Cilindrul

Cilindrul circular drept are două baze circulare congruente și o suprafață laterală. Desfășurarea laterală este un dreptunghi cu laturile 2πr și h, iar secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile 2r și h.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cilindrul circular drept are două baze circulare egale. Raza este r, iar înălțimea h unește perpendicular planele bazelor. Bazele apar ca elipse numai din cauza perspectivei. Volumul este aria bazei înmulțită cu h: πr²h.

Cilindrul și secțiunea lui axială

Cilindrul circular drept are două baze circulare identice și paralele, unite printr-o suprafață laterală curbă. Înălțimea este distanța dintre baze, iar raza este raza bazei.

Secțiunea axială, obținută tăind cilindrul cu un plan care trece prin axă, este un dreptunghi cu laturile 2r și h.

Un cilindru se numește echilateral dacă secțiunea lui axială este un pătrat, adică dacă înălțimea este egală cu diametrul: h = 2r.

secțiunea axială: dreptunghi 2r × h

cilindru echilateral: h = 2r

Latura orizontală a secțiunii axiale este diametrul, deci raza este jumătate din ea.
Cele două baze sunt cercuri identice.

Exemplu rezolvat

Un cilindru echilateral, cu secțiunea axială pătrat, are raza 4 cm. Cât este înălțimea?

1.Secțiunea axială este un pătrat, deci înălțimea este egală cu diametrul bazei.
2.Diametrul este 2 × 4 = 8 cm.
3.Deci înălțimea este 8 cm.

Aria bazei și aria laterală

Baza cilindrului este un cerc, deci aria ei se calculează cu A_b = πr².

Desfășurând suprafața laterală obții un dreptunghi cu o latură egală cu circumferința bazei și cealaltă egală cu înălțimea, deci A_l = 2πrh.

Aria totală adună suprafața laterală și cele două baze: A_t = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r).

A_b = πr²

A_l = 2πrh

A_t = 2πr(h + r)

La aria totală se adună două baze, nu una.
Când problema cere rezultatul „în funcție de π”, nu înlocui π cu 3,14.

Exemplu rezolvat

Un cilindru are raza 3 cm și înălțimea 7 cm. Cât este aria laterală, în funcție de π?

1.Aplicăm formula: A_l = 2πrh = 2π × 3 × 7.
2.Înmulțim numerele: 2 × 3 × 7 = 42.
3.Deci aria laterală este 42π cm².

Volumul cilindrului

Volumul se calculează înmulțind aria bazei cu înălțimea: V = πr²h. Este aceeași regulă ca la prismă, doar că baza este un cerc.

Pentru r = 5 cm și h = 4 cm, cu π ≈ 3,14, volumul este 3,14 × 25 × 4 = 314 cm³.

Formula merge și invers: din volum și rază afli înălțimea, împărțind la πr².

V = πr²h

h = V : (πr²)

Raza se ridică la pătrat, înălțimea nu.
Capacitatea unui vas cilindric se obține transformând cm³ în mililitri: 1 cm³ = 1 ml.

Exemplu rezolvat

Un pahar cilindric are raza 4 cm și înălțimea 10 cm. Câți mililitri încap în el, pentru π ≈ 3,14?

1.Calculăm aria bazei: 3,14 × 16 = 50,24 cm².
2.Înmulțim cu înălțimea: 50,24 × 10 = 502,4 cm³.
3.Cum 1 cm³ = 1 ml, în pahar încap 502,4 ml.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un cilindru are raza 5 cm și înălțimea 12 cm. Calculează aria laterală (π≈3,14).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = 2πrh = 2 × 3,14 × 5 × 12 = 376,8 cm²
Ex. 2Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează volumul cilindrului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = πr²h = 3,14 × 25 × 12 = 942 cm³
Ex. 3Dificultate redusă
Ce formă are desfășurarea suprafeței laterale a unui cilindru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un dreptunghi, cu laturile 2πr și h.
Ex. 4Dificultate redusă
Un cilindru are raza 4 cm. Calculează aria unei baze.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
π × 4² = 16π ≈ 50,24 cm²
Ex. 5Dificultate redusă
Ce relație există între generatoare și înălțime, la un cilindru circular drept?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Sunt egale: G = h.
Ex. 6Dificultate medie
Un cilindru are raza 6 cm și înălțimea 15 cm. Calculează aria laterală, aria totală, apoi volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_l = 2 × 3,14 × 6 × 15 = 565,2 cm²; A_t = 565,2 + 2 × 3,14 × 36 = 791,28 cm²; V = 3,14 × 36 × 15 = 1.695,6 cm³.
Ex. 7Dificultate medie
Un cilindru are aria laterală de 376,8 cm² și raza 6 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 376,8 : (2 × 3,14 × 6) = 376,8 : 37,68 = 10 cm
Ex. 8Dificultate medie
Un cilindru are volumul de 1256 cm³ și raza 5 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 1.256 : (3,14 × 25) = 1.256 : 78,5 = 16 cm
Ex. 9Dificultate medie
Un cilindru are secțiunea axială un pătrat cu latura 10 cm. Calculează raza și înălțimea cilindrului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pătratul are latura 2r = h = 10 cm, deci r = 5 cm și h = 10 cm.
Ex. 10Dificultate medie
Un rezervor cilindric are raza 4 m și înălțimea 6 m. Calculează volumul de apă pe care îl poate conține.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 3,14 × 16 × 6 = 301,44 m³
Ex. 11Dificultate ridicată
Un cilindru are raza 8 cm și înălțimea 25 cm. Calculează aria totală, apoi volumul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A_t = 2πr(r + h) = 2 × 3,14 × 8 × 33 = 1.657,92 cm²; V = 3,14 × 64 × 25 = 5.024 cm³.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un cilindru are aria totală de 754 cm² și raza 7 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 3,14 × 7 × (7 + h) = 754, deci 7 + h ≈ 17,15 și h ≈ 10,15 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un rezervor cilindric trebuie să conțină 12560 litri de apă, iar raza bazei este 2 m. Calculează înălțimea necesară a rezervorului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12.560 l = 12,56 m³, deci h = 12,56 : (3,14 × 4) = 1 m.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă un cilindru cu raza 6 cm. Dacă înălțimea se triplează, cu ce factor se modifică volumul cilindrului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Volumul se triplează (crește de 3 ori).
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dă un cilindru cu raza 4 cm. Dacă raza se triplează (păstrând înălțimea constantă), cu ce factor se modifică volumul cilindrului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Volumul crește de 9 ori (raza apare la pătrat).
Ex. 16Excelență
Un cilindru este înscris într-un cub cu latura de 10 cm (baza cilindrului este cercul înscris în fața pătrată a cubului, iar înălțimea cilindrului este egală cu latura cubului). Calculează volumul cilindrului, apoi calculează ce procent din volumul cubului reprezintă volumul cilindrului (π≈3,14).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
r = 5 cm, h = 10 cm: V = 3,14 × 25 × 10 = 785 cm³, adică 78,5% din volumul cubului (1.000 cm³).
Ex. 17Excelență
Un cilindru gol (fără baze, ca un tub) are raza exterioară 6 cm, raza interioară 4 cm, iar înălțimea 20 cm. Calculează volumul de material folosit pentru a construi tubul (diferența dintre volumul cilindrului mare și cel al cilindrului mic, ambele cu aceeași înălțime).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
π × (6² − 4²) × 20 = 400π ≈ 1.256 cm³
Ex. 18Excelență
Se dă un cilindru cu volumul de 2826 cm³ (π≈3,14) și înălțimea egală cu de 2 ori raza (h=2r). Scrie ecuația V = π×r²×2r = 2πr³, apoi rezolv-o pentru a afla raza (testează valori întregi).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 3,14 × r³ = 2.826, deci r³ = 450 și r = ∛450 ≈ 7,66 cm (nu este un număr întreg).
Ex. 19Excelență
Două cilindri au aceeași înălțime, dar razele în raport de 1:2. Calculează raportul volumelor celor 2 cilindri, folosind formula volumului (indiciu: raportul volumelor este pătratul raportului razelor, deoarece înălțimea este comună).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 : 4 (raportul razelor la pătrat)
Ex. 20Excelență
Un vas cilindric cu raza 4 cm conține apă până la înălțimea de 10 cm. Se introduce în vas o piatră, iar nivelul apei crește la 13 cm. Calculează volumul pietrei (diferența dintre volumul cilindrului de apă înainte și după introducerea pietrei, la aceeași rază).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Volumul pietrei = π × 4² × 3 = 48π ≈ 150,72 cm³