Funcția de gradul al II-lea

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Forma generală și orientarea parabolei

O funcție de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, cu a, b, c numere reale și a ≠ 0. Graficul ei se numește parabolă.

Semnul lui a decide orientarea: dacă a > 0, parabola este deschisă în sus și are un punct de minim; dacă a < 0, este deschisă în jos și are un punct de maxim.

Intersecția cu axa Oy se citește direct: pentru x = 0 rezultă f(0) = c, deci punctul este (0, c).

De ținut minte

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

a > 0: deschidere în sus

intersecția cu Oy: (0, c)

Coeficientul a nu poate fi 0, altfel funcția ar fi de gradul I.
Termenul liber c este ordonata punctului de intersecție cu Oy.

Exemplu rezolvat

În ce punct intersectează parabola f(x) = 2x² − 3x + 7 axa Oy?

1Intersecția cu Oy are loc pentru x = 0.
2Calculăm f(0) = 2 × 0 − 3 × 0 + 7.
3Deci punctul este (0, 7), iar ordonata este 7.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcția de gradul al II-lea: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Graficul funcției f(x) = ax² + bx + c este o parabolă. Semnul lui a arată orientarea, discriminantul determină numărul rădăcinilor, iar vârful și axa de simetrie descriu poziția parabolei.

Forma generală și orientarea parabolei

O funcție de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, cu a, b, c numere reale și a ≠ 0. Graficul ei se numește parabolă.

Semnul lui a decide orientarea: dacă a > 0, parabola este deschisă în sus și are un punct de minim; dacă a < 0, este deschisă în jos și are un punct de maxim.

Intersecția cu axa Oy se citește direct: pentru x = 0 rezultă f(0) = c, deci punctul este (0, c).

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0
a > 0: deschidere în sus
intersecția cu Oy: (0, c)

Coeficientul a nu poate fi 0, altfel funcția ar fi de gradul I.
Termenul liber c este ordonata punctului de intersecție cu Oy.

Exemplu rezolvat

În ce punct intersectează parabola f(x) = 2x² − 3x + 7 axa Oy?

Intersecția cu Oy are loc pentru x = 0.
Calculăm f(0) = 2 × 0 − 3 × 0 + 7.
Deci punctul este (0, 7), iar ordonata este 7.

Discriminantul și rădăcinile

Discriminantul se calculează cu Δ = b² − 4ac și arată câte soluții are ecuația ax² + bx + c = 0, adică în câte puncte taie parabola axa Ox.

Dacă Δ > 0, sunt două rădăcini distincte; dacă Δ = 0, una singură, adică parabola atinge axa; dacă Δ < 0, nicio rădăcină reală, deci parabola nu atinge axa Ox.

Rădăcinile se calculează cu formula x₁,₂ = (−b ± √Δ) : (2a). La ecuații simple le poți ghici cu relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este −b : a, iar produsul c : a.

Δ = b² − 4ac
x₁,₂ = (−b ± √Δ) : (2a)
x₁ + x₂ = −b : a, x₁ × x₂ = c : a

Δ < 0 înseamnă că graficul nu intersectează deloc axa Ox.
Pentru x² − 5x + 6, rădăcinile 2 și 3 se văd din sumă și produs.

Exemplu rezolvat · alte date

Câte intersecții cu Ox are y = x² − 4x + 7?

a = 1, b = −4, c = 7.
Δ = 16 − 28 = −12 < 0.
Nu există rădăcini reale, deci 0 intersecții cu Ox.

Axa de simetrie și vârful parabolei

Parabola este simetrică față de o dreaptă verticală, numită axă de simetrie, de ecuație x = −b : (2a).

Punctul în care parabola își atinge extremul se numește vârf și are coordonatele x_v = −b : (2a) și y_v = f(x_v). Se poate calcula și cu y_v = −Δ : (4a).

Pentru f(x) = x² − 4x + 3: x_v = 4 : 2 = 2, iar y_v = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, deci vârful este V(2, −1).

axa de simetrie: x = −b : (2a)
x_v = −b : (2a)
y_v = f(x_v) = −Δ : (4a)

Vârful este minim dacă a > 0 și maxim dacă a < 0.
Abscisa vârfului este exact mijlocul dintre cele două rădăcini, când există.

Exemplu rezolvat · alte date

Află vârful lui y = x² − 8x + 19.

x_V = −b2a = 82 = 4.
y_V = 16 − 32 + 19 = 3.
V(4, 3); verificare: funcția este (x − 4)² + 3.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Cum este orientată parabola f(x) = 2x² − 3x + 1?
Vezi rezolvarea
1. a = 2 > 0, deci parabola este deschisă în sus.
Răspuns: Cu deschiderea în sus
Exercițiul 2
Calculează discriminantul ecuației x² − 5x + 6 = 0.
Vezi rezolvarea
1. Δ = 25 − 24 = 1.
Răspuns: 1
Exercițiul 3
Care sunt rădăcinile lui x² − 5x + 6?
Vezi rezolvarea
1. x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), deci rădăcinile sunt 2 și 3.
Răspuns: 2 și 3
Exercițiul 4
Care este axa de simetrie a parabolei f(x) = x² − 6x + 5? Scrie valoarea lui x.
Vezi rezolvarea
1. x = 62 = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 5
Care este vârful parabolei f(x) = x² − 4x + 3?
Vezi rezolvarea
1. x_v = 2, iar f(2) = 4 − 8 + 3 = −1.
Răspuns: V(2, −1)
Exercițiul 6
Cum este orientată parabola f(x) = −x² + 4x − 1?
Vezi rezolvarea
1. a = −1.
2. a < 0.
3. Parabola are deschiderea în jos.
Răspuns: Cu deschiderea în jos
Exercițiul 7
Calculează discriminantul ecuației x² − 4x + 4 = 0.
Vezi rezolvarea
1. a = 1, b = −4, c = 4.
2. Δ = 16 − 16.
3. Δ = 0.
Răspuns: 0
Exercițiul 8
Câte puncte comune are graficul lui f(x) = x² + 2x + 5 cu axa Ox?
Vezi rezolvarea
1. Δ = 4 − 20 = −16.
2. Δ < 0, deci ecuația f(x) = 0 nu are soluții reale.
3. Graficul nu intersectează axa Ox.
Răspuns: niciunul
Exercițiul 9
În ce punct intersectează parabola f(x) = 2x² − 3x + 7 axa Oy? Scrie ordonata.
Vezi rezolvarea
1. f(0) = 2 · 0 − 3 · 0 + 7.
2. f(0) = 7.
3. Punctul este (0, 7).
Răspuns: 7
Exercițiul 10
Care sunt rădăcinile ecuației x² − 7x + 10 = 0?
Vezi rezolvarea
1. Δ = 49 − 40 = 9, deci √Δ = 3.
2. x = 7 ± 32.
3. Rădăcinile sunt 5 și 2.
Răspuns: 2 și 5
Exercițiul 11
Care este axa de simetrie a parabolei f(x) = 2x² + 8x − 1? Scrie valoarea lui x.
Vezi rezolvarea
1. a = 2, b = 8.
2. x = −84.
3. Axa de simetrie este x = −2.
Răspuns: −2
Exercițiul 12
Care este vârful parabolei f(x) = x² + 2x − 3?
Vezi rezolvarea
1. x_v = −22 = −1.
2. f(−1) = 1 − 2 − 3 = −4.
3. V(−1, −4).
Răspuns: V(−1, −4)

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Se dă f(x) = x² − 8x + 15. Identifică valorile lui a, b, c.
Vezi răspunsul
a = 1, b = −8, c = 15
2. Dificultate redusă
Calculează discriminantul ecuației x² − 7x + 10 = 0.
Vezi răspunsul
Δ = 49 − 40 = 9
3. Dificultate redusă
Rezolvă ecuația x² − 16 = 0.
Vezi răspunsul
x² = 16, deci x = 4 sau x = −4.
4. Dificultate redusă
Se dă f(x) = x² − 4x + 4. Calculează coordonata xV a vârfului.
Vezi răspunsul
xV = −b2a = 42 = 2
5. Dificultate redusă
Este parabola funcției f(x) = −3x² + 2x orientată în sus sau în jos?
Vezi răspunsul
În jos: a = −3 < 0.
6. Dificultate medie
Rezolvă ecuația x² − 9x + 20 = 0, folosind discriminantul.
Vezi răspunsul
Δ = 81 − 80 = 1, deci x = 9 ± 12: x = 4 sau x = 5.
7. Dificultate medie
Calculează coordonatele vârfului parabolei pentru f(x) = x² − 8x + 7.
Vezi răspunsul
xV = 82 = 4, yV = 16 − 32 + 7 = −9: V(4, −9).
8. Dificultate medie
Rezolvă ecuația 3x² − 27 = 0.
Vezi răspunsul
x² = 9, deci x = 3 sau x = −3.
9. Dificultate medie
Descompune expresia x² − 4x − 12, folosind rădăcinile ecuației x²−4x−12=0.
Vezi răspunsul
Rădăcinile sunt 6 și −2, deci x² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2).
10. Dificultate medie
Stabilește câte soluții reale are ecuația x² − 2x + 3 = 0, calculând discriminantul.
Vezi răspunsul
Δ = 4 − 12 = −8 < 0: ecuația nu are soluții reale.
11. Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația 3x² − 7x + 2 = 0, folosind discriminantul.
Vezi răspunsul
Δ = 49 − 24 = 25, deci x = 7 ± 56: x = 2 sau x = 13.
12. Dificultate ridicată
Se dă f(x) = x² − 6x − 7. Calculează rădăcinile, vârful, apoi stabilește semnul funcției pe intervale.
Vezi răspunsul
Δ = 36 + 28 = 64, deci rădăcinile sunt 7 și −1. Vârful: V(3, −16). f > 0 pe (−∞, −1) și pe (7, +∞), iar f < 0 pe (−1, 7).
13. Dificultate ridicată
Determină valoarea lui m pentru care ecuația x² − 6x + m = 0 are o soluție dublă.
Vezi răspunsul
Soluție dublă înseamnă Δ = 0: 36 − 4m = 0, deci m = 9.
14. Dificultate ridicată
Un obiect este aruncat vertical, iar înălțimea lui, în funcție de timp, este dată de h(t) = −5t² + 30t. Calculează momentul în care obiectul atinge înălțimea maximă.
Vezi răspunsul
La t = −302 × (−5) = 3 secunde (înălțimea maximă este h(3) = 45).
15. Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația x² + 8x + 16 = 0, observând legătura cu formula pătratului unei sume.
Vezi răspunsul
(x + 4)² = 0, deci x = −4 (soluție dublă).
16. Excelență
Se dă f(x) = x² − 2x + m. Determină valorile lui m pentru care ecuația f(x)=0 are 2 soluții reale distincte (Δ>0).
Vezi răspunsul
Δ = 4 − 4m > 0, deci m < 1.
17. Excelență
Suma rădăcinilor unei ecuații de gradul II este 7, iar produsul lor este 12 (relațiile lui Viète: x₁+x₂=−ba, x₁×x₂=ca). Scrie ecuația de gradul II corespunzătoare, presupunând a=1.
Vezi răspunsul
x² − 7x + 12 = 0
18. Excelență
Un teren dreptunghiular are aria de 60 m², iar perimetrul de 32 m. Notează lungimea și lățimea ca x și (16−x), scrie ecuația x×(16−x)=60, transformă-o în formă standard, apoi rezolv-o pentru a afla dimensiunile.
Vezi răspunsul
x² − 16x + 60 = 0, cu soluțiile 10 și 6: dimensiunile sunt 10 m și 6 m.
19. Excelență
Se dă f(x) = x² − 4x − 5. Calculează valoarea minimă a funcției (yV), apoi determină pentru ce valori ale lui x funcția are valori mai mici sau egale cu 0 (folosind rădăcinile deja cunoscute din exercițiile anterioare, dacă le-ai calculat, sau recalculează).
Vezi răspunsul
Δ = 16 + 20 = 36, deci yV = −364 = −9 (la x = 2). Rădăcinile sunt −1 și 5, deci f(x) ≤ 0 pentru x ∈ [−1, 5].
20. Excelență
Un profit lunar al unei firme este exprimat prin funcția P(x) = −2x² + 40x − 150, unde x este numărul de produse vândute (în sute de bucăți). Calculează numărul de produse pentru care profitul este maxim, apoi calculează valoarea profitului maxim.
Vezi răspunsul
xV = −402 × (−2) = 10, adică 1.000 de produse. Profitul maxim: P(10) = −200 + 400 − 150 = 50.