Încărcăm partea curentă…

Funcția de gradul I

Forma funcției și calculul valorilor

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, iar graficul ei este o dreaptă. Coeficientul a se numește pantă, iar b este ordonata la origine.

Valoarea funcției într-un punct se calculează înlocuind x: pentru f(x) = 2x − 5, avem f(3) = 6 − 5 = 1.

La numere negative, folosește parantezele: pentru f(x) = −x + 4, f(−2) = 2 + 4 = 6.

De ținut minte

f(x) = ax + b, a ≠ 0
f(3) = 2 × 3 − 5 = 1
  • Dacă a ar fi 0, funcția ar fi constantă, nu de gradul I.
  • Panta arată cu cât se schimbă y când x crește cu o unitate.

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = −3x + 8. Calculează f(−2).

  1. 1Înlocuim x cu −2.
  2. 2−3·(−2) + 8 = 6 + 8.
  3. 3f(−2) = 14.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcția de gradul I: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Graficul funcției f(x) = ax + b, cu a nenul, este o dreaptă. Coeficientul a controlează panta și monotonia, iar b este ordonata punctului în care dreapta taie axa Oy.

Forma funcției și calculul valorilor

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, iar graficul ei este o dreaptă. Coeficientul a se numește pantă, iar b este ordonata la origine.

Valoarea funcției într-un punct se calculează înlocuind x: pentru f(x) = 2x − 5, avem f(3) = 6 − 5 = 1.

La numere negative, folosește parantezele: pentru f(x) = −x + 4, f(−2) = 2 + 4 = 6.

  • f(x) = ax + b, a ≠ 0
  • f(3) = 2 × 3 − 5 = 1
  • Dacă a ar fi 0, funcția ar fi constantă, nu de gradul I.
  • Panta arată cu cât se schimbă y când x crește cu o unitate.

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = −3x + 8. Calculează f(−2).

  1. Înlocuim x cu −2.
  2. −3·(−2) + 8 = 6 + 8.
  3. f(−2) = 14.

Monotonia funcției

Monotonia arată dacă valorile funcției cresc sau scad pe măsură ce x crește, iar la funcția de gradul I decide semnul pantei.

Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare: pentru orice x1 < x2 avem f(x1) < f(x2). Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare.

Astfel, f(x) = 3x − 2 este crescătoare, iar f(x) = −2x + 5 este descrescătoare. Pe grafic, dreapta urcă, respectiv coboară, de la stânga la dreapta.

  • a > 0 ⇒ strict crescătoare
  • a < 0 ⇒ strict descrescătoare
  • Contează doar semnul lui a, nu și valoarea lui b.
  • O pantă fracționară pozitivă, ca 0,5, dă tot funcție crescătoare.

Exemplu rezolvat

Funcția f(x) = 0,5x − 3 este crescătoare sau descrescătoare?

  1. Identificăm panta: a = 0,5.
  2. Panta este pozitivă, deci valorile funcției cresc odată cu x.
  3. Funcția este strict crescătoare.

Intersecțiile graficului cu axele

Intersecția cu axa Oy se obține pentru x = 0 și este punctul (0, b), deci se citește direct din formulă.

Intersecția cu axa Ox se obține rezolvând ecuația f(x) = 0, adică ax + b = 0, de unde x = −b : a. Punctul este (−ba, 0).

Cele două puncte sunt suficiente pentru a trasa dreapta: pentru f(x) = −2x + 6, ele sunt (0, 6) și (3, 0).

  • intersecția cu Oy: (0, b)
  • intersecția cu Ox: x = −b : a
  • Ordonata la origine este termenul liber, fără niciun calcul.
  • Două puncte determină dreapta, deci desenul este gata.

Exemplu rezolvat

Unde taie axa Ox graficul lui f(x) = −2x + 10?

  1. Punem condiția f(x) = 0: −2x + 10 = 0.
  2. Mutăm termenii: 2x = 10.
  3. Rezultă x = 5, deci punctul este (5, 0).

Aflarea coeficienților și intersecția a două grafice

Dacă știi că un punct aparține graficului, înlocuiești coordonatele lui în formulă și obții o ecuație în coeficientul necunoscut.

Când se dau două puncte, panta se calculează cu a = (y2 − y1) : (x2 − x1), iar apoi b rezultă din oricare dintre puncte.

Punctul de intersecție a două grafice se află rezolvând ecuația f(x) = g(x): acolo cele două funcții au aceeași valoare.

  • a = (y2 − y1) : (x2 − x1)
  • f(x) = g(x) dă abscisa punctului de intersecție
  • Un punct de pe grafic dă o ecuație; două puncte dau panta.
  • La intersecția graficelor, egalezi expresiile funcțiilor.

Exemplu rezolvat · alte date

Află intersecția lui y = 3x + 1 cu y = −x + 13.

  1. În intersecție valorile y coincid: 3x + 1 = −x + 13.
  2. 4x = 12, deci x = 3.
  3. y = 10 în ambele formule; intersecția este (3, 10).

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f(x) = 2x − 5, calculează f(3).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3) = 6 − 5 = 1.

    Răspuns: 1

  2. Exercițiul 2

    Funcția f(x) = −3x + 1 este...

    Vezi rezolvarea
    1. a = −3 < 0, deci funcția este descrescătoare.

    Răspuns: descrescătoare

  3. Exercițiul 3

    Unde taie axa Ox graficul lui f(x) = 4x − 8? Scrie coordonata x.

    Vezi rezolvarea
    1. 4x − 8 = 0, deci x = 2.

    Răspuns: 2

  4. Exercițiul 4

    Care este ordonata la origine pentru f(x) = 7x + 4?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 4, deci dreapta taie Oy la 4.

    Răspuns: 4

  5. Exercițiul 5

    Care două puncte aparțin graficului lui f(x) = −2x + 6?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 6 și f(3) = 0.

    Răspuns: (0, 6) și (3, 0)

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = −x + 4, calculează f(−2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−2) = −(−2) + 4.
    2. 2 + 4 = 6.
    3. f(−2) = 6.

    Răspuns: 6

  7. Exercițiul 7

    Funcția f(x) = 0,5x − 3 este...

    Vezi rezolvarea
    1. a = 0,5.
    2. a > 0.
    3. Funcția este crescătoare.

    Răspuns: crescătoare

  8. Exercițiul 8

    Unde taie axa Ox graficul lui f(x) = −2x + 10? Scrie coordonata x.

    Vezi rezolvarea
    1. −2x + 10 = 0.
    2. −2x = −10.
    3. x = 5.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    Funcția f(x) = 3x + b are f(1) = 5. Cât este b?

    Vezi rezolvarea
    1. f(1) = 3 + b.
    2. 3 + b = 5.
    3. b = 2.

    Răspuns: 2

  10. Exercițiul 10

    Graficul lui f(x) = ax + b trece prin (0, 3) și (2, 7). Cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = b = 3.
    2. f(2) = 2a + 3 = 7.
    3. 2a = 4, deci a = 2.

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Punctul (−1, 5) aparține graficului funcției:

    Vezi rezolvarea
    1. −2 · (−1) + 3 = 2 + 3 = 5: da.
    2. Celelalte dau 1, 4 și −4.
    3. Punctul aparține graficului lui f(x) = −2x + 3.

    Răspuns: f(x) = −2x + 3

  12. Exercițiul 12

    Graficele funcțiilor f(x) = 2x − 1 și g(x) = −x + 5 se intersectează în punctul (x0, y0). Cât este x0?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x − 1 = −x + 5.
    2. 3x = 6.
    3. x0 = 2 (și y0 = 3).

    Răspuns: 2

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Se dă f(x) = 5x − 10. Este funcția crescătoare sau descrescătoare?

    Vezi răspunsul

    Crescătoare: a = 5 > 0.

  2. 2. Dificultate redusă

    Se dă f(x) = −3x + 9. Calculează intersecția cu axa Oy.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 9, deci punctul (0, 9).

  3. 3. Dificultate redusă

    Se dă f(x) = 4x − 12. Calculează intersecția cu axa Ox.

    Vezi răspunsul

    4x − 12 = 0, deci x = 3: punctul (3, 0).

  4. 4. Dificultate redusă

    Se dă f(x) = 6x + 2. Este funcția crescătoare sau descrescătoare?

    Vezi răspunsul

    Crescătoare: a = 6 > 0.

  5. 5. Dificultate redusă

    Se dă f(x) = −x + 7. Calculează f(0) și f(7).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 7, f(7) = 0

  6. 6. Dificultate medie

    Se dă f(x) = 3x − 15. Determină monotonia, apoi ambele intersecții cu axele.

    Vezi răspunsul

    Crescătoare (a = 3 > 0). Cu Oy: (0, −15). Cu Ox: 3x − 15 = 0, deci (5, 0).

  7. 7. Dificultate medie

    Se dă f(x) = −5x + 25. Rezolvă inecuația f(x) > 0.

    Vezi răspunsul

    −5x + 25 > 0, deci x < 5: x ∈ (−∞, 5).

  8. 8. Dificultate medie

    Determină funcția de gradul I care trece prin punctele (0, 4) și (3, 13).

    Vezi răspunsul

    b = 4, iar 3a + 4 = 13 dă a = 3: f(x) = 3x + 4.

  9. 9. Dificultate medie

    Se dă f(x) = 4x − 8. Rezolvă inecuația f(x) < 0.

    Vezi răspunsul

    4x − 8 < 0, deci x < 2.

  10. 10. Dificultate medie

    Determină funcția de gradul I care trece prin punctele (1, 6) și (4, 15).

    Vezi răspunsul

    a = (15 − 6) : (4 − 1) = 3, iar 3 + b = 6 dă b = 3: f(x) = 3x + 3.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Se dă funcția f(x) = ax + 7, care trece prin punctul (3, 16). Determină valoarea lui a, apoi calculează intersecția cu axa Ox.

    Vezi răspunsul

    3a + 7 = 16, deci a = 3. Cu Ox: 3x + 7 = 0, deci punctul (−73, 0).

  12. 12. Dificultate ridicată

    Determină funcția de gradul I care trece prin punctele (−2, 8) și (2, −4), apoi stabilește monotonia ei.

    Vezi răspunsul

    a = (−4 − 8) : (2 − (−2)) = −3, iar 8 = 6 + b dă b = 2: f(x) = −3x + 2, descrescătoare.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Se dă f(x) = 3x + b, care intersectează axa Ox în punctul (4, 0). Determină valoarea lui b, apoi scrie expresia completă a funcției.

    Vezi răspunsul

    3 × 4 + b = 0, deci b = −12: f(x) = 3x − 12.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Costul unei curse de taxi este exprimat de funcția f(x) = 3x + 5, unde x este numărul de kilometri. Determină numărul maxim de kilometri pe care îi poate parcurge un client cu un buget de 40 lei.

    Vezi răspunsul

    3x + 5 ≤ 40, deci x ≤ 353 ≈ 11,67 km (cu kilometri întregi, 11 km).

  15. 15. Dificultate ridicată

    Se dau funcțiile f(x) = 3x + 2 și g(x) = −2x + 17. Determină pentru ce valori ale lui x avem f(x) > g(x).

    Vezi răspunsul

    3x + 2 > −2x + 17, deci 5x > 15 și x > 3.

  16. 16. Excelență

    Trei puncte (0, 3), (2, 7) și (5, 13) sunt verificate pentru a determina dacă se află pe aceeași dreaptă. Calculează panta dintre primele 2 puncte, apoi panta dintre ultimele 2, și stabilește dacă toate cele 3 puncte aparțin aceleiași funcții de gradul I.

    Vezi răspunsul

    Panta dintre primele două: (7 − 3) : 2 = 2; dintre ultimele două: (13 − 7) : 3 = 2. Pantele sunt egale, deci punctele sunt pe aceeași dreaptă: f(x) = 2x + 3.

  17. 17. Excelență

    Se dau funcțiile f(x) = 2x − 3 și g(x) = −x + 9. Determină punctul de intersecție al celor 2 grafice, apoi calculează aria triunghiului format de acest punct și intersecțiile celor 2 funcții cu axa Ox (calculează mai întâi cele 2 rădăcini).

    Vezi răspunsul

    Intersecția graficelor: 2x − 3 = −x + 9, deci (4, 5). Rădăcinile: f are 32, g are 9. Triunghiul are baza 9 − 1,5 = 7,5 și înălțimea 5, deci aria 7,5 × 5 : 2 = 18,75.

  18. 18. Excelență

    O firmă de telefonie oferă 2 planuri: Planul A costă 20 lei fix, plus 0,5 lei/minut; Planul B costă 35 lei fix, plus 0,2 lei/minut. Scrie funcțiile de cost pentru fiecare plan, apoi determină după câte minute planul B devine mai avantajos decât planul A.

    Vezi răspunsul

    A(x) = 20 + 0,5x, B(x) = 35 + 0,2x. B este mai ieftin când 35 + 0,2x < 20 + 0,5x, adică după 50 de minute (la exact 50 de minute costă la fel).

  19. 19. Excelență

    Se dă f(x) = ax + b, care satisface f(1) = 5 și f(−2) = −4. Determină valorile lui a și b, rezolvând sistemul rezultat.

    Vezi răspunsul

    a + b = 5 și −2a + b = −4, deci 3a = 9: a = 3, b = 2.

  20. 20. Excelență

    Un rezervor conține inițial 500 litri de apă. Un robinet scurge apă cu un debit constant, iar după 20 minute rezervorul conține 300 litri. Scrie funcția care exprimă cantitatea de apă f(x) în funcție de timp x (minute), apoi calculează după câte minute rezervorul se golește complet (rezolvând ecuația f(x)=0).

    Vezi răspunsul

    f(x) = 500 − 10x (se scurg 200 l în 20 de minute, adică 10 l pe minut). f(x) = 0 dă x = 50 de minute.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.