Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

∥⊥

Încărcăm partea curentă…

Paralelism și perpendicularitate

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Linia mijlocie în triunghi

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Ea este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.

Dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, atunci MN ∥ BC și MN = BC : 2. Invers, dacă linia mijlocie are 7 cm, latura paralelă cu ea are 14 cm.

Triunghiul mic format, AMN, este asemenea cu ABC, cu raportul 12, deci și perimetrul lui este jumătate din perimetrul triunghiului mare.

De ținut minte

MN ∥ BC și MN = BC : 2

BC = 2 × MN

P(AMN) = P(ABC) : 2

Linia mijlocie leagă mijloacele a două laturi, nu un vârf cu un mijloc — aceea este mediana.
Raportul de asemănare 12 se aplică laturilor și perimetrului, dar aria se împarte la 4.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele lui AB și AC. Perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Cât este perimetrul triunghiului AMN?

1Fiecare latură a triunghiului AMN este jumătate din latura corespunzătoare din ABC.
2Deci perimetrul se înjumătățește și el: 30 : 2.
3Perimetrul triunghiului AMN este 15 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Paralelism și perpendicularitate: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Paralelismul poate fi justificat prin unghiuri, proporționalitate sau vectori. Liniile mijlocii oferă aplicații directe, iar o dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.

Linia mijlocie în triunghi

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul care unește mijloacele a două laturi. Ea este paralelă cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.

Dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, atunci MN ∥ BC și MN = BC : 2. Invers, dacă linia mijlocie are 7 cm, latura paralelă cu ea are 14 cm.

Triunghiul mic format, AMN, este asemenea cu ABC, cu raportul 12, deci și perimetrul lui este jumătate din perimetrul triunghiului mare.

MN ∥ BC și MN = BC : 2
BC = 2 × MN
P(AMN) = P(ABC) : 2

Linia mijlocie leagă mijloacele a două laturi, nu un vârf cu un mijloc — aceea este mediana.
Raportul de asemănare 12 se aplică laturilor și perimetrului, dar aria se împarte la 4.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele lui AB și AC. Perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Cât este perimetrul triunghiului AMN?

Fiecare latură a triunghiului AMN este jumătate din latura corespunzătoare din ABC.
Deci perimetrul se înjumătățește și el: 30 : 2.
Perimetrul triunghiului AMN este 15 cm.

Linia mijlocie în trapez

Linia mijlocie a unui trapez unește mijloacele laturilor laterale. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este media aritmetică a bazelor: m = (B + b) : 2.

Pentru bazele 14 cm și 8 cm, linia mijlocie are (14 + 8) : 2 = 11 cm.

Formula merge și invers: dacă știi linia mijlocie și o bază, o afli pe cealaltă cu B = 2m − b.

m = (B + b) : 2
B = 2m − b

Linia mijlocie a trapezului este media bazelor, nu jumătatea uneia singure.
Ea se află mereu între cele două baze ca lungime.

Exemplu rezolvat

Un trapez are linia mijlocie 13 cm și baza mică 9 cm. Cât este baza mare?

Linia mijlocie este media bazelor: 13 = (B + 9) : 2.
Înmulțim cu 2: 26 = B + 9.
Rezultă B = 17 cm.

Vectori paraleli

Doi vectori nenuli u și v sunt paraleli dacă unul este multiplu al celuilalt: v = k × u, cu k diferit de 0.

Semnul lui k dă sensul: dacă k > 0, vectorii au același sens; dacă k < 0, au sensuri opuse. Valoarea absolută a lui k arată de câte ori este unul mai lung decât celălalt.

Astfel, v = 2u înseamnă vectori paraleli, de același sens, iar v = −3u înseamnă vectori paraleli, de sens opus, cu v de trei ori mai lung.

v = k × u ⇒ v ∥ u
k > 0: același sens
k < 0: sensuri opuse

Vectorii paraleli au aceeași direcție, dar nu neapărat același sens.
Coeficientul k nu poate fi 0, altfel vectorul devine nul.

Exemplu rezolvat

Dacă v = −3u, ce relație există între vectorii u și v?

Vectorul v este multiplu al lui u, deci cei doi sunt paraleli.
Coeficientul este negativ, deci sensurile sunt opuse.
În plus, v este de 3 ori mai lung decât u.

Paralelism și perpendicularitate

Paralelismul se transmite: dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci a ∥ c. Este proprietatea de tranzitivitate.

Dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre două drepte paralele, atunci este perpendiculară și pe cealaltă: din d ∥ e și f ⟂ d rezultă f ⟂ e.

Reciproc, în același plan, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

a ∥ b și b ∥ c ⇒ a ∥ c
d ∥ e și f ⟂ d ⇒ f ⟂ e
d ⟂ a și d ⟂ b ⇒ a ∥ b

Ultima regulă cere ca dreptele să fie în același plan.
Aceste proprietăți sunt uneltele de bază în demonstrațiile cu paralele.

Exemplu rezolvat

Dreptele a, b și d sunt în același plan, iar d ⟂ a și d ⟂ b. Ce relație există între a și b?

Ambele drepte formează unghiuri de 90° cu aceeași dreaptă d.
Fiind în același plan, ele nu se pot intersecta: ar forma un triunghi cu două unghiuri drepte.
Deci a ∥ b.

Dreaptă perpendiculară pe un plan

O dreaptă d este perpendiculară pe un plan α dacă este perpendiculară pe toate dreptele din plan. Nu le putem verifica pe toate, așa că folosim criteriul: dacă d este perpendiculară pe două drepte concurente din α, atunci d ⊥ α.

Cuvântul „concurente” contează: două drepte paralele din plan nu ajung. După ce ai arătat că d ⊥ α, primești perpendicularitatea pe orice dreaptă din plan, fără alt calcul.

În cub, configurația care apare cel mai des este BD ⊥ (ACC′A′). BD ⊥ AC, pentru că diagonalele pătratului sunt perpendiculare, și BD ⊥ AA′, pentru că muchia laterală este perpendiculară pe bază. AC și AA′ sunt concurente în A, deci BD ⊥ (ACC′A′) și, de aici, BD este perpendiculară pe A′C, pe AC′ și pe CC′.

d ⊥ a, d ⊥ b, a ∩ b = {O}, a, b ⊂ α ⇒ d ⊥ α
d ⊥ α ⇒ d ⊥ orice dreaptă din α
în cub: BD ⊥ AC și BD ⊥ AA′ ⇒ BD ⊥ (ACC′A′)

Ca să arăți că o dreaptă e perpendiculară pe un plan, caută în plan două drepte care trec prin același punct și pe care ea este perpendiculară.
La „Arată că BD ⊥ AC′” nu calcula unghiuri: arată că BD este perpendiculară pe un plan care conține AC′.

Exemplu rezolvat

ABCDA′B′C′D′ este un cub. Arată că BD ⊥ A′C.

Ipoteză: ABCDA′B′C′D′ cub. Concluzie: BD ⊥ A′C.
ABCD este pătrat, deci diagonalele lui sunt perpendiculare: BD ⊥ AC.
AA′ ⊥ (ABC), iar BD ⊂ (ABC), deci BD ⊥ AA′.
AC ∩ AA′ = {A}, iar AC și AA′ sunt incluse în planul (ACC′A′), deci BD ⊥ (ACC′A′).
A′C ⊂ (ACC′A′), deci BD ⊥ A′C.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un triunghi are latura BC = 20 cm. Cât este linia mijlocie paralelă cu BC?
Vezi rezolvarea
1. Într-un plan, o perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
2. Linia mijlocie a triunghiului are jumătate din lungimea laturii paralele.
3. MN = BC2 = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 2
Un trapez are bazele de 14 cm și 8 cm. Cât este linia mijlocie?
Vezi rezolvarea
1. Într-un plan, o perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
2. Linia mijlocie a trapezului este media aritmetică a bazelor.
3. m = 14 + 82 = 11 cm.
Răspuns: 11
Exercițiul 3
Dacă v = −3u, atunci vectorii u și v sunt...
Vezi rezolvarea
1. Într-un plan, o perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
2. Doi vectori nenuli proporționali au aceeași direcție; scalarul negativ schimbă sensul.
3. Scalarul nenul arată paralelismul, iar semnul negativ inversează sensul.
Răspuns: paraleli și de sens opus
Exercițiul 4
Dacă linia mijlocie a unui triunghi are 7 cm, cât are latura paralelă cu ea?
Vezi rezolvarea
1. Într-un plan, o perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
2. Inversăm relația MN = BC2, înmulțind cu 2.
3. BC = 2 · MN = 14 cm.
Răspuns: 14
Exercițiul 5
Dacă d ∥ e și f ⊥ d, ce relație există între f și e?
Vezi rezolvarea
1. Într-un plan, o perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
2. Dreptele d și e au aceeași direcție, deci formează același unghi drept cu f.
3. O dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
Răspuns: f ⊥ e
Exercițiul 6
Un triunghi are latura AC = 18 cm. Cât este linia mijlocie paralelă cu AC, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. MN = AC2.
2. 18 : 2 = 9.
3. Linia mijlocie are 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 7
Un trapez are bazele de 20 cm și 12 cm. Cât este linia mijlocie, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. B + b = 32.
2. 32 : 2 = 16.
3. m = 16 cm.
Răspuns: 16
Exercițiul 8
Un trapez are linia mijlocie 13 cm și baza mică 9 cm. Cât este baza mare, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. B + 9 = 26.
2. B = 26 − 9.
3. B = 17 cm.
Răspuns: 17
Exercițiul 9
Dacă v = 2u, atunci vectorii u și v sunt...
Vezi rezolvarea
1. v = k · u cu k ≠ 0, deci u ∥ v.
2. k > 0 păstrează sensul.
3. Vectorii sunt paraleli și de același sens.
Răspuns: paraleli și de același sens
Exercițiul 10
Dacă a ∥ b și b ∥ c, atunci:
Vezi rezolvarea
1. a are aceeași direcție cu b.
2. c are aceeași direcție cu b.
3. Deci a ∥ c (sau coincid).
Răspuns: a ∥ c
Exercițiul 11
Dreptele a, b și d sunt în același plan, iar d ⊥ a și d ⊥ b. Ce relație există între a și b?
Vezi rezolvarea
1. În același plan, două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă au aceeași direcție.
2. Deci nu se pot intersecta decât dacă coincid.
3. a ∥ b.
Răspuns: a ∥ b
Exercițiul 12
În triunghiul ABC, M și N sunt mijloacele lui AB și AC. Perimetrul triunghiului ABC este 30 cm. Cât este perimetrul triunghiului AMN, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. AM = AB2, AN = AC2, iar MN = BC2.
2. P(AMN) = P(ABC)2.
3. P(AMN) = 15 cm.
Răspuns: 15
Exercițiul 13
Dreapta d este perpendiculară pe dreptele a și b din planul α. Ce condiție mai trebuie îndeplinită ca să rezulte d ⊥ α?
Vezi rezolvarea
1. Criteriul cere două drepte din plan care se intersectează.
2. Două drepte paralele din plan nu sunt suficiente: d ar putea fi oblică pe plan.
3. Deci a și b trebuie să fie concurente.
Răspuns: a și b să fie concurente
Exercițiul 14
În cubul ABCDA′B′C′D′, pe ce plan este perpendiculară diagonala BD?
Vezi rezolvarea
1. Diagonalele pătratului ABCD sunt perpendiculare: BD ⊥ AC.
2. Muchia AA′ este perpendiculară pe bază, deci BD ⊥ AA′.
3. AC și AA′ sunt concurente în A și determină planul (ACC′A′), deci BD ⊥ (ACC′A′).
Răspuns: (ACC′A′)
Exercițiul 15
În cubul ABCDA′B′C′D′ s-a arătat că BD ⊥ (ACC′A′). Ce măsură are unghiul dintre dreptele BD și AC′?
Vezi rezolvarea
1. A și C′ sunt vârfuri ale dreptunghiului ACC′A′, deci AC′ ⊂ (ACC′A′).
2. O dreaptă perpendiculară pe un plan este perpendiculară pe orice dreaptă din acel plan.
3. Deci BD ⊥ AC′, iar unghiul dintre ele are 90°.
Răspuns: 90°
Exercițiul 16
În cubul ABCDA′B′C′D′, arată că dreapta A′B este perpendiculară pe planul (AB′C′).
Vezi rezolvarea
1. Ipoteză: ABCDA′B′C′D′ cub. Concluzie: A′B ⊥ (AB′C′).
2. ABB′A′ este pătrat, deci A′B ⊥ AB′. Muchia B′C′ este perpendiculară pe B′A′ și pe B′B, deci B′C′ ⊥ (ABB′A′) și, de aici, B′C′ ⊥ A′B.
3. AB′ și B′C′ sunt concurente în B′ și incluse în planul (AB′C′), deci A′B ⊥ (AB′C′).

Fișă de consolidare din material (19)

1. Dificultate redusă
Enunță proprietatea liniei mijlocii într-un triunghi.
Vezi răspunsul
Segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea ei.
2. Dificultate redusă
Enunță proprietatea liniei mijlocii într-un trapez.
Vezi răspunsul
Linia mijlocie a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu semisuma lor.
3. Dificultate redusă
Un triunghi are BC = 26 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii paralelă cu BC.
Vezi răspunsul
26 : 2 = 13 cm
4. Dificultate redusă
Un trapez are bazele de 18 cm și 12 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii.
Vezi răspunsul
(18 + 12) : 2 = 15 cm
5. Dificultate redusă
Ce înseamnă că 2 vectori sunt paraleli?
Vezi răspunsul
Au aceeași direcție (dreptele lor suport sunt paralele sau coincid).
6. Dificultate medie
Într-un triunghi MNP, Q și R sunt mijloacele laturilor MN și MP. Dacă QR = 9 cm, calculează NP.
Vezi răspunsul
NP = 2 × 9 = 18 cm
7. Dificultate medie
Se dau 2 vectori, v cu lungimea 8 și u cu lungimea 24, paraleli, cu același sens. Determină scalarul k.
Vezi răspunsul
k = 24 : 8 = 3
8. Dificultate medie
O dreaptă d este perpendiculară pe dreapta a. Dreapta a este paralelă cu dreapta b. Ce relație există între d și b?
Vezi răspunsul
d ⊥ b
9. Dificultate medie
Un trapez are linia mijlocie de 15 cm, iar o bază este de 20 cm. Calculează cealaltă bază.
Vezi răspunsul
2 × 15 − 20 = 10 cm
10. Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, de ce linia mijlocie a unui trapez este paralelă cu ambele baze.
Vezi răspunsul
O diagonală împarte trapezul în două triunghiuri. În fiecare, bucata de linie mijlocie este linie mijlocie a triunghiului, deci paralelă cu una dintre baze. Bazele sunt paralele între ele, deci linia mijlocie este paralelă cu amândouă.
11. Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, cu MN=12 cm, MP=16 cm, NP=20 cm, se construiesc liniile mijlocii ale tuturor celor 3 laturi. Calculează perimetrul triunghiului format de cele 3 linii mijlocii.
Vezi răspunsul
(12 + 16 + 20) : 2 = 24 cm
12. Dificultate ridicată
Se dă un trapez ABCD (AB ∥ CD), cu AB = 26 cm și CD = 14 cm. M și N sunt mijloacele laturilor laterale. Calculează MN.
Vezi răspunsul
MN = (26 + 14) : 2 = 20 cm
13. Dificultate ridicată
Într-un patrulater oarecare MNPQ, se construiesc mijloacele celor 4 laturi, formând un nou patrulater. Explică de ce noul patrulater este întotdeauna un paralelogram.
Vezi răspunsul
Diagonala MP împarte patrulaterul în două triunghiuri. Două laturi opuse ale noului patrulater sunt linii mijlocii în aceste triunghiuri, deci ambele sunt paralele cu MP și egale cu MP2. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram.
14. Dificultate ridicată
Un triunghi echilateral are latura de 18 cm. Calculează perimetrul triunghiului format de liniile mijlocii ale celor 3 laturi.
Vezi răspunsul
3 × 9 = 27 cm
15. Dificultate ridicată
Se dau vectorii AB și CD, paraleli, cu AB=5×CD. Dacă CD are lungimea 4 cm, calculează AB.
Vezi răspunsul
AB = 5 × 4 = 20 cm
17. Excelență
Se dă un trapez ABCD (AB ∥ CD), cu diagonalele AC și BD perpendiculare. Explică, folosind proprietățile paralelismului și perpendicularității, cum ai calcula aria acestui trapez, dacă ai cunoaște lungimile celor 2 diagonale (formula fiind similară cu cea a rombului, A = (d1×d2):2, aplicabilă oricărui patrulater cu diagonale perpendiculare).
Vezi răspunsul
Dacă AC ⊥ BD, diagonala BD împarte trapezul în triunghiurile ABD și CBD, cu înălțimile AO și OC pe BD. Aria = BD × AO : 2 + BD × OC : 2 = BD × AC : 2.
18. Excelență
Într-un hexagon regulat, explică, folosind proprietățile de simetrie și paralelism, de ce laturile opuse ale hexagonului sunt paralele între ele.
Vezi răspunsul
Hexagonul regulat este simetric față de centrul său O. Această simetrie duce fiecare latură în latura opusă, iar simetria față de un punct duce o dreaptă într-o dreaptă paralelă cu ea. Deci laturile opuse sunt paralele.
19. Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu M mijlocul lui AB. Se duce prin M o dreaptă paralelă cu BC, care intersectează AC în N. Explică, folosind teorema lui Thales (nu doar proprietatea liniei mijlocii, ci principiul general), de ce AN = NC (adică N este, de asemenea, mijlocul lui AC), chiar dacă nu am presupune de la început că MN este "linia mijlocie".
Vezi răspunsul
MN ∥ BC, deci din teorema lui Thales AMMB = ANNC. Cum AM = MB, raportul este 1, deci AN = NC: N este mijlocul lui AC.
20. Excelență
Se dau 3 drepte paralele, a, b, c, intersectate de 2 secante. Explică, folosind teorema lui Thales generalizată pentru mai multe drepte paralele, de ce segmentele determinate pe cele 2 secante sunt proporționale.
Vezi răspunsul
Teorema lui Thales generalizată: mai multe drepte paralele determină pe orice două secante segmente proporționale. Dacă pe prima secantă segmentele sunt a₁, a₂, iar pe a doua b₁, b₂, atunci a₁a₂ = b₁b₂.