Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

↧

Încărcăm partea curentă…

Proiecții ortogonale

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Proiecția unui punct și a unui segment

Proiecția ortogonală a unui punct P pe o dreaptă d este piciorul perpendicularei duse din P pe d, adică punctul în care perpendiculara atinge dreapta.

Proiecția unui segment este segmentul format de proiecțiile capetelor lui. Dacă segmentul este perpendicular pe dreapta de proiecție, ambele capete au aceeași proiecție, deci proiecția se reduce la un punct și are lungimea 0.

Proiecția unui punct care se află deja pe dreaptă este chiar punctul respectiv.

De ținut minte

proiecția lui P pe d = piciorul perpendicularei

segment ⟂ d ⇒ proiecția este un punct

Proiecția se face întotdeauna pe perpendiculară, nu oblic.
Un segment perpendicular pe dreapta de proiecție are proiecția de lungime 0.

Exemplu rezolvat

Ce lungime are proiecția pe dreapta d a unui segment perpendicular pe d?

1Ambele capete ale segmentului se proiectează în același punct al dreptei.
2Proiecția segmentului se reduce astfel la un singur punct.
3Lungimea proiecției este 0.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Proiecții ortogonale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția unui segment se obține proiectând ambele capete, iar în triunghiul dreptunghic proiecțiile catetelor împart ipotenuza.

Proiecția unui punct și a unui segment

Proiecția ortogonală a unui punct P pe o dreaptă d este piciorul perpendicularei duse din P pe d, adică punctul în care perpendiculara atinge dreapta.

Proiecția unui punct care se află deja pe dreaptă este chiar punctul respectiv.

proiecția lui P pe d = piciorul perpendicularei
segment ⟂ d ⇒ proiecția este un punct

Proiecția se face întotdeauna pe perpendiculară, nu oblic.
Un segment perpendicular pe dreapta de proiecție are proiecția de lungime 0.

Exemplu rezolvat

Ce lungime are proiecția pe dreapta d a unui segment perpendicular pe d?

Ambele capete ale segmentului se proiectează în același punct al dreptei.
Proiecția segmentului se reduce astfel la un singur punct.
Lungimea proiecției este 0.

Proiecția unui segment înclinat

Dacă segmentul este paralel cu dreapta de proiecție, proiecția lui are exact aceeași lungime ca segmentul.

Dacă segmentul formează cu dreapta un unghi α, proiecția este mai scurtă decât segmentul, iar lungimea ei se calculează cu proiecția = segment × cos α.

Un segment de 10 cm care face 60° cu dreapta are proiecția 10 × cos 60° = 10 × 12 = 5 cm.

segment ∥ d ⇒ proiecția = segmentul
proiecția = segment × cos α
10 × cos 60° = 5

Proiecția este întotdeauna mai scurtă sau egală cu segmentul.
Unghiul de 0° dă proiecție egală, cel de 90° dă proiecție nulă.

Exemplu rezolvat

Segmentul AB are 10 cm și formează cu dreapta d un unghi de 60°. Cât are proiecția lui pe d?

Proiecția se calculează înmulțind lungimea segmentului cu cosinusul unghiului.
Cum cos 60° = 12, avem 10 × 12.
Proiecția are 5 cm.

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete. Ipotenuza este suma lor.

Teorema catetei leagă aceste mărimi: pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete, AB² = BD × BC.

Așa poți afla o catetă din proiecția ei, sau invers, proiecția dintr-o catetă și ipotenuză.

c = m + n
AB² = BD × BC
BD = AB² : BC

Fiecare catetă se leagă de proiecția ei, nu de cealaltă.
Suma proiecțiilor trebuie să dea ipotenuza — o verificare rapidă.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 12 cm și BC = 16 cm. Cât este proiecția lui AB pe BC?

Aplicăm teorema catetei: AB² = BD × BC, deci 144 = BD × 16.
Împărțim la 16.
Proiecția BD are 9 cm.

Din proiecție înapoi la segment

Segmentul, proiecția lui și distanța de la capăt la dreaptă formează un triunghi dreptunghic: proiecția și distanța sunt catetele, iar segmentul este ipotenuza.

De aceea, dacă știi proiecția și distanța, afli lungimea segmentului cu teorema lui Pitagora: AB² = proiecție² + distanță².

AB² = proiecție² + distanță²
5² + 12² = 13²

Segmentul este ipotenuza, deci este mai lung decât proiecția lui.
Verifică rezultatul: ipotenuza trebuie să depășească fiecare catetă.

Exemplu rezolvat

A este pe dreapta d, iar B se află la 5 cm de d. Proiecția segmentului AB pe d are 12 cm. Cât este AB?

Se formează un triunghi dreptunghic cu catetele 12 cm și 5 cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora: AB² = 144 + 25 = 169.
Deci AB = 13 cm.

Distanța de la un punct la un plan și unghiul dreptei cu planul

Proiecția unui punct P pe planul α este piciorul perpendicularei din P pe plan: punctul H din α pentru care PH ⊥ α. Lungimea PH este distanța de la P la plan, adică drumul cel mai scurt de la punct la plan; orice segment oblic PQ, cu Q în plan, este mai lung.

O dreaptă care înțeapă planul într-un punct C se proiectează proiectând încă un punct al ei: dacă P se proiectează în H, proiecția dreptei PC este HC. Unghiul dintre dreaptă și plan este unghiul dintre dreaptă și proiecția ei, adică ∢PCH.

În cub, A′ se proiectează pe bază în A, pentru că AA′ ⊥ (ABC). Deci proiecția diagonalei A′C pe bază este AC, iar unghiul dintre A′C și bază este ∢A′CA, din triunghiul A′AC, dreptunghic în A.

PH ⊥ α ⇒ d(P, α) = PH
∢(PC, α) = ∢PCH, unde H este proiecția lui P
în cubul cu muchia a: tg ∢A′CA = aa√2 = √22

Unghiul dintre o dreaptă și un plan se calculează mereu într-un triunghi dreptunghic: perpendiculara, proiecția și dreapta.
Dacă dreapta este perpendiculară pe plan, unghiul are 90°; dacă este paralelă cu planul sau inclusă în el, are 0°.

Exemplu rezolvat

Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia 6 cm. Află tangenta unghiului dintre dreapta A′C și planul (ABC).

AA′ ⊥ (ABC), deci proiecția lui A′ pe plan este A, iar proiecția dreptei A′C este AC.
Unghiul căutat este ∢A′CA, în triunghiul A′AC, dreptunghic în A.
AC = 6√2 cm, fiind diagonala pătratului ABCD, iar AA′ = 6 cm.
tg ∢A′CA = AA′AC = 66√2 = √22.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce este proiecția ortogonală a punctului P pe dreapta d?
Vezi rezolvarea
1. O proiecție ortogonală se construiește coborând perpendiculare pe dreapta sau planul de proiecție.
2. Trasăm prin P perpendiculara pe d și notăm piciorul ei.
3. Intersecția perpendicularei prin P cu d este proiecția ortogonală.
Răspuns: Piciorul perpendicularei din P pe d
Exercițiul 2
Ce lungime are proiecția pe d a unui segment perpendicular pe d?
Vezi rezolvarea
1. O proiecție ortogonală se construiește coborând perpendiculare pe dreapta sau planul de proiecție.
2. Toate punctele unui segment perpendicular pe d se proiectează în același punct de pe d.
3. Proiecția se reduce la un singur punct, deci lungimea este 0.
Răspuns: 0
Exercițiul 3
Un segment paralel cu dreapta de proiecție are 7 cm. Cât are proiecția sa?
Vezi rezolvarea
1. O proiecție ortogonală se construiește coborând perpendiculare pe dreapta sau planul de proiecție.
2. Dacă segmentul este paralel cu d, proiecția păstrează distanța dintre capetele lui.
3. Proiecția unui segment paralel este congruentă cu segmentul.
Răspuns: 7
Exercițiul 4
Într-un triunghi dreptunghic cu catetele 3 și 4, cât este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. O proiecție ortogonală se construiește coborând perpendiculare pe dreapta sau planul de proiecție.
2. Folosim Pitagora: ipotenuza² este suma pătratelor catetelor.
3. 3² + 4² = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 5
În exemplul cu AB = 6, AC = 8 și BC = 10, cât este BD?
Vezi rezolvarea
1. O proiecție ortogonală se construiește coborând perpendiculare pe dreapta sau planul de proiecție.
2. În triunghiul dreptunghic în A, cu AD ⊥ BC, teorema catetei dă AB² = BC · BD.
3. BD = 3610 = 3,6.
Răspuns: 3,6
Exercițiul 6
Proiecția unui segment pe o dreaptă cu care este paralel are:
Vezi rezolvarea
1. Perpendicularele din capete sunt egale și paralele.
2. Se formează un dreptunghi.
3. Proiecția are aceeași lungime ca segmentul.
Răspuns: aceeași lungime ca segmentul
Exercițiul 7
Proiecția pe dreapta d a unui segment perpendicular pe d este:
Vezi rezolvarea
1. Segmentul este chiar pe perpendiculara la d.
2. Ambele capete au același picior al perpendicularei.
3. Proiecția este un punct.
Răspuns: un punct
Exercițiul 8
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 5 cm și 15 cm. Cât este ipotenuza, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. BD + DC = BC.
2. 5 + 15 = 20.
3. Ipotenuza are 20 cm.
Răspuns: 20
Exercițiul 9
În triunghiul ABC dreptunghic în A, AD ⊥ BC, BD = 4 cm și BC = 9 cm. Cât este AB, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. AB² = 4 · 9 = 36.
2. AB = √36.
3. AB = 6 cm.
Răspuns: 6
Exercițiul 10
În triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 12 cm și BC = 16 cm. Cât este proiecția lui AB pe BC, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. 144 = BD · 16.
2. BD = 144 : 16.
3. BD = 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 11
Segmentul AB are 10 cm și formează cu dreapta d un unghi de 60°. Cât are proiecția lui pe d, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. cos 60° = 12.
2. Proiecția = 10 · 12.
3. Proiecția are 5 cm.
Răspuns: 5
Exercițiul 12
A este pe dreapta d, iar B se află la 5 cm de d. Proiecția segmentului AB pe d are 12 cm. Cât este AB, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. AB este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele 12 și 5.
2. AB² = 144 + 25 = 169.
3. AB = 13 cm.
Răspuns: 13
Exercițiul 13
Punctul P se află la 8 cm de planul α, iar H este proiecția lui pe α. Punctul Q din plan este la 6 cm de H. Cât este PQ?
Vezi rezolvarea
1. PH ⊥ α, iar HQ ⊂ α, deci triunghiul PHQ este dreptunghic în H.
2. PQ² = PH² + HQ² = 64 + 36 = 100.
3. PQ = 10 cm.
Răspuns: 10 cm
Exercițiul 14
În cubul ABCDA′B′C′D′, care este proiecția dreptei B′D pe planul (ABC)?
Vezi rezolvarea
1. BB′ ⊥ (ABC), deci proiecția lui B′ pe bază este B.
2. D este deja în planul bazei, deci se proiectează în el însuși.
3. Proiecția dreptei B′D este BD.
Răspuns: BD
Exercițiul 15
Paralelipipedul dreptunghic ABCDA′B′C′D′ are AB = 8 cm, BC = 6 cm și AA′ = 10 cm. Ce măsură are unghiul dintre dreapta A′C și planul (ABC)?
Vezi rezolvarea
1. Proiecția lui A′C pe bază este AC, deci unghiul căutat este ∢A′CA.
2. AC = 8² + 6² = 10 cm, iar AA′ = 10 cm.
3. tg ∢A′CA = AA′AC = 1, deci unghiul are 45°.
Răspuns: 45°
Exercițiul 16
Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia 6 cm. Arată că sinusul unghiului dintre dreapta A′C și planul (ABC) este √33.
Vezi rezolvarea
1. AA′ ⊥ (ABC), deci proiecția lui A′ pe bază este A și ∢(A′C, (ABC)) = ∢A′CA.
2. În triunghiul A′AC, dreptunghic în A: AC = 6√2 cm, A′C² = 36 + 72 = 108, deci A′C = 6√3 cm.
3. sin ∢A′CA = AA′A′C = 66√3 = 1√3 = √33.

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Ce este proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă?
Vezi răspunsul
Segmentul dintre picioarele perpendicularelor duse din capetele segmentului pe dreaptă.
2. Dificultate redusă
Ce lungime are proiecția unui segment perpendicular pe o dreaptă?
Vezi răspunsul
0: proiecția se reduce la un punct.
3. Dificultate redusă
Ce lungime are proiecția unui segment paralel cu o dreaptă, dacă segmentul are 9 cm?
Vezi răspunsul
9 cm (proiecția are aceeași lungime ca segmentul)
4. Dificultate redusă
Se dă un triunghi dreptunghic cu catetele 6 cm și 8 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsul
36 + 64 = 10 cm
5. Dificultate redusă
Ce reprezintă piciorul unei perpendiculare duse dintr-un punct pe o dreaptă?
Vezi răspunsul
Punctul în care perpendiculara întâlnește dreapta, adică proiecția punctului pe dreaptă.
6. Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele AB=12 cm, AC=16 cm. Calculează ipotenuza BC.
Vezi răspunsul
144 + 256 = √400 = 20 cm
7. Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează proiecțiile BD și DC.
Vezi răspunsul
BD = AB² : BC = 144 : 20 = 7,2 cm; DC = AC² : BC = 256 : 20 = 12,8 cm.
8. Dificultate medie
Un segment MN de 12 cm formează un unghi de 90° cu o dreaptă d. Ce lungime are proiecția lui pe d?
Vezi răspunsul
0: proiecția este un punct.
9. Dificultate medie
Un segment PQ de 6 cm este paralel cu o dreaptă e. Ce lungime are proiecția lui pe e?
Vezi răspunsul
6 cm
10. Dificultate medie
Explică ce se întâmplă cu lungimea proiecției unui segment, pe măsură ce unghiul dintre segment și dreaptă crește de la 0° la 90°.
Vezi răspunsul
Scade: la 0° are chiar lungimea segmentului, apoi se micșorează pe măsură ce unghiul crește, iar la 90° devine 0.
11. Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 25 cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză este 4 cm. Calculează acea catetă.
Vezi răspunsul
cateta² = 4 × 25 = 100, deci cateta are 10 cm.
12. Dificultate ridicată
Se dă un triunghi ABC, cu AB=9 cm, AC=12 cm, BC=15 cm. Calculează proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Vezi răspunsul
9² + 12² = 15², deci triunghiul este dreptunghic în A. Proiecțiile: 81 : 15 = 5,4 cm și 144 : 15 = 9,6 cm.
13. Dificultate ridicată
Un dreptunghi ABCD are AB=9 cm, iar diagonala AC=15 cm. Calculează proiecția laturii AD pe diagonala AC.
Vezi răspunsul
AD = BC = 15² − 9² = 12 cm. În triunghiul dreptunghic ACD, proiecția catetei AD pe ipotenuza AC este AD² : AC = 144 : 15 = 9,6 cm.
14. Dificultate ridicată
Se dă un segment MN de 15 cm, care formează cu o dreaptă d un unghi astfel încât proiecția lui pe d are 12 cm. Ce poți spune, calitativ, despre mărimea unghiului dintre MN și d?
Vezi răspunsul
Unghiul este ascuțit și destul de mic: proiecția (12 cm) este aproape cât segmentul (15 cm). Raportul 1215 = 0,8 corespunde unui unghi de aproximativ 37°.
15. Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele proiectate pe ipotenuză cu lungimile 9 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi ambele catete.
Vezi răspunsul
Ipotenuza: 9 + 16 = 25 cm. Catetele: 9 × 25 = 15 cm și 16 × 25 = 20 cm.
16. Excelență
Un triunghi dreptunghic isoscel (catetele egale) are ipotenuza de 14√2 cm. Calculează proiecțiile catetelor pe ipotenuză, știind că, în acest caz particular, cele 2 proiecții sunt egale (jumătate din ipotenuză fiecare).
Vezi răspunsul
Fiecare proiecție are 14√2 : 2 = 7√2 cm.
17. Excelență
Se dă un trapez dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, AB=15 cm, CD=7 cm, iar latura laterală AD perpendiculară pe baze, cu AD=8 cm. Calculează proiecția laturii BC pe baza AB (indiciu: diferența bazelor este 8 cm, aceasta fiind proiecția căutată, iar folosind și AD ca înălțime, poți calcula BC prin Pitagora, dacă este cerut).
Vezi răspunsul
Proiecția lui BC pe AB este 15 − 7 = 8 cm; atunci BC = 8² + 8² = 8√2 cm.
18. Excelență
Un romb are diagonalele de 12 cm și 16 cm. Calculează proiecția unei laturi a rombului pe una dintre diagonale (indiciu: folosește jumătățile diagonalelor, care sunt perpendiculare, și latura rombului calculată deja prin Pitagora).
Vezi răspunsul
Jumătățile diagonalelor au 6 cm și 8 cm, iar latura are 36 + 64 = 10 cm. Proiecția unei laturi pe diagonala de 16 cm are 8 cm, iar pe cea de 12 cm are 6 cm.
19. Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu AB=13 cm, AC=15 cm, iar înălțimea din A pe BC are 12 cm. Calculează proiecțiile BD și DC ale celor 2 laturi AB și AC pe latura BC, folosind teorema lui Pitagora aplicată separat triunghiurilor ABD și ACD (indiciu: BD² = AB² − AD², similar pentru DC).
Vezi răspunsul
BD = 13² − 12² = 5 cm, DC = 15² − 12² = 9 cm (deci BC = 14 cm).
20. Excelență
Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Calculează proiecția unei laturi pe o altă latură a triunghiului (indiciu: unghiul dintre 2 laturi ale unui triunghi echilateral este 60°; folosește proprietatea, cunoscută din geometrie, că proiecția unei laturi pe alta, în acest caz particular, este jumătate din lungimea laturii — verifică acest fapt folosind triunghiul dreptunghic format de înălțime).
Vezi răspunsul
5 cm: înălțimea cade în mijlocul laturii, deci proiecția este jumătate din latură. Verificare: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10².