Trapezul

Trapezul are două laturi opuse paralele, numite baze. Linia mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media lor aritmetică.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Linia mijlocie m unește mijloacele laturilor laterale și este paralelă cu bazele.

Trapezul, perimetrul și linia mijlocie

Trapezul este patrulaterul cu exact o pereche de laturi paralele, numite baze: baza mare B și baza mică b. Celelalte două laturi se numesc laturi laterale, iar perimetrul este suma tuturor celor patru laturi.

Linia mijlocie a trapezului este segmentul care unește mijloacele laturilor laterale. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este media aritmetică a bazelor: m = (B + b) : 2.

Formula merge și invers: dacă știi linia mijlocie și o bază, o afli pe cealaltă cu b = 2m − B.

P = B + b + l₁ + l₂

m = (B + b) : 2

b = 2m − B

Linia mijlocie este întotdeauna între cele două baze ca lungime.
La trapezul isoscel, cele două laturi laterale sunt egale, deci perimetrul are doar trei valori distincte.

Exemplu rezolvat

Un trapez are linia mijlocie 18 cm și baza mare 22 cm. Cât este baza mică?

1.Linia mijlocie este media bazelor: 18 = (22 + b) : 2.
2.Înmulțim cu 2: 36 = 22 + b.
3.Rezultă b = 14 cm.

Felurile de trapeze

Un trapez oarecare are laturile laterale de lungimi diferite și niciun unghi drept. Trapezul isoscel are laturile laterale congruente, iar trapezul dreptunghic are o latură laterală perpendiculară pe baze.

În trapezul isoscel, unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente, iar diagonalele sunt egale. Aceste proprietăți nu se aplică la un trapez oarecare.

În orice trapez însă, unghiurile alăturate unei laturi laterale sunt suplementare, fiindcă bazele sunt paralele, iar latura laterală este secantă.

isoscel: ∢A = ∢B și AC = BD

în orice trapez: ∢A + ∢D = 180°

dreptunghic: latura laterală = înălțimea

Unghiurile de la aceeași bază sunt egale doar la trapezul isoscel.
La trapezul dreptunghic, latura perpendiculară pe baze este chiar înălțimea.

Exemplu rezolvat

În trapezul ABCD cu AB ∥ CD, ∢A = 70°. Cât este ∢D?

1.Unghiurile A și D sunt alăturate laturii laterale [AD], iar bazele sunt paralele.
2.Deci unghiurile sunt suplementare: ∢A + ∢D = 180°.
3.Rezultă ∢D = 180° − 70° = 110°.

Aria trapezului

Aria trapezului se calculează cu formula A = [(B + b) × h] : 2, unde h este înălțimea, adică distanța perpendiculară dintre baze.

Fiindcă (B + b) : 2 este chiar linia mijlocie, formula se poate scrie și mai scurt: A = linia mijlocie × înălțimea.

La trapezul dreptunghic, înălțimea este chiar latura laterală perpendiculară pe baze, deci nu mai trebuie calculată.

A = [(B + b) × h] : 2

A = m × h

Laturile laterale oblice nu intră în formula ariei.
Dacă ai linia mijlocie, aria se obține dintr-o singură înmulțire.

Exemplu rezolvat

Un trapez dreptunghic are bazele 14 cm și 8 cm, iar latura perpendiculară pe baze de 5 cm. Calculează aria.

1.Latura perpendiculară pe baze este înălțimea, deci h = 5 cm.
2.Adunăm bazele: 14 + 8 = 22, apoi înmulțim cu înălțimea: 22 × 5 = 110.
3.Împărțim la 2: aria este 55 cm².

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un trapez are bazele de 18 cm și 10 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(18 + 10) : 2 = 14 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui trapez cu bazele de 15 cm și 9 cm, și laturile laterale de 6 cm și 7 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15 + 9 + 6 + 7 = 37 cm
Ex. 3Dificultate redusă
Ce este un trapez dreptunghic?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un trapez în care o latură laterală este perpendiculară pe baze (are două unghiuri drepte).
Ex. 4Dificultate redusă
Un trapez isoscel are laturile laterale de 11 cm. Sunt ele congruente între ele? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: la trapezul isoscel laturile laterale sunt congruente, prin definiție.
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează aria unui trapez cu bazele de 12 cm și 8 cm, și înălțimea de 5 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12 + 8) × 5 : 2 = 50 cm²
Ex. 6Dificultate medie
Un trapez isoscel MNPQ are m(∢M) = 68°. Calculează m(∢N), m(∢P), m(∢Q).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢N) = 68° (unghiurile de la aceeași bază sunt congruente), m(∢P) = m(∢Q) = 180° − 68° = 112°.
Ex. 7Dificultate medie
Un trapez are linia mijlocie de 18 cm, iar baza mare este de 22 cm. Calculează baza mică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = 2 × 18 − 22 = 14 cm
Ex. 8Dificultate medie
Un trapez isoscel are diagonalele MP = 16 cm. Calculează NQ, folosind proprietatea specifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
NQ = MP = 16 cm (trapezul isoscel are diagonalele congruente).
Ex. 9Dificultate medie
Un trapez are aria de 72 cm² și înălțimea de 8 cm. Calculează suma bazelor, apoi linia mijlocie.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Suma bazelor: 2 × 72 : 8 = 18 cm; linia mijlocie: 9 cm.
Ex. 10Dificultate medie
Un trapez dreptunghic are o latură laterală perpendiculară pe baze, cu lungimea de 10 cm. Ce reprezintă, de fapt, această latură laterală?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este chiar înălțimea trapezului.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un trapez isoscel are bazele de 20 cm și 12 cm, iar înălțimea de 8 cm. Calculează lungimea laturii laterale, folosind un triunghi dreptunghic format prin proiecția laturii laterale pe baza mare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Proiecția laturii laterale pe baza mare: (20 − 12) : 2 = 4 cm. Latura laterală: 8² + 4² = √80 = 4√5 ≈ 8,94 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un trapez are perimetrul de 60 cm, iar bazele sunt în raportul 23. Dacă laturile laterale sunt egale, de 11 cm fiecare, calculează lungimile celor două baze.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
B + b = 60 − 22 = 38 și bB = 23: b = 15,2 cm, B = 22,8 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Aria unui trapez isoscel este 96 cm², iar înălțimea este 8 cm. Calculează linia mijlocie, apoi determină cele două baze, știind că diferența lor este 6 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Linia mijlocie: 96 : 8 = 12 cm, deci B + b = 24; cu B − b = 6: B = 15 cm, b = 9 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un trapez isoscel are unghiul de la baza mare de 55°. Calculează unghiul de la baza mică, apoi verifică suma tuturor celor 4 unghiuri ale trapezului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 55° = 125°. Verificare: 55° + 55° + 125° + 125° = 360°.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un teren în formă de trapez are bazele de 50 m și 30 m, iar aria de 640 m². Calculează înălțimea trapezului, apoi calculează linia mijlocie a terenului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(50 + 30) × h : 2 = 640, deci h = 16 m; linia mijlocie: (50 + 30) : 2 = 40 m.
Ex. 16Excelență
Un trapez isoscel are bazele de 24 cm și 10 cm. Diagonalele sale sunt perpendiculare între ele (caz particular). Calculează aria trapezului, folosind faptul că, în acest caz special, aria se poate calcula și cu formula A = (d1 × d2) : 2, unde d1 și d2 sunt diagonalele (egale, fiind trapez isoscel), apoi verifică rezultatul folosind și formula standard, dacă poți determina înălțimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
La trapezul isoscel cu diagonalele perpendiculare, înălțimea este egală cu linia mijlocie: h = (24 + 10) : 2 = 17 cm. Aria: 17 × 17 = 289 cm². Verificare: d² : 2 = 289, deci diagonala are 17√2 cm.
Ex. 17Excelență
Un trapez are bazele de 30 cm și 18 cm, iar aria de 288 cm². Calculează înălțimea, apoi determină lungimea laturii laterale a unui trapez isoscel cu aceste dimensiuni, folosind un triplet numeric potrivit.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 2 × 288 : 48 = 12 cm. Proiecția laturii laterale: (30 − 18) : 2 = 6 cm, deci latura laterală are 144 + 36 = √180 = 6√5 ≈ 13,42 cm (nu este un triplet cu numere întregi).
Ex. 18Excelență
Linia mijlocie a unui trapez împarte trapezul în două trapeze mai mici. Explică, folosind proprietatea liniei mijlocii, de ce aceste 2 trapeze mai mici NU au, în general, arii egale, chiar dacă au aceeași înălțime (jumătate din înălțimea inițială).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Au aceeași înălțime, h2, dar baze diferite: cel de sus are b și m = B + b2, cel de jos m și B. Ariile (b + m) × h4 și (m + B) × h4 ar fi egale doar dacă b = B, ceea ce la un trapez nu se întâmplă.
Ex. 19Excelență
Un trapez dreptunghic are bazele de 16 cm și 9 cm, iar latura laterală perpendiculară pe baze este 12 cm (aceasta este chiar înălțimea trapezului). Calculează aria trapezului, apoi calculează lungimea celeilalte laturi laterale (folosind un triunghi dreptunghic cu catetele 12 cm și diferența bazelor, 7 cm — verifică dacă rezultă un triplet cunoscut sau aproximează).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = (16 + 9) × 12 : 2 = 150 cm². Cealaltă latură laterală: 12² + 7² = √193 ≈ 13,89 cm (nu este un triplet cu numere întregi).
Ex. 20Excelență
Un trapez isoscel are perimetrul de 64 cm, iar laturile laterale sunt de 13 cm fiecare. Dacă înălțimea trapezului este 12 cm, calculează diferența dintre baze (folosind proiecția laturii laterale, un triunghi dreptunghic cu catetele 12 și diferența2, iar ipotenuza 13 — un triplet cunoscut), apoi calculează cele două baze, știind și suma lor din perimetru.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5² + 12² = 13², deci proiecția laturii laterale este 5 cm și B − b = 10 cm. Din perimetru, B + b = 64 − 26 = 38 cm: B = 24 cm, b = 14 cm.