≈ 5.572,45 cm³.
Ex. 10Dificultate medie
O sferă are raza 13 cm. Calculează raza unui cerc mic, obținut la distanța de 12 cm de centru.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
13² − 12² = √25 = 5 cm
Ex. 11Dificultate ridicată
O sferă are raza 15 cm. Calculează aria suprafeței, apoi volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 4π × 225 = 900π ≈ 2.826 cm²; V = 4π × 3.375 : 3 = 4.500π ≈ 14.130 cm³.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un glob pământesc are raza de 25 cm. Calculează suprafața totală a globului, apoi volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 4π × 625 = 2.500π ≈ 7.850 cm²; V = 4π × 15.625 : 3 ≈ 65.416,67 cm³.
Ex. 13Dificultate ridicată
O sferă are volumul de 7234,56 cm³ (π≈3,14). Calculează raza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 3,14 × r³ : 3 = 7.234,56, deci r³ = 1.728 și r = 12 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă o sferă cu raza 4 cm. Dacă raza se triplează, cu ce factor se modifică volumul sferei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De 27 de ori (3³).
Ex. 15Dificultate ridicată
O sferă cu raza 17 cm este secționată cu un plan la distanța de 8 cm de centru. Calculează raza cercului rezultat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
17² − 8² = √225 = 15 cm
Ex. 16Excelență
O sferă este înscrisă exact într-un cub cu latura de 10 cm (sfera atinge toate cele 6 fețe ale cubului, deci raza sferei este jumătate din latura cubului). Calculează volumul sferei, apoi calculează ce procent din volumul cubului reprezintă volumul sferei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = 5 cm: V = 4π × 125 : 3 ≈ 523,33 cm³, adică aproximativ 52,33% din volumul cubului (1.000 cm³).
Ex. 17Excelență
Un cilindru circumscrie o sferă (cilindrul are aceeași rază ca sfera, iar înălțimea cilindrului este egală cu diametrul sferei). Calculează raportul dintre volumul sferei și volumul cilindrului, folosind formulele generale (fără valori numerice specifice — simplifică expresiile algebrice cu r).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V_sferă = 4πr³3, iar V_cilindru = πr² × 2r = 2πr³. Raportul: (43) : 2 = 23.
Ex. 18Excelență
O emisferă (jumătate de sferă) are raza 6 cm. Calculează volumul emisferei (jumătate din volumul sferei complete), apoi calculează aria suprafeței curbe a emisferei (jumătate din aria sferei complete, fără a include cercul de bază).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 2πr³3 = 2π × 216 : 3 = 144π ≈ 452,16 cm³; aria curbă = 2πr² = 72π ≈ 226,08 cm².
Ex. 19Excelență
Două sfere au razele în raport de 1:3. Calculează raportul volumelor celor 2 sfere (indiciu: raportul volumelor este cubul raportului razelor).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 : 27
Ex. 20Excelență
O sferă este tăiată de un plan la o distanță de 3 cm de centru, iar cercul rezultat are raza de 4 cm. Calculează raza sferei, folosind teorema lui Pitagora (distanța la plan și raza cercului mic sunt catete, raza sferei este ipotenuza).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
R = 3² + 4² = 5 cm