Funcții

O funcție asociază fiecărui element din domeniu exact o valoare. Putem descrie funcția prin formulă, tabel sau grafic și putem calcula funcția compusă aplicând funcțiile în ordinea corectă.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Definiția riguroasă a unei funcții

O funcție f definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B este o corespondență prin care fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B. Se scrie f: A → B, unde A se numește domeniu de definiție, iar B codomeniu.

Condiția esențială este „exact unul”: nu zero, nu mai multe. De aceea o asociere în care 1 → a și tot 1 → b nu este funcție.

Exemplu: f(x) = x² este funcție, fiindcă orice x are un singur pătrat. În schimb, corespondența care asociază lui x numărul y cu y² = x nu este funcție: pentru x = 4 ar rezulta și 2, și −2.

f: A → B

fiecare element din A are exact o imagine

Un element din domeniu nu poate avea două imagini.
Este permis ca două elemente diferite să aibă aceeași imagine.

Exemplu rezolvat

Care asociere NU este funcție definită pe A = {1, 2, 3}: 1 → a, 1 → b, 2 → c, 3 → a?

1.Verificăm dacă fiecare element din A are exact o imagine.
2.Elementul 1 apare de două ori, cu imaginile a și b.
3.Având două imagini, asocierea nu este funcție.

Calculul valorilor unei funcții

Valoarea unei funcții într-un punct se obține înlocuind variabila cu numărul dat: pentru f(x) = 3x − 2, avem f(4) = 3 × 4 − 2 = 10.

La numere negative, ai grijă la paranteze: pentru f(x) = x², f(−3) = (−3)² = 9, iar pentru f(x) = x² − 1, f(−2) = 4 − 1 = 3.

Problema poate fi pusă și invers: dacă f(x) = 3x + 1 și f(a) = 13, scrii ecuația 3a + 1 = 13 și afli a = 4.

f(x) = 3x − 2 ⇒ f(4) = 10

f(−3) = (−3)² = 9

f(a) = 13 ⇒ 3a + 1 = 13

Pune numărul negativ în paranteză înainte de a-l ridica la pătrat.
Când se dă valoarea funcției, ai de rezolvat o ecuație.

Exemplu rezolvat

Dacă f(x) = 3x + 1 și f(a) = 13, cât este a?

1.Înlocuim x cu a în formula funcției: f(a) = 3a + 1.
2.Punem condiția din enunț: 3a + 1 = 13, deci 3a = 12.
3.Rezultă a = 4.

Domeniul de definiție

Domeniul de definiție cuprinde toate valorile pentru care formula funcției are sens. Dacă funcția conține o fracție, valorile care anulează numitorul sunt excluse.

Pentru f(x) = 1 : (x − 2), valoarea x = 2 este exclusă, fiindcă ar da împărțire la 0. Domeniul este ℝ \ {2}.

Dacă funcția conține un radical de ordinul 2, expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu 0.

numitorul ≠ 0

f(x) = 1x − 2 ⇒ x ≠ 2

sub radical: expresia ≥ 0

Caută numitorii și radicalii: ei restrâng domeniul.
Rezolvă o ecuație pentru a afla ce valoare anulează numitorul.

Exemplu rezolvat

Care valoare este exclusă din domeniul lui f(x) = 5 : (x + 3)?

1.Numitorul nu poate fi 0, deci punem condiția x + 3 ≠ 0.
2.Rezolvăm ecuația x + 3 = 0, care dă x = −3.
3.Deci valoarea exclusă este −3.

Compunerea funcțiilor

Compunerea (f ∘ g)(x) înseamnă f(g(x)): calculezi mai întâi funcția din interior, apoi aplici funcția din exterior rezultatului.

Exemplu: pentru f(x) = x + 2 și g(x) = 3x, avem (f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(6) = 8.

Ordinea contează: (g ∘ f)(x) nu este, în general, același lucru cu (f ∘ g)(x). Pentru aceleași funcții, (g ∘ f)(2) = g(4) = 12.

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

(f ∘ g)(2) = f(6) = 8

(f ∘ g) ≠ (g ∘ f), în general

Se calculează dinspre interior spre exterior.
Scrie explicit valoarea intermediară: așa nu încurci ordinea.

Exemplu rezolvat

Dacă f(x) = 2x și g(x) = x − 1, calculează (g ∘ f)(5).

1.Funcția din interior este f, deci calculăm întâi f(5) = 10.
2.Aplicăm apoi g rezultatului: g(10) = 10 − 1.
3.Deci (g ∘ f)(5) = 9.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce condiție trebuie îndeplinită pentru ca o corespondență să fie funcție?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecărui element din domeniu trebuie să-i corespundă exact un element din codomeniu.
Ex. 2Dificultate redusă
Se dă f: {1, 2, 3} → ℝ, f(x) = x + 7. Calculează f(1), f(2), f(3).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(1) = 8, f(2) = 9, f(3) = 10
Ex. 3Dificultate redusă
Ce reprezintă codomeniul unei funcții?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mulțimea în care funcția ia valori (în care se află imaginile).
Ex. 4Dificultate redusă
Se dă f(x) = 4x. Calculează imaginea funcției, pentru domeniul {1, 2, 3}.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Im f = {4, 8, 12}
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă că o funcție este surjectivă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare element din codomeniu este imaginea a cel puțin unui element din domeniu (Im f = codomeniul).
Ex. 6Dificultate medie
Se dă f: {1, 2, 3, 4} → {4, 6, 8, 10}, f(x) = 2x + 2. Calculează imaginea funcției, apoi verifică dacă este surjectivă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Im f = {4, 6, 8, 10}, egală cu codomeniul, deci funcția este surjectivă.
Ex. 7Dificultate medie
Este corespondența care asociază fiecărui pasager numărul locului din avion o funcție? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: fiecărui pasager îi corespunde exact un loc.
Ex. 8Dificultate medie
Este corespondența care asociază fiecărui loc din avion un pasager o funcție validă din perspectiva locurilor libere? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: locurile libere nu au niciun pasager asociat, deci corespondența nu este definită pe toate locurile.
Ex. 9Dificultate medie
Se dă f(x) = x², cu domeniul {−3, −1, 0, 1, 3}. Calculează imaginea funcției, apoi verifică dacă este injectivă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Im f = {0, 1, 9}. Nu este injectivă: f(−3) = f(3) = 9.
Ex. 10Dificultate medie
Ce înseamnă că o funcție este injectivă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Elemente diferite din domeniu au imagini diferite.
Ex. 11Dificultate ridicată
Se dă f: {1, 2, 3, 4, 5} → {3, 6, 9, 12, 15}, f(x) = 3x. Verifică dacă funcția este bijectivă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: imaginile 3, 6, 9, 12, 15 sunt distincte (injectivă) și acoperă tot codomeniul (surjectivă).
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 1. Demonstrează că funcția este injectivă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dacă f(a) = f(b), atunci 4a + 1 = 4b + 1, deci a = b: funcția este injectivă.
Ex. 13Dificultate ridicată
O funcție f: {a, b, c} → {1, 2, 3, 4} este definită astfel: f(a)=2, f(b)=2, f(c)=4. Este aceasta o funcție validă? Este injectivă? Justifică ambele răspunsuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este funcție validă: fiecare element din {a, b, c} are o singură imagine. Nu este injectivă: a ≠ b, dar f(a) = f(b) = 2.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă f(x) = x² − 9, cu domeniul {−4, −3, 0, 3, 4}. Calculează imaginea funcției, apoi identifică toate perechile de elemente din domeniu care au aceeași imagine.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Imaginile: f(−4) = 7, f(−3) = 0, f(0) = −9, f(3) = 0, f(4) = 7, deci Im f = {−9, 0, 7}. Perechile cu aceeași imagine: −4 și 4, −3 și 3.
Ex. 15Dificultate ridicată
O corespondență asociază fiecărei persoane numărul ei de telefon principal. Este aceasta o funcție? Justifică, ținând cont dacă o persoană poate avea 0, 1 sau mai multe numere principale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este funcție doar dacă fiecare persoană are exact un număr principal. Dacă cineva nu are niciunul sau are mai multe, corespondența nu mai este funcție.
Ex. 16Excelență
Se dă f: ℝ → ℝ, f(x) = x³. Demonstrează că funcția este injectivă (folosind faptul că, dacă a³ = b³ pentru numere reale, atunci a = b), apoi argumentează dacă este și surjectivă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Din a³ = b³ rezultă (a − b)(a² + ab + b²) = 0, iar a doua paranteză este pozitivă dacă a și b nu sunt ambele 0, deci a = b: f este injectivă. Este și surjectivă: pentru orice y real, x = ∛y are f(x) = y.
Ex. 17Excelență
Se dau funcțiile f: {1,2,3} → {1,2,3}, cu f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1. Verifică dacă f este bijectivă, apoi determină funcția inversă (corespondența care "anulează" efectul lui f).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: imaginile 2, 3, 1 sunt distincte și acoperă {1, 2, 3}. Inversa: f⁻¹(1) = 3, f⁻¹(2) = 1, f⁻¹(3) = 2.
Ex. 18Excelență
O funcție f: A → B are |A| = 5 elemente și |B| = 3 elemente. Explică, folosind principiul cutiei (dacă mai multe elemente sunt "plasate" în mai puține "cutii", cel puțin 2 trebuie să coincidă), de ce o astfel de funcție NU poate fi injectivă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cele 5 elemente din A trebuie să primească imagini dintre doar 3 elemente ale lui B, deci cel puțin două elemente diferite au aceeași imagine. Funcția nu poate fi injectivă.
Ex. 19Excelență
Se dă f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a ≠ 0. Demonstrează, în general, că orice funcție de această formă este bijectivă .
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Injectivă: ax₁ + b = ax₂ + b dă a(x₁ − x₂) = 0, iar a ≠ 0, deci x₁ = x₂. Surjectivă: pentru orice y, x = y − ba are f(x) = y. Deci este bijectivă.
Ex. 20Excelență
Se dă o funcție f: {1,2,3,4} → {1,2,3,4}, care este bijectivă. Câte astfel de funcții bijective diferite pot exista? (Indiciu: gândește-te la câte opțiuni ai pentru imaginea lui 1, apoi câte rămân pentru imaginea lui 2, și așa mai departe — folosește conceptul de produs al posibilităților, similar cu ideea de aranjamente.)
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 3 × 2 × 1 = 24 de funcții bijective.