Sfera

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Sfera, bila și secțiunile

Sfera este mulțimea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță, raza, față de un punct fix, centrul. Bila este corpul plin: sfera împreună cu tot interiorul ei.

Orice plan care taie o sferă o intersectează după un cerc. Dacă planul trece chiar prin centru, cercul obținut se numește cerc mare și are raza egală cu raza sferei.

Raza sferei, distanța de la centru la planul secant și raza cercului de secțiune formează un triunghi dreptunghic: R² = d² + r².

De ținut minte

cerc mare: secțiune prin centru

R² = d² + r²

Sfera este suprafața, bila include și interiorul.
Cercul de secțiune este cu atât mai mic, cu cât planul este mai departe de centru.

Exemplu rezolvat

Un plan taie o sferă de rază 5 cm la 3 cm de centru. Ce rază are cercul de secțiune?

1Raza sferei este ipotenuza, iar distanța până la plan și raza cercului sunt catetele.
2Aplicăm teorema lui Pitagora: r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
3Deci raza cercului de secțiune este 4 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Sfera: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Sfera este suprafața punctelor aflate la aceeași distanță de centru, iar bila este corpul din interiorul ei. Orice secțiune plană a sferei este un cerc; dacă planul trece prin centru, obținem un cerc mare.

Sfera, bila și secțiunile

Sfera este mulțimea punctelor din spațiu aflate la aceeași distanță, raza, față de un punct fix, centrul. Bila este corpul plin: sfera împreună cu tot interiorul ei.

Orice plan care taie o sferă o intersectează după un cerc. Dacă planul trece chiar prin centru, cercul obținut se numește cerc mare și are raza egală cu raza sferei.

Raza sferei, distanța de la centru la planul secant și raza cercului de secțiune formează un triunghi dreptunghic: R² = d² + r².

cerc mare: secțiune prin centru
R² = d² + r²

Sfera este suprafața, bila include și interiorul.
Cercul de secțiune este cu atât mai mic, cu cât planul este mai departe de centru.

Exemplu rezolvat

Un plan taie o sferă de rază 5 cm la 3 cm de centru. Ce rază are cercul de secțiune?

Raza sferei este ipotenuza, iar distanța până la plan și raza cercului sunt catetele.
Aplicăm teorema lui Pitagora: r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
Deci raza cercului de secțiune este 4 cm.

Aria sferei

Aria suprafeței unei sfere de rază R se calculează cu formula A = 4πR². Este exact de patru ori aria unui cerc mare al sferei.

Pentru R = 3 cm și π ≈ 3,14, aria este 4 × 3,14 × 9 = 113,04 cm².

Formula merge și invers: din arie afli raza, împărțind la 4π și extrăgând rădăcina pătrată.

A = 4πR²
R = A : 4π
R = 5 ⇒ A = 100π

Raza se ridică la pătrat, deci aria crește foarte repede.
Sfera nu are baze, deci nu se adaugă nimic la aria laterală.

Exemplu rezolvat

O sferă are aria 64π cm². Cât este raza?

Pornim de la A = 4πR², deci 64π = 4πR².
Împărțim ambii membri la 4π: R² = 16.
Rezultă R = 4 cm.

Volumul și efectul dublării razei

Volumul bilei se calculează cu V = (4πR³) : 3. Pentru R = 3 cm, volumul este (4π × 27) : 3 = 36π cm³.

Fiindcă în arie raza apare la pătrat, iar în volum la cub, o dublare a razei nu dublează aceste mărimi: aria crește de 2² = 4 ori, iar volumul de 2³ = 8 ori.

Este un motiv bun să fii atent la enunțuri: „de două ori mai mare” se referă la rază, nu la arie sau volum.

V = (4πR³) : 3
raza × 2 ⇒ aria × 4
raza × 2 ⇒ volumul × 8

Exponentul razei spune de câte ori crește mărimea: 2 pentru arie, 3 pentru volum.
Aceeași regulă se aplică la toate corpurile asemenea.

Exemplu rezolvat

Dacă raza unei sfere se dublează, cum se schimbă volumul?

În formula volumului, raza apare la puterea a treia.
Dublând raza, factorul devine 2³ = 8.
Deci volumul crește de 8 ori.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
O sferă are r = 3 cm. Calculează aria pentru π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. Sfera este suprafața de rază r; bila este corpul care include și interiorul.
2. Aria suprafeței sferice se calculează cu A = 4πr².
3. A = 4 · 3,14 · 9 = 113,04 cm².
Răspuns: 113,04
Exercițiul 2
Ce este un cerc mare al unei sfere?
Vezi rezolvarea
1. Sfera este suprafața de rază r; bila este corpul care include și interiorul.
2. Un plan prin centru taie sfera într-un cerc de aceeași rază ca sfera.
3. Cercul mare se obține când planul de secțiune trece prin centrul sferei.
Răspuns: Secțiunea prin centrul sferei
Exercițiul 3
Care este diferența dintre sferă și bilă?
Vezi rezolvarea
1. Sfera este suprafața de rază r; bila este corpul care include și interiorul.
2. Separăm conturul spațial de corpul plin: suprafață versus suprafață și interior.
3. Sfera desemnează suprafața, iar corpul sferic include și punctele interioare.
Răspuns: Sfera este suprafața, bila include interiorul
Exercițiul 4
Calculează volumul unei sfere cu r = 3 cm și π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. Sfera este suprafața de rază r; bila este corpul care include și interiorul.
2. Volumul bilei se calculează cu V = 4πr³3.
3. V = 4 · 3,14 · 27 : 3 = 113,04 cm³.
Răspuns: 113,04
Exercițiul 5
Ce formă are intersecția unei sfere cu un plan secant (care trece prin interiorul bilei)?
Vezi rezolvarea
1. Un plan secant trece la o distanță de centru mai mică decât raza sferei.
2. Intersecția este un cerc; un plan tangent ar avea numai un punct comun, iar un plan exterior nu ar intersecta sfera.
3. Pentru planul secant din enunț, răspunsul este un cerc.
Răspuns: Cerc
Exercițiul 6
O sferă are r = 5 cm. Aria ei, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. r² = 25.
2. 4 · 25 = 100.
3. A = 100π cm².
Răspuns: 100π cm²
Exercițiul 7
O sferă are r = 3 cm. Volumul ei, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. r³ = 27.
2. 4 · 27 : 3 = 36.
3. V = 36π cm³.
Răspuns: 36π cm³
Exercițiul 8
Un plan taie o sferă de rază 5 cm la 3 cm de centru. Ce rază are cercul de secțiune, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. r² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
2. r = √16.
3. Cercul de secțiune are raza 4 cm.
Răspuns: 4
Exercițiul 9
O sferă are aria 64π cm². Cât este raza, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. 4r² = 64.
2. r² = 16.
3. r = 4 cm.
Răspuns: 4
Exercițiul 10
Calculează aria unei sfere cu r = 10 cm, pentru π ≈ 3,14, în cm².
Vezi rezolvarea
1. r² = 100.
2. 4 · 3,14 · 100 = 1 256.
3. A = 1 256 cm².
Răspuns: 1256
Exercițiul 11
Dacă raza unei sfere se dublează, aria ei:
Vezi rezolvarea
1. Noua rază este 2r.
2. (2r)² = 4r².
3. Aria crește de 4 ori.
Răspuns: crește de 4 ori
Exercițiul 12
Dacă raza unei sfere se dublează, volumul ei:
Vezi rezolvarea
1. Noua rază este 2r.
2. (2r)³ = 8r³.
3. Volumul crește de 8 ori.
Răspuns: crește de 8 ori

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
O sferă are raza 6 cm. Calculează aria suprafeței sferice (π≈3,14).
Vezi răspunsul
A = 4πr² = 4 × 3,14 × 36 = 452,16 cm²
2. Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează volumul sferei.
Vezi răspunsul
V = 4πr³3 = 4 × 3,14 × 216 : 3 = 904,32 cm³
3. Dificultate redusă
Ce este un cerc mic al unei sfere?
Vezi răspunsul
Cercul obținut când secționezi sfera cu un plan care nu trece prin centru; raza lui este mai mică decât raza sferei.
4. Dificultate redusă
Ce reprezintă centrul unei sfere?
Vezi răspunsul
Punctul aflat la aceeași distanță, raza, de toate punctele sferei.
5. Dificultate redusă
O sferă are raza 5 cm. Calculează aria suprafeței sferice.
Vezi răspunsul
A = 4 × 3,14 × 25 = 314 cm²
6. Dificultate medie
O sferă are raza 9 cm. Calculează aria suprafeței și volumul.
Vezi răspunsul
A = 4π × 81 = 324π ≈ 1.017,36 cm²; V = 4π × 729 : 3 = 972π ≈ 3.052,08 cm³.
7. Dificultate medie
O sferă are aria suprafeței de 1256 cm². Calculează raza.
Vezi răspunsul
4 × 3,14 × r² = 1.256, deci r² = 100 și r = 10 cm.
8. Dificultate medie
O sferă are volumul de 972π cm³. Calculează raza.
Vezi răspunsul
4πr³3 = 972π, deci r³ = 729 și r = 9 cm.
9. Dificultate medie
O minge de fotbal are diametrul de 22 cm. Calculează volumul aproximativ al mingii.
Vezi răspunsul
r = 11 cm, deci V = 4π × 1.331 : 3 ≈ 5.572,45 cm³.
10. Dificultate medie
O sferă are raza 13 cm. Calculează raza unui cerc mic, obținut la distanța de 12 cm de centru.
Vezi răspunsul
13² − 12² = √25 = 5 cm
11. Dificultate ridicată
O sferă are raza 15 cm. Calculează aria suprafeței, apoi volumul.
Vezi răspunsul
A = 4π × 225 = 900π ≈ 2.826 cm²; V = 4π × 3.375 : 3 = 4.500π ≈ 14.130 cm³.
12. Dificultate ridicată
Un glob pământesc are raza de 25 cm. Calculează suprafața totală a globului, apoi volumul.
Vezi răspunsul
A = 4π × 625 = 2.500π ≈ 7.850 cm²; V = 4π × 15.625 : 3 ≈ 65.416,67 cm³.
13. Dificultate ridicată
O sferă are volumul de 7234,56 cm³ (π≈3,14). Calculează raza.
Vezi răspunsul
4 × 3,14 × r³ : 3 = 7.234,56, deci r³ = 1.728 și r = 12 cm.
14. Dificultate ridicată
Se dă o sferă cu raza 4 cm. Dacă raza se triplează, cu ce factor se modifică volumul sferei?
Vezi răspunsul
De 27 de ori (3³).
15. Dificultate ridicată
O sferă cu raza 17 cm este secționată cu un plan la distanța de 8 cm de centru. Calculează raza cercului rezultat.
Vezi răspunsul
17² − 8² = √225 = 15 cm
16. Excelență
O sferă este înscrisă exact într-un cub cu latura de 10 cm (sfera atinge toate cele 6 fețe ale cubului, deci raza sferei este jumătate din latura cubului). Calculează volumul sferei, apoi calculează ce procent din volumul cubului reprezintă volumul sferei.
Vezi răspunsul
r = 5 cm: V = 4π × 125 : 3 ≈ 523,33 cm³, adică aproximativ 52,33% din volumul cubului (1.000 cm³).
17. Excelență
Un cilindru circumscrie o sferă (cilindrul are aceeași rază ca sfera, iar înălțimea cilindrului este egală cu diametrul sferei). Calculează raportul dintre volumul sferei și volumul cilindrului, folosind formulele generale (fără valori numerice specifice — simplifică expresiile algebrice cu r).
Vezi răspunsul
V_sferă = 4πr³3, iar V_cilindru = πr² × 2r = 2πr³. Raportul: (43) : 2 = 23.
18. Excelență
O emisferă (jumătate de sferă) are raza 6 cm. Calculează volumul emisferei (jumătate din volumul sferei complete), apoi calculează aria suprafeței curbe a emisferei (jumătate din aria sferei complete, fără a include cercul de bază).
Vezi răspunsul
V = 2πr³3 = 2π × 216 : 3 = 144π ≈ 452,16 cm³; aria curbă = 2πr² = 72π ≈ 226,08 cm².
19. Excelență
Două sfere au razele în raport de 1:3. Calculează raportul volumelor celor 2 sfere (indiciu: raportul volumelor este cubul raportului razelor).
Vezi răspunsul
1 : 27
20. Excelență
O sferă este tăiată de un plan la o distanță de 3 cm de centru, iar cercul rezultat are raza de 4 cm. Calculează raza sferei, folosind teorema lui Pitagora (distanța la plan și raza cercului mic sunt catete, raza sferei este ipotenuza).
Vezi răspunsul
R = 3² + 4² = 5 cm