Indicatori statistici

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Media aritmetică

Media aritmetică se calculează adunând toate valorile și împărțind suma la numărul lor. Este indicatorul care ține cont de fiecare dată din set.

Tocmai de aceea este sensibilă la valori extreme: o singură valoare foarte mare trage media în sus și o face nereprezentativă.

De ținut minte

x̄ = (x₁ + … + x_n) : n

media lui 10, 12, 14, 16, 18 este 14

Media se află între valoarea minimă și cea maximă.
Pentru date simetrice, media coincide aproape cu mediana.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează media numerelor 8, 10 și 15.

1Suma este 8 + 10 + 15 = 33.
2Sunt 3 numere, deci împărțim suma la 3.
3Media este 11.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Indicatori statistici: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Media, mediana și modul descriu centrul unui set de date, iar dispersia arată cât de răspândite sunt valorile. Mediana este adesea mai reprezentativă decât media când există valori extreme.

Media aritmetică

Media aritmetică se calculează adunând toate valorile și împărțind suma la numărul lor. Este indicatorul care ține cont de fiecare dată din set.

Tocmai de aceea este sensibilă la valori extreme: o singură valoare foarte mare trage media în sus și o face nereprezentativă.

x̄ = (x₁ + … + x_n) : n
media lui 10, 12, 14, 16, 18 este 14

Media se află între valoarea minimă și cea maximă.
Pentru date simetrice, media coincide aproape cu mediana.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează media numerelor 8, 10 și 15.

Suma este 8 + 10 + 15 = 33.
Sunt 3 numere, deci împărțim suma la 3.
Media este 11.

Mediana

Mediana este valoarea din mijlocul setului, după ce datele au fost ordonate crescător. Ordonarea este obligatorie: fără ea, rezultatul este greșit.

Dacă numărul de valori este impar, mediana este valoarea din mijloc. Dacă este par, mediana este media aritmetică a celor două valori centrale.

Pentru 2, 4, 6, 8, mediana este (4 + 6) : 2 = 5, deși această valoare nici măcar nu apare în set.

număr impar: valoarea din mijloc
număr par: media celor două valori centrale

Ordonează întotdeauna datele înainte de a căuta mijlocul.
Mediana împarte setul în două jumătăți egale ca număr de valori.

Exemplu rezolvat · alte date

Află mediana datelor 18, 5, 11, 8, 14.

Ordonăm: 5, 8, 11, 14, 18.
Sunt 5 date, deci poziția centrală este a treia.
Mediana este 11; ordonarea este obligatorie.

Valoarea modală

Valoarea modală, numită și mod, este valoarea care apare cel mai des în setul de date.

Un set poate avea o singură valoare modală, două sau chiar mai multe: dacă în 2, 2, 5, 5, 7 și 2, și 5 apar de câte două ori, setul este bimodal.

Modul este singurul indicator care se poate folosi și pentru date care nu sunt numere, cum ar fi culoarea preferată sau sportul practicat.

modul = valoarea cu frecvența maximă
2, 2, 5, 5, 7 → două valori modale

Modul poate lipsi, dacă toate valorile apar o singură dată.
Pentru date categoriale, modul este singurul indicator potrivit.

Exemplu rezolvat

Care este valoarea modală a datelor 2, 3, 3, 4, 4, 4, 6?

Numărăm aparițiile: 2 apare o dată, 3 de două ori, 4 de trei ori, 6 o dată.
Frecvența maximă este 3, pentru valoarea 4.
Valoarea modală este 4.

Dispersia, abaterea standard și alegerea indicatorului

Dispersia arată cât de împrăștiate sunt datele față de medie: se calculează ca media pătratelor abaterilor, D = [(x₁ − x̄)² + … + (x_n − x̄)²] : n.

Abaterea standard este rădăcina pătrată a dispersiei, σ = √D, și are avantajul că se exprimă în aceeași unitate ca datele.

La alegerea indicatorului potrivit contează forma datelor: media este bună pentru date omogene, dar mediana descrie mai bine „valoarea obișnuită” atunci când există valori extreme.

D = Σ(x_i − x̄)² : n
σ = √D
dispersie mică = date apropiate de medie

Mediana este mai puțin afectată de o valoare extremă decât media.
O dispersie mare înseamnă date foarte împrăștiate.

Exemplu rezolvat · alte date

Află dispersia datelor 2, 4, 6, 8, folosind împărțirea la numărul datelor.

Media este 5; abaterile sunt −3, −1, 1, 3.
Suma pătratelor abaterilor este 9 + 1 + 1 + 9 = 20.
Dispersia este 204 = 5; abaterea standard ar fi √5.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează mediana datelor 3, 5, 7, 9, 11.
Vezi rezolvarea
1. Sunt 5 valori ordonate, iar a treia este 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 2
Calculează mediana datelor 2, 4, 6, 8.
Vezi rezolvarea
1. Mediana este (4 + 6) : 2 = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 3
Care este modulul datelor 5, 5, 6, 7, 5, 8?
Vezi rezolvarea
1. Valoarea 5 apare de trei ori, cel mai des.
Răspuns: 5
Exercițiul 4
Calculează media datelor 10, 12, 14, 16, 18.
Vezi rezolvarea
1. Suma este 70, iar 70 : 5 = 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 5
Ce indicator este mai puțin afectat de o singură valoare extremă?
Vezi rezolvarea
1. Mediana depinde de poziția valorilor ordonate, nu de mărimea totală a valorii extreme.
Răspuns: Mediana
Exercițiul 6
Calculează mediana datelor 12, 4, 9, 7, 15.
Vezi rezolvarea
1. Ordonat: 4, 7, 9, 12, 15.
2. Sunt 5 date, deci mediana este a treia.
3. Mediana este 9.
Răspuns: 9
Exercițiul 7
Calculează mediana datelor 3, 8, 5, 10.
Vezi rezolvarea
1. Ordonat: 3, 5, 8, 10.
2. Valorile centrale sunt 5 și 8.
3. Mediana este (5 + 8) : 2 = 6,5.
Răspuns: 6,5
Exercițiul 8
Care este valoarea modală (cea mai frecventă) a datelor 2, 3, 3, 4, 4, 4, 6?
Vezi rezolvarea
1. 2 apare o dată, 3 de două ori, 4 de trei ori, 6 o dată.
2. Frecvența maximă este 3.
3. Valoarea modală este 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 9
Datele 2, 2, 5, 5, 7 au:
Vezi rezolvarea
1. 2 apare de două ori.
2. 5 apare tot de două ori, iar 7 o dată.
3. Datele au două valori modale: 2 și 5.
Răspuns: două valori modale: 2 și 5
Exercițiul 10
Calculează media datelor 4, 6, 9, 13.
Vezi rezolvarea
1. 4 + 6 + 9 + 13 = 32.
2. 32 : 4 = 8.
3. Media este 8.
Răspuns: 8
Exercițiul 11
Datele sunt 1, 3, 5, 7, iar media lor este 4. Calculează dispersia.
Vezi rezolvarea
1. Abaterile sunt −3, −1, 1, 3; pătratele lor: 9, 1, 1, 9.
2. Suma pătratelor este 20.
3. D = 20 : 4 = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 12
Dispersia unor date este 16. Cât este abaterea standard?
Vezi rezolvarea
1. σ = √16.
2. √16 = 4.
3. Abaterea standard este 4.
Răspuns: 4

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Calculează mediana datelor ordonate: 2, 4, 6, 8, 10.
Vezi răspunsul
6
2. Dificultate redusă
Calculează mediana datelor ordonate: 3, 5, 7, 9.
Vezi răspunsul
(5 + 7) : 2 = 6
3. Dificultate redusă
Se dau datele: 6, 6, 7, 8, 6, 9. Calculează modulul.
Vezi răspunsul
6 (apare de cele mai multe ori)
4. Dificultate redusă
Se dau datele: 12, 14, 16, 18, 20. Calculează media aritmetică.
Vezi răspunsul
80 : 5 = 16
5. Dificultate redusă
Ordonează datele 7, 2, 5, 9, 3, apoi calculează mediana.
Vezi răspunsul
Ordonat: 2, 3, 5, 7, 9; mediana este 5.
6. Dificultate medie
Se dau notele: 7, 8, 6, 9, 8, 10, 7, 8. Ordonează-le crescător, apoi calculează mediana.
Vezi răspunsul
Ordonat: 6, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10; mediana: (8 + 8) : 2 = 8.
7. Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează modulul.
Vezi răspunsul
8 (apare de 3 ori)
8. Dificultate medie
Se dau datele: 3, 5, 7. Calculează dispersia și abaterea medie pătratică.
Vezi răspunsul
Media: 5. Dispersia: (4 + 0 + 4) : 3 = 83 ≈ 2,67. Abaterea medie pătratică: 83 ≈ 1,63.
9. Dificultate medie
Compară media și mediana pentru datele: 8, 10, 9, 11, 45.
Vezi răspunsul
Media: 83 : 5 = 16,6. Mediana: 10. Media este mult mai mare, trasă în sus de valoarea 45.
10. Dificultate medie
Se dau datele: 2, 2, 4, 6, 6, 8. Are acest set un singur modul sau mai multe? Precizează valoarea/valorile.
Vezi răspunsul
Mai multe: 2 și 6 apar fiecare de câte două ori.
11. Dificultate ridicată
Se dau datele: 12, 15, 17, 19, 21, 80. Calculează media și mediana, apoi explică de ce mediana este un indicator mai potrivit în acest caz.
Vezi răspunsul
Media: 164 : 6 ≈ 27,33. Mediana: (17 + 19) : 2 = 18. Valoarea 80 trage media în sus, deci mediana descrie mai bine valorile obișnuite.
12. Dificultate ridicată
Un set de 6 numere are mediana 11. Dacă cele 6 numere ordonate crescător sunt a, b, 9, 13, c, d, determină ce condiție trebuie să respecte valorile de pe pozițiile 3 și 4 pentru ca mediana să fie 11.
Vezi răspunsul
Mediana este media valorilor de pe pozițiile 3 și 4: (9 + 13) : 2 = 11, deci condiția este îndeplinită. Mai trebuie doar ca a ≤ b ≤ 9 și 13 ≤ c ≤ d.
13. Dificultate ridicată
Calculează dispersia și abaterea medie pătratică pentru datele: 3, 5, 7, 9, 11.
Vezi răspunsul
Media: 7. Dispersia: (16 + 4 + 0 + 4 + 16) : 5 = 8. Abaterea medie pătratică: √8 = 2√2 ≈ 2,83.
14. Dificultate ridicată
Salariile a 5 angajați sunt: 2800, 2900, 2700, 3000, 2800 lei. Calculează media, mediana și modulul, apoi precizează care dintre ele coincid.
Vezi răspunsul
Media: 14.200 : 5 = 2.840 lei. Mediana: 2.800 lei (ordonat: 2.700, 2.800, 2.800, 2.900, 3.000). Modulul: 2.800 lei. Coincid mediana și modulul.
15. Dificultate ridicată
Se dau notele a 9 elevi la un test, cu media 8. Dacă 8 dintre note sunt: 7, 8, 9, 8, 7, 9, 8, 7, calculează a noua notă.
Vezi răspunsul
9: totalul trebuie să fie 9 × 8 = 72, iar cele 8 note însumează 63.
16. Excelență
Se dau 2 seturi de date, ambele cu media 10: Setul A: 8, 9, 10, 11, 12 (dispersie mică); Setul B: 2, 5, 10, 15, 18 (dispersie mare). Calculează dispersia fiecărui set, apoi explică ce arată diferența dintre cele 2 dispersii, referitor la "împrăștierea" datelor.
Vezi răspunsul
Dispersia lui A: (4 + 1 + 0 + 1 + 4) : 5 = 2. Dispersia lui B: (64 + 25 + 0 + 25 + 64) : 5 = 35,6. Deși media este aceeași, datele din B sunt mult mai împrăștiate față de medie.
17. Excelență
Un set de 7 numere are media 8 și mediana 7. Dacă toate valorile, în afara uneia, sunt: 5, 6, 7, 9, 10, 11, iar a 7-a valoare este necunoscută, determină această valoare (folosind media), apoi verifică dacă mediana rămâne 7 după ordonare.
Vezi răspunsul
Suma trebuie să fie 7 × 8 = 56, iar cele 6 valori însumează 48, deci a 7-a este 8. Ordonat: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, cu mediana 8, nu 7: datele problemei nu se potrivesc între ele.
18. Excelență
Se dau notele a 10 elevi la 2 teste consecutive. La primul test, dispersia este mare (note foarte variate), iar la al doilea test, dispersia este mică (note apropiate). Explică, folosind conceptul de abatere medie pătratică, ce ar putea sugera această diferență despre dificultatea celor 2 teste sau despre pregătirea elevilor.
Vezi răspunsul
La primul test, abaterea mare arată note foarte diferite: unii elevi erau pregătiți, alții nu, sau testul i-a separat puternic. La al doilea, abaterea mică arată note apropiate: o pregătire mai uniformă sau un test pe care l-au perceput la fel de greu.
19. Excelență
Media a 6 numere este 15. Dacă se elimină cel mai mare număr din set, media celor rămase 5 numere devine 12. Calculează valoarea numărului eliminat.
Vezi răspunsul
Suma celor 6 numere: 90; a celor 5 rămase: 60. Numărul eliminat: 30.
20. Excelență
Se dă un set de date cu modulul 7, mediana 8 și media 9. Explică, folosind aceste 3 valori diferite, ce ar putea sugera acest lucru despre forma distribuției datelor (indiciu: quando media > mediană > modul, distribuția este, de regulă, asimetrică spre valori mari — concept introductiv de asimetrie statistică).
Vezi răspunsul
Media > mediana > modulul sugerează o distribuție asimetrică spre valori mari: cele mai multe valori sunt mici (în jurul lui 7), iar câteva valori mari trag media în sus.