Încărcăm partea curentă…

Funcții

Definiția riguroasă a unei funcții

O funcție f definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B este o corespondență prin care fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B. Se scrie f: A → B, unde A se numește domeniu de definiție, iar B codomeniu.

Condiția esențială este „exact unul”: nu zero, nu mai multe. De aceea o asociere în care 1 → a și tot 1 → b nu este funcție.

Exemplu: f(x) = x2 este funcție, fiindcă orice x are un singur pătrat. În schimb, corespondența care asociază lui x numărul y cu y2 = x nu este funcție: pentru x = 4 ar rezulta și 2, și −2.

De ținut minte

f: A → B
fiecare element din A are exact o imagine
  • Un element din domeniu nu poate avea două imagini.
  • Este permis ca două elemente diferite să aibă aceeași imagine.

Exemplu rezolvat

Care asociere NU este funcție definită pe A = {1, 2, 3}: 1 → a, 1 → b, 2 → c, 3 → a?

  1. 1Verificăm dacă fiecare element din A are exact o imagine.
  2. 2Elementul 1 apare de două ori, cu imaginile a și b.
  3. 3Având două imagini, asocierea nu este funcție.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O funcție asociază fiecărui element din domeniu exact o valoare. Putem descrie funcția prin formulă, tabel sau grafic și putem calcula funcția compusă aplicând funcțiile în ordinea corectă.

Definiția riguroasă a unei funcții

O funcție f definită pe mulțimea A cu valori în mulțimea B este o corespondență prin care fiecărui element din A îi corespunde exact un element din B. Se scrie f: A → B, unde A se numește domeniu de definiție, iar B codomeniu.

Condiția esențială este „exact unul”: nu zero, nu mai multe. De aceea o asociere în care 1 → a și tot 1 → b nu este funcție.

Exemplu: f(x) = x2 este funcție, fiindcă orice x are un singur pătrat. În schimb, corespondența care asociază lui x numărul y cu y2 = x nu este funcție: pentru x = 4 ar rezulta și 2, și −2.

  • f: A → B
  • fiecare element din A are exact o imagine
  • Un element din domeniu nu poate avea două imagini.
  • Este permis ca două elemente diferite să aibă aceeași imagine.

Exemplu rezolvat

Care asociere NU este funcție definită pe A = {1, 2, 3}: 1 → a, 1 → b, 2 → c, 3 → a?

  1. Verificăm dacă fiecare element din A are exact o imagine.
  2. Elementul 1 apare de două ori, cu imaginile a și b.
  3. Având două imagini, asocierea nu este funcție.

Calculul valorilor unei funcții

Valoarea unei funcții într-un punct se obține înlocuind variabila cu numărul dat: pentru f(x) = 3x − 2, avem f(4) = 3 × 4 − 2 = 10.

La numere negative, ai grijă la paranteze: pentru f(x) = x2, f(−3) = (−3)2 = 9, iar pentru f(x) = x2 − 1, f(−2) = 4 − 1 = 3.

Problema poate fi pusă și invers: dacă f(x) = 3x + 1 și f(a) = 13, scrii ecuația 3a + 1 = 13 și afli a = 4.

  • f(x) = 3x − 2 ⇒ f(4) = 10
  • f(−3) = (−3)2 = 9
  • f(a) = 13 ⇒ 3a + 1 = 13
  • Pune numărul negativ în paranteză înainte de a-l ridica la pătrat.
  • Când se dă valoarea funcției, ai de rezolvat o ecuație.

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = 4x − 3 are f(a) = 25. Află a.

  1. 4a − 3 = 25.
  2. 4a = 28, deci a = 7.
  3. Verificare: f(7) = 28 − 3 = 25.

Domeniul de definiție

Domeniul de definiție cuprinde toate valorile pentru care formula funcției are sens. Dacă funcția conține o fracție, valorile care anulează numitorul sunt excluse.

Pentru f(x) = 1 : (x − 2), valoarea x = 2 este exclusă, fiindcă ar da împărțire la 0. Domeniul este ℝ \ {2}.

Dacă funcția conține un radical de ordinul 2, expresia de sub radical trebuie să fie mai mare sau egală cu 0.

  • numitorul ≠ 0
  • f(x) = 1x − 2 ⇒ x ≠ 2
  • sub radical: expresia ≥ 0
  • Caută numitorii și radicalii: ei restrâng domeniul.
  • Rezolvă o ecuație pentru a afla ce valoare anulează numitorul.

Exemplu rezolvat

Care valoare este exclusă din domeniul lui f(x) = 5 : (x + 3)?

  1. Numitorul nu poate fi 0, deci punem condiția x + 3 ≠ 0.
  2. Rezolvăm ecuația x + 3 = 0, care dă x = −3.
  3. Deci valoarea exclusă este −3.

Compunerea funcțiilor

Compunerea (f ∘ g)(x) înseamnă f(g(x)): calculezi mai întâi funcția din interior, apoi aplici funcția din exterior rezultatului.

Exemplu: pentru f(x) = x + 2 și g(x) = 3x, avem (f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(6) = 8.

Ordinea contează: (g ∘ f)(x) nu este, în general, același lucru cu (f ∘ g)(x). Pentru aceleași funcții, (g ∘ f)(2) = g(4) = 12.

  • (f ∘ g)(x) = f(g(x))
  • (f ∘ g)(2) = f(6) = 8
  • (f ∘ g) ≠ (g ∘ f), în general
  • Se calculează dinspre interior spre exterior.
  • Scrie explicit valoarea intermediară: așa nu încurci ordinea.

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = 3x și g(x) = x + 2. Calculează g(f(4)).

  1. Aplicăm mai întâi funcția din interior: f(4) = 12.
  2. Apoi aplicăm g: g(12) = 14.
  3. Rezultatul este 14; ordinea funcțiilor contează.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f(x) = 3x − 2, calculează f(4).

    Vezi rezolvarea
    1. f(4) = 3 · 4 − 2 = 10.

    Răspuns: 10

  2. Exercițiul 2

    Care valoare este exclusă din domeniul lui f(x) = 1x − 2?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru x = 2, numitorul devine zero.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    O asociere este funcție dacă...

    Vezi rezolvarea
    1. Aceasta este condiția definitorie a unei funcții.

    Răspuns: fiecărui element din domeniu îi corespunde exact o valoare

  4. Exercițiul 4

    Dacă f(x) = x + 2 și g(x) = 3x, calculează (f ∘ g)(2).

    Vezi rezolvarea
    1. g(2) = 6, apoi f(6) = 6 + 2 = 8.

    Răspuns: 8

  5. Exercițiul 5

    Dacă f(x) = x2, calculează f(−3).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−3) = (−3)2 = 9.

    Răspuns: 9

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = −2x + 7, calculează f(3).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3) = −2 · 3 + 7.
    2. −6 + 7 = 1.
    3. f(3) = 1.

    Răspuns: 1

  7. Exercițiul 7

    Pentru f(x) = x2 − 1, calculează f(−2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−2) = (−2)2 − 1.
    2. 4 − 1 = 3.
    3. f(−2) = 3.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    Care valoare este exclusă din domeniul lui f(x) = 5x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. x + 3 = 0.
    2. x = −3.
    3. −3 este exclus din domeniu.

    Răspuns: −3

  9. Exercițiul 9

    Care asociere NU este funcție definită pe A = {1, 2, 3}?

    Vezi rezolvarea
    1. În prima asociere, 1 are două imagini: a și b.
    2. Celelalte dau fiecărui element exact o imagine (imagini repetate sunt permise).
    3. Prima asociere nu este funcție.

    Răspuns: 1 → a, 1 → b, 2 → c, 3 → a

  10. Exercițiul 10

    Dacă f(x) = 3x + 1 și f(a) = 13, cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. 3a + 1 = 13.
    2. 3a = 12.
    3. a = 4.

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Dacă f(x) = 2x și g(x) = x − 1, calculează (g ∘ f)(5).

    Vezi rezolvarea
    1. f(5) = 10.
    2. g(10) = 10 − 1.
    3. (g ∘ f)(5) = 9.

    Răspuns: 9

  12. Exercițiul 12

    Dacă f(x) = x + 4 și g(x) = x2, calculează (f ∘ g)(3) − (g ∘ f)(−1).

    Vezi rezolvarea
    1. (f ∘ g)(3) = f(9) = 13.
    2. (g ∘ f)(−1) = g(3) = 9.
    3. 13 − 9 = 4.

    Răspuns: 4

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Ce condiție trebuie îndeplinită pentru ca o corespondență să fie funcție?

    Vezi răspunsul

    Fiecărui element din domeniu trebuie să-i corespundă exact un element din codomeniu.

  2. 2. Dificultate redusă

    Se dă f: {1, 2, 3} → ℝ, f(x) = x + 7. Calculează f(1), f(2), f(3).

    Vezi răspunsul

    f(1) = 8, f(2) = 9, f(3) = 10

  3. 3. Dificultate redusă

    Ce reprezintă codomeniul unei funcții?

    Vezi răspunsul

    Mulțimea în care funcția ia valori (în care se află imaginile).

  4. 4. Dificultate redusă

    Se dă f(x) = 4x. Calculează imaginea funcției, pentru domeniul {1, 2, 3}.

    Vezi răspunsul

    Im f = {4, 8, 12}

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce înseamnă că o funcție este surjectivă?

    Vezi răspunsul

    Fiecare element din codomeniu este imaginea a cel puțin unui element din domeniu (Im f = codomeniul).

  6. 6. Dificultate medie

    Se dă f: {1, 2, 3, 4} → {4, 6, 8, 10}, f(x) = 2x + 2. Calculează imaginea funcției, apoi verifică dacă este surjectivă.

    Vezi răspunsul

    Im f = {4, 6, 8, 10}, egală cu codomeniul, deci funcția este surjectivă.

  7. 7. Dificultate medie

    Este corespondența care asociază fiecărui pasager numărul locului din avion o funcție? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Da: fiecărui pasager îi corespunde exact un loc.

  8. 8. Dificultate medie

    Este corespondența care asociază fiecărui loc din avion un pasager o funcție validă din perspectiva locurilor libere? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Nu: locurile libere nu au niciun pasager asociat, deci corespondența nu este definită pe toate locurile.

  9. 9. Dificultate medie

    Se dă f(x) = x2, cu domeniul {−3, −1, 0, 1, 3}. Calculează imaginea funcției, apoi verifică dacă este injectivă.

    Vezi răspunsul

    Im f = {0, 1, 9}. Nu este injectivă: f(−3) = f(3) = 9.

  10. 10. Dificultate medie

    Ce înseamnă că o funcție este injectivă?

    Vezi răspunsul

    Elemente diferite din domeniu au imagini diferite.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Se dă f: {1, 2, 3, 4, 5} → {3, 6, 9, 12, 15}, f(x) = 3x. Verifică dacă funcția este bijectivă.

    Vezi răspunsul

    Da: imaginile 3, 6, 9, 12, 15 sunt distincte (injectivă) și acoperă tot codomeniul (surjectivă).

  12. 12. Dificultate ridicată

    Se dă f: ℝ → ℝ, f(x) = 4x + 1. Demonstrează că funcția este injectivă.

    Vezi răspunsul

    Dacă f(a) = f(b), atunci 4a + 1 = 4b + 1, deci a = b: funcția este injectivă.

  13. 13. Dificultate ridicată

    O funcție f: {a, b, c} → {1, 2, 3, 4} este definită astfel: f(a)=2, f(b)=2, f(c)=4. Este aceasta o funcție validă? Este injectivă? Justifică ambele răspunsuri.

    Vezi răspunsul

    Este funcție validă: fiecare element din {a, b, c} are o singură imagine. Nu este injectivă: a ≠ b, dar f(a) = f(b) = 2.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Se dă f(x) = x2 − 9, cu domeniul {−4, −3, 0, 3, 4}. Calculează imaginea funcției, apoi identifică toate perechile de elemente din domeniu care au aceeași imagine.

    Vezi răspunsul

    Imaginile: f(−4) = 7, f(−3) = 0, f(0) = −9, f(3) = 0, f(4) = 7, deci Im f = {−9, 0, 7}. Perechile cu aceeași imagine: −4 și 4, −3 și 3.

  15. 15. Dificultate ridicată

    O corespondență asociază fiecărei persoane numărul ei de telefon principal. Este aceasta o funcție? Justifică, ținând cont dacă o persoană poate avea 0, 1 sau mai multe numere principale.

    Vezi răspunsul

    Este funcție doar dacă fiecare persoană are exact un număr principal. Dacă cineva nu are niciunul sau are mai multe, corespondența nu mai este funcție.

  16. 16. Excelență

    Se dă f: ℝ → ℝ, f(x) = x3. Demonstrează că funcția este injectivă (folosind faptul că, dacă a3 = b3 pentru numere reale, atunci a = b), apoi argumentează dacă este și surjectivă.

    Vezi răspunsul

    Din a3 = b3 rezultă (a − b)(a2 + ab + b2) = 0, iar a doua paranteză este pozitivă dacă a și b nu sunt ambele 0, deci a = b: f este injectivă. Este și surjectivă: pentru orice y real, x = ∛y are f(x) = y.

  17. 17. Excelență

    Se dau funcțiile f: {1,2,3} → {1,2,3}, cu f(1)=2, f(2)=3, f(3)=1. Verifică dacă f este bijectivă, apoi determină funcția inversă (corespondența care "anulează" efectul lui f).

    Vezi răspunsul

    Da: imaginile 2, 3, 1 sunt distincte și acoperă {1, 2, 3}. Inversa: f−1(1) = 3, f−1(2) = 1, f−1(3) = 2.

  18. 18. Excelență

    O funcție f: A → B are |A| = 5 elemente și |B| = 3 elemente. Explică, folosind principiul cutiei (dacă mai multe elemente sunt "plasate" în mai puține "cutii", cel puțin 2 trebuie să coincidă), de ce o astfel de funcție NU poate fi injectivă.

    Vezi răspunsul

    Cele 5 elemente din A trebuie să primească imagini dintre doar 3 elemente ale lui B, deci cel puțin două elemente diferite au aceeași imagine. Funcția nu poate fi injectivă.

  19. 19. Excelență

    Se dă f: ℝ → ℝ, f(x) = ax + b, unde a ≠ 0. Demonstrează, în general, că orice funcție de această formă este bijectivă .

    Vezi răspunsul

    Injectivă: ax1 + b = ax2 + b dă a(x1 − x2) = 0, iar a ≠ 0, deci x1 = x2. Surjectivă: pentru orice y, x = y − ba are f(x) = y. Deci este bijectivă.

  20. 20. Excelență

    Se dă o funcție f: {1,2,3,4} → {1,2,3,4}, care este bijectivă. Câte astfel de funcții bijective diferite pot exista? (Indiciu: gândește-te la câte opțiuni ai pentru imaginea lui 1, apoi câte rămân pentru imaginea lui 2, și așa mai departe — folosește conceptul de produs al posibilităților, similar cu ideea de aranjamente.)

    Vezi răspunsul

    4 × 3 × 2 × 1 = 24 de funcții bijective.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.