Puncte, drepte și plane

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce determină un plan

În spațiu, un plan este determinat de trei puncte necoliniare: prin ele trece un singur plan. La fel îl determină o dreaptă și un punct exterior ei, sau două drepte concurente.

Două plane distincte pot fi paralele, dacă nu au niciun punct comun, sau secante, dacă se intersectează. Intersecția a două plane secante este întotdeauna o dreaptă, nu un punct.

Aceasta este deosebirea majoră față de geometria plană: în spațiu ai de urmărit poziții între puncte, drepte și plane deodată.

De ținut minte

3 puncte necoliniare determină un plan

plane secante ∩ = o dreaptă

Trei puncte coliniare nu determină un plan unic: prin ele trec o infinitate.
Două plane nu se pot intersecta după un singur punct.

Exemplu rezolvat · alte date

Trei puncte P, Q, R sunt necoliniare. Câte plane le conțin pe toate?

1Prin două puncte distincte trece o dreaptă.
2Al treilea punct este în afara acestei drepte.
3Dreapta și punctul exterior determină un singur plan.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Puncte, drepte și plane: teorie, exemple și exerciții rezolvate

În spațiu, două drepte pot fi concurente, paralele sau necoplanare. O dreaptă poate fi inclusă într-un plan, îl poate intersecta într-un punct sau poate fi paralelă cu acesta, iar două plane pot coincide, fi paralele ori secante.

Ce determină un plan

În spațiu, un plan este determinat de trei puncte necoliniare: prin ele trece un singur plan. La fel îl determină o dreaptă și un punct exterior ei, sau două drepte concurente.

Două plane distincte pot fi paralele, dacă nu au niciun punct comun, sau secante, dacă se intersectează. Intersecția a două plane secante este întotdeauna o dreaptă, nu un punct.

Aceasta este deosebirea majoră față de geometria plană: în spațiu ai de urmărit poziții între puncte, drepte și plane deodată.

3 puncte necoliniare determină un plan
plane secante ∩ = o dreaptă

Trei puncte coliniare nu determină un plan unic: prin ele trec o infinitate.
Două plane nu se pot intersecta după un singur punct.

Exemplu rezolvat · alte date

Trei puncte P, Q, R sunt necoliniare. Câte plane le conțin pe toate?

Prin două puncte distincte trece o dreaptă.
Al treilea punct este în afara acestei drepte.
Dreapta și punctul exterior determină un singur plan.

Poziția a două drepte în spațiu

În spațiu, două drepte pot fi concurente, dacă se intersectează într-un punct; paralele, dacă sunt coplanare și nu se intersectează; sau necoplanare, dacă nu se află în același plan.

Dreptele necoplanare sunt noutatea față de geometria plană: ele nu se intersectează, dar nici nu sunt paralele, fiindcă nu există un plan care să le conțină pe amândouă.

În cubul ABCDA′B′C′D′: AB și CD sunt paralele, AB și AD sunt concurente în A, iar AB și CC′ sunt necoplanare.

concurente: un punct comun
paralele: coplanare, fără puncte comune
necoplanare: niciun plan comun

Paralelismul cere obligatoriu ca dreptele să fie coplanare.
Pe desenul unui cub, dreptele necoplanare „trec una pe lângă alta”.

Exemplu rezolvat

În cubul ABCDA′B′C′D′, ce poziție au dreptele AB și CC′?

Dreptele nu se intersectează: AB este pe fața de jos, iar CC′ este o muchie verticală.
Nu sunt nici paralele, fiindcă au direcții diferite.
Deci sunt drepte necoplanare.

Poziția unei drepte față de un plan

O dreaptă poate fi conținută în plan, secantă planului, dacă are exact un punct comun cu el, sau paralelă cu planul, dacă nu are niciun punct comun.

Numărul punctelor comune decide complet situația: zero înseamnă paralelism, unul înseamnă dreaptă secantă, iar o infinitate înseamnă că dreapta este chiar în plan.

0 puncte comune: dreaptă paralelă cu planul
1 punct: dreaptă secantă
o infinitate: dreaptă inclusă

O dreaptă nu poate avea exact două puncte comune cu un plan fără să fie inclusă în el.
Muchiile verticale ale unui cub sunt secante planului bazei.

Exemplu rezolvat

O dreaptă care nu are niciun punct comun cu un plan cum se numește?

Dacă ar avea un punct comun, ar fi secantă planului.
Dacă ar avea mai multe, ar fi conținută în plan.
Neavând niciun punct comun, dreapta este paralelă cu planul.

Muchiile cubului

Cubul este cel mai bun model pentru pozițiile din spațiu: are 12 muchii, grupate câte 4 pe fiecare dintre cele trei direcții.

Față de o muchie dată, cum ar fi AB: 3 muchii îi sunt paralele (cele de pe aceeași direcție), 4 îi sunt concurente (cele care pornesc din A sau din B) și 4 îi sunt necoplanare.

Verificarea este simplă: 3 + 4 + 4 = 11, adică toate celelalte muchii ale cubului.

cubul are 12 muchii
față de o muchie: 3 paralele, 4 concurente, 4 necoplanare

Muchiile paralele cu AB sunt cele de pe aceeași direcție, în celelalte fețe.
Numără pe desen, nu din memorie: greșelile apar când sari peste o muchie.

Exemplu rezolvat · alte date

În cubul PQRS P′Q′R′S′, enumeră muchiile paralele cu PP′, fără PP′.

Muchiile verticale au aceeași direcție.
Acestea sunt PP′, QQ′, RR′, SS′.
Fără PP′ rămân QQ′, RR′, SS′: trei muchii.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Care sunt pozițiile posibile pentru două drepte în spațiu?
Vezi rezolvarea
1. În spațiu, două drepte pot să nu aparțină aceluiași plan; acestea sunt necoplanare.
2. Pe lângă drepte coplanare, includem cazul în care nu există un plan comun.
3. În spațiu apare și cazul dreptelor necoplanare.
Răspuns: Concurente, paralele sau necoplanare
Exercițiul 2
Ce au în comun două plane secante?
Vezi rezolvarea
1. În spațiu, două drepte pot să nu aparțină aceluiași plan; acestea sunt necoplanare.
2. Două plane distincte care se intersectează au în comun o dreaptă întreagă.
3. Intersecția a două plane distincte secante este o dreaptă.
Răspuns: O dreaptă
Exercițiul 3
Două muchii opuse ale aceleiași fețe a unui cub sunt...
Vezi rezolvarea
1. În spațiu, două drepte pot să nu aparțină aceluiași plan; acestea sunt necoplanare.
2. O față a cubului este un pătrat, deci laturile ei opuse sunt paralele.
3. Laturile opuse ale unui pătrat sunt paralele.
Răspuns: paralele
Exercițiul 4
O dreaptă care are un singur punct comun cu un plan este...
Vezi rezolvarea
1. În spațiu, două drepte pot să nu aparțină aceluiași plan; acestea sunt necoplanare.
2. Dacă ar avea două puncte comune cu planul, dreapta ar fi inclusă în el.
3. O dreaptă secantă intersectează planul într-un singur punct.
Răspuns: secantă planului
Exercițiul 5
În cub, dreptele AB și CC′ sunt...
Vezi rezolvarea
1. În spațiu, două drepte pot să nu aparțină aceluiași plan; acestea sunt necoplanare.
2. AB și CC′ nu sunt paralele și nu se întâlnesc, deci nu pot fi coplanare.
3. Ele nu pot fi cuprinse în același plan, deci sunt necoplanare.
Răspuns: necoplanare
Exercițiul 6
Câte plane trec prin trei puncte necoliniare?
Vezi rezolvarea
1. Prin două puncte trec o infinitate de plane.
2. Al treilea punct, necoliniar, fixează unul singur.
3. Trei puncte necoliniare determină un plan.
Răspuns: unul singur
Exercițiul 7
O dreaptă care nu are niciun punct comun cu un plan este...
Vezi rezolvarea
1. Dreapta secantă are exact un punct comun cu planul.
2. Dreapta inclusă are toate punctele în plan.
3. Fără puncte comune, dreapta este paralelă cu planul.
Răspuns: paralelă cu planul
Exercițiul 8
Două plane distincte care nu au niciun punct comun sunt...
Vezi rezolvarea
1. Planele secante se intersectează după o dreaptă.
2. Planele perpendiculare sunt tot secante.
3. Fără puncte comune, planele sunt paralele.
Răspuns: paralele
Exercițiul 9
În cubul ABCDA′B′C′D′, dreptele AB și A′B′ sunt...
Vezi rezolvarea
1. AB și A′B′ sunt în fața ABB′A′.
2. Sunt laturi opuse ale unui pătrat.
3. Dreptele sunt paralele.
Răspuns: paralele
Exercițiul 10
În cubul ABCDA′B′C′D′, dreptele AB și AD sunt...
Vezi rezolvarea
1. Ambele trec prin A.
2. Au un singur punct comun.
3. Sunt concurente (chiar perpendiculare).
Răspuns: concurente
Exercițiul 11
Câte muchii ale unui cub sunt paralele cu muchia AB, fără a o număra pe AB?
Vezi rezolvarea
1. În cubul ABCDA′B′C′D′, paralele cu AB sunt CD, A′B′ și C′D′.
2. Le numărăm.
3. Sunt 3 muchii.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
Câte muchii ale unui cub sunt necoplanare cu muchia AB?
Vezi rezolvarea
1. Paralele cu AB: 3. Muchii care o intersectează: AD, AA′, BC, BB′, adică 4.
2. 12 − 1 − 3 − 4 = 4.
3. Muchiile necoplanare cu AB sunt CC′, DD′, A′D′ și B′C′.
Răspuns: 4

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Câte puncte necoliniare sunt necesare pentru a determina un plan?
Vezi răspunsul
3
2. Dificultate redusă
Ce înseamnă că un punct aparține unui plan?
Vezi răspunsul
Punctul se află în acel plan.
3. Dificultate redusă
Enumeră cele 3 poziții posibile pentru 2 drepte în spațiu.
Vezi răspunsul
Concurente, paralele sau necoplanare.
4. Dificultate redusă
Enumeră cele 3 poziții posibile pentru o dreaptă față de un plan.
Vezi răspunsul
Conținută în plan, paralelă cu planul sau secantă (îl taie într-un singur punct).
5. Dificultate redusă
Ce au în comun 2 plane paralele?
Vezi răspunsul
Nu au niciun punct comun.
6. Dificultate medie
Explică diferența dintre drepte concurente și drepte paralele, în spațiu.
Vezi răspunsul
Dreptele concurente au exact un punct comun. Dreptele paralele sunt în același plan și nu au niciun punct comun. În spațiu mai există și drepte necoplanare, care nu au puncte comune fără să fie paralele.
7. Dificultate medie
Într-un cub, ce poziție relativă au 2 muchii opuse ale aceleiași fețe?
Vezi răspunsul
Paralele.
8. Dificultate medie
Într-un cub, ce poziție relativă au o muchie de pe baza superioară și o muchie verticală, care nu pornesc din același vârf?
Vezi răspunsul
Necoplanare: nu se întâlnesc și nici nu sunt paralele.
9. Dificultate medie
Explică de ce 2 plane distincte nu pot avea exact un singur punct comun.
Vezi răspunsul
Dacă două plane distincte au un punct comun, atunci au în comun o întreagă dreaptă prin acel punct. Deci nu pot avea un singur punct comun.
10. Dificultate medie
O dreaptă este paralelă cu un plan. Are ea puncte comune cu acel plan?
Vezi răspunsul
Nu.
11. Dificultate ridicată
Se dă un cub MNPQM'N'P'Q'. Stabilește poziția relativă a dreptelor MP (diagonala bazei) și NQ (cealaltă diagonală a bazei).
Vezi răspunsul
Concurente: se intersectează în centrul bazei (și sunt perpendiculare).
12. Dificultate ridicată
Folosind același cub, stabilește poziția relativă a dreptelor MP (diagonala bazei inferioare) și N'Q' (diagonala bazei superioare).
Vezi răspunsul
Necoplanare: MP este în planul bazei inferioare, N′Q′ în cel al bazei superioare, iar N′Q′ este paralelă cu NQ, nu cu MP.
13. Dificultate ridicată
Explică, folosind un exemplu concret dintr-o clădire cu mai multe etaje, o pereche de plane paralele și o pereche de plane secante.
Vezi răspunsul
Podelele a două etaje sunt plane paralele. Podeaua și un perete sunt plane secante (se taie după o dreaptă).
14. Dificultate ridicată
Într-o piramidă cu baza pătrată MNPQ și vârful V, stabilește poziția relativă a dreptelor VM și NP.
Vezi răspunsul
Necoplanare: singurul plan care conține NP și punctul M este planul bazei, iar V nu se află în el.
15. Dificultate ridicată
Se dau 2 drepte paralele, a și b, și un plan α, care conține dreapta a, dar nu conține dreapta b. Explică ce poziție relativă are dreapta b față de planul α.
Vezi răspunsul
b ∥ α: b este paralelă cu dreapta a din α și nu se află în α.
16. Excelență
Se dă un cub ABCDA'B'C'D'. Stabilește poziția relativă a diagonalei AC' (diagonala cubului, din A la C') față de planul bazei ABCD.
Vezi răspunsul
Secantă: AC′ taie planul bazei în punctul A (fără să fie perpendiculară pe el).
17. Excelență
Explică, folosind proprietățile geometriei în spațiu, de ce 3 puncte necoliniare determină întotdeauna un plan, dar 3 puncte coliniare NU determină un plan unic (ci o infinitate de plane care conțin acea dreaptă).
Vezi răspunsul
Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan. Trei puncte coliniare stau pe o dreaptă, iar printr-o dreaptă trec o infinitate de plane (le poți roti în jurul ei).
18. Excelență
Se dau 2 drepte necoplanare, a și b. Explică de ce, prin definiție, nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă simultan, spre deosebire de 2 drepte paralele sau concurente.
Vezi răspunsul
Dreptele necoplanare sunt, prin definiție, cele pentru care nu există un plan care să le conțină pe amândouă. Două drepte paralele sau concurente determină întotdeauna un plan.
19. Excelență
Într-un cub ABCDA'B'C'D', stabilește poziția relativă a dreptei AA' (o muchie verticală) față de planul bazei superioare A'B'C'D' (dreapta este conținută, paralelă, sau secantă?).
Vezi răspunsul
Secantă: AA′ taie planul A′B′C′D′ în punctul A′ (este chiar perpendiculară pe el).
20. Excelență
Explică, folosind un plan orizontal (podeaua unei camere) și mai multe drepte verticale (pereții colțurilor camerei), de ce toate aceste drepte verticale sunt paralele între ele, dar fiecare este secantă față de planul orizontal.
Vezi răspunsul
Toate dreptele verticale sunt perpendiculare pe podea, iar două drepte perpendiculare pe același plan sunt paralele. Fiecare întâlnește podeaua într-un singur punct, deci este secantă față de ea.