Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min
∥

Teorie înainte de exerciții

Teorema lui Thales

O dreaptă paralelă cu o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale. Reciproca permite demonstrarea paralelismului.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

ABCMNMN ∥ BC
M este pe AB, N pe AC și MN ∥ BC. Triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea: AM/AB = AN/AC = MN/BC. În schema aceasta M și N sunt mijloace, deci raportul este 1/2.
1

Enunțul teoremei lui Thales

O dreaptă paralelă cu una dintre laturile unui triunghi, care intersectează celelalte două laturi, determină pe acestea segmente proporționale.

Concret: dacă în triunghiul ABC o dreaptă paralelă cu BC taie latura AB în M și latura AC în N, atunci AMMB = ANNC.

Condiția esențială este paralelismul: fără el, proporțiile nu sunt adevărate. De aceea primul lucru pe care îl cauți într-o problemă este perechea de drepte paralele.

MN ∥ BC ⇒ AMMB = ANNC
MN ∥ BC ⇒ AMAB = ANAC
  • Fără paralelism, teorema nu se poate aplica.
  • Segmentele se iau în aceeași ordine pe ambele laturi: de sus în jos pe amândouă.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, M ∈ AB, N ∈ AC, AM = 3 cm, AB = 9 cm și AC = 12 cm. Calculează AN.

  1. 1.Aplicăm forma AMAB = ANAC: 39 = AN12.
  2. 2.Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: 9 × AN = 36.
  3. 3.Rezultă AN = 4 cm.
2

Formele echivalente ale proporției

Proporția din teorema lui Thales poate fi scrisă în mai multe feluri, toate corecte: AMMB = ANNC, AMAB = ANAC sau MBAB = NCAC.

Alegi forma potrivită în funcție de ce segmente ți se dau în enunț. Dacă enunțul dă bucățile AM și MB, folosești prima formă; dacă dă latura întreagă AB, folosești a doua.

Nu uita legătura dintre ele: AB = AM + MB, deci poți trece oricând de la o formă la alta.

AMMB = ANNC
AMAB = ANAC
AB = AM + MB
  • Scrie proporția care conține exact segmentele din enunț.
  • Verifică la final dacă rezultatul are sens: bucata nu poate depăși latura întreagă.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, AM = 5 cm, MB = 10 cm și AN = 4 cm. Calculează NC.

  1. 1.Folosim forma cu bucăți: AMMB = ANNC, deci 510 = 4NC.
  2. 2.Produsul extremilor egal cu al mezilor: 5 × NC = 40.
  3. 3.Rezultă NC = 8 cm.
3

Legătura cu asemănarea și linia mijlocie

Dreapta MN, paralelă cu BC, formează triunghiul AMN asemenea cu ABC, prin cazul UU: unghiul A este comun, iar unghiurile formate de paralelă sunt corespondente cu ∢B și ∢C.

Din asemănare rezultă și raportul laturii a treia: MNBC = AMAB. Deci, dacă AM este jumătate din AB, atunci MN este jumătate din BC.

Cazul particular cel mai des întâlnit este linia mijlocie: dacă M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC, atunci MN este paralelă cu BC și egală cu jumătate din ea.

△AMN ∼ △ABC
MNBC = AMAB
linia mijlocie: MN = BC : 2
  • Raportul de asemănare se citește direct din segmentele de pe laturi.
  • Linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu a treia latură și jumătate din ea.

Exemplu rezolvat

MN ∥ BC, AMAB = 23 și BC = 12 cm. Calculează MN.

  1. 1.Triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea, cu raportul 23.
  2. 2.Deci MNBC = 23, adică MN12 = 23.
  3. 3.Rezultă MN = 8 cm.
4

Reciproca teoremei și dreptele paralele

Reciproca teoremei lui Thales spune că, dacă o dreaptă taie două laturi ale unui triunghi și determină pe ele segmente proporționale, atunci dreapta este paralelă cu a treia latură.

Este singura cale practică de a demonstra paralelismul: calculezi cele două rapoarte și, dacă ies egale, concluzia este imediată.

Teorema funcționează și în afara triunghiului: mai multe drepte paralele tăiate de două secante determină pe ele segmente proporționale.

AMMB = ANNC ⇒ MN ∥ BC
pe secante: 46 = 6x ⇒ x = 9
  • Rapoarte egale înseamnă paralelism; rapoarte diferite înseamnă că dreptele se intersectează.
  • La drepte paralele tăiate de secante, scrie proporția între segmentele corespunzătoare.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC, M ∈ AB și N ∈ AC, cu AM = 2, MB = 4, AN = 3 și NC = 6. Ce putem spune?

  1. 1.Calculăm primul raport: AMMB = 24 = 12.
  2. 2.Calculăm al doilea: ANNC = 36 = 12.
  3. 3.Rapoartele fiind egale, din reciproca teoremei lui Thales rezultă MN ∥ BC.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Într-un triunghi MNP, o dreaptă paralelă cu NP intersectează MN în Q și MP în R. Scrie proporția dată de teorema lui Thales.

    Vezi răspunsul

    MQQN = MRRP (echivalent: MQMN = MRMP)

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Se dă AM = 5 cm, MB = 8 cm, AN = 10 cm. Calculează NC, folosind teorema lui Thales.

    Vezi răspunsul

    58 = 10NC, deci NC = 16 cm.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Ce afirmă reciproca teoremei lui Thales?

    Vezi răspunsul

    Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Se dă AMMB = 34 și ANNC = 34. Ce poți afirma despre dreapta MN, față de latura BC?

    Vezi răspunsul

    MN ∥ BC (reciproca teoremei lui Thales).

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Într-un triunghi cu AB = 15 cm, un punct M pe AB are AM = 6 cm. Calculează MB.

    Vezi răspunsul

    MB = 15 − 6 = 9 cm

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Într-un triunghi ABC, AM = 6 cm, MB = 12 cm, AC = 27 cm. O dreaptă MN, paralelă cu BC, intersectează AC în N. Calculează AN și NC.

    Vezi răspunsul

    AMAB = 618 = 13, deci AN = 27 : 3 = 9 cm și NC = 18 cm.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Se dă AMAB = 25, iar AC = 30 cm. Calculează AN.

    Vezi răspunsul

    AN = 25 × 30 = 12 cm

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Verifică, folosind reciproca teoremei lui Thales, dacă MN ∥ BC, știind că AM = 4 cm, MB = 6 cm, AN = 8 cm, NC = 12 cm.

    Vezi răspunsul

    AMMB = 46 = 23 și ANNC = 812 = 23: rapoartele sunt egale, deci MN ∥ BC.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Într-un triunghi ABC, o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în M și AC în N, astfel încât AMMB = 13. Dacă AN = 5 cm, calculează NC.

    Vezi răspunsul

    ANNC = 13, deci NC = 3 × 5 = 15 cm.

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Se dă un triunghi cu AB = 24 cm, iar M este pe AB astfel încât AM = 3 × MB. Calculează AM și MB.

    Vezi răspunsul

    4 × MB = 24, deci MB = 6 cm și AM = 18 cm.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Într-un triunghi ABC, o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în M și AC în N. Dacă AM = 9 cm, AB = 24 cm, iar AC = 32 cm, calculează AN și NC.

    Vezi răspunsul

    AN = 32 × 9 : 24 = 12 cm, NC = 32 − 12 = 20 cm.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Se dau segmentele AM = 8 cm, MB = 10 cm, AN = 12 cm, NC = 15 cm. Verifică, folosind reciproca teoremei lui Thales, dacă MN ∥ BC.

    Vezi răspunsul

    810 = 0,8 și 1215 = 0,8: rapoartele sunt egale, deci MN ∥ BC.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Într-un triunghi ABC, cu AB = 21 cm și AC = 28 cm, o dreaptă paralelă cu BC împarte laturile AB și AC în raportul 31 (măsurat de la vârful A). Calculează lungimile segmentelor AM, MB, AN, NC.

    Vezi răspunsul

    AM = 34 × 21 = 15,75 cm, MB = 5,25 cm; AN = 34 × 28 = 21 cm, NC = 7 cm.

  14. Ex. 15Dificultate ridicată

    Într-un triunghi ABC, punctele M și N sunt pe laturile AB și AC, astfel încât MN ∥ BC. Se știe că aria triunghiului AMN este o noime (19) din aria triunghiului ABC. Calculează raportul AMAB.

    Vezi răspunsul

    Raportul ariilor este k2 = 19, deci k = AMAB = 13.

  15. Ex. 16Excelență

    Într-un trapez ABCD (AB ∥ CD), diagonalele se intersectează în punctul O. Explică, folosind teorema lui Thales aplicată triunghiurilor formate de diagonale, de ce AOOC = BOOD.

    Vezi răspunsul

    AB ∥ CD, deci ∢OAB ≡ ∢OCD și ∢OBA ≡ ∢ODC (alterne interne), iar ∢AOB ≡ ∢COD (opuse la vârf). Triunghiurile AOB și COD sunt asemenea, deci AOOC = BOOD = ABCD.

  16. Ex. 17Excelență

    Trei drepte paralele intersectează două drepte secante, determinând pe una dintre ele segmente de 4 cm și 6 cm. Calculează segmentele corespunzătoare de pe cealaltă secantă, dacă primul segment de pe aceasta este 6 cm (aplică teorema lui Thales generalizată pentru drepte paralele).

    Vezi răspunsul

    Raportul este 6 : 4 = 1,5, deci al doilea segment de pe cealaltă secantă are 6 × 1,5 = 9 cm.

  17. Ex. 18Excelență

    Într-un triunghi ABC, cu AB = 30 cm, un punct M pe AB este astfel încât AMAB = 25. O dreaptă prin M, paralelă cu BC, intersectează AC în N. Dacă AC = 40 cm, calculează AN și aria triunghiului AMN, știind că aria triunghiului ABC este 150 cm2 (folosește raportul ariilor, egal cu pătratul raportului de asemănare).

    Vezi răspunsul

    AN = 25 × 40 = 16 cm; aria lui AMN = (25)2 × 150 = 425 × 150 = 24 cm2.

  18. Ex. 19Excelență

    Un teren triunghiular ABC este împărțit printr-o dreaptă paralelă cu BC, în două regiuni: triunghiul mic AMN și un trapez MNBC. Dacă AMAB = 35, iar aria triunghiului ABC este 200 m2, calculează aria triunghiului AMN și aria trapezului rămas (aplică raportul ariilor la pătrat pentru triunghiul mic, apoi scade din aria totală).

    Vezi răspunsul

    Aria lui AMN = (35)2 × 200 = 925 × 200 = 72 m2; aria trapezului = 200 − 72 = 128 m2.

  19. Ex. 20Excelență

    Se dă un triunghi ABC, cu M mijlocul lui AB și N mijlocul lui AC (deci MN este linie mijlocie, cu AMAB = 12). Explică, folosind teorema lui Thales, de ce MBAB = 12 și NCAC = 12, apoi confirmă, folosind proprietatea liniei mijlocii (studiată la asemănare), că MN = BC2.

    Vezi răspunsul

    M și N fiind mijloace, MB = AB2 și NC = AC2. AMMB = ANNC = 1, deci MN ∥ BC (reciproca lui Thales), iar △AMN ∼ △ABC cu k = 12 dă MN = BC2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.