Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

∠

Încărcăm partea curentă…

Distanțe și măsuri de unghiuri

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Distanța dintre două puncte în plan

Distanța dintre punctele A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂) se calculează cu formula AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

Formula vine din teorema lui Pitagora: diferențele de coordonate sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța este ipotenuza.

Pentru A(0, 0) și B(3, 4) rezultă AB = 9 + 16 = √25 = 5.

De ținut minte

AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²

A(0,0), B(3,4) ⇒ AB = 5

Diferențele se ridică la pătrat, deci ordinea scăderii nu contează.
Tripletele 3-4-5 și 5-12-13 apar foarte des în astfel de exerciții.

Exemplu rezolvat · alte date

Află distanța dintre P(−1, 2) și Q(5, 10).

Segmentul PQDeplasări pe axe

Punctele cu coordonate cunoscute din enunț, cu aceeași unitate pe cele două axe. Coordonatele necunoscute se află prin calcul.

Deplasarea orizontală și cea verticală formează catetele. Segmentul dintre puncte este ipotenuza.

2/2

1Diferențele coordonatelor sunt 6 și 8.
2PQ² = 6² + 8² = 100.
3PQ = 10.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Distanțe și măsuri de unghiuri: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Distanța dintre două puncte se obține din teorema lui Pitagora aplicată diferențelor de coordonate. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, iar unghiul dintre două drepte este unghiul lor cel mai mic.

Distanța dintre două puncte în plan

Distanța dintre punctele A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂) se calculează cu formula AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)².

Formula vine din teorema lui Pitagora: diferențele de coordonate sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța este ipotenuza.

Pentru A(0, 0) și B(3, 4) rezultă AB = 9 + 16 = √25 = 5.

AB = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
A(0,0), B(3,4) ⇒ AB = 5

Diferențele se ridică la pătrat, deci ordinea scăderii nu contează.
Tripletele 3-4-5 și 5-12-13 apar foarte des în astfel de exerciții.

Exemplu rezolvat · alte date

Află distanța dintre P(−1, 2) și Q(5, 10).

Diferențele coordonatelor sunt 6 și 8.
PQ² = 6² + 8² = 100.
PQ = 10.

Puncte cu o coordonată comună

Dacă două puncte au aceeași abscisă, segmentul dintre ele este vertical, iar distanța este diferența ordonatelor. Dacă au aceeași ordonată, segmentul este orizontal, iar distanța este diferența absciselor.

Astfel, între A(2, 3) și B(2, 8) distanța este 8 − 3 = 5, iar între A(−2, 5) și B(4, 5) este 4 − (−2) = 6.

Distanța de la un punct la o axă se citește direct din coordonate: de la A(3, 5) la axa Ox sunt 5 unități, iar la axa Oy sunt 3 unități.

aceeași abscisă: d = |y₂ − y₁|
aceeași ordonată: d = |x₂ − x₁|
distanța la Ox = |y|

Nu mai e nevoie de radical când punctele sunt pe aceeași verticală sau orizontală.
Distanța la axa Ox este dată de ordonată, nu de abscisă.

Exemplu rezolvat

Care este distanța de la punctul A(3, 5) la axa Ox?

Distanța la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară.
Perpendiculara din A pe axa Ox cade în punctul (3, 0).
Distanța este diferența ordonatelor: 5 unități.

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculara dusă din punct pe acea dreaptă. Piciorul perpendicularei este cel mai apropiat punct al dreptei.

Orice alt segment dus din punct până la dreaptă, numit oblică, este mai lung decât perpendiculara.

Când ai punctul, piciorul perpendicularei și un alt punct de pe dreaptă, se formează un triunghi dreptunghic, deci lungimea oblicei se calculează cu teorema lui Pitagora.

distanța = lungimea perpendicularei
oblică² = perpendiculară² + proiecție²

Perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
Cu cât piciorul oblicei este mai departe, cu atât oblica este mai lungă.

Exemplu rezolvat

Punctul P se află la 12 cm de dreapta d, iar A este piciorul perpendicularei din P pe d. B ∈ d și AB = 5 cm. Cât este PB?

Triunghiul PAB este dreptunghic în A, fiindcă PA ⟂ d.
Aplicăm teorema lui Pitagora: PB² = 12² + 5² = 144 + 25.
Deci PB = √169 = 13 cm.

Unghiul dintre două drepte

Unghiul dintre două drepte este cel mai mic dintre unghiurile formate la intersecția lor, deci are măsura între 0° și 90°.

Două drepte paralele formează un unghi de 0°, iar două drepte perpendiculare un unghi de 90°.

Dacă laturile unui triunghi verifică relația lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, deci două dintre laturile lui sunt perpendiculare: așa recunoști un unghi drept fără să-l măsori.

drepte paralele: unghi de 0°
drepte perpendiculare: 90°
4² + 4² = (4√2)² ⇒ dreptunghic

Unghiul dintre drepte nu depășește niciodată 90°.
Un triunghi cu laturile a, a și a√2 este dreptunghic isoscel.

Exemplu rezolvat

Triunghiul cu laturile 5, 5 și 5√2 ce fel de triunghi este?

Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: 5² + 5² = 25 + 25 = 50.
Latura cea mai lungă la pătrat: (5√2)² = 25 × 2 = 50.
Valorile coincid, iar două laturi sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic isoscel.

Distanța în spațiu: alegem perpendiculara

Distanța de la P la un plan este PH, unde H este proiecția perpendiculară pe plan. Pentru distanța până la o dreaptă din plan poate fi necesar un al doilea picior Q.

Dacă PH ⟂ planului și HQ ⟂ d în acel plan, teorema celor trei perpendiculare dă PQ ⟂ d. Triunghiul PHQ este dreptunghic în H; PQ, nu PH, este distanța până la d.

PQ² = PH² + HQ²

Model cu alte date

PH ⟂ α, H ∈ α; HQ ⟂ d, Q ∈ d ⊂ α. Dacă PH = 8 și HQ = 6, află distanța de la P la d.

Prin teorema celor trei perpendiculare, PQ ⟂ d, deci distanța cerută este PQ.
PH ⟂ HQ deoarece HQ este în planul α; triunghiul PHQ este dreptunghic în H.
PQ = 8² + 6² = √100 = 10. Distanța până la plan ar fi fost PH = 8.

Exerciții rezolvate din lecție (15)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează distanța dintre A(0, 0) și B(3, 4).
Vezi rezolvarea
1. Diferențele coordonatelor sunt 3 și 4.
2. AB² = 3² + 4² = 25.
3. AB = 5; folosim rădăcina pozitivă pentru distanță.
Răspuns: 5
Exercițiul 2
Calculează distanța dintre A(2, 3) și B(2, 8).
Vezi rezolvarea
1. Abscisele coincid, deci segmentul este vertical.
2. Distanța este modulul diferenței ordonatelor: |8 − 3|.
3. AB = 5; nu adunăm ordonatele.
Răspuns: 5
Exercițiul 3
Cum se măsoară distanța de la un punct la o dreaptă?
Vezi rezolvarea
1. Din punct coborâm perpendiculara pe dreaptă.
2. Notăm cu H piciorul ei; distanța este lungimea PH.
3. Un segment oblic până la alt punct al dreptei este mai lung și nu reprezintă distanța cerută.
Răspuns: Pe perpendiculara dusă la dreaptă
Exercițiul 4
Ce măsură are unghiul dintre două drepte perpendiculare?
Vezi rezolvarea
1. Dreptele sunt perpendiculare conform ipotezei.
2. Perpendicularitatea înseamnă unghi drept.
3. Unghiul drept măsoară 90°.
Răspuns: 90°
Exercițiul 5
Triunghiul cu laturile 4, 4 și 4√2 este...
Vezi rezolvarea
1. Latura maximă este 4√2, iar pătratul ei este 32.
2. 4² + 4² = 32, deci triunghiul este dreptunghic prin reciproca lui Pitagora.
3. Cele două catete sunt egale, deci este și isoscel.
Răspuns: dreptunghic
Exercițiul 6
Calculează distanța dintre A(1, 1) și B(7, 9).
Vezi rezolvarea
1. Diferențele coordonatelor: 7 − 1 = 6 și 9 − 1 = 8.
2. AB² = 36 + 64 = 100.
3. AB = 10.
Răspuns: 10
Exercițiul 7
Calculează distanța dintre A(−2, 5) și B(4, 5).
Vezi rezolvarea
1. Ordonatele sunt egale: 5 − 5 = 0.
2. Diferența absciselor: 4 − (−2) = 6.
3. AB = 6.
Răspuns: 6
Exercițiul 8
Calculează distanța dintre A(0, 0) și B(5, 12).
Vezi rezolvarea
1. AB² = 25 + 144.
2. AB² = 169.
3. AB = 13.
Răspuns: 13
Exercițiul 9
Ce măsură are unghiul dintre două drepte paralele?
Vezi rezolvarea
1. Unghiul dintre drepte este între 0° și 90°.
2. Dreptele paralele au aceeași direcție.
3. Unghiul dintre ele este 0°.
Răspuns: 0°
Exercițiul 10
Distanța de la punctul A(3, 5) la axa Ox este:
Vezi rezolvarea
1. Piciorul perpendicularei din A pe Ox este (3, 0).
2. Distanța este diferența ordonatelor.
3. d = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 11
Triunghiul cu laturile 5, 5 și 5√2 este...
Vezi rezolvarea
1. 5² + 5² = 50.
2. (5√2)² = 50.
3. Triunghiul este dreptunghic și, având două laturi egale, isoscel.
Răspuns: dreptunghic isoscel
Exercițiul 12
Punctul P se află la 12 cm de dreapta d, iar A este piciorul perpendicularei din P pe d. B ∈ d și AB = 5 cm. Cât este PB, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. PA = 12 cm și AB = 5 cm sunt catete.
2. PB² = 144 + 25 = 169.
3. PB = 13 cm.
Răspuns: 13
Exercițiul 13
PH ⟂ α, H ∈ α, HQ ⟂ d, Q ∈ d ⊂ α. PH = 9, HQ = 12. Află distanța de la P la d.
Vezi rezolvarea
1. Teorema celor trei perpendiculare dă PQ ⟂ d, deci distanța este PQ.
2. PH ⟂ HQ; PQ² = (9)² + (12)² = 225.
3. PQ = 15.
Răspuns: 15
Exercițiul 14
PH ⟂ α, H ∈ α, HQ ⟂ d, Q ∈ d ⊂ α. PH = 12, HQ = 16. Află distanța de la P la d.
Vezi rezolvarea
1. Teorema celor trei perpendiculare dă PQ ⟂ d, deci distanța este PQ.
2. PH ⟂ HQ; PQ² = (12)² + (16)² = 400.
3. PQ = 20.
Răspuns: 20
Exercițiul 15
PH ⟂ α, H ∈ α, HQ ⟂ d, Q ∈ d ⊂ α. PH = 18, HQ = 24. Află distanța de la P la d.
Vezi rezolvarea
1. Teorema celor trei perpendiculare dă PQ ⟂ d, deci distanța este PQ.
2. PH ⟂ HQ; PQ² = (18)² + (24)² = 900.
3. PQ = 30.
Răspuns: 30

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele A(0, 0) și B(6, 8).
Vezi răspunsul
36 + 64 = 10
2. Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele M(2, 3) și N(5, 7).
Vezi răspunsul
9 + 16 = 5
3. Dificultate redusă
Ce reprezintă unghiul dintre 2 drepte concurente?
Vezi răspunsul
Cel mai mic dintre unghiurile formate de cele două drepte (are cel mult 90°).
4. Dificultate redusă
Care este unghiul dintre 2 drepte paralele?
Vezi răspunsul
0°
5. Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele A(1, 4) și B(1, 9).
Vezi răspunsul
|9 − 4| = 5
6. Dificultate medie
Calculează distanța dintre punctele A(−2, 3) și B(4, 6).
Vezi răspunsul
36 + 9 = √45 = 3√5 ≈ 6,71
7. Dificultate medie
Se dau punctele A(0, 0), B(6, 0), C(6, 6). Calculează lungimile AB, BC, AC.
Vezi răspunsul
AB = 6, BC = 6, AC = 36 + 36 = 6√2.
8. Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 7, verifică dacă triunghiul ABC este dreptunghic.
Vezi răspunsul
Da: AB² + BC² = 36 + 36 = 72 = AC², deci triunghiul este dreptunghic în B (și isoscel).
9. Dificultate medie
Calculează distanța dintre punctele M(−3, −4) și N(5, 6).
Vezi răspunsul
64 + 100 = √164 = 2√41 ≈ 12,81
10. Dificultate medie
Se dă un punct P(6, 8). Calculează distanța de la P la origine O(0,0).
Vezi răspunsul
36 + 64 = 10
11. Dificultate ridicată
Se dau punctele A(2, 1), B(6, 1), C(6, 4), D(2, 4). Calculează toate cele 4 laturi ale patrulaterului ABCD, apoi determină ce tip de patrulater este.
Vezi răspunsul
AB = 4, BC = 3, CD = 4, DA = 3. Laturile sunt paralele cu axele și formează unghiuri drepte: ABCD este dreptunghi.
12. Dificultate ridicată
Se dau punctele A(0, 4) și B(3, 0). Calculează distanța AB, apoi calculează distanța de la origine O(0,0) la dreapta AB.
Vezi răspunsul
AB = 9 + 16 = 5. Distanța de la O la AB este înălțimea triunghiului dreptunghic AOB: 4 × 3 : 5 = 2,4.
13. Dificultate ridicată
Un triunghi are vârfurile A(0, 0), B(8, 0), C(4, 3). Calculează lungimile celor 3 laturi, apoi calculează perimetrul triunghiului.
Vezi răspunsul
AB = 8, AC = 16 + 9 = 5, BC = 16 + 9 = 5; perimetrul: 18.
14. Dificultate ridicată
Se dau 2 puncte, A(x, 2) și B(6, 6), cu distanța AB = 5. Determină valoarea posibilă a lui x.
Vezi răspunsul
(6 − x)² + 16 = 25, deci (6 − x)² = 9: x = 3 sau x = 9.
15. Dificultate ridicată
Un patrulater are vârfurile A(0,0), B(5,0), C(5,4), D(0,4). Calculează diagonalele AC și BD, apoi verifică dacă sunt egale.
Vezi răspunsul
AC = 25 + 16 = √41, BD = √41: sunt egale.
16. Excelență
Se dau punctele A(1, 2), B(5, 2), C(5, 6), D(1, 6). Calculează diagonalele AC și BD, verifică dacă ABCD este dreptunghi (laturi perpendiculare + diagonale egale), apoi calculează aria patrulaterului.
Vezi răspunsul
AC = BD = 16 + 16 = 4√2, iar laturile AB = 4 și BC = 4 sunt perpendiculare (una orizontală, una verticală). ABCD este dreptunghi, chiar pătrat, cu aria 16.
17. Excelență
Un punct P(x, y) este echidistant față de A(0,0) și B(6,0) (adică PA = PB). Scrie ecuația rezultată din egalarea celor 2 distanțe (folosind formula), apoi simplific-o pentru a găsi o relație între x și y (indiciu: ridică ambele distanțe la pătrat pentru a elimina radicalii).
Vezi răspunsul
x² + y² = (x − 6)² + y², deci 0 = −12x + 36 și x = 3: punctele egal depărtate de A și B au x = 3 (mediatoarea lui AB).
18. Excelență
Se dă un triunghi cu vârfurile A(0,0), B(4,0), C(0,3). Calculează aria triunghiului, folosind formula ariei cu catetele (deoarece triunghiul este dreptunghic în A), apoi verifică folosind formula distanței pentru a confirma lungimile catetelor.
Vezi răspunsul
AB = 4 și AC = 3 (distanțe pe axe); aria = 4 × 3 : 2 = 6.
19. Excelență
Trei puncte A(1,1), B(4,5), C(7,9) sunt verificate pentru coliniaritate. Calculează distanțele AB, BC, AC, apoi verifică dacă AB + BC = AC (condiție pentru ca B să fie între A și C, pe aceeași dreaptă).
Vezi răspunsul
AB = 9 + 16 = 5, BC = 5, AC = 36 + 64 = 10. Cum 5 + 5 = 10, punctele sunt coliniare, cu B între A și C.
20. Excelență
Se dă un cerc cu centrul O(3,4) și raza 5. Verifică dacă punctul P(6,8) se află pe cerc, în interiorul cercului, sau în exteriorul lui, calculând distanța OP și comparând-o cu raza.
Vezi răspunsul
OP = 9 + 16 = 5 = raza: punctul P este pe cerc.