Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min
x̄

Teorie înainte de exerciții

Indicatori statistici

Media, mediana și modul descriu centrul unui set de date, iar dispersia arată cât de răspândite sunt valorile. Mediana este adesea mai reprezentativă decât media când există valori extreme.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Media aritmetică

Media aritmetică se calculează adunând toate valorile și împărțind suma la numărul lor. Este indicatorul care ține cont de fiecare dată din set.

Tocmai de aceea este sensibilă la valori extreme: o singură valoare foarte mare trage media în sus și o face nereprezentativă.

x̄ = (x1 + … + xn) : n
media lui 10, 12, 14, 16, 18 este 14
  • Media se află între valoarea minimă și cea maximă.
  • Pentru date simetrice, media coincide aproape cu mediana.

Exemplu rezolvat

Calculează media datelor 4, 6, 9, 13.

  1. 1.Adunăm valorile: 4 + 6 + 9 + 13 = 32.
  2. 2.Împărțim la numărul lor: 32 : 4.
  3. 3.Media este 8.
2

Mediana

Mediana este valoarea din mijlocul setului, după ce datele au fost ordonate crescător. Ordonarea este obligatorie: fără ea, rezultatul este greșit.

Dacă numărul de valori este impar, mediana este valoarea din mijloc. Dacă este par, mediana este media aritmetică a celor două valori centrale.

Pentru 2, 4, 6, 8, mediana este (4 + 6) : 2 = 5, deși această valoare nici măcar nu apare în set.

număr impar: valoarea din mijloc
număr par: media celor două valori centrale
  • Ordonează întotdeauna datele înainte de a căuta mijlocul.
  • Mediana împarte setul în două jumătăți egale ca număr de valori.

Exemplu rezolvat

Calculează mediana datelor 12, 4, 9, 7, 15.

  1. 1.Ordonăm crescător: 4, 7, 9, 12, 15.
  2. 2.Sunt 5 valori, deci mediana este a treia.
  3. 3.Mediana este 9.
3

Valoarea modală

Valoarea modală, numită și mod, este valoarea care apare cel mai des în setul de date.

Un set poate avea o singură valoare modală, două sau chiar mai multe: dacă în 2, 2, 5, 5, 7 și 2, și 5 apar de câte două ori, setul este bimodal.

Modul este singurul indicator care se poate folosi și pentru date care nu sunt numere, cum ar fi culoarea preferată sau sportul practicat.

modul = valoarea cu frecvența maximă
2, 2, 5, 5, 7 → două valori modale
  • Modul poate lipsi, dacă toate valorile apar o singură dată.
  • Pentru date categoriale, modul este singurul indicator potrivit.

Exemplu rezolvat

Care este valoarea modală a datelor 2, 3, 3, 4, 4, 4, 6?

  1. 1.Numărăm aparițiile: 2 apare o dată, 3 de două ori, 4 de trei ori, 6 o dată.
  2. 2.Frecvența maximă este 3, pentru valoarea 4.
  3. 3.Valoarea modală este 4.
4

Dispersia, abaterea standard și alegerea indicatorului

Dispersia arată cât de împrăștiate sunt datele față de medie: se calculează ca media pătratelor abaterilor, D = [(x1 − x̄)2 + … + (xn − x̄)2] : n.

Abaterea standard este rădăcina pătrată a dispersiei, σ = √D, și are avantajul că se exprimă în aceeași unitate ca datele.

La alegerea indicatorului potrivit contează forma datelor: media este bună pentru date omogene, dar mediana descrie mai bine „valoarea obișnuită” atunci când există valori extreme.

D = Σ(xi − x̄)2 : n
σ = √D
dispersie mică = date apropiate de medie
  • Mediana este mai puțin afectată de o valoare extremă decât media.
  • O dispersie mare înseamnă date foarte împrăștiate.

Exemplu rezolvat

Datele sunt 1, 3, 5, 7, iar media lor este 4. Calculează dispersia.

  1. 1.Calculăm abaterile față de medie: −3, −1, 1 și 3.
  2. 2.Ridicăm la pătrat și adunăm: 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
  3. 3.Împărțim la numărul valorilor: 20 : 4 = 5.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Calculează mediana datelor ordonate: 2, 4, 6, 8, 10.

    Vezi răspunsul

    6

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Calculează mediana datelor ordonate: 3, 5, 7, 9.

    Vezi răspunsul

    (5 + 7) : 2 = 6

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Se dau datele: 6, 6, 7, 8, 6, 9. Calculează modulul.

    Vezi răspunsul

    6 (apare de cele mai multe ori)

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Se dau datele: 12, 14, 16, 18, 20. Calculează media aritmetică.

    Vezi răspunsul

    80 : 5 = 16

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Ordonează datele 7, 2, 5, 9, 3, apoi calculează mediana.

    Vezi răspunsul

    Ordonat: 2, 3, 5, 7, 9; mediana este 5.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Se dau notele: 7, 8, 6, 9, 8, 10, 7, 8. Ordonează-le crescător, apoi calculează mediana.

    Vezi răspunsul

    Ordonat: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10; mediana: (8 + 8) : 2 = 8.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Folosind datele de la exercițiul 6, calculează modulul.

    Vezi răspunsul

    8 (apare de 3 ori)

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Se dau datele: 3, 5, 7. Calculează dispersia și abaterea medie pătratică.

    Vezi răspunsul

    Media: 5. Dispersia: (4 + 0 + 4) : 3 = 83 ≈ 2,67. Abaterea medie pătratică: 83 ≈ 1,63.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Compară media și mediana pentru datele: 8, 10, 9, 11, 45.

    Vezi răspunsul

    Media: 83 : 5 = 16,6. Mediana: 10. Media este mult mai mare, trasă în sus de valoarea 45.

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Se dau datele: 2, 2, 4, 6, 6, 8. Are acest set un singur modul sau mai multe? Precizează valoareavalorile.

    Vezi răspunsul

    Mai multe: 2 și 6 apar fiecare de câte două ori.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Se dau datele: 12, 15, 17, 19, 21, 80. Calculează media și mediana, apoi explică de ce mediana este un indicator mai potrivit în acest caz.

    Vezi răspunsul

    Media: 164 : 6 ≈ 27,33. Mediana: (17 + 19) : 2 = 18. Valoarea 80 trage media în sus, deci mediana descrie mai bine valorile obișnuite.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Un set de 6 numere are mediana 11. Dacă cele 6 numere ordonate crescător sunt a, b, 9, 13, c, d, determină ce condiție trebuie să respecte valorile de pe pozițiile 3 și 4 pentru ca mediana să fie 11.

    Vezi răspunsul

    Mediana este media valorilor de pe pozițiile 3 și 4: (9 + 13) : 2 = 11, deci condiția este îndeplinită. Mai trebuie doar ca a ≤ b ≤ 9 și 13 ≤ c ≤ d.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Calculează dispersia și abaterea medie pătratică pentru datele: 3, 5, 7, 9, 11.

    Vezi răspunsul

    Media: 7. Dispersia: (16 + 4 + 0 + 4 + 16) : 5 = 8. Abaterea medie pătratică: √8 = 2√2 ≈ 2,83.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Salariile a 5 angajați sunt: 2800, 2900, 2700, 3000, 2800 lei. Calculează media, mediana și modulul, apoi precizează care dintre ele coincid.

    Vezi răspunsul

    Media: 14.200 : 5 = 2.840 lei. Mediana: 2.800 lei (ordonat: 2.700, 2.800, 2.800, 2.900, 3.000). Modulul: 2.800 lei. Coincid mediana și modulul.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Se dau notele a 9 elevi la un test, cu media 8. Dacă 8 dintre note sunt: 7, 8, 9, 8, 7, 9, 8, 7, calculează a noua notă.

    Vezi răspunsul

    9: totalul trebuie să fie 9 × 8 = 72, iar cele 8 note însumează 63.

  16. Ex. 16Excelență

    Se dau 2 seturi de date, ambele cu media 10: Setul A: 8, 9, 10, 11, 12 (dispersie mică); Setul B: 2, 5, 10, 15, 18 (dispersie mare). Calculează dispersia fiecărui set, apoi explică ce arată diferența dintre cele 2 dispersii, referitor la "împrăștierea" datelor.

    Vezi răspunsul

    Dispersia lui A: (4 + 1 + 0 + 1 + 4) : 5 = 2. Dispersia lui B: (64 + 25 + 0 + 25 + 64) : 5 = 35,6. Deși media este aceeași, datele din B sunt mult mai împrăștiate față de medie.

  17. Ex. 17Excelență

    Un set de 7 numere are media 8 și mediana 7. Dacă toate valorile, în afara uneia, sunt: 5, 6, 7, 9, 10, 11, iar a 7-a valoare este necunoscută, determină această valoare (folosind media), apoi verifică dacă mediana rămâne 7 după ordonare.

    Vezi răspunsul

    Suma trebuie să fie 7 × 8 = 56, iar cele 6 valori însumează 48, deci a 7-a este 8. Ordonat: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, cu mediana 8, nu 7: datele problemei nu se potrivesc între ele.

  18. Ex. 18Excelență

    Se dau notele a 10 elevi la 2 teste consecutive. La primul test, dispersia este mare (note foarte variate), iar la al doilea test, dispersia este mică (note apropiate). Explică, folosind conceptul de abatere medie pătratică, ce ar putea sugera această diferență despre dificultatea celor 2 teste sau despre pregătirea elevilor.

    Vezi răspunsul

    La primul test, abaterea mare arată note foarte diferite: unii elevi erau pregătiți, alții nu, sau testul i-a separat puternic. La al doilea, abaterea mică arată note apropiate: o pregătire mai uniformă sau un test pe care l-au perceput la fel de greu.

  19. Ex. 19Excelență

    Media a 6 numere este 15. Dacă se elimină cel mai mare număr din set, media celor rămase 5 numere devine 12. Calculează valoarea numărului eliminat.

    Vezi răspunsul

    Suma celor 6 numere: 90; a celor 5 rămase: 60. Numărul eliminat: 30.

  20. Ex. 20Excelență

    Se dă un set de date cu modulul 7, mediana 8 și media 9. Explică, folosind aceste 3 valori diferite, ce ar putea sugera acest lucru despre forma distribuției datelor (indiciu: quando media > mediană > modul, distribuția este, de regulă, asimetrică spre valori mari — concept introductiv de asimetrie statistică).

    Vezi răspunsul

    Media > mediana > modulul sugerează o distribuție asimetrică spre valori mari: cele mai multe valori sunt mici (în jurul lui 7), iar câteva valori mari trag media în sus.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.