Funcția de gradul al II-lea

Graficul funcției f(x) = ax² + bx + c este o parabolă. Semnul lui a arată orientarea, discriminantul determină numărul rădăcinilor, iar vârful și axa de simetrie descriu poziția parabolei.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Forma generală și orientarea parabolei

O funcție de gradul al II-lea are forma f(x) = ax² + bx + c, cu a, b, c numere reale și a ≠ 0. Graficul ei se numește parabolă.

Semnul lui a decide orientarea: dacă a > 0, parabola este deschisă în sus și are un punct de minim; dacă a < 0, este deschisă în jos și are un punct de maxim.

Intersecția cu axa Oy se citește direct: pentru x = 0 rezultă f(0) = c, deci punctul este (0, c).

f(x) = ax² + bx + c, a ≠ 0

a > 0: deschidere în sus

intersecția cu Oy: (0, c)

Coeficientul a nu poate fi 0, altfel funcția ar fi de gradul I.
Termenul liber c este ordonata punctului de intersecție cu Oy.

Exemplu rezolvat

În ce punct intersectează parabola f(x) = 2x² − 3x + 7 axa Oy?

1.Intersecția cu Oy are loc pentru x = 0.
2.Calculăm f(0) = 2 × 0 − 3 × 0 + 7.
3.Deci punctul este (0, 7), iar ordonata este 7.

Discriminantul și rădăcinile

Discriminantul se calculează cu Δ = b² − 4ac și arată câte soluții are ecuația ax² + bx + c = 0, adică în câte puncte taie parabola axa Ox.

Dacă Δ > 0, sunt două rădăcini distincte; dacă Δ = 0, una singură, adică parabola atinge axa; dacă Δ < 0, nicio rădăcină reală, deci parabola nu atinge axa Ox.

Rădăcinile se calculează cu formula x₁,₂ = (−b ± √Δ) : (2a). La ecuații simple le poți ghici cu relațiile lui Viète: suma rădăcinilor este −b : a, iar produsul c : a.

Δ = b² − 4ac

x₁,₂ = (−b ± √Δ) : (2a)

x₁ + x₂ = −b : a, x₁ × x₂ = c : a

Δ < 0 înseamnă că graficul nu intersectează deloc axa Ox.
Pentru x² − 5x + 6, rădăcinile 2 și 3 se văd din sumă și produs.

Exemplu rezolvat

Câte puncte comune are graficul lui f(x) = x² + 2x + 5 cu axa Ox?

1.Calculăm discriminantul: Δ = 2² − 4 × 1 × 5 = 4 − 20.
2.Obținem Δ = −16, valoare negativă.
3.Ecuația nu are rădăcini reale, deci graficul nu are niciun punct comun cu axa Ox.

Axa de simetrie și vârful parabolei

Parabola este simetrică față de o dreaptă verticală, numită axă de simetrie, de ecuație x = −b : (2a).

Punctul în care parabola își atinge extremul se numește vârf și are coordonatele x_v = −b : (2a) și y_v = f(x_v). Se poate calcula și cu y_v = −Δ : (4a).

Pentru f(x) = x² − 4x + 3: x_v = 4 : 2 = 2, iar y_v = f(2) = 4 − 8 + 3 = −1, deci vârful este V(2, −1).

axa de simetrie: x = −b : (2a)

x_v = −b : (2a)

y_v = f(x_v) = −Δ : (4a)

Vârful este minim dacă a > 0 și maxim dacă a < 0.
Abscisa vârfului este exact mijlocul dintre cele două rădăcini, când există.

Exemplu rezolvat

Care este vârful parabolei f(x) = x² + 2x − 3?

1.Calculăm abscisa vârfului: x_v = −2 : (2 × 1) = −1.
2.Calculăm ordonata: f(−1) = 1 − 2 − 3 = −4.
3.Vârful este V(−1, −4), iar parabola are un minim acolo.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Se dă f(x) = x² − 8x + 15. Identifică valorile lui a, b, c.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = 1, b = −8, c = 15
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează discriminantul ecuației x² − 7x + 10 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 49 − 40 = 9
Ex. 3Dificultate redusă
Rezolvă ecuația x² − 16 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² = 16, deci x = 4 sau x = −4.
Ex. 4Dificultate redusă
Se dă f(x) = x² − 4x + 4. Calculează coordonata xV a vârfului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xV = −b2a = 42 = 2
Ex. 5Dificultate redusă
Este parabola funcției f(x) = −3x² + 2x orientată în sus sau în jos?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În jos: a = −3 < 0.
Ex. 6Dificultate medie
Rezolvă ecuația x² − 9x + 20 = 0, folosind discriminantul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 81 − 80 = 1, deci x = 9 ± 12: x = 4 sau x = 5.
Ex. 7Dificultate medie
Calculează coordonatele vârfului parabolei pentru f(x) = x² − 8x + 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xV = 82 = 4, yV = 16 − 32 + 7 = −9: V(4, −9).
Ex. 8Dificultate medie
Rezolvă ecuația 3x² − 27 = 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² = 9, deci x = 3 sau x = −3.
Ex. 9Dificultate medie
Descompune expresia x² − 4x − 12, folosind rădăcinile ecuației x²−4x−12=0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Rădăcinile sunt 6 și −2, deci x² − 4x − 12 = (x − 6)(x + 2).
Ex. 10Dificultate medie
Stabilește câte soluții reale are ecuația x² − 2x + 3 = 0, calculând discriminantul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 4 − 12 = −8 < 0: ecuația nu are soluții reale.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația 3x² − 7x + 2 = 0, folosind discriminantul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 49 − 24 = 25, deci x = 7 ± 56: x = 2 sau x = 13.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă f(x) = x² − 6x − 7. Calculează rădăcinile, vârful, apoi stabilește semnul funcției pe intervale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 36 + 28 = 64, deci rădăcinile sunt 7 și −1. Vârful: V(3, −16). f > 0 pe (−∞, −1) și pe (7, +∞), iar f < 0 pe (−1, 7).
Ex. 13Dificultate ridicată
Determină valoarea lui m pentru care ecuația x² − 6x + m = 0 are o soluție dublă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Soluție dublă înseamnă Δ = 0: 36 − 4m = 0, deci m = 9.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un obiect este aruncat vertical, iar înălțimea lui, în funcție de timp, este dată de h(t) = −5t² + 30t. Calculează momentul în care obiectul atinge înălțimea maximă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
La t = −302 × (−5) = 3 secunde (înălțimea maximă este h(3) = 45).
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația x² + 8x + 16 = 0, observând legătura cu formula pătratului unei sume.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 4)² = 0, deci x = −4 (soluție dublă).
Ex. 16Excelență
Se dă f(x) = x² − 2x + m. Determină valorile lui m pentru care ecuația f(x)=0 are 2 soluții reale distincte (Δ>0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 4 − 4m > 0, deci m < 1.
Ex. 17Excelență
Suma rădăcinilor unei ecuații de gradul II este 7, iar produsul lor este 12 (relațiile lui Viète: x₁+x₂=−ba, x₁×x₂=ca). Scrie ecuația de gradul II corespunzătoare, presupunând a=1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 7x + 12 = 0
Ex. 18Excelență
Un teren dreptunghiular are aria de 60 m², iar perimetrul de 32 m. Notează lungimea și lățimea ca x și (16−x), scrie ecuația x×(16−x)=60, transformă-o în formă standard, apoi rezolv-o pentru a afla dimensiunile.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 16x + 60 = 0, cu soluțiile 10 și 6: dimensiunile sunt 10 m și 6 m.
Ex. 19Excelență
Se dă f(x) = x² − 4x − 5. Calculează valoarea minimă a funcției (yV), apoi determină pentru ce valori ale lui x funcția are valori mai mici sau egale cu 0 (folosind rădăcinile deja cunoscute din exercițiile anterioare, dacă le-ai calculat, sau recalculează).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Δ = 16 + 20 = 36, deci yV = −364 = −9 (la x = 2). Rădăcinile sunt −1 și 5, deci f(x) ≤ 0 pentru x ∈ [−1, 5].
Ex. 20Excelență
Un profit lunar al unei firme este exprimat prin funcția P(x) = −2x² + 40x − 150, unde x este numărul de produse vândute (în sute de bucăți). Calculează numărul de produse pentru care profitul este maxim, apoi calculează valoarea profitului maxim.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
xV = −402 × (−2) = 10, adică 1.000 de produse. Profitul maxim: P(10) = −200 + 400 − 150 = 50.