1. Dificultate redusă
Ce este un corp rotund?
Vezi răspunsul
Un corp mărginit de cel puțin o suprafață curbă, obținut de obicei prin rotirea unei figuri plane în jurul unei axe.
2. Dificultate redusă
Ce figură plană, rotită, generează un cilindru?
Vezi răspunsul
Un dreptunghi rotit în jurul uneia dintre laturi.
3. Dificultate redusă
Ce figură plană, rotită, generează un con?
Vezi răspunsul
Un triunghi dreptunghic rotit în jurul unei catete.
4. Dificultate redusă
Ce figură plană, rotită, generează o sferă?
Vezi răspunsul
Un semidisc rotit în jurul diametrului.
5. Dificultate redusă
Are un corp rotund fețe plane? Justifică (cel puțin o suprafață curbă este obligatorie).
Vezi răspunsul
Poate avea fețe plane (cilindrul are două baze, conul una), dar are obligatoriu și o suprafață curbă. Sfera nu are nicio față plană.
6. Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, procesul de generare a unei sfere prin rotație.
Vezi răspunsul
Rotești un semidisc în jurul diametrului. Fiecare punct al semicercului descrie un cerc, iar toate rămân la distanța r de centru: se formează sfera.
7. Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, procesul de generare a unui con prin rotație.
Vezi răspunsul
Rotești un triunghi dreptunghic în jurul unei catete. Cateta-axă devine înălțimea, cealaltă catetă descrie discul bazei (devine raza), iar ipotenuza descrie suprafața laterală (este generatoarea).
8. Dificultate medie
Ce se obține prin rotația unui triunghi dreptunghic în jurul catetei mai lungi, față de rotația în jurul catetei mai scurte?
Vezi răspunsul
În jurul catetei mai lungi obții un con mai înalt și mai îngust (raza este cateta scurtă); în jurul celei scurte, un con mai turtit și mai lat.
9. Dificultate medie
Care este axa de rotație, atunci când se generează un cilindru?
Vezi răspunsul
Dreapta care conține latura în jurul căreia se rotește dreptunghiul; trece prin centrele celor două baze.
10. Dificultate medie
De ce corpurile rotunde nu respectă relația lui Euler, spre deosebire de poliedre?
Vezi răspunsul
Relația lui Euler numără vârfuri, muchii și fețe poligonale. Corpurile rotunde au suprafețe curbe, fără astfel de muchii și vârfuri, deci relația nu li se aplică.
11. Dificultate ridicată
Explică ce corp se obține prin rotația unui dreptunghi cu lungimea 10 cm și lățimea 4 cm, în jurul laturii de 4 cm.
Vezi răspunsul
Un cilindru cu înălțimea 4 cm și raza bazei 10 cm (lat și turtit).
12. Dificultate ridicată
Explică ce corp se obține prin rotația aceluiași dreptunghi (10 cm × 4 cm), dar în jurul laturii de 10 cm. Compară cele 2 corpuri rezultate.
Vezi răspunsul
Un cilindru cu înălțimea 10 cm și raza 4 cm (înalt și îngust). Volumele: π × 100 × 4 = 400π față de π × 16 × 10 = 160π, deci primul cilindru are volumul mai mare.
13. Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 cm și 8 cm. Explică ce corp se obține prin rotația triunghiului în jurul catetei de 8 cm.
Vezi răspunsul
Un con cu înălțimea 8 cm, raza bazei 6 cm și generatoarea √36 + 64 = 10 cm.
14. Dificultate ridicată
Explică de ce o secțiune printr-un con, făcută cu un plan perpendicular pe axă, este întotdeauna un cerc.
Vezi răspunsul
Fiecare punct al secțiunii provine din rotirea unui punct al generatoarei în jurul axei, deci toate sunt la aceeași distanță de axă. Într-un plan perpendicular pe axă, aceste puncte formează un cerc cu centrul pe axă.
15. Dificultate ridicată
Explică, folosind conceptul de rotație, de ce toate punctele unei sfere se află la aceeași distanță față de centru.
Vezi răspunsul
Fiecare punct al sferei provine din rotirea unui punct al semicercului, aflat la distanța r de centru. Rotația în jurul unei axe care trece prin centru nu schimbă această distanță, deci toate punctele sferei sunt la distanța r.
16. Excelență
Se rotește un pătrat cu latura de 5 cm în jurul uneia dintre laturi. Explică ce corp rezultă, apoi precizează relația specială dintre înălțimea și raza bazei acestui corp (comparativ cu un cilindru "obișnuit").
Vezi răspunsul
Un cilindru cu înălțimea egală cu raza (h = r = 5 cm). Secțiunea lui axială este un dreptunghi de 10 cm × 5 cm, nu un pătrat.
17. Excelență
Se rotește un semicerc cu raza de 6 cm în jurul diametrului. Explică ce corp rezultă, apoi explică de ce raza corpului rezultat este exact 6 cm (aceeași ca a semicercului inițial).
Vezi răspunsul
O sferă cu raza 6 cm: punctele semicercului sunt la 6 cm de centrul lui, aflat pe axă, iar rotația păstrează această distanță.
18. Excelență
Explică de ce rotația unui triunghi echilateral în jurul înălțimii sale generează un con, și precizează ce devine baza triunghiului (raza sau diametrul bazei conului).
Vezi răspunsul
Înălțimea împarte triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghice congruente. Prin rotație, fiecare descrie același con, cu înălțimea egală cu înălțimea triunghiului. Baza triunghiului devine diametrul bazei conului (raza este jumătate din latură).
19. Excelență
Se rotește un trapez dreptunghic în jurul laturii perpendiculare pe baze. Explică, folosind cunoștințele despre generarea corpurilor prin rotație, ce corp compus ar rezulta (indiciu: gândește-te la trapez ca la un dreptunghi plus un triunghi dreptunghic, alăturate — corpul rezultat ar fi un cilindru plus un con, alăturate).
Vezi răspunsul
Se obține un trunchi de con: AD devine înălțimea, bazele trapezului devin razele celor două baze, iar latura oblică devine generatoarea. Nu rezultă un cilindru plus un con alăturate: triunghiul nu se sprijină pe axă.
20. Excelență
Explică de ce, spre deosebire de un cilindru sau con (care au înălțime, ca dimensiune independentă), o sferă este complet determinată doar de raza ei — nu are o "înălțime" separată de rază.
Vezi răspunsul
Toate punctele sferei sunt la distanța r de centru, iar forma este aceeași în orice direcție. Ce ar fi „înălțimea” ei este diametrul, 2r, deci tot raza o determină.