Probabilități — sinteză

Evenimentul contrar simplifică problemele de tip «cel puțin unul». La extragerile fără revenire, numărul obiectelor se schimbă după prima extragere, deci și probabilitatea pasului următor se modifică.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Probabilitatea și evenimentul contrar

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile, iar valoarea ei este întotdeauna între 0 și 1.

Într-un sac cu 6 bile roșii și 4 albastre sunt 10 bile în total, deci P(roșie) = 610 = 35.

Evenimentul contrar, notat A′, se produce exact când A nu se produce, iar probabilitățile lor se completează până la 1: P(A′) = 1 − P(A).

P(A) = cazuri favorabile : cazuri posibile

P(A′) = 1 − P(A)

P(roșie) = 610 = 35

Totalul se obține adunând toate bilele, indiferent de culoare.
Simplifică fracția la final: 610 devine 35.

Exemplu rezolvat

Dacă P(A) = 0,45, calculează P(A′).

1.Probabilitățile unui eveniment și ale contrarului său însumează 1.
2.Scădem: 1 − 0,45.
3.Deci P(A′) = 0,55.

Extrageri fără revenire

Când bila extrasă nu se pune înapoi, a doua extragere se face dintr-un sac mai sărac: scade atât numărul total, cât și numărul bilelor din categoria extrasă.

Pentru 6 bile roșii din 10, probabilitatea ca ambele extrageri să fie roșii este 610 × 59 = 13: la a doua extragere au mai rămas 5 roșii din 9 bile.

Când enunțul cere „una de fiecare culoare, în orice ordine”, aduni cele două variante posibile: albă-neagră și neagră-albă.

P(A apoi B) = P(A) × P(B | A)

610 × 59 = 13

Fără revenire, numitorul scade cu 1 la fiecare extragere.
„În orice ordine” înseamnă că aduni probabilitățile ordinilor posibile.

Exemplu rezolvat

Un sac are 4 bile albe și 2 negre. Se extrag două fără revenire. Care este P(o bilă albă și una neagră, în orice ordine)?

1.Varianta albă-neagră: 46 × 25 = 830.
2.Varianta neagră-albă: 26 × 45 = 830.
3.Adunăm cele două variante: 1630 = 815.

Extrageri cu revenire și evenimente independente

Dacă bila se pune la loc, sacul revine la starea inițială, deci extragerile sunt independente și probabilitatea rămâne aceeași la fiecare pas.

Se aplică atunci regula produsului: pentru 5 bile verzi din 8, probabilitatea ca ambele extrageri să fie verzi este 58 × 58 = 2564.

La fel se procedează cu zarurile sau monedele, care „nu au memorie”: la două zaruri sunt 36 de perechi posibile, iar suma 7 apare în 6 dintre ele, deci P = 16.

cu revenire: P(A și B) = P(A) × P(B)

58 × 58 = 2564

două zaruri: 36 de cazuri

Cu revenire, numitorul rămâne neschimbat la fiecare extragere.
La două zaruri, numără perechile ordonate: (1, 6) și (6, 1) sunt cazuri diferite.

Exemplu rezolvat

Aruncăm două zaruri. Care este P(suma 7)?

1.Numărul total de perechi posibile este 6 × 6 = 36.
2.Suma 7 apare la perechile (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2) și (6,1), deci 6 cazuri.
3.P = 636 = 16.

Evenimente de tipul „cel puțin unul”

Când enunțul cere „cel puțin unul”, calea cea mai scurtă trece prin evenimentul contrar: „cel puțin unul” este contrarul lui „niciunul”.

La două monede, P(cel puțin o stemă) = 1 − P(nicio stemă) = 1 − 14 = 34. La trei monede, P = 1 − 18 = 78.

Aceeași metodă merge și la urne: pentru o urnă cu 12 bile din care 5 roșii, P(cel puțin o roșie) la două extrageri fără revenire este 1 − 712 × 611 = 1 − 722 = 1522.

P(cel puțin unul) = 1 − P(niciunul)

1 − 14 = 34

1 − 722 = 1522

Contrarul lui „cel puțin unul” este „niciunul”, nu „exact unul”.
Metoda scurtează mult calculele, mai ales la trei sau mai multe încercări.

Exemplu rezolvat

Aruncăm trei monede. Care este P(cel puțin o stemă)?

1.Contrarul evenimentului este „nicio stemă”, adică pajură de trei ori.
2.P(nicio stemă) = 12 × 12 × 12 = 18.
3.Deci P(cel puțin o stemă) = 1 − 18 = 78.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un eveniment A are probabilitatea 0,25. Calculează probabilitatea evenimentului contrar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 0,25 = 0,75
Ex. 2Dificultate redusă
Un sac conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculează P(roșie) și P(nu-roșie).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P(roșie) = 712; P(nu-roșie) = 512.
Ex. 3Dificultate redusă
Se aruncă un zar. Calculează probabilitatea evenimentului contrar lui "obținerea numărului 3".
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 16 = 56
Ex. 4Dificultate redusă
Un sac conține 6 bile albe și 4 negre (total 10). Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca prima bilă extrasă să fie albă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
610 = 35
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă "extragere cu revenire"?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
După fiecare extragere, bila se pune înapoi, deci urna are aceeași compoziție la extragerea următoare.
Ex. 6Dificultate medie
Un sac conține 7 bile roșii și 5 bile albastre (total 12). Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca ambele să fie roșii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
712 × 611 = 42132 = 722
Ex. 7Dificultate medie
Se aruncă 2 monede. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un "ban", folosind evenimentul contrar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − P(niciun „ban”) = 1 − 14 = 34
Ex. 8Dificultate medie
Un sac conține 5 bile albe și 7 bile negre. Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca ambele să fie negre.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
712 × 611 = 42132 = 722
Ex. 9Dificultate medie
Se aruncă 2 zaruri. Calculează probabilitatea de a obține exact o singură dată numărul 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × (16 × 56) = 1036 = 518 (4 doar pe primul zar sau doar pe al doilea)
Ex. 10Dificultate medie
Un elev răspunde la întâmplare la 2 întrebări cu variante adevăratfals. Calculează probabilitatea de a răspunde corect la cel puțin o întrebare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − P(ambele greșite) = 1 − 14 = 34
Ex. 11Dificultate ridicată
O urnă conține 6 bile albe, 4 bile negre și 2 bile roșii (total 12). Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca ambele să fie de aceeași culoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ambele albe: 30132; ambele negre: 12132; ambele roșii: 2132. Total: 44132 = 13.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se aruncă 3 monede. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un "ban", folosind evenimentul contrar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − (12)³ = 78
Ex. 13Dificultate ridicată
Un sac conține 8 bile albe și 4 bile negre. Se extrag 3 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca toate cele 3 să fie albe.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
812 × 711 × 610 = 3361.320 = 1455
Ex. 14Dificultate ridicată
Doi studenți rezolvă independent o problemă, cu probabilitățile de succes 0,5 și 0,8. Calculează probabilitatea ca exact unul dintre ei să rezolve problema corect.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0,5 × 0,2 + 0,5 × 0,8 = 0,1 + 0,4 = 0,5
Ex. 15Dificultate ridicată
O urnă conține 12 bile, dintre care 4 sunt câștigătoare. Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea de a extrage cel puțin o bilă câștigătoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − P(nicio câștigătoare) = 1 − 812 × 711 = 1 − 56132 = 1933
Ex. 16Excelență
O urnă conține 5 bile albe și 5 bile negre. Se extrag 3 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca exact 2 din cele 3 bile extrase să fie albe (indiciu: identifică toate ordinele posibile — AAN, ANA, NAA — și adună probabilitățile).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare ordine (AAN, ANA, NAA) are probabilitatea 100720, deci totalul este 300720 = 512.
Ex. 17Excelență
Doi arcași trag fiecare câte 2 săgeți, independent. Primul are 70% șanse de reușită la fiecare săgeată, al doilea are 60%. Calculează probabilitatea ca primul arcaș să nimerească exact o dată din 2 încercări.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 0,7 × 0,3 = 0,42
Ex. 18Excelență
O urnă conține n bile, dintre care 3 sunt roșii. Probabilitatea de a extrage o bilă roșie, la o singură extragere, este 3n = 0,15. Determină valoarea lui n, rezolvând ecuația.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3n = 0,15, deci n = 20.
Ex. 19Excelență
Se aruncă un zar de 4 ori. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un 6, folosind evenimentul contrar (niciun 6, la toate cele 4 aruncări) — exprimă rezultatul ca fracție, fără a calcula neapărat valoarea zecimală finală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − (56)⁴ = 1 − 6251.296 = 6711.296
Ex. 20Excelență
O fabrică produce piese, dintre care 5% sunt defecte. Se aleg, la întâmplare, 3 piese, independent. Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre cele 3 piese să fie defectă, folosind evenimentul contrar (toate cele 3 piese sunt bune, fiecare cu probabilitatea 0,95).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 0,95³ = 1 − 0,857375 ≈ 0,1426, adică aproximativ 14,26%.