Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min
V

Teorie înainte de exerciții

Arii și volume — sinteză

Sinteza ariilor și volumelor pornește de la identificarea corpului și a dimensiunilor sale. Pentru corpuri compuse, calculăm separat componentele, apoi adunăm sau scădem volumele și numai suprafețele vizibile.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

hr
Cilindrul circular drept are două baze circulare egale. Raza este r, iar înălțimea h unește perpendicular planele bazelor. Bazele apar ca elipse numai din cauza perspectivei. Volumul este aria bazei înmulțită cu h: πr²h.
1

Volumele corpurilor „cu baze”

Prisma și cilindrul se calculează la fel: volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea, V = A_b × h. Diferența este doar forma bazei — poligon la prismă, cerc la cilindru.

Pentru cub, cu muchia a, formula devine V = a3, iar pentru cilindru V = πr2h.

Aceeași idee explică și capacitatea unui bazin: îi calculezi volumul, apoi transformi în litri, știind că 1 m3 = 1 000 de litri.

V = A_b × h
cub: V = a3
cilindru: V = πr2h
1 m3 = 1 000 l
  • Volumul se exprimă în cm3 sau m3; capacitatea în litri.
  • Aduce toate dimensiunile la aceeași unitate înainte de calcul.

Exemplu rezolvat

O piscină în formă de paralelipiped are 10 m lungime, 5 m lățime și 2 m adâncime. Câți litri de apă încap în ea?

  1. 1.Calculăm volumul: 10 × 5 × 2 = 100 m3.
  2. 2.Transformăm în litri: 1 m3 = 1 000 l.
  3. 3.Deci încap 100 000 de litri.
2

Corpurile cu vârf: piramida și conul

Piramida și conul se calculează tot la fel între ele: volumul este o treime din aria bazei înmulțită cu înălțimea, V = (A_b × h) : 3.

De aici vine regula de aur a capitolului: un con și un cilindru care au aceeași bază și aceeași înălțime au volumele în raportul 1 : 3. La fel piramida față de prismă.

Așadar, dacă un cilindru are 120 cm3, conul cu aceeași bază și înălțime are 40 cm3.

V = (A_b × h) : 3
V con = V cilindru : 3
V piramidă = V prismă : 3
  • Împărțirea la 3 apare doar la corpurile cu vârf.
  • În formulă intră înălțimea, nu generatoarea sau apotema.

Exemplu rezolvat

Un cilindru are volumul 120 cm3. Ce volum are un con cu aceeași bază și aceeași înălțime?

  1. 1.Volumul conului este o treime din cel al cilindrului corespunzător.
  2. 2.Împărțim: 120 : 3.
  3. 3.Conul are volumul 40 cm3.
3

Corpuri compuse

Un corp compus se obține alipind două corpuri simple. Volumul lui este suma volumelor componentelor — nimic nu se pierde.

Cu aria este altfel: suprafața pe care cele două corpuri se ating nu se vede din exterior, deci nu se adaugă la aria exterioară. Mai mult, ea trebuie scăzută din fața pe care stă corpul de deasupra.

De aceea, la un cub mic așezat pe unul mare, aria exterioară este suma ariilor totale minus de două ori aria de contact.

V total = V1 + V2
aria de contact nu se adaugă la exterior
  • Volumele se adună mereu; ariile, doar suprafețele vizibile.
  • Desenează corpul și marchează ce fețe se ating.

Exemplu rezolvat

Un cub cu muchia 2 cm este așezat pe o față a unui cub cu muchia 4 cm. Calculează aria exterioară a corpului.

  1. 1.Aria cubului mare este 6 × 16 = 96 cm2, iar a celui mic 6 × 4 = 24 cm2.
  2. 2.Suprafața de contact este un pătrat de 2 × 2 = 4 cm2, ascuns de două ori: și pe cubul mic, și pe cel mare.
  3. 3.Aria exterioară este 96 + 24 − 2 × 4 = 112 cm2.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unei prisme.

    Vezi răspunsul

    A_l = perimetrul bazei × înălțimea

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unei piramide regulate.

    Vezi răspunsul

    A_l = perimetrul bazei × apotema piramidei : 2

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unui cilindru.

    Vezi răspunsul

    A_l = 2πrh (la cilindrul drept, h = G)

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Scrie formula ariei laterale a unui con.

    Vezi răspunsul

    A_l = πrG

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Scrie formula volumului unei sfere.

    Vezi răspunsul

    V = 4πr33

  6. Ex. 6Dificultate medie

    O prismă și un cilindru au aceeași arie a bazei (25 cm2) și aceeași înălțime (10 cm). Calculează volumul fiecăruia și compară-le.

    Vezi răspunsul

    Ambele au V = aria bazei × înălțimea = 25 × 10 = 250 cm3: volumele sunt egale.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    O piramidă și un con au aceeași arie a bazei (18 cm2) și aceeași înălțime (12 cm). Calculează volumul fiecăruia și compară-le.

    Vezi răspunsul

    Ambele au V = 18 × 12 : 3 = 72 cm3: volumele sunt egale.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Un obiect este format dintr-un cub cu latura 8 cm, peste care se află o piramidă cu aceeași bază și înălțimea 5 cm. Calculează volumul total al obiectului.

    Vezi răspunsul

    83 + 64 × 5 : 3 = 512 + 106,67 ≈ 618,67 cm3 (exact 1.8563 cm3)

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Un obiect este format dintr-un cilindru cu raza 4 cm și înălțimea 12 cm, din care s-a scobit un con cu aceeași bază și aceeași înălțime. Calculează volumul rămas.

    Vezi răspunsul

    Cilindrul: π × 16 × 12 = 192π; conul: 64π. Rămâne 128π ≈ 401,92 cm3.

  10. Ex. 10Dificultate medie

    O minge cu raza 4 cm este ambalată într-o cutie cubică, cu latura exact 8 cm. Calculează volumul spațiului gol din cutie.

    Vezi răspunsul

    83 − 4π × 64 : 3 = 512 − 256π3 ≈ 512 − 267,95 = 244,05 cm3

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Un obiect are forma unei semisfere cu raza 8 cm, așezată peste un cilindru cu aceeași rază și înălțimea 12 cm. Calculează volumul total al obiectului.

    Vezi răspunsul

    Semisfera: 2π × 512 : 3 = 1.024π3 ≈ 1.071,79 cm3. Cilindrul: π × 64 × 12 = 768π ≈ 2.411,52 cm3. Total ≈ 3.483,31 cm3.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Un turn de apă are forma unui cilindru cu raza 6 m și înălțimea 15 m, cu un acoperiș conic, cu aceeași rază și înălțimea 5 m. Calculează volumul total al turnului, apoi aria laterală vizibilă.

    Vezi răspunsul

    V = π × 36 × 15 + π × 36 × 5 : 3 = 540π + 60π = 600π ≈ 1.884 m3. Aria laterală vizibilă: cilindrul 2π × 6 × 15 = 180π, iar conul π × 6 × √61 (G = 36 + 25 = √61); total ≈ 712,34 m2.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    O bomboană are forma unei sfere cu raza 2 cm. Calculează volumul unei singure bomboane, apoi calculează câte bomboane, teoretic, ar încăpea într-o cutie cubică cu latura 20 cm.

    Vezi răspunsul

    O bomboană: 4π × 8 : 3 = 32π3 ≈ 33,49 cm3. După volum, 8.000 : 33,49 ≈ 238 de bomboane; în realitate încap doar 5 × 5 × 5 = 125.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Un obiect din lemn are forma unui con din care s-a decupat, prin bază, o emisferă cu aceeași rază ca baza conului. Dacă raza este 5 cm, iar înălțimea conului este 12 cm, calculează volumul obiectului rămas.

    Vezi răspunsul

    Conul: π × 25 × 12 : 3 = 100π. Emisfera: 2π × 125 : 3 = 250π3. Rămâne 100π − 250π3 = 50π3 ≈ 52,33 cm3.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    O clepsidră este formată din 2 conuri identice, unite prin vârfuri, fiecare cu raza 4 cm și înălțimea 8 cm. Calculează volumul total al clepsidrei.

    Vezi răspunsul

    2 × π × 16 × 8 : 3 = 256π3 ≈ 267,95 cm3

  16. Ex. 16Excelență

    Un obiect are forma unui cilindru cu raza 5 cm și înălțimea 20 cm, cu o emisferă atașată la fiecare capăt (ambele capete "rotunjite"). Calculează volumul total al obiectului, apoi aria suprafeței vizibile (aria laterală a cilindrului plus ariile celor 2 semisfere).

    Vezi răspunsul

    Volumul: π × 25 × 20 + 4π × 125 : 3 = 500π + 500π3 = 2.000π3 ≈ 2.093,33 cm3. Aria vizibilă: 2π × 5 × 20 + 4π × 25 = 300π ≈ 942 cm2.

  17. Ex. 17Excelență

    Un rezervor industrial are forma unei prisme cu baza pătrată de 4 m latura și înălțimea 6 m, cu un capac în formă de piramidă regulată, cu aceeași bază și înălțimea 1,5 m. Calculează volumul total al rezervorului, apoi calculează câți metri cubi de material ar fi necesari pentru pereții laterali (aria laterală a prismei plus aria laterală a piramidei, înmulțite cu o grosime ipotetică — doar calculează suma ariilor laterale).

    Vezi răspunsul

    V = 42 × 6 + 42 × 1,5 : 3 = 96 + 8 = 104 m3. Aria laterală a prismei: 16 × 6 = 96 m2. Apotema piramidei: 1,52 + 22 = 2,5 m, deci aria ei laterală este 16 × 2,5 : 2 = 20 m2. Suma: 116 m2.

  18. Ex. 18Excelență

    Se dă un con cu raza 6 cm și înălțimea 8 cm, din care se decupează un con mai mic, asemenea cu cel inițial, cu raportul de asemănare 12 (vârful comun, la aceeași "orientare"). Calculează volumul conului trunchiat rămas (diferența dintre volumul conului mare și cel al conului mic, acesta din urmă calculat folosind raportul volumelor, care este cubul raportului de asemănare, 18).

    Vezi răspunsul

    Conul mare: π × 36 × 8 : 3 = 96π. Conul mic: 96π : 8 = 12π. Rămâne 84π ≈ 263,76 cm3.

  19. Ex. 19Excelență

    O piscină are forma unei prisme cu baza un trapez (secțiune laterală, cu adâncimea variind de la 1 m la 2,5 m pe o distanță de 25 m), iar lățimea piscinei este 10 m. Calculează volumul de apă necesar, folosind aria trapezului (secțiunea laterală) înmulțită cu lățimea (ca o "prismă" cu bază trapezoidală).

    Vezi răspunsul

    Aria trapezului: (1 + 2,5) × 25 : 2 = 43,75 m2; volumul: 43,75 × 10 = 437,5 m3.

  20. Ex. 20Excelență

    Un glob de cristal (sferă) cu raza 8 cm este așezat pe un suport cilindric cu aceeași rază și înălțimea 3 cm. Calculează volumul total (sferă + cilindru), apoi calculează aria suprafeței vizibile (aria sferei plus aria laterală a cilindrului, fără bazele acoperite de contact).

    Vezi răspunsul

    Volumul: 4π × 512 : 3 + π × 64 × 3 = 2.048π3 + 192π ≈ 2.746,45 cm3. Aria vizibilă: 4π × 64 + 2π × 8 × 3 = 304π ≈ 954,56 cm2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.