Piramida

Piramida are o bază poligonală și fețe laterale triunghiulare cu un vârf comun. La piramida regulată, aria laterală se calculează din perimetrul bazei și apotemă, iar volumul este o treime din produsul ariei bazei cu înălțimea.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Înălțimea coboară perpendicular în centrul bazei, iar apotema se află pe o față laterală.

Ce este o piramidă

Piramida este poliedrul cu o singură bază, un poligon, și un vârf care nu se află în planul bazei. Fețele laterale sunt triunghiuri care au un vârf comun.

Numărul fețelor laterale este egal cu numărul laturilor bazei: o piramidă cu baza triunghi are 3 fețe laterale, una cu baza pătrat are 4.

O piramidă cu baza un poligon cu n laturi are 2n muchii: n la bază și n laterale.

fețe laterale = n

muchii = 2n

vârfuri = n + 1

Fețele laterale ale unei piramide sunt triunghiuri, nu dreptunghiuri ca la prismă.
Piramida are o singură bază; prisma are două.

Exemplu rezolvat

Câte muchii are o piramidă cu baza pătrat?

1.Baza are 4 laturi, deci 4 muchii ale bazei.
2.Din fiecare vârf al bazei pornește câte o muchie laterală, deci încă 4.
3.În total, piramida are 8 muchii.

Apotema și aria laterală

Într-o piramidă regulată, toate fețele laterale sunt triunghiuri isoscele identice. Înălțimea unei fețe laterale, dusă din vârful piramidei către latura bazei, se numește apotema piramidei.

Aria laterală se calculează cu A_l = (P_b × apotema) : 2, unde P_b este perimetrul bazei. Formula vine din aria triunghiurilor laterale, adunate.

Aria totală se obține adunând aria bazei: A_t = A_l + A_b.

A_l = (P_b × apotemă) : 2

A_t = A_l + A_b

Apotema piramidei este înălțimea unei fețe laterale, nu înălțimea piramidei.
Perimetrul bazei se calculează înainte, din latura bazei.

Exemplu rezolvat

O piramidă regulată are perimetrul bazei 24 cm și apotema 5 cm. Calculează aria laterală.

1.Aplicăm formula: A_l = (24 × 5) : 2.
2.Calculăm produsul: 120.
3.Împărțim la 2: aria laterală este 60 cm².

Legătura dintre înălțime și apotemă

Într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea piramidei, apotema bazei și apotema piramidei formează un triunghi dreptunghic.

Apotema bazei este jumătate din latura bazei, iar apotema piramidei este ipotenuza: apotema² = h² + (latura : 2)².

Astfel, pentru o piramidă cu latura bazei 8 cm și înălțimea 3 cm, apotema este 9 + 16 = 5 cm.

apotema² = h² + (l : 2)²

l = 8, h = 3 ⇒ apotema = 5

Jumătatea laturii bazei este cateta orizontală, nu latura întreagă.
Apotema piramidei este mereu mai mare decât înălțimea ei.

Exemplu rezolvat

O piramidă patrulateră regulată are latura bazei 8 cm și înălțimea 3 cm. Calculează apotema piramidei.

1.Apotema bazei este jumătate din latură: 8 : 2 = 4 cm.
2.Triunghiul format cu înălțimea este dreptunghic: apotema² = 3² + 4² = 25.
3.Deci apotema piramidei are 5 cm.

Volumul piramidei

Volumul unei piramide este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime: V = (A_b × h) : 3.

De aici vine și legătura cu prisma: o piramidă și o prismă care au aceeași bază și aceeași înălțime au volume în raportul 1 : 3, deci piramida are o treime din volumul prismei.

Pentru o bază de 30 cm² și înălțimea 6 cm, volumul este (30 × 6) : 3 = 60 cm³.

V = (A_b × h) : 3

V piramidă = V prismă : 3

Nu uita împărțirea la 3 — este greșeala clasică la piramide.
Înălțimea se măsoară de la vârf perpendicular pe bază, nu pe o față laterală.

Exemplu rezolvat

O prismă și o piramidă au aceeași bază și aceeași înălțime. Volumul prismei este 90 cm³. Cât este volumul piramidei?

1.Volumul prismei este A_b × h, iar al piramidei (A_b × h) : 3.
2.Deci piramida are o treime din volumul prismei: 90 : 3.
3.Volumul piramidei este 30 cm³.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 8 cm, iar apotema piramidei este 6 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = perimetrul bazei × apotema : 2 = 32 × 6 : 2 = 96 cm²
Ex. 2Dificultate redusă
O piramidă are aria bazei 36 cm² și înălțimea 9 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 36 × 9 : 3 = 108 cm³
Ex. 3Dificultate redusă
Ce sunt muchiile laterale ale unei piramide?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Segmentele care unesc vârful piramidei cu vârfurile bazei.
Ex. 4Dificultate redusă
Câte fețe laterale are o piramidă cu baza pentagonală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5
Ex. 5Dificultate redusă
Ce raport există între volumul unei piramide și volumul unei prisme cu aceeași bază și înălțime?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Volumul piramidei este o treime din volumul prismei.
Ex. 6Dificultate medie
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 12 cm, iar apotema piramidei este 15 cm. Calculează aria laterală, aria bazei, apoi aria totală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = 48 × 15 : 2 = 360 cm²; A_b = 144 cm²; A_t = 504 cm².
Ex. 7Dificultate medie
O piramidă are baza un dreptunghi cu aria 60 cm² și înălțimea 12 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 60 × 12 : 3 = 240 cm³
Ex. 8Dificultate medie
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 8 cm, iar înălțimea piramidei este 3 cm. Calculează apotema piramidei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Apotema bazei are 4 cm, deci apotema piramidei este 3² + 4² = 5 cm.
Ex. 9Dificultate medie
O piramidă are volumul de 150 cm³ și aria bazei de 30 cm². Calculează înălțimea piramidei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 3 × 150 : 30 = 15 cm
Ex. 10Dificultate medie
O piramidă regulată are baza un triunghi echilateral cu latura 8 cm, iar apotema piramidei este 10 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = 24 × 10 : 2 = 120 cm²
Ex. 11Dificultate ridicată
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 16 cm, iar înălțimea piramidei este 6 cm. Calculează apotema bazei, apotema piramidei, aria laterală, aria totală, și volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Apotema bazei: 8 cm. Apotema piramidei: 36 + 64 = 10 cm. A_l = 64 × 10 : 2 = 320 cm², A_t = 320 + 256 = 576 cm², V = 256 × 6 : 3 = 512 cm³.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un acoperiș în formă de piramidă regulată, cu baza pătrată de 12 m latura, are înălțimea de 5 m. Calculează volumul spațiului de sub acoperiș.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 144 × 5 : 3 = 240 m³
Ex. 13Dificultate ridicată
O piramidă regulată are baza un hexagon regulat cu latura 8 cm, iar înălțimea piramidei este 12 cm. Calculează volumul, folosind aria bazei hexagonului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_b = 6 × 8²√34 = 96√3 ≈ 166,28 cm²; V = 96√3 × 12 : 3 = 384√3 ≈ 665,1 cm³.
Ex. 14Dificultate ridicată
O piramidă are aria totală de 200 cm², iar aria bazei este 80 cm². Calculează aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = 200 − 80 = 120 cm²
Ex. 15Dificultate ridicată
O piramidă regulată triunghiulară (tetraedru regulat) are latura de 8 cm. Calculează aria bazei, apoi, presupunând înălțimea piramidei h=6,5 cm, calculează volumul aproximativ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_b = 8²√34 = 16√3 ≈ 27,71 cm²; V ≈ 27,71 × 6,5 : 3 ≈ 60,04 cm³.
Ex. 16Excelență
O piramidă regulată cu baza pătrată are volumul de 128 cm³ și înălțimea de 6 cm. Calculează aria bazei, apoi latura bazei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_b = 3 × 128 : 6 = 64 cm², deci latura bazei are 8 cm.
Ex. 17Excelență
Un turn în formă de piramidă regulată, cu baza pătrată de 20 m latura, are volumul de 4000 m³. Calculează înălțimea turnului, folosind formula volumului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 3 × 4.000 : 400 = 30 m
Ex. 18Excelență
O piramidă regulată are baza un pătrat cu latura 10 cm și volumul de 200 cm³. Calculează înălțimea piramidei, apoi apotema bazei, apoi apotema piramidei (folosind Pitagora), apoi aria laterală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 3 × 200 : 100 = 6 cm; apotema bazei: 5 cm; apotema piramidei: 36 + 25 = √61 ≈ 7,81 cm; A_l = 40 × √61 : 2 = 20√61 ≈ 156,2 cm².
Ex. 19Excelență
Se dă o piramidă regulată cu baza hexagonală, cu latura bazei 4 cm (apotema bazei ≈ 3,46 cm, folosind 2√3), iar apotema piramidei este 7 cm. Calculează aria laterală, apoi aria bazei (folosind formula perimetru×apotemă:2), apoi aria totală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = 24 × 7 : 2 = 84 cm²; A_b ≈ 24 × 3,46 : 2 = 41,52 cm²; A_t ≈ 125,52 cm².
Ex. 20Excelență
Un vas conic (aproximat ca o piramidă cu foarte multe laturi la bază, pentru exercițiu) are volumul de 314 cm³. Dacă aria bazei este 75 cm², calculează înălțimea vasului, folosind formula volumului piramidei ca aproximare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 3 × 314 : 75 = 12,56 cm