Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

Încărcăm partea curentă…

Probabilități — sinteză

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Probabilitatea și evenimentul contrar

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile, iar valoarea ei este întotdeauna între 0 și 1.

Într-un sac cu 6 bile roșii și 4 albastre sunt 10 bile în total, deci P(roșie) = 610 = 35.

Evenimentul contrar, notat A′, se produce exact când A nu se produce, iar probabilitățile lor se completează până la 1: P(A′) = 1 − P(A).

De ținut minte

P(A) = cazuri favorabile : cazuri posibile

P(A′) = 1 − P(A)

P(roșie) = 610 = 35

Totalul se obține adunând toate bilele, indiferent de culoare.
Simplifică fracția la final: 610 devine 35.

Exemplu rezolvat · alte date

P(A) = 0,62. Află P(A′).

1Probabilitățile evenimentelor contrare însumează 1.
2P(A′) = 1 − 0,62.
3Rezultatul este 0,38.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități — sinteză: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Evenimentul contrar simplifică problemele de tip «cel puțin unul». La extragerile fără revenire, numărul obiectelor se schimbă după prima extragere, deci și probabilitatea pasului următor se modifică.

Probabilitatea și evenimentul contrar

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile, iar valoarea ei este întotdeauna între 0 și 1.

Într-un sac cu 6 bile roșii și 4 albastre sunt 10 bile în total, deci P(roșie) = 610 = 35.

Evenimentul contrar, notat A′, se produce exact când A nu se produce, iar probabilitățile lor se completează până la 1: P(A′) = 1 − P(A).

P(A) = cazuri favorabile : cazuri posibile
P(A′) = 1 − P(A)
P(roșie) = 610 = 35

Totalul se obține adunând toate bilele, indiferent de culoare.
Simplifică fracția la final: 610 devine 35.

Exemplu rezolvat · alte date

P(A) = 0,62. Află P(A′).

Probabilitățile evenimentelor contrare însumează 1.
P(A′) = 1 − 0,62.
Rezultatul este 0,38.

Extrageri fără revenire

Când bila extrasă nu se pune înapoi, a doua extragere se face dintr-un sac mai sărac: scade atât numărul total, cât și numărul bilelor din categoria extrasă.

Pentru 6 bile roșii din 10, probabilitatea ca ambele extrageri să fie roșii este 610 × 59 = 13: la a doua extragere au mai rămas 5 roșii din 9 bile.

Când enunțul cere „una de fiecare culoare, în orice ordine”, aduni cele două variante posibile: albă-neagră și neagră-albă.

P(A apoi B) = P(A) × P(B | A)
610 × 59 = 13

Fără revenire, numitorul scade cu 1 la fiecare extragere.
„În orice ordine” înseamnă că aduni probabilitățile ordinilor posibile.

Exemplu rezolvat · alte date

Urna are 3 bile albe și 4 negre. Extragi două fără revenire. Află P(două albe).

Prima extragere are P(albă) = 37.
După o albă rămân 2 albe din 6 bile: 26.
P = (37)(26) = 17.

Extrageri cu revenire și evenimente independente

Dacă bila se pune la loc, sacul revine la starea inițială, deci extragerile sunt independente și probabilitatea rămâne aceeași la fiecare pas.

Se aplică atunci regula produsului: pentru 5 bile verzi din 8, probabilitatea ca ambele extrageri să fie verzi este 58 × 58 = 2564.

La fel se procedează cu zarurile sau monedele, care „nu au memorie”: la două zaruri sunt 36 de perechi posibile, iar suma 7 apare în 6 dintre ele, deci P = 16.

cu revenire: P(A și B) = P(A) × P(B)
58 × 58 = 2564
două zaruri: 36 de cazuri

Cu revenire, numitorul rămâne neschimbat la fiecare extragere.
La două zaruri, numără perechile ordonate: (1, 6) și (6, 1) sunt cazuri diferite.

Exemplu rezolvat · alte date

Arunci două zaruri corecte. Află P(suma 4).

Sunt 6·6 = 36 perechi ordonate echiprobabile.
Favorabile sunt (1, 3), (2, 2), (3, 1).
P = 336 = 112.

Evenimente de tipul „cel puțin unul”

Când enunțul cere „cel puțin unul”, calea cea mai scurtă trece prin evenimentul contrar: „cel puțin unul” este contrarul lui „niciunul”.

La două monede, P(cel puțin o stemă) = 1 − P(nicio stemă) = 1 − 14 = 34. La trei monede, P = 1 − 18 = 78.

Aceeași metodă merge și la urne: pentru o urnă cu 12 bile din care 5 roșii, P(cel puțin o roșie) la două extrageri fără revenire este 1 − 712 × 611 = 1 − 722 = 1522.

P(cel puțin unul) = 1 − P(niciunul)
1 − 14 = 34
1 − 722 = 1522

Contrarul lui „cel puțin unul” este „niciunul”, nu „exact unul”.
Metoda scurtează mult calculele, mai ales la trei sau mai multe încercări.

Exemplu rezolvat · alte date

Arunci patru monede corecte. Află P(cel puțin o stemă).

Evenimentul contrar este să nu apară nicio stemă.
P(contrar) = (12)⁴ = 116.
Probabilitatea cerută este 1 − 116 = 1516.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Dacă P(A) = 0,3, calculează P(A′).
Vezi rezolvarea
1. P(A′) = 1 − 0,3 = 0,7.
Răspuns: 0,7
Exercițiul 2
Un sac are 6 bile roșii și 4 albastre. Care este P(roșie) la o extragere?
Vezi rezolvarea
1. P = 610 = 35.
Răspuns: 35
Exercițiul 3
Un sac are 6 bile roșii și 4 albastre. Se extrag două fără revenire. Care este P(ambele roșii)?
Vezi rezolvarea
1. P = 610 · 59 = 3090 = 13.
Răspuns: 13
Exercițiul 4
Aruncăm două monede. Care este P(cel puțin o stemă)?
Vezi rezolvarea
1. P(nicio stemă) = 14, deci P(cel puțin una) = 34.
Răspuns: 34
Exercițiul 5
În urna din exemplu, care este P(cel puțin o bilă roșie)?
Vezi rezolvarea
1. P(cel puțin o roșie) = 1 − 722 = 1522.
Răspuns: 1522
Exercițiul 6
Dacă P(A) = 0,45, calculează P(A′).
Vezi rezolvarea
1. P(A′) = 1 − 0,45.
2. 1 − 0,45 = 0,55.
3. P(A′) = 0,55.
Răspuns: 0,55
Exercițiul 7
Un sac are 3 bile roșii și 5 verzi. Care este P(verde) la o extragere?
Vezi rezolvarea
1. Bile verzi: 5.
2. Total: 8.
3. P = 58.
Răspuns: 58
Exercițiul 8
Un sac are 3 bile roșii și 5 verzi. Se extrag două bile fără revenire. Care este P(ambele roșii)?
Vezi rezolvarea
1. P(prima roșie) = 38.
2. P(a doua roșie | prima roșie) = 27.
3. P = 38 · 27 = 656 = 328.
Răspuns: 328
Exercițiul 9
Un sac are 3 bile roșii și 5 verzi. Se extrage o bilă, se pune la loc, apoi se extrage din nou. Care este P(ambele verzi)?
Vezi rezolvarea
1. P(verde) = 58 la fiecare extragere.
2. Înmulțim: 58 · 58.
3. P = 2564.
Răspuns: 2564
Exercițiul 10
Aruncăm două zaruri. Care este P(suma 7)?
Vezi rezolvarea
1. Perechile: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1): 6 cazuri.
2. Total: 36 de cazuri.
3. P = 636 = 16.
Răspuns: 16
Exercițiul 11
Aruncăm trei monede. Care este P(cel puțin o stemă)?
Vezi rezolvarea
1. P(nicio stemă) = 12 · 12 · 12 = 18.
2. P(cel puțin o stemă) = 1 − 18.
3. P = 78.
Răspuns: 78
Exercițiul 12
Un sac are 4 bile albe și 2 negre. Se extrag două fără revenire. Care este P(o bilă albă și una neagră, în orice ordine)?
Vezi rezolvarea
1. Albă, apoi neagră: 46 · 25 = 830.
2. Neagră, apoi albă: 26 · 45 = 830.
3. P = 1630 = 815.
Răspuns: 815

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Un eveniment A are probabilitatea 0,25. Calculează probabilitatea evenimentului contrar.
Vezi răspunsul
1 − 0,25 = 0,75
2. Dificultate redusă
Un sac conține 7 bile roșii și 5 bile albastre. Se extrage o bilă. Calculează P(roșie) și P(nu-roșie).
Vezi răspunsul
P(roșie) = 712; P(nu-roșie) = 512.
3. Dificultate redusă
Se aruncă un zar. Calculează probabilitatea evenimentului contrar lui "obținerea numărului 3".
Vezi răspunsul
1 − 16 = 56
4. Dificultate redusă
Un sac conține 6 bile albe și 4 negre (total 10). Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca prima bilă extrasă să fie albă.
Vezi răspunsul
610 = 35
5. Dificultate redusă
Ce înseamnă "extragere cu revenire"?
Vezi răspunsul
După fiecare extragere, bila se pune înapoi, deci urna are aceeași compoziție la extragerea următoare.
6. Dificultate medie
Un sac conține 7 bile roșii și 5 bile albastre (total 12). Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca ambele să fie roșii.
Vezi răspunsul
712 × 611 = 42132 = 722
7. Dificultate medie
Se aruncă 2 monede. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un "ban", folosind evenimentul contrar.
Vezi răspunsul
1 − P(niciun „ban”) = 1 − 14 = 34
8. Dificultate medie
Un sac conține 5 bile albe și 7 bile negre. Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca ambele să fie negre.
Vezi răspunsul
712 × 611 = 42132 = 722
9. Dificultate medie
Se aruncă 2 zaruri. Calculează probabilitatea de a obține exact o singură dată numărul 4.
Vezi răspunsul
2 × (16 × 56) = 1036 = 518 (4 doar pe primul zar sau doar pe al doilea)
10. Dificultate medie
Un elev răspunde la întâmplare la 2 întrebări cu variante adevărat/fals. Calculează probabilitatea de a răspunde corect la cel puțin o întrebare.
Vezi răspunsul
1 − P(ambele greșite) = 1 − 14 = 34
11. Dificultate ridicată
O urnă conține 6 bile albe, 4 bile negre și 2 bile roșii (total 12). Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca ambele să fie de aceeași culoare.
Vezi răspunsul
Ambele albe: 30132; ambele negre: 12132; ambele roșii: 2132. Total: 44132 = 13.
12. Dificultate ridicată
Se aruncă 3 monede. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un "ban", folosind evenimentul contrar.
Vezi răspunsul
1 − (12)³ = 78
13. Dificultate ridicată
Un sac conține 8 bile albe și 4 bile negre. Se extrag 3 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca toate cele 3 să fie albe.
Vezi răspunsul
812 × 711 × 610 = 3361.320 = 1455
14. Dificultate ridicată
Doi studenți rezolvă independent o problemă, cu probabilitățile de succes 0,5 și 0,8. Calculează probabilitatea ca exact unul dintre ei să rezolve problema corect.
Vezi răspunsul
0,5 × 0,2 + 0,5 × 0,8 = 0,1 + 0,4 = 0,5
15. Dificultate ridicată
O urnă conține 12 bile, dintre care 4 sunt câștigătoare. Se extrag 2 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea de a extrage cel puțin o bilă câștigătoare.
Vezi răspunsul
1 − P(nicio câștigătoare) = 1 − 812 × 711 = 1 − 56132 = 1933
16. Excelență
O urnă conține 5 bile albe și 5 bile negre. Se extrag 3 bile, fără revenire. Calculează probabilitatea ca exact 2 din cele 3 bile extrase să fie albe (indiciu: identifică toate ordinele posibile — AAN, ANA, NAA — și adună probabilitățile).
Vezi răspunsul
Fiecare ordine (AAN, ANA, NAA) are probabilitatea 100720, deci totalul este 300720 = 512.
17. Excelență
Doi arcași trag fiecare câte 2 săgeți, independent. Primul are 70% șanse de reușită la fiecare săgeată, al doilea are 60%. Calculează probabilitatea ca primul arcaș să nimerească exact o dată din 2 încercări.
Vezi răspunsul
2 × 0,7 × 0,3 = 0,42
18. Excelență
O urnă conține n bile, dintre care 3 sunt roșii. Probabilitatea de a extrage o bilă roșie, la o singură extragere, este 3n = 0,15. Determină valoarea lui n, rezolvând ecuația.
Vezi răspunsul
3n = 0,15, deci n = 20.
19. Excelență
Se aruncă un zar de 4 ori. Calculează probabilitatea de a obține cel puțin un 6, folosind evenimentul contrar (niciun 6, la toate cele 4 aruncări) — exprimă rezultatul ca fracție, fără a calcula neapărat valoarea zecimală finală.
Vezi răspunsul
1 − (56)⁴ = 1 − 6251.296 = 6711.296
20. Excelență
O fabrică produce piese, dintre care 5% sunt defecte. Se aleg, la întâmplare, 3 piese, independent. Calculează probabilitatea ca cel puțin una dintre cele 3 piese să fie defectă, folosind evenimentul contrar (toate cele 3 piese sunt bune, fiecare cu probabilitatea 0,95).
Vezi răspunsul
1 − 0,95³ = 1 − 0,857375 ≈ 0,1426, adică aproximativ 14,26%.