Încărcăm partea curentă…

Arii și volume — sinteză

Volumele corpurilor „cu baze”

Prisma și cilindrul se calculează la fel: volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea, V = Ab × h. Diferența este doar forma bazei — poligon la prismă, cerc la cilindru.

Pentru cub, cu muchia a, formula devine V = a3, iar pentru cilindru V = πr2h.

Aceeași idee explică și capacitatea unui bazin: îi calculezi volumul, apoi transformi în litri, știind că 1 m3 = 1 000 de litri.

De ținut minte

V = Ab × h
cub: V = a3
cilindru: V = πr2h
1 m3 = 1 000 l
  • Volumul se exprimă în cm3 sau m3; capacitatea în litri.
  • Aduce toate dimensiunile la aceeași unitate înainte de calcul.

Exemplu rezolvat · alte date

Un bazin paralelipipedic are 6 m pe 4 m și adâncimea 1,5 m. Află capacitatea în litri.

  1. 1Volumul este 6·4·1,5 = 36 m3.
  2. 21 m3 = 1000 litri.
  3. 3Capacitatea este 36000 litri.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Arii și volume — sinteză: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Sinteza ariilor și volumelor pornește de la identificarea corpului și a dimensiunilor sale. Pentru corpuri compuse, calculăm separat componentele, apoi adunăm sau scădem volumele și numai suprafețele vizibile.

Volumele corpurilor „cu baze”

Prisma și cilindrul se calculează la fel: volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea, V = Ab × h. Diferența este doar forma bazei — poligon la prismă, cerc la cilindru.

Pentru cub, cu muchia a, formula devine V = a3, iar pentru cilindru V = πr2h.

Aceeași idee explică și capacitatea unui bazin: îi calculezi volumul, apoi transformi în litri, știind că 1 m3 = 1 000 de litri.

  • V = Ab × h
  • cub: V = a3
  • cilindru: V = πr2h
  • 1 m3 = 1 000 l
  • Volumul se exprimă în cm3 sau m3; capacitatea în litri.
  • Aduce toate dimensiunile la aceeași unitate înainte de calcul.

Exemplu rezolvat · alte date

Un bazin paralelipipedic are 6 m pe 4 m și adâncimea 1,5 m. Află capacitatea în litri.

  1. Volumul este 6·4·1,5 = 36 m3.
  2. 1 m3 = 1000 litri.
  3. Capacitatea este 36000 litri.

Corpurile cu vârf: piramida și conul

Piramida și conul se calculează tot la fel între ele: volumul este o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea, V = (Ab × h) : 3.

De aici vine regula de aur a capitolului: un con și un cilindru care au aceeași bază și aceeași înălțime au volumele în raportul 1 : 3. La fel piramida față de prismă.

Așadar, dacă un cilindru are 120 cm3, conul cu aceeași bază și înălțime are 40 cm3.

  • V = (Ab × h) : 3
  • V con = V cilindru : 3
  • V piramidă = V prismă : 3
  • Împărțirea la 3 apare doar la corpurile cu vârf.
  • În formulă intră înălțimea, nu generatoarea sau apotema.

Exemplu rezolvat · alte date

O prismă are volumul 210 cm3. Află volumul unei piramide cu aceeași bază și înălțime.

  1. Prisma are V = Ab·h.
  2. Piramida are V = Ab·h3.
  3. Volumul piramidei este 2103 = 70 cm3.

Corpuri compuse

Un corp compus se obține alipind două corpuri simple. Volumul lui este suma volumelor componentelor — nimic nu se pierde.

Cu aria este altfel: suprafața pe care cele două corpuri se ating nu se vede din exterior, deci nu se adaugă la aria exterioară. Mai mult, ea trebuie scăzută din fața pe care stă corpul de deasupra.

De aceea, la un cub mic așezat pe unul mare, aria exterioară este suma ariilor totale minus de două ori aria de contact.

  • V total = V1 + V2
  • aria de contact nu se adaugă la exterior
  • Volumele se adună mereu; ariile, doar suprafețele vizibile.
  • Desenează corpul și marchează ce fețe se ating.

Exemplu rezolvat

Un cub cu muchia 2 cm este așezat pe o față a unui cub cu muchia 4 cm. Calculează aria exterioară a corpului.

  1. Aria cubului mare este 6 × 16 = 96 cm2, iar a celui mic 6 × 4 = 24 cm2.
  2. Suprafața de contact este un pătrat de 2 × 2 = 4 cm2, ascuns de două ori: și pe cubul mic, și pe cel mare.
  3. Aria exterioară este 96 + 24 − 2 × 4 = 112 cm2.

Distanța de la un punct la un plan, prin volum

Uneori piciorul perpendicularei dintr-un punct pe un plan este greu de găsit. Atunci calculăm distanța fără s-o desenăm: scriem volumul aceluiași tetraedru în două feluri.

Volumul unei piramide este V = aria bazei · înălțimea3, iar la tetraedru orice față poate fi bază. Pentru tetraedrul A′ABD din cub, cu baza ABD, înălțimea este muchia AA′, ușor de calculat. Cu baza A′BD, înălțimea este exact distanța de la A la planul (A′BD).

Egalăm cele două scrieri și obținem d = 3Varia feței. Este aceeași idee ca în plan, unde distanța de la un vârf la latura opusă este 2 · aria / latură.

  • V = aria bazei · h3
  • d(A, (A′BD)) = 3 · V(A′ABD)aria(A′BD)
  • în plan: d = 2 · arialatură
  • Alege întâi baza la care înălțimea se vede imediat, de obicei o muchie perpendiculară pe bază.
  • În cubul cu muchia a, distanța de la A la (A′BD) este a√33, adică o treime din diagonala cubului.

Exemplu rezolvat

Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia 6 cm. Află distanța de la A la planul (A′BD).

  1. Tetraedrul A′ABD, cu baza ABD și înălțimea AA′: V = (6 · 62) · 63 = 36 cm3.
  2. Triunghiul A′BD este echilateral, cu latura 6√2 cm, fiindcă laturile lui sunt diagonale ale fețelor; aria = (6√2)2√34 = 18√3 cm2.
  3. Cu baza A′BD, același volum se scrie V = aria(A′BD) · d3, unde d este distanța căutată.
  4. d = 3Varia = 10818√3 = 6√3 = 2√3 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    O prismă are Ab = 20 cm2 și h = 8 cm. Calculează volumul.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru volume folosim aria bazei și înălțimea; pentru aria exterioară numărăm doar suprafețele expuse.
    2. La prismă folosim V = Ab · h.
    3. V = 20 · 8 = 160 cm3.

    Răspuns: 160

  2. Exercițiul 2

    O piramidă are Ab = 15 cm2 și h = 9 cm. Calculează volumul.

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru volume folosim aria bazei și înălțimea; pentru aria exterioară numărăm doar suprafețele expuse.
    2. La piramidă folosim V = Ab · h3.
    3. V = 15 · 9 : 3 = 45 cm3.

    Răspuns: 45

  3. Exercițiul 3

    Un con și un cilindru au aceeași bază și înălțime. Ce relație au volumele?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru volume folosim aria bazei și înălțimea; pentru aria exterioară numărăm doar suprafețele expuse.
    2. Pentru aceeași bază și înălțime, factorul 13 este singura diferență dintre cele două formule de volum.
    3. Formula conului este o treime din formula cilindrului.

    Răspuns: Vcon = Vcilindru3

  4. Exercițiul 4

    La aria exterioară a unui corp compus, suprafața de contact dintre componente...

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru volume folosim aria bazei și înălțimea; pentru aria exterioară numărăm doar suprafețele expuse.
    2. Suprafața lipită de altă componentă devine interioară și nu se mai vede din exterior.
    3. Suprafețele interioare de contact nu fac parte din aria exterioară.

    Răspuns: nu se adaugă

  5. Exercițiul 5

    Un corp este format dintr-un cilindru și un con cu aceeași bază de rază 4 m, fiecare cu înălțimea 6 m. Care este volumul total, pentru π ≈ 3,14?

    Vezi rezolvarea
    1. Pentru volume folosim aria bazei și înălțimea; pentru aria exterioară numărăm doar suprafețele expuse.
    2. Volumele celor două componente se adună, deoarece interioarele lor nu se suprapun.
    3. Vtotal = 301,44 + 100,48 = 401,92 m3.

    Răspuns: 401,92

  6. Exercițiul 6

    Un cub are muchia 4 cm. Calculează volumul, în cm3.

    Vezi rezolvarea
    1. V = 4 · 4 · 4.
    2. V = 64.
    3. Volumul este 64 cm3.

    Răspuns: 64

  7. Exercițiul 7

    Un cilindru are r = 3 cm și h = 10 cm. Calculează volumul pentru π ≈ 3,14, în cm3.

    Vezi rezolvarea
    1. r2 · h = 9 · 10 = 90.
    2. 3,14 · 90 = 282,6.
    3. V = 282,6 cm3.

    Răspuns: 282,6

  8. Exercițiul 8

    Un con are r = 3 cm și h = 10 cm. Calculează volumul pentru π ≈ 3,14, în cm3.

    Vezi rezolvarea
    1. r2 · h = 90.
    2. 90 : 3 = 30.
    3. V = 3,14 · 30 = 94,2 cm3.

    Răspuns: 94,2

  9. Exercițiul 9

    Un cilindru are volumul 120 cm3. Ce volum are un con cu aceeași bază și aceeași înălțime?

    Vezi rezolvarea
    1. Vcon = Vcilindru3.
    2. 120 : 3 = 40.
    3. Vcon = 40 cm3.

    Răspuns: 40 cm3

  10. Exercițiul 10

    Un cub cu muchia 2 cm este așezat pe un cub cu muchia 4 cm. Care este volumul corpului obținut, în cm3?

    Vezi rezolvarea
    1. Cubul mare: 43 = 64 cm3.
    2. Cubul mic: 23 = 8 cm3.
    3. V = 72 cm3.

    Răspuns: 72

  11. Exercițiul 11

    Un cub cu muchia 2 cm este așezat pe o față a unui cub cu muchia 4 cm. Calculează aria exterioară a corpului, în cm2.

    Vezi rezolvarea
    1. Ariile totale: 6 · 16 = 96 cm2 și 6 · 4 = 24 cm2.
    2. Contactul are 2 · 2 = 4 cm2 și dispare de pe ambele cuburi.
    3. A = 96 + 24 − 2 · 4 = 112 cm2.

    Răspuns: 112

  12. Exercițiul 12

    O piscină în formă de paralelipiped are 10 m lungime, 5 m lățime și 2 m adâncime. Câți litri de apă încap în ea?

    Vezi rezolvarea
    1. V = 10 · 5 · 2 = 100 m3.
    2. 100 · 1 000 = 100 000.
    3. Încap 100 000 de litri.

    Răspuns: 100000

  13. Exercițiul 13

    Un tetraedru are volumul 36 cm3, iar una dintre fețe are aria 18 cm2. Cât este distanța de la vârful opus la această față?

    Vezi rezolvarea
    1. Volumul se scrie V = A · d3, unde d este înălțimea corespunzătoare feței.
    2. d = 3VA = 3 · 3618.
    3. d = 6 cm.

    Răspuns: 6 cm

  14. Exercițiul 14

    Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia 3 cm. Cât este volumul tetraedrului A′ABD?

    Vezi rezolvarea
    1. Triunghiul ABD este dreptunghic în A, cu aria 3 · 32 = 4,5 cm2.
    2. Înălțimea corespunzătoare este AA′ = 3 cm, pentru că AA′ ⊥ (ABD).
    3. V = 4,5 · 33 = 4,5 cm3, adică a șasea parte din volumul cubului.

    Răspuns: 4,5 cm3

  15. Exercițiul 15

    Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia 3 cm. Cât este aria triunghiului A′BD?

    Vezi rezolvarea
    1. A′B = BD = A′D = 3√2 cm, deci triunghiul A′BD este echilateral.
    2. Aria triunghiului echilateral este l2√34 = 18√34.
    3. Aria este 9√32 cm2.

    Răspuns: 9√32 cm2

  16. Exercițiul 16

    Cubul ABCDA′B′C′D′ are muchia 3 cm. Arată că distanța de la A la planul (A′BD) este √3 cm.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu baza ABD și înălțimea AA′: V(A′ABD) = (3 · 32) · 33 = 4,5 cm3.
    2. Triunghiul A′BD este echilateral, cu latura 3√2 cm, deci aria lui este 18√34 = 9√32 cm2.
    3. Cu baza A′BD: 4,5 = (9√32) · d3, deci d = 13,5 · 29√3 = 3√3 = √3 cm.

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unei prisme.

    Vezi răspunsul

    Al = perimetrul bazei × înălțimea

  2. 2. Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unei piramide regulate.

    Vezi răspunsul

    Al = perimetrul bazei × apotema piramidei : 2

  3. 3. Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unui cilindru.

    Vezi răspunsul

    Al = 2πrh (la cilindrul drept, h = G)

  4. 4. Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unui con.

    Vezi răspunsul

    Al = πrG

  5. 5. Dificultate redusă

    Scrie formula volumului unei sfere.

    Vezi răspunsul

    V = 4πr33

  6. 6. Dificultate medie

    O prismă și un cilindru au aceeași arie a bazei (25 cm2) și aceeași înălțime (10 cm). Calculează volumul fiecăruia și compară-le.

    Vezi răspunsul

    Ambele au V = aria bazei × înălțimea = 25 × 10 = 250 cm3: volumele sunt egale.

  7. 7. Dificultate medie

    O piramidă și un con au aceeași arie a bazei (18 cm2) și aceeași înălțime (12 cm). Calculează volumul fiecăruia și compară-le.

    Vezi răspunsul

    Ambele au V = 18 × 12 : 3 = 72 cm3: volumele sunt egale.

  8. 8. Dificultate medie

    Un obiect este format dintr-un cub cu latura 8 cm, peste care se află o piramidă cu aceeași bază și înălțimea 5 cm. Calculează volumul total al obiectului.

    Vezi răspunsul

    83 + 64 × 5 : 3 = 512 + 106,67 ≈ 618,67 cm3 (exact 1.8563 cm3)

  9. 9. Dificultate medie

    Un obiect este format dintr-un cilindru cu raza 4 cm și înălțimea 12 cm, din care s-a scobit un con cu aceeași bază și aceeași înălțime. Calculează volumul rămas.

    Vezi răspunsul

    Cilindrul: π × 16 × 12 = 192π; conul: 64π. Rămâne 128π ≈ 401,92 cm3.

  10. 10. Dificultate medie

    O minge cu raza 4 cm este ambalată într-o cutie cubică, cu latura exact 8 cm. Calculează volumul spațiului gol din cutie.

    Vezi răspunsul

    83 − 4π × 64 : 3 = 512 − 256π3 ≈ 512 − 267,95 = 244,05 cm3

  11. 11. Dificultate ridicată

    Un obiect are forma unei semisfere cu raza 8 cm, așezată peste un cilindru cu aceeași rază și înălțimea 12 cm. Calculează volumul total al obiectului.

    Vezi răspunsul

    Semisfera: 2π × 512 : 3 = 1.024π3 ≈ 1.071,79 cm3. Cilindrul: π × 64 × 12 = 768π ≈ 2.411,52 cm3. Total ≈ 3.483,31 cm3.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Un turn de apă are forma unui cilindru cu raza 6 m și înălțimea 15 m, cu un acoperiș conic, cu aceeași rază și înălțimea 5 m. Calculează volumul total al turnului, apoi aria laterală vizibilă.

    Vezi răspunsul

    V = π × 36 × 15 + π × 36 × 5 : 3 = 540π + 60π = 600π ≈ 1.884 m3. Aria laterală vizibilă: cilindrul 2π × 6 × 15 = 180π, iar conul π × 6 × √61 (G = 36 + 25 = √61); total ≈ 712,34 m2.

  13. 13. Dificultate ridicată

    O bomboană are forma unei sfere cu raza 2 cm. Calculează volumul unei singure bomboane, apoi calculează câte bomboane, teoretic, ar încăpea într-o cutie cubică cu latura 20 cm.

    Vezi răspunsul

    O bomboană: 4π × 8 : 3 = 32π3 ≈ 33,49 cm3. După volum, 8.000 : 33,49 ≈ 238 de bomboane; în realitate încap doar 5 × 5 × 5 = 125.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un obiect din lemn are forma unui con din care s-a decupat, prin bază, o emisferă cu aceeași rază ca baza conului. Dacă raza este 5 cm, iar înălțimea conului este 12 cm, calculează volumul obiectului rămas.

    Vezi răspunsul

    Conul: π × 25 × 12 : 3 = 100π. Emisfera: 2π × 125 : 3 = 250π3. Rămâne 100π − 250π3 = 50π3 ≈ 52,33 cm3.

  15. 15. Dificultate ridicată

    O clepsidră este formată din 2 conuri identice, unite prin vârfuri, fiecare cu raza 4 cm și înălțimea 8 cm. Calculează volumul total al clepsidrei.

    Vezi răspunsul

    2 × π × 16 × 8 : 3 = 256π3 ≈ 267,95 cm3

  16. 16. Excelență

    Un obiect are forma unui cilindru cu raza 5 cm și înălțimea 20 cm, cu o emisferă atașată la fiecare capăt (ambele capete "rotunjite"). Calculează volumul total al obiectului, apoi aria suprafeței vizibile (aria laterală a cilindrului plus ariile celor 2 semisfere).

    Vezi răspunsul

    Volumul: π × 25 × 20 + 4π × 125 : 3 = 500π + 500π3 = 2.000π3 ≈ 2.093,33 cm3. Aria vizibilă: 2π × 5 × 20 + 4π × 25 = 300π ≈ 942 cm2.

  17. 17. Excelență

    Un rezervor industrial are forma unei prisme cu baza pătrată de 4 m latura și înălțimea 6 m, cu un capac în formă de piramidă regulată, cu aceeași bază și înălțimea 1,5 m. Calculează volumul total al rezervorului, apoi calculează câți metri cubi de material ar fi necesari pentru pereții laterali (aria laterală a prismei plus aria laterală a piramidei, înmulțite cu o grosime ipotetică — doar calculează suma ariilor laterale).

    Vezi răspunsul

    V = 42 × 6 + 42 × 1,5 : 3 = 96 + 8 = 104 m3. Aria laterală a prismei: 16 × 6 = 96 m2. Apotema piramidei: 1,52 + 22 = 2,5 m, deci aria ei laterală este 16 × 2,5 : 2 = 20 m2. Suma: 116 m2.

  18. 18. Excelență

    Se dă un con cu raza 6 cm și înălțimea 8 cm, din care se decupează un con mai mic, asemenea cu cel inițial, cu raportul de asemănare 12 (vârful comun, la aceeași "orientare"). Calculează volumul conului trunchiat rămas (diferența dintre volumul conului mare și cel al conului mic, acesta din urmă calculat folosind raportul volumelor, care este cubul raportului de asemănare, 18).

    Vezi răspunsul

    Conul mare: π × 36 × 8 : 3 = 96π. Conul mic: 96π : 8 = 12π. Rămâne 84π ≈ 263,76 cm3.

  19. 19. Excelență

    O piscină are forma unei prisme cu baza un trapez (secțiune laterală, cu adâncimea variind de la 1 m la 2,5 m pe o distanță de 25 m), iar lățimea piscinei este 10 m. Calculează volumul de apă necesar, folosind aria trapezului (secțiunea laterală) înmulțită cu lățimea (ca o "prismă" cu bază trapezoidală).

    Vezi răspunsul

    Aria trapezului: (1 + 2,5) × 25 : 2 = 43,75 m2; volumul: 43,75 × 10 = 437,5 m3.

  20. 20. Excelență

    Un glob de cristal (sferă) cu raza 8 cm este așezat pe un suport cilindric cu aceeași rază și înălțimea 3 cm. Calculează volumul total (sferă + cilindru), apoi calculează aria suprafeței vizibile (aria sferei plus aria laterală a cilindrului, fără bazele acoperite de contact).

    Vezi răspunsul

    Volumul: 4π × 512 : 3 + π × 64 × 3 = 2.048π3 + 192π ≈ 2.746,45 cm3. Aria vizibilă: 4π × 64 + 2π × 8 × 3 = 304π ≈ 954,56 cm2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.