Puncte, drepte și plane

În spațiu, două drepte pot fi concurente, paralele sau necoplanare. O dreaptă poate fi inclusă într-un plan, îl poate intersecta într-un punct sau poate fi paralelă cu acesta, iar două plane pot coincide, fi paralele ori secante.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cubul ABCDA′B′C′D′ are 8 vârfuri, 12 muchii și 6 fețe. AB ∥ CD, iar AB și CC′ sunt necoplanare: nu sunt paralele și nu se întâlnesc. Muchiile punctate sunt ascunse în această perspectivă.

Ce determină un plan

În spațiu, un plan este determinat de trei puncte necoliniare: prin ele trece un singur plan. La fel îl determină o dreaptă și un punct exterior ei, sau două drepte concurente.

Două plane distincte pot fi paralele, dacă nu au niciun punct comun, sau secante, dacă se intersectează. Intersecția a două plane secante este întotdeauna o dreaptă, nu un punct.

Aceasta este deosebirea majoră față de geometria plană: în spațiu ai de urmărit poziții între puncte, drepte și plane deodată.

3 puncte necoliniare determină un plan

plane secante ∩ = o dreaptă

Trei puncte coliniare nu determină un plan unic: prin ele trec o infinitate.
Două plane nu se pot intersecta după un singur punct.

Exemplu rezolvat

Ce au în comun două plane secante?

1.Planele fiind secante, au cel puțin un punct comun.
2.Dacă au două puncte comune, conțin și dreapta care trece prin ele.
3.Deci intersecția a două plane secante este o dreaptă.

Poziția a două drepte în spațiu

În spațiu, două drepte pot fi concurente, dacă se intersectează într-un punct; paralele, dacă sunt coplanare și nu se intersectează; sau necoplanare, dacă nu se află în același plan.

Dreptele necoplanare sunt noutatea față de geometria plană: ele nu se intersectează, dar nici nu sunt paralele, fiindcă nu există un plan care să le conțină pe amândouă.

În cubul ABCDA′B′C′D′: AB și CD sunt paralele, AB și AD sunt concurente în A, iar AB și CC′ sunt necoplanare.

concurente: un punct comun

paralele: coplanare, fără puncte comune

necoplanare: niciun plan comun

Paralelismul cere obligatoriu ca dreptele să fie coplanare.
Pe desenul unui cub, dreptele necoplanare „trec una pe lângă alta”.

Exemplu rezolvat

În cubul ABCDA′B′C′D′, ce poziție au dreptele AB și CC′?

1.Dreptele nu se intersectează: AB este pe fața de jos, iar CC′ este o muchie verticală.
2.Nu sunt nici paralele, fiindcă au direcții diferite.
3.Deci sunt drepte necoplanare.

Poziția unei drepte față de un plan

O dreaptă poate fi conținută în plan, secantă planului, dacă are exact un punct comun cu el, sau paralelă cu planul, dacă nu are niciun punct comun.

Numărul punctelor comune decide complet situația: zero înseamnă paralelism, unul înseamnă dreaptă secantă, iar o infinitate înseamnă că dreapta este chiar în plan.

0 puncte comune: dreaptă paralelă cu planul

1 punct: dreaptă secantă

o infinitate: dreaptă inclusă

O dreaptă nu poate avea exact două puncte comune cu un plan fără să fie inclusă în el.
Muchiile verticale ale unui cub sunt secante planului bazei.

Exemplu rezolvat

O dreaptă care nu are niciun punct comun cu un plan cum se numește?

1.Dacă ar avea un punct comun, ar fi secantă planului.
2.Dacă ar avea mai multe, ar fi conținută în plan.
3.Neavând niciun punct comun, dreapta este paralelă cu planul.

Muchiile cubului

Cubul este cel mai bun model pentru pozițiile din spațiu: are 12 muchii, grupate câte 4 pe fiecare dintre cele trei direcții.

Față de o muchie dată, cum ar fi AB: 3 muchii îi sunt paralele (cele de pe aceeași direcție), 4 îi sunt concurente (cele care pornesc din A sau din B) și 4 îi sunt necoplanare.

Verificarea este simplă: 3 + 4 + 4 = 11, adică toate celelalte muchii ale cubului.

cubul are 12 muchii

față de o muchie: 3 paralele, 4 concurente, 4 necoplanare

Muchiile paralele cu AB sunt cele de pe aceeași direcție, în celelalte fețe.
Numără pe desen, nu din memorie: greșelile apar când sari peste o muchie.

Exemplu rezolvat

Câte muchii ale unui cub sunt paralele cu muchia AB, fără a o număra pe AB?

1.Muchiile paralele cu AB au aceeași direcție cu ea.
2.Ele sunt DC, A′B′ și D′C′.
3.Deci sunt 3 muchii paralele cu AB.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Câte puncte necoliniare sunt necesare pentru a determina un plan?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3
Ex. 2Dificultate redusă
Ce înseamnă că un punct aparține unui plan?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Punctul se află în acel plan.
Ex. 3Dificultate redusă
Enumeră cele 3 poziții posibile pentru 2 drepte în spațiu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Concurente, paralele sau necoplanare.
Ex. 4Dificultate redusă
Enumeră cele 3 poziții posibile pentru o dreaptă față de un plan.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Conținută în plan, paralelă cu planul sau secantă (îl taie într-un singur punct).
Ex. 5Dificultate redusă
Ce au în comun 2 plane paralele?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu au niciun punct comun.
Ex. 6Dificultate medie
Explică diferența dintre drepte concurente și drepte paralele, în spațiu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dreptele concurente au exact un punct comun. Dreptele paralele sunt în același plan și nu au niciun punct comun. În spațiu mai există și drepte necoplanare, care nu au puncte comune fără să fie paralele.
Ex. 7Dificultate medie
Într-un cub, ce poziție relativă au 2 muchii opuse ale aceleiași fețe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Paralele.
Ex. 8Dificultate medie
Într-un cub, ce poziție relativă au o muchie de pe baza superioară și o muchie verticală, care nu pornesc din același vârf?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Necoplanare: nu se întâlnesc și nici nu sunt paralele.
Ex. 9Dificultate medie
Explică de ce 2 plane distincte nu pot avea exact un singur punct comun.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci au în comun o întreagă dreaptă prin acel punct. Deci nu pot avea un singur punct comun.
Ex. 10Dificultate medie
O dreaptă este paralelă cu un plan. Are ea puncte comune cu acel plan?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu.
Ex. 11Dificultate ridicată
Se dă un cub MNPQM'N'P'Q'. Stabilește poziția relativă a dreptelor MP (diagonala bazei) și NQ (cealaltă diagonală a bazei).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Concurente: se intersectează în centrul bazei (și sunt perpendiculare).
Ex. 12Dificultate ridicată
Folosind același cub, stabilește poziția relativă a dreptelor MP (diagonala bazei inferioare) și N'Q' (diagonala bazei superioare).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Necoplanare: MP este în planul bazei inferioare, N′Q′ în cel al bazei superioare, iar N′Q′ este paralelă cu NQ, nu cu MP.
Ex. 13Dificultate ridicată
Explică, folosind un exemplu concret dintr-o clădire cu mai multe etaje, o pereche de plane paralele și o pereche de plane secante.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Podelele a două etaje sunt plane paralele. Podeaua și un perete sunt plane secante (se taie după o dreaptă).
Ex. 14Dificultate ridicată
Într-o piramidă cu baza pătrată MNPQ și vârful V, stabilește poziția relativă a dreptelor VM și NP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Necoplanare: singurul plan care conține NP și punctul M este planul bazei, iar V nu se află în el.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau 2 drepte paralele, a și b, și un plan α, care conține dreapta a, dar nu conține dreapta b. Explică ce poziție relativă are dreapta b față de planul α.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b ∥ α: b este paralelă cu dreapta a din α și nu se află în α.
Ex. 16Excelență
Se dă un cub ABCDA'B'C'D'. Stabilește poziția relativă a diagonalei AC' (diagonala cubului, din A la C') față de planul bazei ABCD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Secantă: AC′ taie planul bazei în punctul A (fără să fie perpendiculară pe el).
Ex. 17Excelență
Explică, folosind proprietățile geometriei în spațiu, de ce 3 puncte necoliniare determină întotdeauna un plan, dar 3 puncte coliniare NU determină un plan unic (ci o infinitate de plane care conțin acea dreaptă).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan. Trei puncte coliniare stau pe o dreaptă, iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane (le poți roti în jurul ei).
Ex. 18Excelență
Se dau 2 drepte necoplanare, a și b. Explică de ce, prin definiție, nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă simultan, spre deosebire de 2 drepte paralele sau concurente.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dreptele necoplanare sunt, prin definiție, cele pentru care nu există un plan care să le conțină pe amândouă. Două drepte paralele sau concurente determină întotdeauna un plan.
Ex. 19Excelență
Într-un cub ABCDA'B'C'D', stabilește poziția relativă a dreptei AA' (o muchie verticală) față de planul bazei superioare A'B'C'D' (dreapta este conținută, paralelă, sau secantă?).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Secantă: AA′ taie planul A′B′C′D′ în punctul A′ (este chiar perpendiculară pe el).
Ex. 20Excelență
Explică, folosind un plan orizontal (podeaua unei camere) și mai multe drepte verticale (pereții colțurilor camerei), de ce toate aceste drepte verticale sunt paralele între ele, dar fiecare este secantă față de planul orizontal.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate dreptele verticale sunt perpendiculare pe podea, iar două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele. Fiecare întâlnește podeaua într-un singur punct, deci este secantă față de ea.