Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Ce este o piramidă
Piramida este poliedrul cu o singură bază, un poligon, și un vârf care nu se află în planul bazei. Fețele laterale sunt triunghiuri care au un vârf comun.
Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei: o piramidă cu baza triunghi are 3 fețe laterale, una cu baza pătrat are 4.
O piramidă cu baza un poligon cu n laturi are 2n muchii: n la bază și n laterale.
🧮 De ținut minte
fețe laterale = n
muchii = 2n
vârfuri = n + 1
✓Fețele laterale ale unei piramide sunt triunghiuri, nu dreptunghiuri ca la prismă.
✓Piramida are o singură bază; prisma are două.
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Câte muchii are o piramidă cu baza pentagon?
1Baza are 5 muchii.
2Vârful se unește cu cele 5 vârfuri ale bazei: încă 5 muchii.
3În total sunt 10 muchii.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Piramida: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Piramida are o bază poligonală și fețe laterale triunghiulare cu un vârf comun. La piramida regulată, aria laterală se calculează din perimetrul bazei și apotemă, iar volumul este o treime din produsul ariei bazei cu înălțimea.
Ce este o piramidă
Piramida este poliedrul cu o singură bază, un poligon, și un vârf care nu se află în planul bazei. Fețele laterale sunt triunghiuri care au un vârf comun.
Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei: o piramidă cu baza triunghi are 3 fețe laterale, una cu baza pătrat are 4.
O piramidă cu baza un poligon cu n laturi are 2n muchii: n la bază și n laterale.
fețe laterale = n
muchii = 2n
vârfuri = n + 1
•Fețele laterale ale unei piramide sunt triunghiuri, nu dreptunghiuri ca la prismă.
•Piramida are o singură bază; prisma are două.
Exemplu rezolvat · alte date
Câte muchii are o piramidă cu baza pentagon?
Baza are 5 muchii.
Vârful se unește cu cele 5 vârfuri ale bazei: încă 5 muchii.
În total sunt 10 muchii.
Apotema și aria laterală
Într-o piramidă regulată, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele identice. Înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârful piramidei către latura bazei, se numește apotema piramidei.
Aria laterală se calculează cu Al = (Pb × apotema) : 2, unde Pb este perimetrul bazei. Formula vine din aria triunghiurilor laterale, adunate.
Aria totală se obține adunând aria bazei: At = Al + Ab.
Al = (Pb × apotemă) : 2
At = Al + Ab
•Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale, nu înălțimea piramidei.
•Perimetrul bazei se calculează înainte, din latura bazei.
Exemplu rezolvat
O piramidă regulată are perimetrul bazei 24 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală.
Aplicăm formula: Al = (24 × 5) : 2.
Calculăm produsul: 120.
Împărțim la 2: aria laterală este 60 cm2.
Legătura dintre înălțime și apotemă
Într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea piramidei, apotema bazei și apotema piramidei formează un triunghi dreptunghic.
Apotema bazei este jumătate din latura bazei, iar apotema piramidei este ipotenuza: apotema2 = h2 + (latura : 2)2.
Astfel, pentru o piramidă cu latura bazei 8 cm și înălțimea 3 cm, apotema este √9 + 16 = 5 cm.
apotema2 = h2 + (l : 2)2
l = 8, h = 3 ⇒ apotema = 5
•Jumătatea laturii bazei este cateta orizontală, nu latura întreagă.
•Apotema piramidei este mereu mai mare decât înălțimea ei.
Exemplu rezolvat
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 8 cm și înălțimea 3 cm. Calculează apotema piramidei.
Apotema bazei este jumătate din latură: 8 : 2 = 4 cm.
Triunghiul format cu înălțimea este dreptunghic: apotema2 = 32 + 42 = 25.
Deci apotema piramidei are 5 cm.
Volumul piramidei
Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime: V = (Ab × h) : 3.
De aici vine și legătura cu prisma: o piramidă și o prismă care au aceeași bază și aceeași înălțime au volume în raportul 1 : 3, deci piramida are o treime din volumul prismei.
Pentru o bază de 30 cm2 și înălțimea 6 cm, volumul este (30 × 6) : 3 = 60 cm3.
V = (Ab × h) : 3
V piramidă = V prismă : 3
•Nu uita împărțirea la 3 — este greșeala clasică la piramide.
•Înălțimea se măsoară de la vârf perpendicular pe bază, nu pe o față laterală.
Exemplu rezolvat
O prismă și o piramidă au aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul prismei este 90 cm3. Cât este volumul piramidei?
Volumul prismei este Ab × h, iar al piramidei (Ab × h) : 3.
Deci piramida are o treime din volumul prismei: 90 : 3.
Volumul piramidei este 30 cm3.
Unghiul dintre o față laterală și bază
La piramida regulată se cere aproape mereu unghiul dintre o față laterală, de exemplu (VBC), și planul bazei. Muchia comună a celor două plane este BC, deci avem nevoie de două perpendiculare pe BC, duse din același punct: una în față, una în bază.
Luăm M, mijlocul lui BC. Apotema VM este perpendiculară pe BC, pentru că triunghiul VBC este isoscel. În bază, OM este perpendiculară pe BC, pentru că OM este linie mijlocie în triunghiul ABC, deci OM ∥ AB. Unghiul dintre fața (VBC) și bază este ∢VMO.
Triunghiul VOM este dreptunghic în O: VO este înălțimea, OM este apotema bazei (la pătrat, jumătate din latură), iar VM este apotema piramidei. Tot aici se află distanța de la O la fața (VBC): ducem ON ⊥ VM. Cum BC ⊥ VM și BC ⊥ OM, avem BC ⊥ (VOM), deci BC ⊥ ON; atunci ON ⊥ (VBC) și ON = VO · OMVM.
∢((VBC), (ABC)) = ∢VMO
tg ∢VMO = VOOM
d(O, (VBC)) = ON = VO · OMVM
•M este mijlocul muchiei comune BC; ambele perpendiculare pleacă din M.
•Triunghiul VOM rezolvă aproape tot: apotema, înălțimea, unghiul feței cu baza și distanța de la O la o față.
Exemplu rezolvat
Piramida patrulateră regulată VABCD are latura bazei AB = 6 cm și înălțimea VO = 4 cm. Află tangenta unghiului dintre planele (VBC) și (ABC) și distanța de la O la planul (VBC).
Fie M mijlocul lui BC. VM ⊥ BC, pentru că triunghiul VBC este isoscel, și OM ⊥ BC, deci ∢((VBC), (ABC)) = ∢VMO.
OM = AB2 = 3 cm. În triunghiul VOM, dreptunghic în O: VM2 = 42 + 32 = 25, deci VM = 5 cm.
tg ∢VMO = VOOM = 43.
Ducem ON ⊥ VM, N ∈ VM. Atunci ON ⊥ (VBC) și ON = VO · OMVM = 4 · 35 = 125 cm.
Exerciții rezolvate din lecție (16)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
O piramidă are aria bazei 30 cm2 și înălțimea 6 cm. Calculează volumul.
Vezi rezolvarea
V = 30 · 6 : 3 = 60 cm3.
Răspuns: 60
Exercițiul 2
Ce este apotema unei piramide regulate?
Vezi rezolvarea
Apotema unește vârful piramidei cu mijlocul unei laturi a bazei, pe fața laterală.
Răspuns: Înălțimea unei fețe laterale
Exercițiul 3
Câte fețe laterale are o piramidă cu bază triunghiulară?
Vezi rezolvarea
Baza are trei laturi, deci piramida are trei fețe laterale.
Răspuns: 3
Exercițiul 4
Ce raport există între volumele unei piramide și unei prisme cu aceeași bază și înălțime?
Vezi rezolvarea
Vpiramidă = Ab·h3, iar Vprismă = Ab·h.
Răspuns: Piramida are o treime din volumul prismei
Exercițiul 5
O piramidă regulată are Pb = 40 cm și apotema 13 cm. Calculează aria laterală.
Vezi rezolvarea
Al = 40 · 13 : 2 = 260 cm2.
Răspuns: 260
Exercițiul 6
O piramidă are aria bazei 36 cm2 și înălțimea 10 cm. Calculează volumul, în cm3.
Vezi rezolvarea
Ab · h = 360.
360 : 3 = 120.
V = 120 cm3.
Răspuns: 120
Exercițiul 7
Câte muchii are o piramidă cu baza pătrat?
Vezi rezolvarea
Baza are 4 muchii.
Din vârf pleacă 4 muchii laterale.
4 + 4 = 8 muchii.
Răspuns: 8
Exercițiul 8
O piramidă regulată are Pb = 24 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală, în cm2.
Vezi rezolvarea
24 · 5 = 120.
120 : 2 = 60.
Al = 60 cm2.
Răspuns: 60
Exercițiul 9
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 6 cm și aria laterală 60 cm2. Calculează aria totală, în cm2.
Vezi rezolvarea
Ab = 6 · 6 = 36 cm2.
At = Al + Ab.
At = 60 + 36 = 96 cm2.
Răspuns: 96
Exercițiul 10
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 8 cm și înălțimea 3 cm. Calculează apotema piramidei, în centimetri.
Vezi rezolvarea
Apotema bazei este jumătate din latură: 4 cm.
ap2 = 32 + 42 = 25.
ap = 5 cm.
Răspuns: 5
Exercițiul 11
O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 8 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală, în cm2.
Vezi rezolvarea
Pb = 4 · 8 = 32 cm.
32 · 5 = 160.
Al = 160 : 2 = 80 cm2.
Răspuns: 80
Exercițiul 12
O prismă și o piramidă au aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul prismei este 90 cm3. Cât este volumul piramidei, în cm3?
Vezi rezolvarea
V piramidă = V prismă3.
90 : 3 = 30.
V = 30 cm3.
Răspuns: 30
Exercițiul 13
În piramida patrulateră regulată VABCD, O este centrul bazei, iar M este mijlocul lui BC. Care este unghiul dintre planele (VBC) și (ABC)?
Vezi rezolvarea
Muchia comună a celor două plane este BC.
VM ⊥ BC, fiind apotema feței, și OM ⊥ BC; ambele pleacă din M.
Unghiul dintre plane este ∢VMO.
Răspuns: ∢VMO
Exercițiul 14
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12 cm și VO = 6 cm. Ce măsură are unghiul dintre planele (VBC) și (ABC)?
Vezi rezolvarea
Unghiul căutat este ∢VMO, cu M mijlocul lui BC.
OM = AB2 = 6 cm și VO = 6 cm.
tg ∢VMO = 66 = 1, deci unghiul are 45°.
Răspuns: 45°
Exercițiul 15
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 16 cm și apotema VM = 10 cm. Cât este tangenta unghiului dintre fața (VBC) și planul bazei?
Vezi rezolvarea
OM = AB2 = 8 cm, iar în triunghiul VOM: VO2 = 102 − 82 = 36, deci VO = 6 cm.
Unghiul dintre fața (VBC) și bază este ∢VMO.
tg ∢VMO = VOOM = 68 = 34.
Răspuns: 34
Exercițiul 16
Piramida patrulateră regulată VABCD are AB = 12 cm și VO = 8 cm. Arată că distanța de la punctul O la planul (VBC) este 4,8 cm.
Vezi rezolvarea
Ipoteză: VABCD piramidă patrulateră regulată, AB = 12 cm, VO = 8 cm. Concluzie: d(O, (VBC)) = 4,8 cm.
Fie M mijlocul lui BC: OM = 6 cm, VM2 = 64 + 36 = 100, VM = 10 cm. BC ⊥ VM și BC ⊥ OM, deci BC ⊥ (VOM); ducem ON ⊥ VM, N ∈ VM, iar ON ⊂ (VOM) dă BC ⊥ ON.
ON ⊥ VM și ON ⊥ BC, deci ON ⊥ (VBC); în triunghiul VOM, ON = VO · OMVM = 4810 = 4,8 cm.
Fișă de consolidare din material (20)
1. Dificultate redusă
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 8 cm, iar apotema piramidei este 6 cm. Calculează aria laterală.
O piramidă are aria bazei 36 cm2 și înălțimea 9 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsul
V = 36 × 9 : 3 = 108 cm3
3. Dificultate redusă
Ce sunt muchiile laterale ale unei piramide?
Vezi răspunsul
Segmentele care unesc vârful piramidei cu vârfurile bazei.
4. Dificultate redusă
Câte fețe laterale are o piramidă cu baza pentagonală?
Vezi răspunsul
5
5. Dificultate redusă
Ce raport există între volumul unei piramide și volumul unei prisme cu aceeași bază și înălțime?
Vezi răspunsul
Volumul piramidei este o treime din volumul prismei.
6. Dificultate medie
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 12 cm, iar apotema piramidei este 15 cm. Calculează aria laterală, aria bazei, apoi aria totală.
Vezi răspunsul
Al = 48 × 15 : 2 = 360 cm2; Ab = 144 cm2; At = 504 cm2.
7. Dificultate medie
O piramidă are baza un dreptunghi cu aria 60 cm2 și înălțimea 12 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsul
V = 60 × 12 : 3 = 240 cm3
8. Dificultate medie
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 8 cm, iar înălțimea piramidei este 3 cm. Calculează apotema piramidei.
Vezi răspunsul
Apotema bazei are 4 cm, deci apotema piramidei este √32 + 42 = 5 cm.
9. Dificultate medie
O piramidă are volumul de 150 cm3 și aria bazei de 30 cm2. Calculează înălțimea piramidei.
Vezi răspunsul
h = 3 × 150 : 30 = 15 cm
10. Dificultate medie
O piramidă regulată are baza un triunghi echilateral cu latura 8 cm, iar apotema piramidei este 10 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsul
Al = 24 × 10 : 2 = 120 cm2
11. Dificultate ridicată
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 16 cm, iar înălțimea piramidei este 6 cm. Calculează apotema bazei, apotema piramidei, aria laterală, aria totală, și volumul.
Vezi răspunsul
Apotema bazei: 8 cm. Apotema piramidei: √36 + 64 = 10 cm. Al = 64 × 10 : 2 = 320 cm2, At = 320 + 256 = 576 cm2, V = 256 × 6 : 3 = 512 cm3.
12. Dificultate ridicată
Un acoperiș în formă de piramidă regulată, cu baza pătrată de 12 m latura, are înălțimea de 5 m. Calculează volumul spațiului de sub acoperiș.
Vezi răspunsul
V = 144 × 5 : 3 = 240 m3
13. Dificultate ridicată
O piramidă regulată are baza un hexagon regulat cu latura 8 cm, iar înălțimea piramidei este 12 cm. Calculează volumul, folosind aria bazei hexagonului.
O piramidă are aria totală de 200 cm2, iar aria bazei este 80 cm2. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsul
Al = 200 − 80 = 120 cm2
15. Dificultate ridicată
O piramidă regulată triunghiulară (tetraedru regulat) are latura de 8 cm. Calculează aria bazei, apoi, presupunând înălțimea piramidei h=6,5 cm, calculează volumul aproximativ.
Vezi răspunsul
Ab = 82√34 = 16√3 ≈ 27,71 cm2; V ≈ 27,71 × 6,5 : 3 ≈ 60,04 cm3.
16. Excelență
O piramidă regulată cu baza pătrată are volumul de 128 cm3 și înălțimea de 6 cm. Calculează aria bazei, apoi latura bazei.
Vezi răspunsul
Ab = 3 × 128 : 6 = 64 cm2, deci latura bazei are 8 cm.
17. Excelență
Un turn în formă de piramidă regulată, cu baza pătrată de 20 m latura, are volumul de 4000 m3. Calculează înălțimea turnului, folosind formula volumului.
Vezi răspunsul
h = 3 × 4.000 : 400 = 30 m
18. Excelență
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 10 cm și volumul de 200 cm3. Calculează înălțimea piramidei, apoi apotema bazei, apoi apotema piramidei (folosind Pitagora), apoi aria laterală.
Se dă o piramidă regulată cu baza hexagonală, cu latura bazei 4 cm (apotema bazei ≈ 3,46 cm, folosind 2√3), iar apotema piramidei este 7 cm. Calculează aria laterală, apoi aria bazei (folosind formula perimetru×apotemă:2), apoi aria totală.
Vezi răspunsul
Al = 24 × 7 : 2 = 84 cm2; Ab ≈ 24 × 3,46 : 2 = 41,52 cm2; At ≈ 125,52 cm2.
20. Excelență
Un vas conic (aproximat ca o piramidă cu foarte multe laturi la bază, pentru exercițiu) are volumul de 314 cm3. Dacă aria bazei este 75 cm2, calculează înălțimea vasului, folosind formula volumului piramidei ca aproximare.