Distanțe și măsuri de unghiuri

Distanța dintre două puncte se obține din teorema lui Pitagora aplicată diferențelor de coordonate. Distanța de la un punct la o dreaptă este lungimea perpendicularei, iar unghiul dintre două drepte este unghiul lor cel mai mic.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

H este proiecția ortogonală a lui P pe dreapta d: PH ⊥ d. Distanța de la P la d este PH, segmentul perpendicular, nu segmentul oblic PQ. În triunghiul PHQ, PQ² = PH² + HQ².

Distanța dintre două puncte în plan

Distanța dintre punctele A(x₁, y₁) și B(x₂, y₂) se calculează cu formula AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²].

Formula vine din teorema lui Pitagora: diferențele de coordonate sunt catetele unui triunghi dreptunghic, iar distanța este ipotenuza.

Pentru A(0, 0) și B(3, 4) rezultă AB = 9 + 16 = √25 = 5.

AB = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]

A(0,0), B(3,4) ⇒ AB = 5

Diferențele se ridică la pătrat, deci ordinea scăderii nu contează.
Tripletele 3-4-5 și 5-12-13 apar foarte des în astfel de exerciții.

Exemplu rezolvat

Calculează distanța dintre A(1, 1) și B(7, 9).

1.Diferențele de coordonate sunt 7 − 1 = 6 și 9 − 1 = 8.
2.Aplicăm formula: AB = 36 + 64 = √100.
3.Distanța este 10.

Puncte cu o coordonată comună

Dacă două puncte au aceeași abscisă, segmentul dintre ele este vertical, iar distanța este diferența ordonatelor. Dacă au aceeași ordonată, segmentul este orizontal, iar distanța este diferența absciselor.

Astfel, între A(2, 3) și B(2, 8) distanța este 8 − 3 = 5, iar între A(−2, 5) și B(4, 5) este 4 − (−2) = 6.

Distanța de la un punct la o axă se citește direct din coordonate: de la A(3, 5) la axa Ox sunt 5 unități, iar la axa Oy sunt 3 unități.

aceeași abscisă: d = |y₂ − y₁|

aceeași ordonată: d = |x₂ − x₁|

distanța la Ox = |y|

Nu mai e nevoie de radical când punctele sunt pe aceeași verticală sau orizontală.
Distanța la axa Ox este dată de ordonată, nu de abscisă.

Exemplu rezolvat

Care este distanța de la punctul A(3, 5) la axa Ox?

1.Distanța la o dreaptă se măsoară pe perpendiculară.
2.Perpendiculara din A pe axa Ox cade în punctul (3, 0).
3.Distanța este diferența ordonatelor: 5 unități.

Distanța de la un punct la o dreaptă

Distanța de la un punct la o dreaptă se măsoară pe perpendiculara dusă din punct pe acea dreaptă. Piciorul perpendicularei este cel mai apropiat punct al dreptei.

Orice alt segment dus din punct până la dreaptă, numit oblică, este mai lung decât perpendiculara.

Când ai punctul, piciorul perpendicularei și un alt punct de pe dreaptă, se formează un triunghi dreptunghic, deci lungimea oblicei se calculează cu teorema lui Pitagora.

distanța = lungimea perpendicularei

oblică² = perpendiculară² + proiecție²

Perpendiculara este cel mai scurt drum de la punct la dreaptă.
Cu cât piciorul oblicei este mai departe, cu atât oblica este mai lungă.

Exemplu rezolvat

Punctul P se află la 12 cm de dreapta d, iar A este piciorul perpendicularei din P pe d. B ∈ d și AB = 5 cm. Cât este PB?

1.Triunghiul PAB este dreptunghic în A, fiindcă PA ⟂ d.
2.Aplicăm teorema lui Pitagora: PB² = 12² + 5² = 144 + 25.
3.Deci PB = √169 = 13 cm.

Unghiul dintre două drepte

Unghiul dintre două drepte este cel mai mic dintre unghiurile formate la intersecția lor, deci are măsura între 0° și 90°.

Două drepte paralele formează un unghi de 0°, iar două drepte perpendiculare un unghi de 90°.

Dacă laturile unui triunghi verifică relația lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, deci două dintre laturile lui sunt perpendiculare: așa recunoști un unghi drept fără să-l măsori.

drepte paralele: unghi de 0°

drepte perpendiculare: 90°

4² + 4² = (4√2)² ⇒ dreptunghic

Unghiul dintre drepte nu depășește niciodată 90°.
Un triunghi cu laturile a, a și a√2 este dreptunghic isoscel.

Exemplu rezolvat

Triunghiul cu laturile 5, 5 și 5√2 ce fel de triunghi este?

1.Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora: 5² + 5² = 25 + 25 = 50.
2.Latura cea mai lungă la pătrat: (5√2)² = 25 × 2 = 50.
3.Valorile coincid, iar două laturi sunt egale, deci triunghiul este dreptunghic isoscel.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele A(0, 0) și B(6, 8).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 64 = 10
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele M(2, 3) și N(5, 7).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 + 16 = 5
Ex. 3Dificultate redusă
Ce reprezintă unghiul dintre 2 drepte concurente?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cel mai mic dintre unghiurile formate de cele două drepte (are cel mult 90°).
Ex. 4Dificultate redusă
Care este unghiul dintre 2 drepte paralele?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0°
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele A(1, 4) și B(1, 9).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|9 − 4| = 5
Ex. 6Dificultate medie
Calculează distanța dintre punctele A(−2, 3) și B(4, 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 9 = √45 = 3√5 ≈ 6,71
Ex. 7Dificultate medie
Se dau punctele A(0, 0), B(6, 0), C(6, 6). Calculează lungimile AB, BC, AC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 6, BC = 6, AC = 36 + 36 = 6√2.
Ex. 8Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 7, verifică dacă triunghiul ABC este dreptunghic.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: AB² + BC² = 36 + 36 = 72 = AC², deci triunghiul este dreptunghic în B (și isoscel).
Ex. 9Dificultate medie
Calculează distanța dintre punctele M(−3, −4) și N(5, 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
64 + 100 = √164 = 2√41 ≈ 12,81
Ex. 10Dificultate medie
Se dă un punct P(6, 8). Calculează distanța de la P la origine O(0,0).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 64 = 10
Ex. 11Dificultate ridicată
Se dau punctele A(2, 1), B(6, 1), C(6, 4), D(2, 4). Calculează toate cele 4 laturi ale patrulaterului ABCD, apoi determină ce tip de patrulater este.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 4, BC = 3, CD = 4, DA = 3. Laturile sunt paralele cu axele și formează unghiuri drepte: ABCD este dreptunghi.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dau punctele A(0, 4) și B(3, 0). Calculează distanța AB, apoi calculează distanța de la origine O(0,0) la dreapta AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 9 + 16 = 5. Distanța de la O la AB este înălțimea triunghiului dreptunghic AOB: 4 × 3 : 5 = 2,4.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un triunghi are vârfurile A(0, 0), B(8, 0), C(4, 3). Calculează lungimile celor 3 laturi, apoi calculează perimetrul triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 8, AC = 16 + 9 = 5, BC = 16 + 9 = 5; perimetrul: 18.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dau 2 puncte, A(x, 2) și B(6, 6), cu distanța AB = 5. Determină valoarea posibilă a lui x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(6 − x)² + 16 = 25, deci (6 − x)² = 9: x = 3 sau x = 9.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un patrulater are vârfurile A(0,0), B(5,0), C(5,4), D(0,4). Calculează diagonalele AC și BD, apoi verifică dacă sunt egale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = 25 + 16 = √41, BD = √41: sunt egale.
Ex. 16Excelență
Se dau punctele A(1, 2), B(5, 2), C(5, 6), D(1, 6). Calculează diagonalele AC și BD, verifică dacă ABCD este dreptunghi (laturi perpendiculare + diagonale egale), apoi calculează aria patrulaterului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = BD = 16 + 16 = 4√2, iar laturile AB = 4 și BC = 4 sunt perpendiculare (una orizontală, una verticală). ABCD este dreptunghi, chiar pătrat, cu aria 16.
Ex. 17Excelență
Un punct P(x, y) este echidistant față de A(0,0) și B(6,0) (adică PA = PB). Scrie ecuația rezultată din egalarea celor 2 distanțe (folosind formula), apoi simplific-o pentru a găsi o relație între x și y (indiciu: ridică ambele distanțe la pătrat pentru a elimina radicalii).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + y² = (x − 6)² + y², deci 0 = −12x + 36 și x = 3: punctele egal depărtate de A și B au x = 3 (mediatoarea lui AB).
Ex. 18Excelență
Se dă un triunghi cu vârfurile A(0,0), B(4,0), C(0,3). Calculează aria triunghiului, folosind formula ariei cu catetele (deoarece triunghiul este dreptunghic în A), apoi verifică folosind formula distanței pentru a confirma lungimile catetelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 4 și AC = 3 (distanțe pe axe); aria = 4 × 3 : 2 = 6.
Ex. 19Excelență
Trei puncte A(1,1), B(4,5), C(7,9) sunt verificate pentru coliniaritate. Calculează distanțele AB, BC, AC, apoi verifică dacă AB + BC = AC (condiție pentru ca B să fie între A și C, pe aceeași dreaptă).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 9 + 16 = 5, BC = 5, AC = 36 + 64 = 10. Cum 5 + 5 = 10, punctele sunt coliniare, cu B între A și C.
Ex. 20Excelență
Se dă un cerc cu centrul O(3,4) și raza 5. Verifică dacă punctul P(6,8) se află pe cerc, în interiorul cercului, sau în exteriorul lui, calculând distanța OP și comparând-o cu raza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
OP = 9 + 16 = 5 = raza: punctul P este pe cerc.