Proiecții ortogonale

Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă este piciorul perpendicularei. Proiecția unui segment se obține proiectând ambele capete, iar în triunghiul dreptunghic proiecțiile catetelor împart ipotenuza.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

ABC este dreptunghic în A. AD este înălțimea pe ipotenuza BC; BD și DC sunt proiecțiile catetelor. Avem AD² = BD · DC, AB² = BC · BD și AC² = BC · DC. Desenul reprezintă un triunghi de tip 3–4–5.

Proiecția unui punct și a unui segment

Proiecția ortogonală a unui punct P pe o dreaptă d este piciorul perpendicularei duse din P pe d, adică punctul în care perpendiculara atinge dreapta.

Proiecția unui segment este segmentul format de proiecțiile capetelor lui. Dacă segmentul este perpendicular pe dreapta de proiecție, ambele capete au aceeași proiecție, deci proiecția se reduce la un punct și are lungimea 0.

Proiecția unui punct care se află deja pe dreaptă este chiar punctul respectiv.

proiecția lui P pe d = piciorul perpendicularei

segment ⟂ d ⇒ proiecția este un punct

Proiecția se face întotdeauna pe perpendiculară, nu oblic.
Un segment perpendicular pe dreapta de proiecție are proiecția de lungime 0.

Exemplu rezolvat

Ce lungime are proiecția pe dreapta d a unui segment perpendicular pe d?

1.Ambele capete ale segmentului se proiectează în același punct al dreptei.
2.Proiecția segmentului se reduce astfel la un singur punct.
3.Lungimea proiecției este 0.

Proiecția unui segment înclinat

Dacă segmentul este paralel cu dreapta de proiecție, proiecția lui are exact aceeași lungime ca segmentul.

Dacă segmentul formează cu dreapta un unghi α, proiecția este mai scurtă decât segmentul, iar lungimea ei se calculează cu proiecția = segment × cos α.

Un segment de 10 cm care face 60° cu dreapta are proiecția 10 × cos 60° = 10 × 12 = 5 cm.

segment ∥ d ⇒ proiecția = segmentul

proiecția = segment × cos α

10 × cos 60° = 5

Proiecția este întotdeauna mai scurtă sau egală cu segmentul.
Unghiul de 0° dă proiecție egală, cel de 90° dă proiecție nulă.

Exemplu rezolvat

Segmentul AB are 10 cm și formează cu dreapta d un unghi de 60°. Cât are proiecția lui pe d?

1.Proiecția se calculează înmulțind lungimea segmentului cu cosinusul unghiului.
2.Cum cos 60° = 12, avem 10 × 12.
3.Proiecția are 5 cm.

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză

Într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete. Ipotenuza este suma lor.

Teorema catetei leagă aceste mărimi: pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete, AB² = BD × BC.

Așa poți afla o catetă din proiecția ei, sau invers, proiecția dintr-o catetă și ipotenuză.

c = m + n

AB² = BD × BC

BD = AB² : BC

Fiecare catetă se leagă de proiecția ei, nu de cealaltă.
Suma proiecțiilor trebuie să dea ipotenuza — o verificare rapidă.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC dreptunghic în A, AB = 12 cm și BC = 16 cm. Cât este proiecția lui AB pe BC?

1.Aplicăm teorema catetei: AB² = BD × BC, deci 144 = BD × 16.
2.Împărțim la 16.
3.Proiecția BD are 9 cm.

Din proiecție înapoi la segment

Segmentul, proiecția lui și distanța de la capăt la dreaptă formează un triunghi dreptunghic: proiecția și distanța sunt catetele, iar segmentul este ipotenuza.

De aceea, dacă știi proiecția și distanța, afli lungimea segmentului cu teorema lui Pitagora: AB² = proiecție² + distanță².

AB² = proiecție² + distanță²

5² + 12² = 13²

Segmentul este ipotenuza, deci este mai lung decât proiecția lui.
Verifică rezultatul: ipotenuza trebuie să depășească fiecare catetă.

Exemplu rezolvat

A este pe dreapta d, iar B se află la 5 cm de d. Proiecția segmentului AB pe d are 12 cm. Cât este AB?

1.Se formează un triunghi dreptunghic cu catetele 12 cm și 5 cm.
2.Aplicăm teorema lui Pitagora: AB² = 144 + 25 = 169.
3.Deci AB = 13 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce este proiecția ortogonală a unui segment pe o dreaptă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Segmentul dintre picioarele perpendicularelor duse din capetele segmentului pe dreaptă.
Ex. 2Dificultate redusă
Ce lungime are proiecția unui segment perpendicular pe o dreaptă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: proiecția se reduce la un punct.
Ex. 3Dificultate redusă
Ce lungime are proiecția unui segment paralel cu o dreaptă, dacă segmentul are 9 cm?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 cm (proiecția are aceeași lungime ca segmentul)
Ex. 4Dificultate redusă
Se dă un triunghi dreptunghic cu catetele 6 cm și 8 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 64 = 10 cm
Ex. 5Dificultate redusă
Ce reprezintă piciorul unei perpendiculare duse dintr-un punct pe o dreaptă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Punctul în care perpendiculara întâlnește dreapta, adică proiecția punctului pe dreaptă.
Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele AB=12 cm, AC=16 cm. Calculează ipotenuza BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
144 + 256 = √400 = 20 cm
Ex. 7Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează proiecțiile BD și DC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BD = AB² : BC = 144 : 20 = 7,2 cm; DC = AC² : BC = 256 : 20 = 12,8 cm.
Ex. 8Dificultate medie
Un segment MN de 12 cm formează un unghi de 90° cu o dreaptă d. Ce lungime are proiecția lui pe d?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0: proiecția este un punct.
Ex. 9Dificultate medie
Un segment PQ de 6 cm este paralel cu o dreaptă e. Ce lungime are proiecția lui pe e?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 cm
Ex. 10Dificultate medie
Explică ce se întâmplă cu lungimea proiecției unui segment, pe măsură ce unghiul dintre segment și dreaptă crește de la 0° la 90°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Scade: la 0° are chiar lungimea segmentului, apoi se micșorează pe măsură ce unghiul crește, iar la 90° devine 0.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 25 cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză este 4 cm. Calculează acea catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cateta² = 4 × 25 = 100, deci cateta are 10 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă un triunghi ABC, cu AB=9 cm, AC=12 cm, BC=15 cm. Calculează proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9² + 12² = 15², deci triunghiul este dreptunghic în A. Proiecțiile: 81 : 15 = 5,4 cm și 144 : 15 = 9,6 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un dreptunghi ABCD are AB=9 cm, iar diagonala AC=15 cm. Calculează proiecția laturii AD pe diagonala AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD = BC = 15² − 9² = 12 cm. În triunghiul dreptunghic ACD, proiecția catetei AD pe ipotenuza AC este AD² : AC = 144 : 15 = 9,6 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă un segment MN de 15 cm, care formează cu o dreaptă d un unghi astfel încât proiecția lui pe d are 12 cm. Ce poți spune, calitativ, despre mărimea unghiului dintre MN și d?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiul este ascuțit și destul de mic: proiecția (12 cm) este aproape cât segmentul (15 cm). Raportul 1215 = 0,8 corespunde unui unghi de aproximativ 37°.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele proiectate pe ipotenuză cu lungimile 9 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi ambele catete.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 9 + 16 = 25 cm. Catetele: 9 × 25 = 15 cm și 16 × 25 = 20 cm.
Ex. 16Excelență
Un triunghi dreptunghic isoscel (catetele egale) are ipotenuza de 14√2 cm. Calculează proiecțiile catetelor pe ipotenuză, știind că, în acest caz particular, cele 2 proiecții sunt egale (jumătate din ipotenuză fiecare).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare proiecție are 14√2 : 2 = 7√2 cm.
Ex. 17Excelență
Se dă un trapez dreptunghic ABCD, cu AB ∥ CD, AB=15 cm, CD=7 cm, iar latura laterală AD perpendiculară pe baze, cu AD=8 cm. Calculează proiecția laturii BC pe baza AB (indiciu: diferența bazelor este 8 cm, aceasta fiind proiecția căutată, iar folosind și AD ca înălțime, poți calcula BC prin Pitagora, dacă este cerut).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Proiecția lui BC pe AB este 15 − 7 = 8 cm; atunci BC = 8² + 8² = 8√2 cm.
Ex. 18Excelență
Un romb are diagonalele de 12 cm și 16 cm. Calculează proiecția unei laturi a rombului pe una dintre diagonale (indiciu: folosește jumătățile diagonalelor, care sunt perpendiculare, și latura rombului calculată deja prin Pitagora).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Jumătățile diagonalelor au 6 cm și 8 cm, iar latura are 36 + 64 = 10 cm. Proiecția unei laturi pe diagonala de 16 cm are 8 cm, iar pe cea de 12 cm are 6 cm.
Ex. 19Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu AB=13 cm, AC=15 cm, iar înălțimea din A pe BC are 12 cm. Calculează proiecțiile BD și DC ale celor 2 laturi AB și AC pe latura BC, folosind teorema lui Pitagora aplicată separat triunghiurilor ABD și ACD (indiciu: BD² = AB² − AD², similar pentru DC).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BD = 13² − 12² = 5 cm, DC = 15² − 12² = 9 cm (deci BC = 14 cm).
Ex. 20Excelență
Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Calculează proiecția unei laturi pe o altă latură a triunghiului (indiciu: unghiul dintre 2 laturi ale unui triunghi echilateral este 60°; folosește proprietatea, cunoscută din geometrie, că proiecția unei laturi pe alta, în acest caz particular, este jumătate din lungimea laturii — verifică acest fapt folosind triunghiul dreptunghic format de înălțime).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 cm: înălțimea cade în mijlocul laturii, deci proiecția este jumătate din latură. Verificare: 5² + (5√3)² = 25 + 75 = 100 = 10².