Cilindrul

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Cilindrul și secțiunea lui axială

Cilindrul circular drept are două baze circulare identice și paralele, unite printr-o suprafață laterală curbă. Înălțimea este distanța dintre baze, iar raza este raza bazei.

Secțiunea axială, obținută tăind cilindrul cu un plan care trece prin axă, este un dreptunghi cu laturile 2r și h.

Un cilindru se numește echilateral dacă secțiunea lui axială este un pătrat, adică dacă înălțimea este egală cu diametrul: h = 2r.

De ținut minte

secțiunea axială: dreptunghi 2r × h

cilindru echilateral: h = 2r

Latura orizontală a secțiunii axiale este diametrul, deci raza este jumătate din ea.
Cele două baze sunt cercuri identice.

Exemplu rezolvat

Un cilindru echilateral, cu secțiunea axială pătrat, are raza 4 cm. Cât este înălțimea?

1Secțiunea axială este un pătrat, deci înălțimea este egală cu diametrul bazei.
2Diametrul este 2 × 4 = 8 cm.
3Deci înălțimea este 8 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Cilindrul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Cilindrul circular drept are două baze circulare congruente și o suprafață laterală. Desfășurarea laterală este un dreptunghi cu laturile 2πr și h, iar secțiunea axială este un dreptunghi cu laturile 2r și h.

Cilindrul și secțiunea lui axială

Cilindrul circular drept are două baze circulare identice și paralele, unite printr-o suprafață laterală curbă. Înălțimea este distanța dintre baze, iar raza este raza bazei.

Secțiunea axială, obținută tăind cilindrul cu un plan care trece prin axă, este un dreptunghi cu laturile 2r și h.

Un cilindru se numește echilateral dacă secțiunea lui axială este un pătrat, adică dacă înălțimea este egală cu diametrul: h = 2r.

secțiunea axială: dreptunghi 2r × h
cilindru echilateral: h = 2r

Latura orizontală a secțiunii axiale este diametrul, deci raza este jumătate din ea.
Cele două baze sunt cercuri identice.

Exemplu rezolvat

Un cilindru echilateral, cu secțiunea axială pătrat, are raza 4 cm. Cât este înălțimea?

Secțiunea axială este un pătrat, deci înălțimea este egală cu diametrul bazei.
Diametrul este 2 × 4 = 8 cm.
Deci înălțimea este 8 cm.

Aria bazei și aria laterală

Baza cilindrului este un cerc, deci aria ei se calculează cu A_b = πr².

Desfășurând suprafața laterală obții un dreptunghi cu o latură egală cu circumferința bazei și cealaltă egală cu înălțimea, deci A_l = 2πrh.

Aria totală adună suprafața laterală și cele două baze: A_t = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r).

A_b = πr²
A_l = 2πrh
A_t = 2πr(h + r)

La aria totală se adună două baze, nu una.
Când problema cere rezultatul „în funcție de π”, nu înlocui π cu 3,14.

Exemplu rezolvat

Un cilindru are raza 3 cm și înălțimea 7 cm. Cât este aria laterală, în funcție de π?

Aplicăm formula: A_l = 2πrh = 2π × 3 × 7.
Înmulțim numerele: 2 × 3 × 7 = 42.
Deci aria laterală este 42π cm².

Volumul cilindrului

Volumul se calculează înmulțind aria bazei cu înălțimea: V = πr²h. Este aceeași regulă ca la prismă, doar că baza este un cerc.

Pentru r = 5 cm și h = 4 cm, cu π ≈ 3,14, volumul este 3,14 × 25 × 4 = 314 cm³.

Formula merge și invers: din volum și rază afli înălțimea, împărțind la πr².

V = πr²h
h = V : (πr²)

Raza se ridică la pătrat, înălțimea nu.
Capacitatea unui vas cilindric se obține transformând cm³ în mililitri: 1 cm³ = 1 ml.

Exemplu rezolvat · alte date

Află volumul unui cilindru cu raza 3 cm și înălțimea 8 cm.

Aria bazei este π·3² = 9π cm².
Volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea.
V = 72π cm³.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un cilindru are r = 2 cm și h = 5 cm. Calculează volumul pentru π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. La cilindrul circular drept, aria bazei este πr², iar înălțimea este distanța dintre planele bazelor.
2. Volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea: V = πr²h.
3. V = 3,14 · 4 · 5 = 62,8 cm³.
Răspuns: 62,8
Exercițiul 2
Ce formă are secțiunea axială a unui cilindru drept?
Vezi rezolvarea
1. La cilindrul circular drept, aria bazei este πr², iar înălțimea este distanța dintre planele bazelor.
2. Planul care conține axa taie fiecare bază pe un diametru și suprafața laterală pe două generatoare.
3. Secțiunea axială are laturile h și 2r, deci este dreptunghi.
Răspuns: Dreptunghi
Exercițiul 3
Un cilindru are r = 3 cm. Calculează aria bazei pentru π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. La cilindrul circular drept, aria bazei este πr², iar înălțimea este distanța dintre planele bazelor.
2. Folosim aria discului: A_b = πr².
3. A_b = 3,14 · 9 = 28,26 cm².
Răspuns: 28,26
Exercițiul 4
Un cilindru are r = 4 cm și h = 10 cm. Calculează aria laterală pentru π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. La cilindrul circular drept, aria bazei este πr², iar înălțimea este distanța dintre planele bazelor.
2. Desfășurarea laterală este un dreptunghi cu laturile 2πr și h.
3. A_l = 2 · 3,14 · 4 · 10 = 251,2 cm².
Răspuns: 251,2
Exercițiul 5
Care este formula volumului cilindrului?
Vezi rezolvarea
1. La cilindrul circular drept, aria bazei este πr², iar înălțimea este distanța dintre planele bazelor.
2. Înmulțim aria unei baze cu înălțimea, ca la o prismă.
3. Baza are aria πr², deci V = πr²h.
Răspuns: V = πr²h
Exercițiul 6
Un cilindru are r = 5 cm și h = 4 cm. Calculează volumul pentru π ≈ 3,14, în cm³.
Vezi rezolvarea
1. r² = 25.
2. 25 · 4 = 100.
3. V = 3,14 · 100 = 314 cm³.
Răspuns: 314
Exercițiul 7
Un cilindru are r = 3 cm și h = 7 cm. Aria laterală, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. 2 · 3 · 7 = 42.
2. A_l = 42π cm².
3. 21π ar uita factorul 2.
Răspuns: 42π cm²
Exercițiul 8
Un cilindru are r = 2 cm și h = 5 cm. Aria totală, în funcție de π, este:
Vezi rezolvarea
1. A_l = 2π · 2 · 5 = 20π.
2. Cele două baze: 2π · 4 = 8π.
3. A_t = 28π cm².
Răspuns: 28π cm²
Exercițiul 9
Secțiunea axială a unui cilindru este un dreptunghi cu laturile de 10 cm (diametrul bazei) și 7 cm (înălțimea). Care este raza cilindrului, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. Diametrul este 10 cm.
2. r = 10 : 2.
3. r = 5 cm.
Răspuns: 5
Exercițiul 10
Un cilindru are volumul 90π cm³ și raza 3 cm. Cât este înălțimea, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. π · 9 · h = 90π.
2. 9h = 90.
3. h = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 11
Un cilindru echilateral (cu secțiunea axială pătrat) are raza 4 cm. Cât este înălțimea, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. Secțiunea axială are laturile 2r și h.
2. Pătrat înseamnă h = 2r.
3. h = 8 cm.
Răspuns: 8
Exercițiul 12
Un pahar cilindric are raza 4 cm și înălțimea 10 cm. Câți mililitri încap în el, pentru π ≈ 3,14?
Vezi rezolvarea
1. V = 3,14 · 16 · 10.
2. V = 502,4 cm³.
3. Încap 502,4 mL.
Răspuns: 502,4

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Un cilindru are raza 5 cm și înălțimea 12 cm. Calculează aria laterală (π≈3,14).
Vezi răspunsul
A_l = 2πrh = 2 × 3,14 × 5 × 12 = 376,8 cm²
2. Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează volumul cilindrului.
Vezi răspunsul
V = πr²h = 3,14 × 25 × 12 = 942 cm³
3. Dificultate redusă
Ce formă are desfășurarea suprafeței laterale a unui cilindru?
Vezi răspunsul
Un dreptunghi, cu laturile 2πr și h.
4. Dificultate redusă
Un cilindru are raza 4 cm. Calculează aria unei baze.
Vezi răspunsul
π × 4² = 16π ≈ 50,24 cm²
5. Dificultate redusă
Ce relație există între generatoare și înălțime, la un cilindru circular drept?
Vezi răspunsul
Sunt egale: G = h.
6. Dificultate medie
Un cilindru are raza 6 cm și înălțimea 15 cm. Calculează aria laterală, aria totală, apoi volumul.
Vezi răspunsul
A_l = 2 × 3,14 × 6 × 15 = 565,2 cm²; A_t = 565,2 + 2 × 3,14 × 36 = 791,28 cm²; V = 3,14 × 36 × 15 = 1.695,6 cm³.
7. Dificultate medie
Un cilindru are aria laterală de 376,8 cm² și raza 6 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsul
h = 376,8 : (2 × 3,14 × 6) = 376,8 : 37,68 = 10 cm
8. Dificultate medie
Un cilindru are volumul de 1256 cm³ și raza 5 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsul
h = 1.256 : (3,14 × 25) = 1.256 : 78,5 = 16 cm
9. Dificultate medie
Un cilindru are secțiunea axială un pătrat cu latura 10 cm. Calculează raza și înălțimea cilindrului.
Vezi răspunsul
Pătratul are latura 2r = h = 10 cm, deci r = 5 cm și h = 10 cm.
10. Dificultate medie
Un rezervor cilindric are raza 4 m și înălțimea 6 m. Calculează volumul de apă pe care îl poate conține.
Vezi răspunsul
V = 3,14 × 16 × 6 = 301,44 m³
11. Dificultate ridicată
Un cilindru are raza 8 cm și înălțimea 25 cm. Calculează aria totală, apoi volumul.
Vezi răspunsul
A_t = 2πr(r + h) = 2 × 3,14 × 8 × 33 = 1.657,92 cm²; V = 3,14 × 64 × 25 = 5.024 cm³.
12. Dificultate ridicată
Un cilindru are aria totală de 754 cm² și raza 7 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsul
2 × 3,14 × 7 × (7 + h) = 754, deci 7 + h ≈ 17,15 și h ≈ 10,15 cm.
13. Dificultate ridicată
Un rezervor cilindric trebuie să conțină 12560 litri de apă, iar raza bazei este 2 m. Calculează înălțimea necesară a rezervorului.
Vezi răspunsul
12.560 l = 12,56 m³, deci h = 12,56 : (3,14 × 4) = 1 m.
14. Dificultate ridicată
Se dă un cilindru cu raza 6 cm. Dacă înălțimea se triplează, cu ce factor se modifică volumul cilindrului?
Vezi răspunsul
Volumul se triplează (crește de 3 ori).
15. Dificultate ridicată
Se dă un cilindru cu raza 4 cm. Dacă raza se triplează (păstrând înălțimea constantă), cu ce factor se modifică volumul cilindrului?
Vezi răspunsul
Volumul crește de 9 ori (raza apare la pătrat).
16. Excelență
Un cilindru este înscris într-un cub cu latura de 10 cm (baza cilindrului este cercul înscris în fața pătrată a cubului, iar înălțimea cilindrului este egală cu latura cubului). Calculează volumul cilindrului, apoi calculează ce procent din volumul cubului reprezintă volumul cilindrului (π≈3,14).
Vezi răspunsul
r = 5 cm, h = 10 cm: V = 3,14 × 25 × 10 = 785 cm³, adică 78,5% din volumul cubului (1.000 cm³).
17. Excelență
Un cilindru gol (fără baze, ca un tub) are raza exterioară 6 cm, raza interioară 4 cm, iar înălțimea 20 cm. Calculează volumul de material folosit pentru a construi tubul (diferența dintre volumul cilindrului mare și cel al cilindrului mic, ambele cu aceeași înălțime).
Vezi răspunsul
π × (6² − 4²) × 20 = 400π ≈ 1.256 cm³
18. Excelență
Se dă un cilindru cu volumul de 2826 cm³ (π≈3,14) și înălțimea egală cu de 2 ori raza (h=2r). Scrie ecuația V = π×r²×2r = 2πr³, apoi rezolv-o pentru a afla raza (testează valori întregi).
Vezi răspunsul
2 × 3,14 × r³ = 2.826, deci r³ = 450 și r = ∛450 ≈ 7,66 cm (nu este un număr întreg).
19. Excelență
Două cilindri au aceeași înălțime, dar razele în raport de 1:2. Calculează raportul volumelor celor 2 cilindri, folosind formula volumului (indiciu: raportul volumelor este pătratul raportului razelor, deoarece înălțimea este comună).
Vezi răspunsul
1 : 4 (raportul razelor la pătrat)
20. Excelență
Un vas cilindric cu raza 4 cm conține apă până la înălțimea de 10 cm. Se introduce în vas o piatră, iar nivelul apei crește la 13 cm. Calculează volumul pietrei (diferența dintre volumul cilindrului de apă înainte și după introducerea pietrei, la aceeași rază).
Vezi răspunsul
Volumul pietrei = π × 4² × 3 = 48π ≈ 150,72 cm³