Trapezul

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Trapezul, perimetrul și linia mijlocie

Trapezul este patrulaterul cu exact o pereche de laturi paralele, numite baze: baza mare B și baza mică b. Celelalte două laturi se numesc laturi laterale, iar perimetrul este suma tuturor celor patru laturi.

Linia mijlocie a trapezului este segmentul care unește mijloacele laturilor laterale. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este media aritmetică a bazelor: m = (B + b) : 2.

Formula merge și invers: dacă știi linia mijlocie și o bază, o afli pe cealaltă cu b = 2m − B.

De ținut minte

P = B + b + l₁ + l₂

m = (B + b) : 2

b = 2m − B

Linia mijlocie este întotdeauna între cele două baze ca lungime.
La trapezul isoscel, cele două laturi laterale sunt egale, deci perimetrul are doar trei valori distincte.

Exemplu rezolvat · alte date

Un trapez are bazele 17 și 9 cm. Află linia mijlocie.

1Linia mijlocie este media lungimilor bazelor.
217 + 92 = 262.
3Lungimea este 13 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trapezul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Trapezul are două laturi opuse paralele, numite baze. Linia mijlocie este paralelă cu bazele și are lungimea egală cu media lor aritmetică.

Trapezul, perimetrul și linia mijlocie

Linia mijlocie a trapezului este segmentul care unește mijloacele laturilor laterale. Ea este paralelă cu bazele, iar lungimea ei este media aritmetică a bazelor: m = (B + b) : 2.

Formula merge și invers: dacă știi linia mijlocie și o bază, o afli pe cealaltă cu b = 2m − B.

P = B + b + l₁ + l₂
m = (B + b) : 2
b = 2m − B

Linia mijlocie este întotdeauna între cele două baze ca lungime.
La trapezul isoscel, cele două laturi laterale sunt egale, deci perimetrul are doar trei valori distincte.

Exemplu rezolvat · alte date

Un trapez are bazele 17 și 9 cm. Află linia mijlocie.

Linia mijlocie este media lungimilor bazelor.
17 + 92 = 262.
Lungimea este 13 cm.

Felurile de trapeze

Un trapez oarecare are laturile laterale de lungimi diferite și niciun unghi drept. Trapezul isoscel are laturile laterale congruente, iar trapezul dreptunghic are o latură laterală perpendiculară pe baze.

În trapezul isoscel, unghiurile alăturate fiecărei baze sunt congruente, iar diagonalele sunt egale. Aceste proprietăți nu se aplică la un trapez oarecare.

În orice trapez însă, unghiurile alăturate unei laturi laterale sunt suplementare, fiindcă bazele sunt paralele, iar latura laterală este secantă.

isoscel: ∢A = ∢B și AC = BD
în orice trapez: ∢A + ∢D = 180°
dreptunghic: latura laterală = înălțimea

Unghiurile de la aceeași bază sunt egale doar la trapezul isoscel.
La trapezul dreptunghic, latura perpendiculară pe baze este chiar înălțimea.

Exemplu rezolvat

În trapezul ABCD cu AB ∥ CD, ∢A = 70°. Cât este ∢D?

Unghiurile A și D sunt alăturate laturii laterale [AD], iar bazele sunt paralele.
Deci unghiurile sunt suplementare: ∢A + ∢D = 180°.
Rezultă ∢D = 180° − 70° = 110°.

Aria trapezului

Aria trapezului se calculează cu formula A = [(B + b) × h] : 2, unde h este înălțimea, adică distanța perpendiculară dintre baze.

Fiindcă (B + b) : 2 este chiar linia mijlocie, formula se poate scrie și mai scurt: A = linia mijlocie × înălțimea.

La trapezul dreptunghic, înălțimea este chiar latura laterală perpendiculară pe baze, deci nu mai trebuie calculată.

A = [(B + b) × h] : 2
A = m × h

Laturile laterale oblice nu intră în formula ariei.
Dacă ai linia mijlocie, aria se obține dintr-o singură înmulțire.

Exemplu rezolvat

Un trapez dreptunghic are bazele 14 cm și 8 cm, iar latura perpendiculară pe baze de 5 cm. Calculează aria.

Latura perpendiculară pe baze este înălțimea, deci h = 5 cm.
Adunăm bazele: 14 + 8 = 22, apoi înmulțim cu înălțimea: 22 × 5 = 110.
Împărțim la 2: aria este 55 cm².

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un trapez are bazele 18 cm și 10 cm. Calculează linia mijlocie.
Vezi rezolvarea
1. Linia mijlocie este media celor două baze.
2. m = 18 + 102 = 282.
3. m = 14 cm; nu este semidiferența bazelor.
Răspuns: 14
Exercițiul 2
Calculează aria unui trapez cu bazele 12 cm și 8 cm și înălțimea 5 cm.
Vezi rezolvarea
1. Aria trapezului este (B + b)h2.
2. Înlocuim: (12 + 8)·52 = 20·52.
3. Aria este 50 cm²; înălțimea este perpendiculară pe baze, nu o latură oblică.
Răspuns: 50
Exercițiul 3
Un trapez are linia mijlocie 18 cm și baza mare 22 cm. Cât este baza mică?
Vezi rezolvarea
1. m = B + b2, deci 18 = 22 + b2.
2. 36 = 22 + b.
3. b = 14 cm; verificare: 22 + 142 = 18.
Răspuns: 14
Exercițiul 4
Într-un trapez isoscel, diagonalele sunt...
Vezi rezolvarea
1. Un trapez isoscel are laturile neparalele egale.
2. Prin simetrie, diagonalele lui sunt congruente.
3. Concluzia este că diagonalele sunt egale în lungime; nu sunt în general perpendiculare.
Răspuns: egale
Exercițiul 5
Într-un trapez dreptunghic, latura perpendiculară pe baze este...
Vezi rezolvarea
1. Înălțimea este un segment perpendicular pe cele două baze.
2. În trapezul dreptunghic, una dintre laturile neparalele este perpendiculară pe baze.
3. Acea latură este o înălțime și lungimea ei poate fi folosită în formula ariei.
Răspuns: înălțimea
Exercițiul 6
Un trapez are bazele 15 cm și 9 cm. Calculează linia mijlocie, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. B + b = 24.
2. 24 : 2 = 12.
3. m = 12 cm.
Răspuns: 12
Exercițiul 7
Un trapez are bazele 20 cm și 12 cm și înălțimea 7 cm. Calculează aria, în cm².
Vezi rezolvarea
1. B + b = 32.
2. 32 · 7 = 224.
3. 224 : 2 = 112 cm².
Răspuns: 112
Exercițiul 8
Un trapez are linia mijlocie 11 cm și înălțimea 6 cm. Calculează aria, în cm².
Vezi rezolvarea
1. B + b2 = m = 11 cm.
2. A = m · h.
3. A = 11 · 6 = 66 cm².
Răspuns: 66
Exercițiul 9
Un trapez isoscel are bazele 16 cm și 10 cm, iar laturile laterale de 5 cm. Calculează perimetrul, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. P = B + b + l₁ + l₂.
2. 16 + 10 + 5 + 5.
3. P = 36 cm.
Răspuns: 36
Exercițiul 10
În trapezul isoscel ABCD cu AB ∥ CD, ∢A = 65°. Cât este ∢B, în grade?
Vezi rezolvarea
1. A și B sunt unghiurile de la baza AB.
2. Trapezul este isoscel.
3. ∢B = 65°.
Răspuns: 65
Exercițiul 11
În trapezul ABCD cu AB ∥ CD, ∢A = 70°. Cât este ∢D, în grade?
Vezi rezolvarea
1. AB ∥ CD, iar AD este secantă.
2. Unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.
3. ∢D = 180° − 70° = 110°.
Răspuns: 110
Exercițiul 12
Un trapez dreptunghic are bazele 14 cm și 8 cm, iar latura perpendiculară pe baze de 5 cm. Calculează aria, în cm².
Vezi rezolvarea
1. h = 5 cm.
2. (14 + 8) · 5 = 110.
3. 110 : 2 = 55 cm².
Răspuns: 55

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Un trapez are bazele de 18 cm și 10 cm. Calculează lungimea liniei mijlocii.
Vezi răspunsul
(18 + 10) : 2 = 14 cm
2. Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui trapez cu bazele de 15 cm și 9 cm, și laturile laterale de 6 cm și 7 cm.
Vezi răspunsul
15 + 9 + 6 + 7 = 37 cm
3. Dificultate redusă
Ce este un trapez dreptunghic?
Vezi răspunsul
Un trapez în care o latură laterală este perpendiculară pe baze (are două unghiuri drepte).
4. Dificultate redusă
Un trapez isoscel are laturile laterale de 11 cm. Sunt ele congruente între ele? Justifică.
Vezi răspunsul
Da: la trapezul isoscel laturile laterale sunt congruente, prin definiție.
5. Dificultate redusă
Calculează aria unui trapez cu bazele de 12 cm și 8 cm, și înălțimea de 5 cm.
Vezi răspunsul
(12 + 8) × 5 : 2 = 50 cm²
6. Dificultate medie
Un trapez isoscel MNPQ are m(∢M) = 68°. Calculează m(∢N), m(∢P), m(∢Q).
Vezi răspunsul
m(∢N) = 68° (unghiurile de la aceeași bază sunt congruente), m(∢P) = m(∢Q) = 180° − 68° = 112°.
7. Dificultate medie
Un trapez are linia mijlocie de 18 cm, iar baza mare este de 22 cm. Calculează baza mică.
Vezi răspunsul
b = 2 × 18 − 22 = 14 cm
8. Dificultate medie
Un trapez isoscel are diagonalele MP = 16 cm. Calculează NQ, folosind proprietatea specifică.
Vezi răspunsul
NQ = MP = 16 cm (trapezul isoscel are diagonalele congruente).
9. Dificultate medie
Un trapez are aria de 72 cm² și înălțimea de 8 cm. Calculează suma bazelor, apoi linia mijlocie.
Vezi răspunsul
Suma bazelor: 2 × 72 : 8 = 18 cm; linia mijlocie: 9 cm.
10. Dificultate medie
Un trapez dreptunghic are o latură laterală perpendiculară pe baze, cu lungimea de 10 cm. Ce reprezintă, de fapt, această latură laterală?
Vezi răspunsul
Este chiar înălțimea trapezului.
11. Dificultate ridicată
Un trapez isoscel are bazele de 20 cm și 12 cm, iar înălțimea de 8 cm. Calculează lungimea laturii laterale, folosind un triunghi dreptunghic format prin proiecția laturii laterale pe baza mare.
Vezi răspunsul
Proiecția laturii laterale pe baza mare: (20 − 12) : 2 = 4 cm. Latura laterală: 8² + 4² = √80 = 4√5 ≈ 8,94 cm.
12. Dificultate ridicată
Un trapez are perimetrul de 60 cm, iar bazele sunt în raportul 23. Dacă laturile laterale sunt egale, de 11 cm fiecare, calculează lungimile celor două baze.
Vezi răspunsul
B + b = 60 − 22 = 38 și bB = 23: b = 15,2 cm, B = 22,8 cm.
13. Dificultate ridicată
Aria unui trapez isoscel este 96 cm², iar înălțimea este 8 cm. Calculează linia mijlocie, apoi determină cele două baze, știind că diferența lor este 6 cm.
Vezi răspunsul
Linia mijlocie: 96 : 8 = 12 cm, deci B + b = 24; cu B − b = 6: B = 15 cm, b = 9 cm.
14. Dificultate ridicată
Un trapez isoscel are unghiul de la baza mare de 55°. Calculează unghiul de la baza mică, apoi verifică suma tuturor celor 4 unghiuri ale trapezului.
Vezi răspunsul
180° − 55° = 125°. Verificare: 55° + 55° + 125° + 125° = 360°.
15. Dificultate ridicată
Un teren în formă de trapez are bazele de 50 m și 30 m, iar aria de 640 m². Calculează înălțimea trapezului, apoi calculează linia mijlocie a terenului.
Vezi răspunsul
(50 + 30) × h : 2 = 640, deci h = 16 m; linia mijlocie: (50 + 30) : 2 = 40 m.
16. Excelență
Un trapez isoscel are bazele de 24 cm și 10 cm. Diagonalele sale sunt perpendiculare între ele (caz particular). Calculează aria trapezului, folosind faptul că, în acest caz special, aria se poate calcula și cu formula A = (d1 × d2) : 2, unde d1 și d2 sunt diagonalele (egale, fiind trapez isoscel), apoi verifică rezultatul folosind și formula standard, dacă poți determina înălțimea.
Vezi răspunsul
La trapezul isoscel cu diagonalele perpendiculare, înălțimea este egală cu linia mijlocie: h = (24 + 10) : 2 = 17 cm. Aria: 17 × 17 = 289 cm². Verificare: d² : 2 = 289, deci diagonala are 17√2 cm.
17. Excelență
Un trapez are bazele de 30 cm și 18 cm, iar aria de 288 cm². Calculează înălțimea, apoi determină lungimea laturii laterale a unui trapez isoscel cu aceste dimensiuni, folosind un triplet numeric potrivit.
Vezi răspunsul
h = 2 × 288 : 48 = 12 cm. Proiecția laturii laterale: (30 − 18) : 2 = 6 cm, deci latura laterală are 144 + 36 = √180 = 6√5 ≈ 13,42 cm (nu este un triplet cu numere întregi).
18. Excelență
Linia mijlocie a unui trapez împarte trapezul în două trapeze mai mici. Explică, folosind proprietatea liniei mijlocii, de ce aceste 2 trapeze mai mici NU au, în general, arii egale, chiar dacă au aceeași înălțime (jumătate din înălțimea inițială).
Vezi răspunsul
Au aceeași înălțime, h2, dar baze diferite: cel de sus are b și m = B + b2, cel de jos m și B. Ariile (b + m) × h4 și (m + B) × h4 ar fi egale doar dacă b = B, ceea ce la un trapez nu se întâmplă.
19. Excelență
Un trapez dreptunghic are bazele de 16 cm și 9 cm, iar latura laterală perpendiculară pe baze este 12 cm (aceasta este chiar înălțimea trapezului). Calculează aria trapezului, apoi calculează lungimea celeilalte laturi laterale (folosind un triunghi dreptunghic cu catetele 12 cm și diferența bazelor, 7 cm — verifică dacă rezultă un triplet cunoscut sau aproximează).
Vezi răspunsul
A = (16 + 9) × 12 : 2 = 150 cm². Cealaltă latură laterală: 12² + 7² = √193 ≈ 13,89 cm (nu este un triplet cu numere întregi).
20. Excelență
Un trapez isoscel are perimetrul de 64 cm, iar laturile laterale sunt de 13 cm fiecare. Dacă înălțimea trapezului este 12 cm, calculează diferența dintre baze (folosind proiecția laturii laterale, un triunghi dreptunghic cu catetele 12 și diferența/2, iar ipotenuza 13 — un triplet cunoscut), apoi calculează cele două baze, știind și suma lor din perimetru.
Vezi răspunsul
5² + 12² = 13², deci proiecția laturii laterale este 5 cm și B − b = 10 cm. Din perimetru, B + b = 64 − 26 = 38 cm: B = 24 cm, b = 14 cm.