Conul

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Conul și elementele lui

Conul circular drept are o bază în formă de cerc și un vârf situat pe perpendiculara ridicată din centrul bazei. Segmentul de la vârf la un punct de pe cercul bazei se numește generatoare.

Desfășurând suprafața laterală a unui con obții un sector de cerc, nu un dreptunghi ca la cilindru.

Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic, deci g² = r² + h². De aici afli oricare dintre ele, dacă le cunoști pe celelalte două.

De ținut minte

g² = r² + h²

desfășurarea laterală: sector de cerc

Generatoarea este ipotenuza, deci este mai lungă și decât raza, și decât înălțimea.
Tripletele 3-4-5, 6-8-10 și 5-12-13 apar foarte des aici.

Exemplu rezolvat

Un con are raza 6 cm și înălțimea 8 cm. Calculează generatoarea.

1Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic.
2Aplicăm teorema lui Pitagora: g² = 6² + 8² = 36 + 64.
3Deci g = √100 = 10 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Conul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Conul circular drept are o bază circulară, un vârf, înălțime și generatoare. Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic, iar volumul conului este o treime din volumul cilindrului cu aceeași bază și înălțime.

Conul și elementele lui

Conul circular drept are o bază în formă de cerc și un vârf situat pe perpendiculara ridicată din centrul bazei. Segmentul de la vârf la un punct de pe cercul bazei se numește generatoare.

Desfășurând suprafața laterală a unui con obții un sector de cerc, nu un dreptunghi ca la cilindru.

Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic, deci g² = r² + h². De aici afli oricare dintre ele, dacă le cunoști pe celelalte două.

g² = r² + h²
desfășurarea laterală: sector de cerc

Generatoarea este ipotenuza, deci este mai lungă și decât raza, și decât înălțimea.
Tripletele 3-4-5, 6-8-10 și 5-12-13 apar foarte des aici.

Exemplu rezolvat

Un con are raza 6 cm și înălțimea 8 cm. Calculează generatoarea.

Raza, înălțimea și generatoarea formează un triunghi dreptunghic.
Aplicăm teorema lui Pitagora: g² = 6² + 8² = 36 + 64.
Deci g = √100 = 10 cm.

Aria laterală și aria totală

Aria laterală a conului se calculează cu A_l = πrg, unde g este generatoarea. Formula vine din aria sectorului de cerc obținut prin desfășurare.

Aria totală adaugă baza: A_t = πrg + πr² = πr(g + r).

Pentru r = 5 cm și g = 13 cm: A_l = 65π cm², A_b = 25π cm², deci A_t = 90π cm².

A_l = πrg
A_t = πr(g + r)

În formula ariei laterale intră generatoarea, nu înălțimea.
Conul are o singură bază, deci se adună o singură dată.

Exemplu rezolvat

Un con are raza 3 cm și generatoarea 7 cm. Cât este aria laterală, în funcție de π?

Aplicăm formula: A_l = πrg = π × 3 × 7.
Înmulțim numerele: 3 × 7 = 21.
Deci aria laterală este 21π cm².

Volumul conului

Volumul conului este o treime din produsul dintre aria bazei și înălțime: V = (πr²h) : 3. În formulă intră înălțimea, nu generatoarea.

Relația cu cilindrul este aceeași ca între piramidă și prismă: un con și un cilindru cu aceeași bază și aceeași înălțime au volume în raportul 1 : 3.

Pentru r = 3 cm și h = 4 cm, volumul este (π × 9 × 4) : 3 = 12π cm³.

V = (πr²h) : 3
V con = V cilindru : 3

Nu uita împărțirea la 3 și nu folosi generatoarea în locul înălțimii.
Dacă enunțul dă generatoarea, află întâi înălțimea cu Pitagora.

Exemplu rezolvat

Un con are raza 2 cm și înălțimea 6 cm. Calculează volumul pentru π ≈ 3,14.

Aria bazei este 3,14 × 4 = 12,56 cm².
Înmulțim cu înălțimea: 12,56 × 6 = 75,36.
Împărțim la 3: volumul este 25,12 cm³.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un con are r = 5 cm și g = 13 cm. Calculează înălțimea.
Vezi rezolvarea
1. h = 169 − 25 = √144 = 12 cm.
Răspuns: 12
Exercițiul 2
Un con are r = 4 cm și g = 6 cm. Calculează aria laterală pentru π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. A_l = 3,14 · 4 · 6 = 75,36 cm².
Răspuns: 75,36
Exercițiul 3
Ce formă are baza unui con circular drept?
Vezi rezolvarea
1. Conul circular are bază circulară.
Răspuns: Cerc
Exercițiul 4
Un con are r = 3 cm și g = 5 cm. Cât este înălțimea?
Vezi rezolvarea
1. h = 5² − 3² = √16 = 4 cm.
Răspuns: 4
Exercițiul 5
Față de cilindrul cu aceeași bază și înălțime, volumul conului este...
Vezi rezolvarea
1. Conul are volumul πr²h3.
Răspuns: o treime
Exercițiul 6
Un con are r = 6 cm și h = 8 cm. Calculează generatoarea, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. g² = 36 + 64 = 100.
2. g = √100.
3. g = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 7
Un con are h = 12 cm și g = 15 cm. Calculează raza, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. r² = 225 − 144 = 81.
2. r = √81.
3. r = 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 8
Un con are r = 3 cm și g = 7 cm. Aria laterală, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. r · g = 3 · 7 = 21.
2. A_l = 21π cm².
3. Nu apare factorul 2, ca la cilindru.
Răspuns: 21π cm²
Exercițiul 9
Un con are r = 5 cm și g = 13 cm. Aria totală, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. A_l = π · 5 · 13 = 65π.
2. A_b = π · 25 = 25π.
3. A_t = 90π cm².
Răspuns: 90π cm²
Exercițiul 10
Un con are r = 3 cm și h = 4 cm. Volumul, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. r² · h = 9 · 4 = 36.
2. 36 : 3 = 12.
3. V = 12π cm³.
Răspuns: 12π cm³
Exercițiul 11
Un con are r = 2 cm și h = 6 cm. Calculează volumul pentru π ≈ 3,14, în cm³.
Vezi rezolvarea
1. r² · h = 4 · 6 = 24.
2. 24 : 3 = 8.
3. V = 3,14 · 8 = 25,12 cm³.
Răspuns: 25,12
Exercițiul 12
Desfășurarea suprafeței laterale a unui con este:
Vezi rezolvarea
1. Toate generatoarele pleacă din vârf și au aceeași lungime.
2. Ele devin raze ale unui cerc.
3. Se obține un sector de cerc.
Răspuns: un sector de cerc

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Un con are raza 9 cm și înălțimea 12 cm. Calculează generatoarea.
Vezi răspunsul
G = 81 + 144 = 15 cm
2. Dificultate redusă
Un con are raza 8 cm și generatoarea 17 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsul
h = 17² − 8² = √225 = 15 cm
3. Dificultate redusă
Un con are raza 5 cm și generatoarea 8 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsul
A_l = πrG = 3,14 × 5 × 8 = 125,6 cm² (40π)
4. Dificultate redusă
Ce reprezintă vârful unui con?
Vezi răspunsul
Punctul în care se întâlnesc toate generatoarele; este capătul înălțimii opus bazei.
5. Dificultate redusă
Ce formă rezultă prin desfășurarea suprafeței laterale a unui con?
Vezi răspunsul
Un sector de cerc, cu raza egală cu generatoarea.
6. Dificultate medie
Un con are raza 12 cm și înălțimea 16 cm. Calculează generatoarea, apoi aria laterală.
Vezi răspunsul
G = 144 + 256 = 20 cm; A_l = π × 12 × 20 = 240π ≈ 753,6 cm².
7. Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează aria totală și volumul.
Vezi răspunsul
A_t = πr(r + G) = π × 12 × 32 = 384π ≈ 1.205,76 cm²; V = π × 144 × 16 : 3 = 768π ≈ 2.411,52 cm³.
8. Dificultate medie
Un con are aria laterală de 235,5 cm² și raza 5 cm. Calculează generatoarea.
Vezi răspunsul
G = 235,5 : (3,14 × 5) = 235,5 : 15,7 = 15 cm
9. Dificultate medie
Un con are volumul de 150,72 cm³ și raza 4 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsul
h = 3 × 150,72 : (3,14 × 16) = 452,16 : 50,24 = 9 cm
10. Dificultate medie
Un con are raza 6 cm și generatoarea 10 cm. Calculează înălțimea, apoi volumul.
Vezi răspunsul
h = 100 − 36 = 8 cm; V = π × 36 × 8 : 3 = 96π ≈ 301,44 cm³.
11. Dificultate ridicată
Un con are raza 9 cm și înălțimea 40 cm. Calculează generatoarea, aria totală, apoi volumul.
Vezi răspunsul
G = 81 + 1.600 = 41 cm; A_t = π × 9 × (9 + 41) = 450π ≈ 1.413 cm²; V = π × 81 × 40 : 3 = 1.080π ≈ 3.391,2 cm³.
12. Dificultate ridicată
Un pahar în formă de con are raza 5 cm și înălțimea 12 cm. Calculează volumul de lichid pe care îl poate conține.
Vezi răspunsul
V = π × 25 × 12 : 3 = 100π ≈ 314 cm³ (aproximativ 0,31 litri).
13. Dificultate ridicată
Un con are aria totală de 376,8 cm² și raza 6 cm. Calculează generatoarea.
Vezi răspunsul
3,14 × 6 × (6 + G) = 376,8, deci 6 + G = 20 și G = 14 cm.
14. Dificultate ridicată
Se dă un con cu raza 6 cm. Dacă înălțimea se triplează, cu ce factor se modifică volumul conului?
Vezi răspunsul
Volumul se triplează.
15. Dificultate ridicată
Un vas conic are volumul de 6280 cm³ și înălțimea 60 cm. Calculează raza bazei.
Vezi răspunsul
π × r² × 60 : 3 = 6.280, deci 20πr² = 6.280, r² = 100 și r = 10 cm.
16. Excelență
Un con este obținut prin rotirea unui triunghi echilateral cu latura 10 cm în jurul înălțimii sale. Calculează raza bazei conului (jumătate din latură), generatoarea (egală cu latura triunghiului, 10 cm), apoi înălțimea conului, folosind teorema lui Pitagora.
Vezi răspunsul
r = 5 cm, G = 10 cm, h = 100 − 25 = √75 = 5√3 ≈ 8,66 cm.
17. Excelență
Un con și un cilindru au aceeași rază (6 cm) și aceeași înălțime (10 cm). Calculează volumul fiecăruia, apoi verifică raportul de 1:3 dintre volumul conului și cel al cilindrului.
Vezi răspunsul
V_con = π × 36 × 10 : 3 = 120π ≈ 376,8 cm³; V_cilindru = π × 36 × 10 = 360π ≈ 1.130,4 cm³. Raportul: 120π : 360π = 1 : 3.
18. Excelență
Un con trunchiat (deși nu este studiat detaliat, poate fi imaginat ca un con din care s-a tăiat vârful printr-un plan paralel cu baza) are 2 baze circulare, cu razele 6 cm și 3 cm. Explică, folosind asemănarea (cunoscută din geometria plană), de ce cele 2 baze ale conului trunchiat sunt secțiuni proporționale din conul inițial.
Vezi răspunsul
Planul paralel cu baza taie un con mic, asemenea cu cel mare: au același vârf și aceeași deschidere. Razele sunt proporționale cu înălțimile (aici 3 : 6 = 1 : 2), deci baza mică este o secțiune proporțională a conului inițial.
19. Excelență
Un vas conic cu raza 5 cm și înălțimea 12 cm este umplut cu apă până la jumătatea înălțimii (6 cm). Explică, folosind asemănarea conurilor (conul mic de apă este asemenea cu conul întreg, cu raportul de asemănare 12), de ce volumul apei NU este jumătate din volumul total al vasului, ci mai mic (raportul volumelor fiind cubul raportului de asemănare, adică 18).
Vezi răspunsul
Conul de apă este asemenea cu vasul, cu raportul 12, iar volumele sunt în raportul (12)³ = 18. Vasul are 100π ≈ 314 cm³, deci apa are doar 12,5π ≈ 39,25 cm³, nu jumătate.
20. Excelență
Se dă un con cu generatoarea 13 cm și înălțimea 12 cm. Calculează raza, aria laterală, apoi explică, folosind formula de desfășurare a conului (sectorul de cerc cu raza G), care este unghiul la centru al sectorului obținut prin desfășurarea suprafeței laterale (indiciu: lungimea arcului sectorului, 2πr, trebuie să corespundă unei fracțiuni din cercul complet de rază G, adică unghiul = (2πr × 360°) : (2πG) = (r×360°):G).
Vezi răspunsul
r = 169 − 144 = 5 cm; A_l = π × 5 × 13 = 65π ≈ 204,1 cm². Unghiul sectorului: 5 × 360° : 13 ≈ 138,46°.