Funcția de gradul I

Graficul funcției f(x) = ax + b, cu a nenul, este o dreaptă. Coeficientul a controlează panta și monotonia, iar b este ordonata punctului în care dreapta taie axa Oy.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Forma funcției și calculul valorilor

Funcția de gradul I are forma f(x) = ax + b, cu a ≠ 0, iar graficul ei este o dreaptă. Coeficientul a se numește pantă, iar b este ordonata la origine.

Valoarea funcției într-un punct se calculează înlocuind x: pentru f(x) = 2x − 5, avem f(3) = 6 − 5 = 1.

La numere negative, folosește parantezele: pentru f(x) = −x + 4, f(−2) = 2 + 4 = 6.

f(x) = ax + b, a ≠ 0

f(3) = 2 × 3 − 5 = 1

Dacă a ar fi 0, funcția ar fi constantă, nu de gradul I.
Panta arată cu cât se schimbă y când x crește cu o unitate.

Exemplu rezolvat

Pentru f(x) = −x + 4, calculează f(−2).

1.Înlocuim x cu −2: f(−2) = −(−2) + 4.
2.Minus cu minus dă plus: 2 + 4.
3.Deci f(−2) = 6.

Monotonia funcției

Monotonia arată dacă valorile funcției cresc sau scad pe măsură ce x crește, iar la funcția de gradul I decide semnul pantei.

Dacă a > 0, funcția este strict crescătoare: pentru orice x₁ < x₂ avem f(x₁) < f(x₂). Dacă a < 0, funcția este strict descrescătoare.

Astfel, f(x) = 3x − 2 este crescătoare, iar f(x) = −2x + 5 este descrescătoare. Pe grafic, dreapta urcă, respectiv coboară, de la stânga la dreapta.

a > 0 ⇒ strict crescătoare

a < 0 ⇒ strict descrescătoare

Contează doar semnul lui a, nu și valoarea lui b.
O pantă fracționară pozitivă, ca 0,5, dă tot funcție crescătoare.

Exemplu rezolvat

Funcția f(x) = 0,5x − 3 este crescătoare sau descrescătoare?

1.Identificăm panta: a = 0,5.
2.Panta este pozitivă, deci valorile funcției cresc odată cu x.
3.Funcția este strict crescătoare.

Intersecțiile graficului cu axele

Intersecția cu axa Oy se obține pentru x = 0 și este punctul (0, b), deci se citește direct din formulă.

Intersecția cu axa Ox se obține rezolvând ecuația f(x) = 0, adică ax + b = 0, de unde x = −b : a. Punctul este (−ba, 0).

Cele două puncte sunt suficiente pentru a trasa dreapta: pentru f(x) = −2x + 6, ele sunt (0, 6) și (3, 0).

intersecția cu Oy: (0, b)

intersecția cu Ox: x = −b : a

Ordonata la origine este termenul liber, fără niciun calcul.
Două puncte determină dreapta, deci desenul este gata.

Exemplu rezolvat

Unde taie axa Ox graficul lui f(x) = −2x + 10?

1.Punem condiția f(x) = 0: −2x + 10 = 0.
2.Mutăm termenii: 2x = 10.
3.Rezultă x = 5, deci punctul este (5, 0).

Aflarea coeficienților și intersecția a două grafice

Dacă știi că un punct aparține graficului, înlocuiești coordonatele lui în formulă și obții o ecuație în coeficientul necunoscut.

Când se dau două puncte, panta se calculează cu a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁), iar apoi b rezultă din oricare dintre puncte.

Punctul de intersecție a două grafice se află rezolvând ecuația f(x) = g(x): acolo cele două funcții au aceeași valoare.

a = (y₂ − y₁) : (x₂ − x₁)

f(x) = g(x) dă abscisa punctului de intersecție

Un punct de pe grafic dă o ecuație; două puncte dau panta.
La intersecția graficelor, egalezi expresiile funcțiilor.

Exemplu rezolvat

Graficele funcțiilor f(x) = 2x − 1 și g(x) = −x + 5 se intersectează în punctul (x₀, y₀). Cât este x₀?

1.Punem condiția f(x) = g(x): 2x − 1 = −x + 5.
2.Grupăm termenii: 3x = 6.
3.Rezultă x₀ = 2, iar y₀ = 3.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Se dă f(x) = 5x − 10. Este funcția crescătoare sau descrescătoare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Crescătoare: a = 5 > 0.
Ex. 2Dificultate redusă
Se dă f(x) = −3x + 9. Calculează intersecția cu axa Oy.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 9, deci punctul (0, 9).
Ex. 3Dificultate redusă
Se dă f(x) = 4x − 12. Calculează intersecția cu axa Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x − 12 = 0, deci x = 3: punctul (3, 0).
Ex. 4Dificultate redusă
Se dă f(x) = 6x + 2. Este funcția crescătoare sau descrescătoare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Crescătoare: a = 6 > 0.
Ex. 5Dificultate redusă
Se dă f(x) = −x + 7. Calculează f(0) și f(7).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(0) = 7, f(7) = 0
Ex. 6Dificultate medie
Se dă f(x) = 3x − 15. Determină monotonia, apoi ambele intersecții cu axele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Crescătoare (a = 3 > 0). Cu Oy: (0, −15). Cu Ox: 3x − 15 = 0, deci (5, 0).
Ex. 7Dificultate medie
Se dă f(x) = −5x + 25. Rezolvă inecuația f(x) > 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−5x + 25 > 0, deci x < 5: x ∈ (−∞, 5).
Ex. 8Dificultate medie
Determină funcția de gradul I care trece prin punctele (0, 4) și (3, 13).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = 4, iar 3a + 4 = 13 dă a = 3: f(x) = 3x + 4.
Ex. 9Dificultate medie
Se dă f(x) = 4x − 8. Rezolvă inecuația f(x) < 0.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x − 8 < 0, deci x < 2.
Ex. 10Dificultate medie
Determină funcția de gradul I care trece prin punctele (1, 6) și (4, 15).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = (15 − 6) : (4 − 1) = 3, iar 3 + b = 6 dă b = 3: f(x) = 3x + 3.
Ex. 11Dificultate ridicată
Se dă funcția f(x) = ax + 7, care trece prin punctul (3, 16). Determină valoarea lui a, apoi calculează intersecția cu axa Ox.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3a + 7 = 16, deci a = 3. Cu Ox: 3x + 7 = 0, deci punctul (−73, 0).
Ex. 12Dificultate ridicată
Determină funcția de gradul I care trece prin punctele (−2, 8) și (2, −4), apoi stabilește monotonia ei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a = (−4 − 8) : (2 − (−2)) = −3, iar 8 = 6 + b dă b = 2: f(x) = −3x + 2, descrescătoare.
Ex. 13Dificultate ridicată
Se dă f(x) = 3x + b, care intersectează axa Ox în punctul (4, 0). Determină valoarea lui b, apoi scrie expresia completă a funcției.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 × 4 + b = 0, deci b = −12: f(x) = 3x − 12.
Ex. 14Dificultate ridicată
Costul unei curse de taxi este exprimat de funcția f(x) = 3x + 5, unde x este numărul de kilometri. Determină numărul maxim de kilometri pe care îi poate parcurge un client cu un buget de 40 lei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 5 ≤ 40, deci x ≤ 353 ≈ 11,67 km (cu kilometri întregi, 11 km).
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau funcțiile f(x) = 3x + 2 și g(x) = −2x + 17. Determină pentru ce valori ale lui x avem f(x) > g(x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 2 > −2x + 17, deci 5x > 15 și x > 3.
Ex. 16Excelență
Trei puncte (0, 3), (2, 7) și (5, 13) sunt verificate pentru a determina dacă se află pe aceeași dreaptă. Calculează panta dintre primele 2 puncte, apoi panta dintre ultimele 2, și stabilește dacă toate cele 3 puncte aparțin aceleiași funcții de gradul I.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Panta dintre primele două: (7 − 3) : 2 = 2; dintre ultimele două: (13 − 7) : 3 = 2. Pantele sunt egale, deci punctele sunt pe aceeași dreaptă: f(x) = 2x + 3.
Ex. 17Excelență
Se dau funcțiile f(x) = 2x − 3 și g(x) = −x + 9. Determină punctul de intersecție al celor 2 grafice, apoi calculează aria triunghiului format de acest punct și intersecțiile celor 2 funcții cu axa Ox (calculează mai întâi cele 2 rădăcini).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Intersecția graficelor: 2x − 3 = −x + 9, deci (4, 5). Rădăcinile: f are 32, g are 9. Triunghiul are baza 9 − 1,5 = 7,5 și înălțimea 5, deci aria 7,5 × 5 : 2 = 18,75.
Ex. 18Excelență
O firmă de telefonie oferă 2 planuri: Planul A costă 20 lei fix, plus 0,5 leiminut; Planul B costă 35 lei fix, plus 0,2 leiminut. Scrie funcțiile de cost pentru fiecare plan, apoi determină după câte minute planul B devine mai avantajos decât planul A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A(x) = 20 + 0,5x, B(x) = 35 + 0,2x. B este mai ieftin când 35 + 0,2x < 20 + 0,5x, adică după 50 de minute (la exact 50 de minute costă la fel).
Ex. 19Excelență
Se dă f(x) = ax + b, care satisface f(1) = 5 și f(−2) = −4. Determină valorile lui a și b, rezolvând sistemul rezultat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a + b = 5 și −2a + b = −4, deci 3a = 9: a = 3, b = 2.
Ex. 20Excelență
Un rezervor conține inițial 500 litri de apă. Un robinet scurge apă cu un debit constant, iar după 20 minute rezervorul conține 300 litri. Scrie funcția care exprimă cantitatea de apă f(x) în funcție de timp x (minute), apoi calculează după câte minute rezervorul se golește complet (rezolvând ecuația f(x)=0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
f(x) = 500 − 10x (se scurg 200 l în 20 de minute, adică 10 l pe minut). f(x) = 0 dă x = 50 de minute.