Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Reciproca permite verificarea faptului că un triunghi este dreptunghic.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Catetele a și b formează unghiul drept, iar c este ipotenuza: c² = a² + b².

Enunțul teoremei lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Dacă unghiul drept este în A, atunci BC² = AB² + AC².

Ca să afli ipotenuza, aduni pătratele catetelor și extragi rădăcina: pentru catetele 6 cm și 8 cm, ipotenuza este 36 + 64 = √100 = 10 cm.

Rezultatul nu este întotdeauna un număr întreg: pentru catetele 1 cm și 2 cm, ipotenuza este √5 cm.

BC² = AB² + AC²

c = a² + b²

6 și 8 ⇒ ipotenuza 10

Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și cea mai lungă.
Merită reținute tripletele des întâlnite: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15, 8-15-17.

Exemplu rezolvat

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

1.Aplicăm teorema: c² = 9² + 12² = 81 + 144.
2.Obținem c² = 225.
3.Extragem rădăcina: c = 15 cm.

Aflarea unei catete

Dacă știi ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând: a² = c² − b², apoi extragi rădăcina.

Exemplu: la o ipotenuză de 13 cm și o catetă de 5 cm, cealaltă catetă este 169 − 25 = √144 = 12 cm.

Aceeași metodă se folosește la triunghiul isoscel: înălțimea dusă pe bază îl împarte în două triunghiuri dreptunghice, în care cateta este jumătate din bază.

a² = c² − b²

13 și 5 ⇒ cealaltă catetă 12

Scade întotdeauna din pătratul ipotenuzei, nu invers.
La triunghiul isoscel, înălțimea pe bază cade exact la mijlocul ei.

Exemplu rezolvat

Un triunghi isoscel are laturile egale de 10 cm și baza de 12 cm. Calculează înălțimea dusă pe bază.

1.Înălțimea împarte baza în două părți egale de câte 6 cm.
2.Se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 10 și o catetă 6: h² = 100 − 36 = 64.
3.Rezultă h = 8 cm.

Reciproca teoremei

Reciproca teoremei lui Pitagora spune că, dacă într-un triunghi pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic.

Verificarea se face în doi pași: identifici latura cea mai lungă, apoi compari pătratul ei cu suma pătratelor celorlalte.

Pentru 7, 24 și 25: 49 + 576 = 625 = 25², deci triunghiul este dreptunghic. Pentru 5, 6 și 8: 25 + 36 = 61, dar 8² = 64, deci nu este.

c² = a² + b² ⇒ triunghi dreptunghic

7² + 24² = 25² ⇒ dreptunghic

Compară întotdeauna cu latura cea mai lungă, altfel concluzia este greșită.
Dacă pătratul laturii mari este mai mare decât suma, triunghiul este obtuzunghic.

Exemplu rezolvat

Triunghiul cu laturile 5, 6 și 8 este dreptunghic?

1.Latura cea mai lungă este 8, deci ea ar trebui să fie ipotenuza.
2.Calculăm 5² + 6² = 25 + 36 = 61, iar 8² = 64.
3.Cum 61 ≠ 64, triunghiul nu este dreptunghic.

Aplicații: diagonale și probleme practice

Teorema se folosește în orice figură care conține un unghi drept. Diagonala unui dreptunghi se calculează din laturi: d² = L² + l², iar diagonala unui pătrat este a√2.

Tot așa se rezolvă problemele practice: o scară sprijinită de perete formează un triunghi dreptunghic cu peretele și cu solul, deci înălțimea la care ajunge se află scăzând.

Pașii sunt mereu aceiași: identifici unghiul drept, stabilești care laturi sunt catete și care ipotenuză, apoi aplici formula.

d² = L² + l²

diagonala pătratului: a√2

scară: h² = 5² − 3²

Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept — la scară, este scara însăși.
Verifică dacă rezultatul are sens: ipotenuza trebuie să fie cea mai lungă latură.

Exemplu rezolvat

O scară de 5 m este sprijinită de un perete, cu baza la 3 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele?

1.Peretele și solul formează unghiul drept, iar scara este ipotenuza.
2.Aplicăm teorema: h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16.
3.Rezultă h = 4 m.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
81 + 144 = √225 = 15 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 15 cm și o catetă de 9 cm. Calculează cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
225 − 81 = √144 = 12 cm
Ex. 3Dificultate redusă
Enunță reciproca teoremei lui Pitagora, cu propriile cuvinte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dacă pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus acelei laturi.
Ex. 4Dificultate redusă
Verifică dacă 9, 12, 15 este un triplet pitagoric.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15².
Ex. 5Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are catetele 8 cm și 15 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
64 + 225 = √289 = 17 cm
Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele 12 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi verifică dacă formează un triplet pitagoric.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
144 + 256 = √400 = 20 cm; da, 12, 16, 20 este triplet pitagoric.
Ex. 7Dificultate medie
Un triunghi are laturile 8 cm, 15 cm, 17 cm. Verifică, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, dacă este dreptunghic.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17².
Ex. 8Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 25 cm și o catetă de 15 cm. Calculează cealaltă catetă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
625 − 225 = √400 = 20 cm
Ex. 9Dificultate medie
O scară de 17 m este sprijinită de un perete, cu baza la 8 m distanță de acesta. Calculează înălțimea la care ajunge scara pe perete.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
17² − 8² = 289 − 64 = √225 = 15 m
Ex. 10Dificultate medie
Un triunghi are laturile 5 cm, 6 cm, 8 cm. Verifică dacă este dreptunghic.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: 5² + 6² = 61, iar 8² = 64.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un dreptunghi are lungimea 20 cm și lățimea 15 cm. Calculează lungimea diagonalei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
400 + 225 = √625 = 25 cm
Ex. 12Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel are baza de 24 cm și laturile congruente de 13 cm fiecare. Calculează înălțimea corespunzătoare bazei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Înălțimea cade în mijlocul bazei: 13² − 12² = √25 = 5 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un teren dreptunghiular are lungimea de 30 m și diagonala de 34 m. Calculează lățimea terenului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
34² − 30² = 1.156 − 900 = √256 = 16 m
Ex. 14Dificultate ridicată
Un pătrat are latura de 8 cm. Calculează lungimea diagonalei, folosind teorema lui Pitagora, apoi verifică folosind formula d = l × √2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d² = 64 + 64 = 128, deci d = √128 = 8√2 ≈ 11,31 cm, la fel ca din d = l√2.
Ex. 15Dificultate ridicată
Doi drumeți pornesc din același punct, unul mergând spre nord 12 km, celălalt mergând spre est 9 km. Calculează distanța dintre ei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
144 + 81 = √225 = 15 km
Ex. 16Excelență
Un trapez dreptunghic are bazele de 15 cm și 9 cm, iar latura laterală perpendiculară pe baze (înălțimea) este de 8 cm. Calculează lungimea celeilalte laturi laterale, folosind teorema lui Pitagora (catetele fiind diferența bazelor și înălțimea).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Catetele: 15 − 9 = 6 cm și 8 cm; latura: 36 + 64 = 10 cm.
Ex. 17Excelență
Un romb are diagonalele de 16 cm și 12 cm. Calculează lungimea laturii rombului, folosind teorema lui Pitagora aplicată jumătăților diagonalelor (care se intersectează perpendicular).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Jumătățile diagonalelor au 8 cm și 6 cm; latura: 64 + 36 = 10 cm.
Ex. 18Excelență
Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Calculează înălțimea triunghiului, folosind teorema lui Pitagora (indiciu: înălțimea împarte triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghice, cu o catetă egală cu jumătate din latură).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 10² − 5² = √75 = 5√3 ≈ 8,66 cm
Ex. 19Excelență
Un cub are muchia de 6 cm. Calculează lungimea diagonalei unei fețe a cubului (un pătrat), folosind teorema lui Pitagora, apoi explică (fără calcul suplimentar) că, pentru diagonala cubului însuși, ar fi nevoie de o aplicare suplimentară a teoremei, în spațiu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Diagonala feței: 36 + 36 = 6√2 ≈ 8,49 cm. Diagonala cubului este ipotenuza unui alt triunghi dreptunghic, cu catetele diagonala feței și o muchie verticală, deci teorema se aplică încă o dată, în spațiu.
Ex. 20Excelență
Un triunghi dreptunghic are catetele exprimate ca x și x+7, iar ipotenuza este x+8. Scrie ecuația corespunzătoare, folosind teorema lui Pitagora (x² + (x+7)² = (x+8)²), apoi rezolvă ecuația pentru a afla valoarea lui x și lungimile laturilor triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + (x + 7)² = (x + 8)² dă x² − 2x − 15 = 0, deci x = 5 (x = −3 nu convine). Laturile: 5 cm, 12 cm, 13 cm.