Corpuri rotunde

Corpurile rotunde au suprafețe curbe și pot fi obținute prin rotația unor figuri plane. Dreptunghiul generează cilindrul, triunghiul dreptunghic generează conul, iar semicercul generează sfera.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cilindrul circular drept are două baze circulare egale. Raza este r, iar înălțimea h unește perpendicular planele bazelor. Bazele apar ca elipse numai din cauza perspectivei. Volumul este aria bazei înmulțită cu h: πr²h.

Corpuri obținute prin rotație

Corpurile rotunde se obțin rotind o figură plană în jurul unei drepte. Un dreptunghi rotit în jurul unei laturi generează un cilindru, iar dacă figura este un pătrat, cilindrul obținut are înălțimea egală cu diametrul bazei.

Un triunghi dreptunghic rotit în jurul unei catete generează un con: cateta din jurul căreia se rotește devine înălțimea, cealaltă catetă devine raza, iar ipotenuza devine generatoarea.

Un semicerc rotit în jurul diametrului generează o sferă.

dreptunghi → cilindru

triunghi dreptunghic → con

semicerc → sferă

Latura în jurul căreia se rotește figura devine axa corpului.
La con, ipotenuza triunghiului devine generatoarea.

Exemplu rezolvat

Un triunghi dreptunghic cu catetele 6 cm și 8 cm se rotește în jurul catetei de 8 cm. Ce generatoare are conul obținut?

1.Cateta de 8 cm devine înălțimea, iar cea de 6 cm devine raza bazei.
2.Generatoarea este ipotenuza: g² = 6² + 8² = 100.
3.Deci generatoarea are 10 cm.

De ce nu sunt poliedre

Corpurile rotunde nu sunt poliedre, fiindcă nu sunt mărginite doar de fețe plane: suprafața lor laterală este curbă.

Cilindrul și conul circular drept au totuși ceva în comun cu poliedrele: au baze plane, de formă circulară. Cilindrul are două baze, conul una singură.

Sfera este singurul dintre ele care nu are nicio bază plană: suprafața ei este curbă peste tot.

cilindru: 2 baze circulare

con: 1 bază circulară

sferă: nicio bază plană

Relația lui Euler nu se aplică la corpurile rotunde.
Baza circulară este ce apropie cel mai mult conul și cilindrul de poliedre.

Exemplu rezolvat

Care corp rotund nu are nicio bază plană?

1.Cilindrul are două baze circulare, iar conul are una.
2.Sfera este mărginită doar de o suprafață curbă.
3.Deci sfera nu are nicio bază plană.

Secțiunea axială

Secțiunea axială este figura obținută tăind corpul cu un plan care trece prin axa lui de rotație.

La cilindru, secțiunea axială este un dreptunghi, cu o latură egală cu diametrul bazei și cealaltă cu înălțimea. La con este un triunghi isoscel, cu baza egală cu diametrul și laturile egale cu generatoarea.

La trunchiul de con, secțiunea axială este un trapez isoscel, iar la sferă este întotdeauna un cerc mare.

cilindru → dreptunghi

con → triunghi isoscel

trunchi de con → trapez isoscel

Latura orizontală a secțiunii axiale este diametrul, nu raza.
Secțiunea axială transformă o problemă de spațiu într-una de geometrie plană.

Exemplu rezolvat

Ce formă are secțiunea axială a unui con circular drept?

1.Planul trece prin vârf și prin centrul bazei, tăind conul în două jumătăți simetrice.
2.Baza secțiunii este diametrul, iar laturile sunt două generatoare, egale între ele.
3.Deci secțiunea axială este un triunghi isoscel.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce este un corp rotund?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un corp mărginit de cel puțin o suprafață curbă, obținut de obicei prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe.
Ex. 2Dificultate redusă
Ce figură plană, rotită, generează un cilindru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un dreptunghi rotit în jurul uneia dintre laturi.
Ex. 3Dificultate redusă
Ce figură plană, rotită, generează un con?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un triunghi dreptunghic rotit în jurul unei catete.
Ex. 4Dificultate redusă
Ce figură plană, rotită, generează o sferă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un semidisc rotit în jurul diametrului.
Ex. 5Dificultate redusă
Are un corp rotund fețe plane? Justifică (cel puțin o suprafață curbă este obligatorie).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Poate avea fețe plane (cilindrul are două baze, conul una), dar are obligatoriu și o suprafață curbă. Sfera nu are nicio față plană.
Ex. 6Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, procesul de generare a unei sfere prin rotație.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Rotești un semidisc în jurul diametrului. Fiecare punct al semicercului descrie un cerc, iar toate rămân la distanța r de centru: se formează sfera.
Ex. 7Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, procesul de generare a unui con prin rotație.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Rotești un triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Cateta-axă devine înălțimea, cealaltă catetă descrie discul bazei (devine raza), iar ipotenuza descrie suprafața laterală (este generatoarea).
Ex. 8Dificultate medie
Ce se obține prin rotația unui triunghi dreptunghic în jurul catetei mai lungi, față de rotația în jurul catetei mai scurte?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În jurul catetei mai lungi obții un con mai înalt și mai îngust (raza este cateta scurtă); în jurul celei scurte, un con mai turtit și mai lat.
Ex. 9Dificultate medie
Care este axa de rotație, atunci când se generează un cilindru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dreapta care conține latura în jurul căreia se rotește dreptunghiul; trece prin centrele celor două baze.
Ex. 10Dificultate medie
De ce corpurile rotunde nu respectă relația lui Euler, spre deosebire de poliedre?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Relația lui Euler numără vârfuri, muchii și fețe poligonale. Corpurile rotunde au suprafețe curbe, fără astfel de muchii și vârfuri, deci relația nu li se aplică.
Ex. 11Dificultate ridicată
Explică ce corp se obține prin rotația unui dreptunghi cu lungimea 10 cm și lățimea 4 cm, în jurul laturii de 4 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un cilindru cu înălțimea 4 cm și raza bazei 10 cm (lat și turtit).
Ex. 12Dificultate ridicată
Explică ce corp se obține prin rotația aceluiași dreptunghi (10 cm × 4 cm), dar în jurul laturii de 10 cm. Compară cele 2 corpuri rezultate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un cilindru cu înălțimea 10 cm și raza 4 cm (înalt și îngust). Volumele: π × 100 × 4 = 400π față de π × 16 × 10 = 160π, deci primul cilindru are volumul mai mare.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 cm și 8 cm. Explică ce corp se obține prin rotația triunghiului în jurul catetei de 8 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un con cu înălțimea 8 cm, raza bazei 6 cm și generatoarea 36 + 64 = 10 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Explică de ce o secțiune printr-un con, făcută cu un plan perpendicular pe axă, este întotdeauna un cerc.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare punct al secțiunii provine din rotirea unui punct al generatoarei în jurul axei, deci toate sunt la aceeași distanță de axă. Într-un plan perpendicular pe axă, aceste puncte formează un cerc cu centrul pe axă.
Ex. 15Dificultate ridicată
Explică, folosind conceptul de rotație, de ce toate punctele unei sfere se află la aceeași distanță față de centru.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare punct al sferei provine din rotirea unui punct al semicercului, aflat la distanța r de centru. Rotația în jurul unei axe care trece prin centru nu schimbă această distanță, deci toate punctele sferei sunt la distanța r.
Ex. 16Excelență
Se rotește un pătrat cu latura de 5 cm în jurul uneia dintre laturi. Explică ce corp rezultă, apoi precizează relația specială dintre înălțimea și raza bazei acestui corp (comparativ cu un cilindru "obișnuit").
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un cilindru cu înălțimea egală cu raza (h = r = 5 cm). Secțiunea lui axială este un dreptunghi de 10 cm × 5 cm, nu un pătrat.
Ex. 17Excelență
Se rotește un semicerc cu raza de 6 cm în jurul diametrului. Explică ce corp rezultă, apoi explică de ce raza corpului rezultat este exact 6 cm (aceeași ca a semicercului inițial).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O sferă cu raza 6 cm: punctele semicercului sunt la 6 cm de centrul lui, aflat pe axă, iar rotația păstrează această distanță.
Ex. 18Excelență
Explică de ce rotația unui triunghi echilateral în jurul înălțimii sale generează un con, și precizează ce devine baza triunghiului (raza sau diametrul bazei conului).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea împarte triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghice congruente. Prin rotație, fiecare descrie același con, cu înălțimea egală cu înălțimea triunghiului. Baza triunghiului devine diametrul bazei conului (raza este jumătate din latură).
Ex. 19Excelență
Se rotește un trapez dreptunghic în jurul laturii perpendiculare pe baze. Explică, folosind cunoștințele despre generarea corpurilor prin rotație, ce corp compus ar rezulta (indiciu: gândește-te la trapez ca la un dreptunghi plus un triunghi dreptunghic, alăturate — corpul rezultat ar fi un cilindru plus un con, alăturate).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Se obține un trunchi de con: AD devine înălțimea, bazele trapezului devin razele celor două baze, iar latura oblică devine generatoarea. Nu rezultă un cilindru plus un con alăturate: triunghiul nu se sprijină pe axă.
Ex. 20Excelență
Explică de ce, spre deosebire de un cilindru sau con (care au înălțime, ca dimensiune independentă), o sferă este complet determinată doar de raza ei — nu are o "înălțime" separată de rază.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate punctele sferei sunt la distanța r de centru, iar forma este aceeași în orice direcție. Ce ar fi „înălțimea” ei este diametrul, 2r, deci tot raza o determină.