Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min

∥

Încărcăm partea curentă…

Teorema lui Thales

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Enunțul teoremei lui Thales

O dreaptă paralelă cu una dintre laturile unui triunghi, care intersectează celelalte două laturi, determină pe acestea segmente proporționale.

Concret: dacă în triunghiul ABC o dreaptă paralelă cu BC taie latura AB în M și latura AC în N, atunci AMMB = ANNC.

Condiția esențială este paralelismul: fără el, proporțiile nu sunt adevărate. De aceea primul lucru pe care îl cauți într-o problemă este perechea de drepte paralele.

De ținut minte

MN ∥ BC ⇒ AMMB = ANNC

MN ∥ BC ⇒ AMAB = ANAC

Fără paralelism, teorema nu se poate aplica.
Segmentele se iau în aceeași ordine pe ambele laturi: de sus în jos pe amândouă.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, M ∈ AB, N ∈ AC, AM = 3 cm, AB = 9 cm și AC = 12 cm. Calculează AN.

Punctele interioare sunt pe cele două laturi; segmentul colorat este paralel cu baza, conform ipotezei. Lungimile scrise sunt datele problemei. Desenul este schematic; calculăm raporturile, nu măsurăm pe ecran.

1Aplicăm forma AMAB = ANAC: 39 = AN12.
2Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: 9 × AN = 36.
3Rezultă AN = 4 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Teorema lui Thales: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Reciproca permite demonstrarea paralelismului.

Enunțul teoremei lui Thales

O dreaptă paralelă cu una dintre laturile unui triunghi, care intersectează celelalte două laturi, determină pe acestea segmente proporționale.

Concret: dacă în triunghiul ABC o dreaptă paralelă cu BC taie latura AB în M și latura AC în N, atunci AMMB = ANNC.

Condiția esențială este paralelismul: fără el, proporțiile nu sunt adevărate. De aceea primul lucru pe care îl cauți într-o problemă este perechea de drepte paralele.

MN ∥ BC ⇒ AMMB = ANNC
MN ∥ BC ⇒ AMAB = ANAC

Fără paralelism, teorema nu se poate aplica.
Segmentele se iau în aceeași ordine pe ambele laturi: de sus în jos pe amândouă.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, M ∈ AB, N ∈ AC, AM = 3 cm, AB = 9 cm și AC = 12 cm. Calculează AN.

Aplicăm forma AMAB = ANAC: 39 = AN12.
Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: 9 × AN = 36.
Rezultă AN = 4 cm.

Formele echivalente ale proporției

Proporția din teorema lui Thales poate fi scrisă în mai multe feluri, toate corecte: AMMB = ANNC, AMAB = ANAC sau MBAB = NCAC.

Alegi forma potrivită în funcție de ce segmente ți se dau în enunț. Dacă enunțul dă bucățile AM și MB, folosești prima formă; dacă dă latura întreagă AB, folosești a doua.

Nu uita legătura dintre ele: AB = AM + MB, deci poți trece oricând de la o formă la alta.

AMMB = ANNC
AMAB = ANAC
AB = AM + MB

Scrie proporția care conține exact segmentele din enunț.
Verifică la final dacă rezultatul are sens: bucata nu poate depăși latura întreagă.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, AM = 5 cm, MB = 10 cm și AN = 4 cm. Calculează NC.

Folosim forma cu bucăți: AMMB = ANNC, deci 510 = 4NC.
Produsul extremilor egal cu al mezilor: 5 × NC = 40.
Rezultă NC = 8 cm.

Legătura cu asemănarea și linia mijlocie

Dreapta MN, paralelă cu BC, formează triunghiul AMN asemenea cu ABC, prin cazul UU: unghiul A este comun, iar unghiurile formate de paralelă sunt corespondente cu ∢B și ∢C.

Din asemănare rezultă și raportul laturii a treia: MNBC = AMAB. Deci, dacă AM este jumătate din AB, atunci MN este jumătate din BC.

Cazul particular cel mai des întâlnit este linia mijlocie: dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, atunci MN este paralelă cu BC și egală cu jumătate din ea.

△AMN ∼ △ABC
MNBC = AMAB
linia mijlocie: MN = BC : 2

Raportul de asemănare se citește direct din segmentele de pe laturi.
Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și jumătate din ea.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, AMAB = 23 și BC = 12 cm. Calculează MN.

Triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea, cu raportul 23.
Deci MNBC = 23, adică MN12 = 23.
Rezultă MN = 8 cm.

Reciproca teoremei și dreptele paralele

Reciproca teoremei lui Thales spune că, dacă o dreaptă taie două laturi ale unui triunghi și determină pe ele segmente proporționale, atunci dreapta este paralelă cu a treia latură.

Este singura cale practică de a demonstra paralelismul: calculezi cele două rapoarte și, dacă ies egale, concluzia este imediată.

Teorema funcționează și în afara triunghiului: mai multe drepte paralele tăiate de două secante determină pe ele segmente proporționale.

AMMB = ANNC ⇒ MN ∥ BC
pe secante: 46 = 6x ⇒ x = 9

Rapoarte egale înseamnă paralelism; rapoarte diferite înseamnă că dreptele se intersectează.
La drepte paralele tăiate de secante, scrie proporția între segmentele corespunzătoare.

Exemplu rezolvat · alte date

D ∈ AB, E ∈ AC, AD = 5, DB = 10, AE = 4, EC = 8. Justifică DE ∥ BC.

ADDB = 510 = 12.
AEEC = 48 = 12.
Rapoartele egale permit aplicarea reciprocei lui Thales: DE ∥ BC.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
MN ∥ BC, AM = 4 cm, AB = 10 cm și AC = 15 cm. Calculează AN.
Vezi rezolvarea
1. MN ∥ BC, deci AMAB = ANAC.
2. 410 = AN15, de unde AN = 15·410.
3. AN = 6 cm. Raportul este parte/întreg pe ambele laturi, nu parte/bucată pe una dintre ele.
Răspuns: 6
Exercițiul 2
MN ∥ BC, AM = 6 cm, MB = 3 cm și AN = 8 cm. Calculează NC.
Vezi rezolvarea
1. AMMB = ANNC, deoarece MN ∥ BC.
2. 63 = 8NC, deci 2NC = 8.
3. NC = 4 cm; AN este prima bucată, nu latura întreagă.
Răspuns: 4
Exercițiul 3
Ce condiție este esențială pentru aplicarea directă a teoremei lui Thales într-un triunghi?
Vezi rezolvarea
1. Teorema directă cere o paralelă la o latură a triunghiului.
2. Punctele de intersecție trebuie să fie pe celelalte două laturi sau pe prelungirile lor, în configurația studiată.
3. Fără paralelism nu putem deduce doar din desen proporționalitatea segmentelor.
Răspuns: Dreptele sunt paralele
Exercițiul 4
M ∈ AB, N ∈ AC, MN ∥ BC. Dacă AMAB = 12 și BC = 14 cm, cât este MN?
Vezi rezolvarea
1. Triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea, deoarece MN ∥ BC.
2. MNBC = AMAB = 12.
3. MN = 142 = 7 cm; nu folosim AB ca bază în ultima proporție.
Răspuns: 7
Exercițiul 5
Dacă M și N sunt mijloacele lui AB și AC, atunci MN este...
Vezi rezolvarea
1. M și N sunt mijloacele a două laturi.
2. Segmentul care unește aceste mijloace este linia mijlocie a triunghiului.
3. Prin teoremă, MN ∥ BC și MN = BC2.
Răspuns: paralel cu BC și egal cu BC2
Exercițiul 6
MN ∥ BC, M ∈ AB, N ∈ AC, AM = 3 cm, AB = 9 cm și AC = 12 cm. Calculează AN, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. 39 = AN12.
2. 9 · AN = 36.
3. AN = 4 cm.
Răspuns: 4
Exercițiul 7
MN ∥ BC, AM = 5 cm, MB = 10 cm și AN = 4 cm. Calculează NC, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. 510 = 4NC.
2. 5 · NC = 40.
3. NC = 8 cm.
Răspuns: 8
Exercițiul 8
M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, iar BC = 18 cm. Calculează MN, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. MN este linie mijlocie în triunghiul ABC.
2. MN = BC2.
3. MN = 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 9
MN ∥ BC, AMAB = 23 și BC = 12 cm. Calculează MN, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. MN12 = 23.
2. MN = 12 · 2 : 3.
3. MN = 8 cm.
Răspuns: 8
Exercițiul 10
MN ∥ BC, M ∈ AB, N ∈ AC, AM = x, MB = 6 cm, AN = 4 cm și NC = 8 cm. Calculează x, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. x6 = 48.
2. 8x = 24.
3. x = 3 cm.
Răspuns: 3
Exercițiul 11
În triunghiul ABC, M ∈ AB și N ∈ AC, cu AM = 2, MB = 4, AN = 3 și NC = 6. Ce putem spune?
Vezi rezolvarea
1. AMMB = 24 = 12.
2. ANNC = 36 = 12.
3. Rapoartele sunt egale, deci MN ∥ BC.
Răspuns: MN ∥ BC, din reciproca teoremei lui Thales
Exercițiul 12
Trei drepte paralele taie două secante. Pe prima secantă determină segmente de 4 cm și 6 cm, iar pe a doua primul segment are 6 cm. Cât are al doilea segment de pe a doua secantă, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. 46 = 6x.
2. 4x = 36.
3. x = 9 cm.
Răspuns: 9

Fișă de consolidare din material (19)

1. Dificultate redusă
Într-un triunghi MNP, o dreaptă paralelă cu NP intersectează MN în Q și MP în R. Scrie proporția dată de teorema lui Thales.
Vezi răspunsul
MQQN = MRRP (echivalent: MQMN = MRMP)
2. Dificultate redusă
Se dă AM = 5 cm, MB = 8 cm, AN = 10 cm. Calculează NC, folosind teorema lui Thales.
Vezi răspunsul
58 = 10NC, deci NC = 16 cm.
3. Dificultate redusă
Ce afirmă reciproca teoremei lui Thales?
Vezi răspunsul
Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.
4. Dificultate redusă
Se dă AMMB = 34 și ANNC = 34. Ce poți afirma despre dreapta MN, față de latura BC?
Vezi răspunsul
MN ∥ BC (reciproca teoremei lui Thales).
5. Dificultate redusă
Într-un triunghi cu AB = 15 cm, un punct M pe AB are AM = 6 cm. Calculează MB.
Vezi răspunsul
MB = 15 − 6 = 9 cm
6. Dificultate medie
Într-un triunghi ABC, AM = 6 cm, MB = 12 cm, AC = 27 cm. O dreaptă MN, paralelă cu BC, intersectează AC în N. Calculează AN și NC.
Vezi răspunsul
AMAB = 618 = 13, deci AN = 27 : 3 = 9 cm și NC = 18 cm.
7. Dificultate medie
Se dă AMAB = 25, iar AC = 30 cm. Calculează AN.
Vezi răspunsul
AN = 25 × 30 = 12 cm
8. Dificultate medie
Verifică, folosind reciproca teoremei lui Thales, dacă MN ∥ BC, știind că AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 8 cm, NC = 12 cm.
Vezi răspunsul
AMMB = 46 = 23 și ANNC = 812 = 23: rapoartele sunt egale, deci MN ∥ BC.
9. Dificultate medie
Într-un triunghi ABC, o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în M și AC în N, astfel încât AMMB = 13. Dacă AN = 5 cm, calculează NC.
Vezi răspunsul
ANNC = 13, deci NC = 3 × 5 = 15 cm.
10. Dificultate medie
Se dă un triunghi cu AB = 24 cm, iar M este pe AB astfel încât AM = 3 × MB. Calculează AM și MB.
Vezi răspunsul
4 × MB = 24, deci MB = 6 cm și AM = 18 cm.
11. Dificultate ridicată
Într-un triunghi ABC, o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în M și AC în N. Dacă AM = 9 cm, AB = 24 cm, iar AC = 32 cm, calculează AN și NC.
Vezi răspunsul
AN = 32 × 9 : 24 = 12 cm, NC = 32 − 12 = 20 cm.
12. Dificultate ridicată
Se dau segmentele AM = 8 cm, MB = 10 cm, AN = 12 cm, NC = 15 cm. Verifică, folosind reciproca teoremei lui Thales, dacă MN ∥ BC.
Vezi răspunsul
810 = 0,8 și 1215 = 0,8: rapoartele sunt egale, deci MN ∥ BC.
13. Dificultate ridicată
Într-un triunghi ABC, cu AB = 21 cm și AC = 28 cm, o dreaptă paralelă cu BC împarte laturile AB și AC în raportul 31 (măsurat de la vârful A). Calculează lungimile segmentelor AM, MB, AN, NC.
Vezi răspunsul
AM = 34 × 21 = 15,75 cm, MB = 5,25 cm; AN = 34 × 28 = 21 cm, NC = 7 cm.
15. Dificultate ridicată
Într-un triunghi ABC, punctele M și N sunt pe laturile AB și AC, astfel încât MN ∥ BC. Se știe că aria triunghiului AMN este o noime (19) din aria triunghiului ABC. Calculează raportul AMAB.
Vezi răspunsul
Raportul ariilor este k² = 19, deci k = AMAB = 13.
16. Excelență
Într-un trapez ABCD (AB ∥ CD), diagonalele se intersectează în punctul O. Explică, folosind teorema lui Thales aplicată triunghiurilor formate de diagonale, de ce AOOC = BOOD.
Vezi răspunsul
AB ∥ CD, deci ∢OAB ≡ ∢OCD și ∢OBA ≡ ∢ODC (alterne interne), iar ∢AOB ≡ ∢COD (opuse la vârf). Triunghiurile AOB și COD sunt asemenea, deci AOOC = BOOD = ABCD.
17. Excelență
Trei drepte paralele intersectează două drepte secante, determinând pe una dintre ele segmente de 4 cm și 6 cm. Calculează segmentele corespunzătoare de pe cealaltă secantă, dacă primul segment de pe aceasta este 6 cm (aplică teorema lui Thales generalizată pentru drepte paralele).
Vezi răspunsul
Raportul este 6 : 4 = 1,5, deci al doilea segment de pe cealaltă secantă are 6 × 1,5 = 9 cm.
18. Excelență
Într-un triunghi ABC, cu AB = 30 cm, un punct M pe AB este astfel încât AMAB = 25. O dreaptă prin M, paralelă cu BC, intersectează AC în N. Dacă AC = 40 cm, calculează AN și aria triunghiului AMN, știind că aria triunghiului ABC este 150 cm² (folosește raportul ariilor, egal cu pătratul raportului de asemănare).
Vezi răspunsul
AN = 25 × 40 = 16 cm; aria lui AMN = (25)² × 150 = 425 × 150 = 24 cm².
19. Excelență
Un teren triunghiular ABC este împărțit printr-o dreaptă paralelă cu BC, în două regiuni: triunghiul mic AMN și un trapez MNBC. Dacă AMAB = 35, iar aria triunghiului ABC este 200 m², calculează aria triunghiului AMN și aria trapezului rămas (aplică raportul ariilor la pătrat pentru triunghiul mic, apoi scade din aria totală).
Vezi răspunsul
Aria lui AMN = (35)² × 200 = 925 × 200 = 72 m²; aria trapezului = 200 − 72 = 128 m².
20. Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu M mijlocul lui AB și N mijlocul lui AC (deci MN este linie mijlocie, cu AMAB = 12). Explică, folosind teorema lui Thales, de ce MBAB = 12 și NCAC = 12, apoi confirmă, folosind proprietatea liniei mijlocii (studiată la asemănare), că MN = BC2.
Vezi răspunsul
M și N fiind mijloace, MB = AB2 și NC = AC2. AMMB = ANNC = 1, deci MN ∥ BC (reciproca lui Thales), iar △AMN ∼ △ABC cu k = 12 dă MN = BC2.