Paralelism și perpendicularitate

Paralelismul poate fi justificat prin unghiuri, proporționalitate sau vectori. Liniile mijlocii oferă aplicații directe, iar o dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Dreptele d și e sunt paralele. Secanta t formează unghiuri corespondente egale, marcate 60°. Perpendiculara p formează câte un unghi drept cu ambele paralele.

Linia mijlocie în triunghi

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Ea este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.

Dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, atunci MN ∥ BC și MN = BC : 2. Invers, dacă linia mijlocie are 7 cm, latura paralelă cu ea are 14 cm.

Triunghiul mic format, AMN, este asemenea cu ABC, cu raportul 12, deci și perimetrul lui este jumătate din perimetrul triunghiului mare.

MN ∥ BC și MN = BC : 2

BC = 2 × MN

P(AMN) = P(ABC) : 2

Linia mijlocie leagă mijloacele a două laturi, nu un vârf cu un mijloc — aceea este mediana.
Raportul de asemănare 12 se aplică laturilor și perimetrului, dar aria se împarte la 4.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele lui AB și AC. Perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Cât este perimetrul triunghiului AMN?

1.Fiecare latură a triunghiului AMN este jumătate din latura corespunzătoare din ABC.
2.Deci perimetrul se înjumătățește și el: 30 : 2.
3.Perimetrul triunghiului AMN este 15 cm.

Linia mijlocie în trapez

Linia mijlocie a unui trapez unește mijloacele laturilor laterale. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este media aritmetică a bazelor: m = (B + b) : 2.

Pentru bazele 14 cm și 8 cm, linia mijlocie are (14 + 8) : 2 = 11 cm.

Formula merge și invers: dacă știi linia mijlocie și o bază, o afli pe cealaltă cu B = 2m − b.

m = (B + b) : 2

B = 2m − b

Linia mijlocie a trapezului este media bazelor, nu jumătatea uneia singure.
Ea se află mereu între cele două baze ca lungime.

Exemplu rezolvat

Un trapez are linia mijlocie 13 cm și baza mică 9 cm. Cât este baza mare?

1.Linia mijlocie este media bazelor: 13 = (B + 9) : 2.
2.Înmulțim cu 2: 26 = B + 9.
3.Rezultă B = 17 cm.

Vectori paraleli

Doi vectori nenuli u și v sunt paraleli dacă unul este multiplu al celuilalt: v = k × u, cu k diferit de 0.

Semnul lui k dă sensul: dacă k > 0, vectorii au același sens; dacă k < 0, au sensuri opuse. Valoarea absolută a lui k arată de câte ori este unul mai lung decât celălalt.

Astfel, v = 2u înseamnă vectori paraleli, de același sens, iar v = −3u înseamnă vectori paraleli, de sens opus, cu v de trei ori mai lung.

v = k × u ⇒ v ∥ u

k > 0: același sens

k < 0: sensuri opuse

Vectorii paraleli au aceeași direcție, dar nu neapărat același sens.
Coeficientul k nu poate fi 0, altfel vectorul devine nul.

Exemplu rezolvat

Dacă v = −3u, ce relație există între vectorii u și v?

1.Vectorul v este multiplu al lui u, deci cei doi sunt paraleli.
2.Coeficientul este negativ, deci sensurile sunt opuse.
3.În plus, v este de 3 ori mai lung decât u.

Paralelism și perpendicularitate

Paralelismul se transmite: dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c. Este proprietatea de tranzitivitate.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre două drepte paralele, atunci este perpendiculară și pe cealaltă: din d ∥ e și f ⟂ d rezultă f ⟂ e.

Reciproc, în același plan, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

a ∥ b și b ∥ c ⇒ a ∥ c

d ∥ e și f ⟂ d ⇒ f ⟂ e

d ⟂ a și d ⟂ b ⇒ a ∥ b

Ultima regulă cere ca dreptele să fie în același plan.
Aceste proprietăți sunt uneltele de bază în demonstrațiile cu paralele.

Exemplu rezolvat

Dreptele a, b și d sunt în același plan, iar d ⟂ a și d ⟂ b. Ce relație există între a și b?

1.Ambele drepte formează unghiuri de 90° cu aceeași dreaptă d.
2.Fiind în același plan, ele nu se pot intersecta: ar forma un triunghi cu două unghiuri drepte.
3.Deci a ∥ b.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Enunță proprietatea liniei mijlocii într-un triunghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
Ex. 2Dificultate redusă
Enunță proprietatea liniei mijlocii într-un trapez.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor.
Ex. 3Dificultate redusă
Un triunghi are BC = 26 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii paralelă cu BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
26 : 2 = 13 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Un trapez are bazele de 18 cm și 12 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(18 + 12) : 2 = 15 cm
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă că 2 vectori sunt paraleli?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Au aceeași direcție (dreptele lor suport sunt paralele sau coincid).
Ex. 6Dificultate medie
Într-un triunghi MNP, Q și R sunt mijloacele laturilor MN și MP. Dacă QR = 9 cm, calculează NP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
NP = 2 × 9 = 18 cm
Ex. 7Dificultate medie
Se dau 2 vectori, v cu lungimea 8 și u cu lungimea 24, paraleli, cu același sens. Determină scalarul k.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 24 : 8 = 3
Ex. 8Dificultate medie
O dreaptă d este perpendiculară pe dreapta a. Dreapta a este paralelă cu dreapta b. Ce relație există între d și b?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d ⊥ b
Ex. 9Dificultate medie
Un trapez are linia mijlocie de 15 cm, iar o bază este de 20 cm. Calculează cealaltă bază.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 15 − 20 = 10 cm
Ex. 10Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, de ce linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu ambele baze.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O diagonală împarte trapezul în două triunghiuri. În fiecare, bucata de linie mijlocie este linie mijlocie a triunghiului, deci paralelă cu una dintre baze. Bazele sunt paralele între ele, deci linia mijlocie este paralelă cu amândouă.
Ex. 11Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, cu MN=12 cm, MP=16 cm, NP=20 cm, se construiesc liniile mijlocii ale tuturor celor 3 laturi. Calculează perimetrul triunghiului format de cele 3 linii mijlocii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12 + 16 + 20) : 2 = 24 cm
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă un trapez ABCD (AB ∥ CD), cu AB = 26 cm și CD = 14 cm. M și N sunt mijloacele laturilor laterale. Calculează MN.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MN = (26 + 14) : 2 = 20 cm
Ex. 13Dificultate ridicată
Într-un patrulater oarecare MNPQ, se construiesc mijloacele celor 4 laturi, formând un nou patrulater. Explică de ce noul patrulater este întotdeauna un paralelogram.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Diagonala MP împarte patrulaterul în două triunghiuri. Două laturi opuse ale noului patrulater sunt linii mijlocii în aceste triunghiuri, deci ambele sunt paralele cu MP și egale cu MP2. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un triunghi echilateral are latura de 18 cm. Calculează perimetrul triunghiului format de liniile mijlocii ale celor 3 laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 × 9 = 27 cm
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau vectorii AB și CD, paraleli, cu AB=5×CD. Dacă CD are lungimea 4 cm, calculează AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 5 × 4 = 20 cm
Ex. 17Excelență
Se dă un trapez ABCD (AB ∥ CD), cu diagonalele AC și BD perpendiculare. Explică, folosind proprietățile paralelismului și perpendicularității, cum ai calcula aria acestui trapez, dacă ai cunoaște lungimile celor 2 diagonale (formula fiind similară cu cea a rombului, A = (d1×d2):2, aplicabilă oricărui patrulater cu diagonale perpendiculare).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dacă AC ⊥ BD, diagonala BD împarte trapezul în triunghiurile ABD și CBD, cu înălțimile AO și OC pe BD. Aria = BD × AO : 2 + BD × OC : 2 = BD × AC : 2.
Ex. 18Excelență
Într-un hexagon regulat, explică, folosind proprietățile de simetrie și paralelism, de ce laturile opuse ale hexagonului sunt paralele între ele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Hexagonul regulat este simetric față de centrul său O. Această simetrie duce fiecare latură în latura opusă, iar simetria față de un punct duce o dreaptă într-o dreaptă paralelă cu ea. Deci laturile opuse sunt paralele.
Ex. 19Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu M mijlocul lui AB. Se duce prin M o dreaptă paralelă cu BC, care intersectează AC în N. Explică, folosind teorema lui Thales (nu doar proprietatea liniei mijlocii, ci principiul general), de ce AN = NC (adică N este, de asemenea, mijlocul lui AC), chiar dacă nu am presupune de la început că MN este "linia mijlocie".
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MN ∥ BC, deci din teorema lui Thales AMMB = ANNC. Cum AM = MB, raportul este 1, deci AN = NC: N este mijlocul lui AC.
Ex. 20Excelență
Se dau 3 drepte paralele, a, b, c, intersectate de 2 secante. Explică, folosind teorema lui Thales generalizată pentru mai multe drepte paralele, de ce segmentele determinate pe cele 2 secante sunt proporționale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Teorema lui Thales generalizată: mai multe drepte paralele determină pe orice două secante segmente proporționale. Dacă pe prima secantă segmentele sunt a₁, a₂, iar pe a doua b₁, b₂, atunci a₁a₂ = b₁b₂.