Încărcăm partea curentă…

Teorema lui Pitagora

Enunțul teoremei lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Dacă unghiul drept este în A, atunci BC2 = AB2 + AC2.

Ca să afli ipotenuza, aduni pătratele catetelor și extragi rădăcina: pentru catetele 6 cm și 8 cm, ipotenuza este 36 + 64 = √100 = 10 cm.

Rezultatul nu este întotdeauna un număr întreg: pentru catetele 1 cm și 2 cm, ipotenuza este √5 cm.

De ținut minte

BC2 = AB2 + AC2
c = a2 + b2
6 și 8 ⇒ ipotenuza 10
  • Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și cea mai lungă.
  • Merită reținute tripletele des întâlnite: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15, 8-15-17.

Exemplu rezolvat

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

  1. 1Aplicăm teorema: c2 = 92 + 122 = 81 + 144.
  2. 2Obținem c2 = 225.
  3. 3Extragem rădăcina: c = 15 cm.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Teorema lui Pitagora: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor. Reciproca permite verificarea faptului că un triunghi este dreptunghic.

Enunțul teoremei lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei. Dacă unghiul drept este în A, atunci BC2 = AB2 + AC2.

Ca să afli ipotenuza, aduni pătratele catetelor și extragi rădăcina: pentru catetele 6 cm și 8 cm, ipotenuza este 36 + 64 = √100 = 10 cm.

Rezultatul nu este întotdeauna un număr întreg: pentru catetele 1 cm și 2 cm, ipotenuza este √5 cm.

  • BC2 = AB2 + AC2
  • c = a2 + b2
  • 6 și 8 ⇒ ipotenuza 10
  • Ipotenuza este latura opusă unghiului drept și cea mai lungă.
  • Merită reținute tripletele des întâlnite: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15, 8-15-17.

Exemplu rezolvat

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

  1. Aplicăm teorema: c2 = 92 + 122 = 81 + 144.
  2. Obținem c2 = 225.
  3. Extragem rădăcina: c = 15 cm.

Aflarea unei catete

Dacă știi ipotenuza și o catetă, cealaltă catetă se află scăzând: a2 = c2 − b2, apoi extragi rădăcina.

Exemplu: la o ipotenuză de 13 cm și o catetă de 5 cm, cealaltă catetă este 169 − 25 = √144 = 12 cm.

Aceeași metodă se folosește la triunghiul isoscel: înălțimea dusă pe bază îl împarte în două triunghiuri dreptunghice, în care cateta este jumătate din bază.

  • a2 = c2 − b2
  • 13 și 5 ⇒ cealaltă catetă 12
  • Scade întotdeauna din pătratul ipotenuzei, nu invers.
  • La triunghiul isoscel, înălțimea pe bază cade exact la mijlocul ei.

Exemplu rezolvat

Un triunghi isoscel are laturile egale de 10 cm și baza de 12 cm. Calculează înălțimea dusă pe bază.

  1. Înălțimea împarte baza în două părți egale de câte 6 cm.
  2. Se formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 10 și o catetă 6: h2 = 100 − 36 = 64.
  3. Rezultă h = 8 cm.

Reciproca teoremei

Reciproca teoremei lui Pitagora spune că, dacă într-un triunghi pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, atunci triunghiul este dreptunghic.

Verificarea se face în doi pași: identifici latura cea mai lungă, apoi compari pătratul ei cu suma pătratelor celorlalte.

Pentru 7, 24 și 25: 49 + 576 = 625 = 252, deci triunghiul este dreptunghic. Pentru 5, 6 și 8: 25 + 36 = 61, dar 82 = 64, deci nu este.

  • c2 = a2 + b2 ⇒ triunghi dreptunghic
  • 72 + 242 = 252 ⇒ dreptunghic
  • Compară întotdeauna cu latura cea mai lungă, altfel concluzia este greșită.
  • Dacă pătratul laturii mari este mai mare decât suma, triunghiul este obtuzunghic.

Exemplu rezolvat · alte date

Triunghiul cu laturile 8, 15, 17 este dreptunghic?

  1. Latura maximă este 17, candidată la ipotenuză.
  2. 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172.
  3. Da, prin reciproca teoremei lui Pitagora; unghiul drept este opus laturii de 17.

Aplicații: diagonale și probleme practice

Teorema se folosește în orice figură care conține un unghi drept. Diagonala unui dreptunghi se calculează din laturi: d2 = L2 + l2, iar diagonala unui pătrat este a√2.

Tot așa se rezolvă problemele practice: o scară sprijinită de perete formează un triunghi dreptunghic cu peretele și cu solul, deci înălțimea la care ajunge se află scăzând.

Pașii sunt mereu aceiași: identifici unghiul drept, stabilești care laturi sunt catete și care ipotenuză, apoi aplici formula.

  • d2 = L2 + l2
  • diagonala pătratului: a√2
  • scară: h2 = 52 − 32
  • Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept — la scară, este scara însăși.
  • Verifică dacă rezultatul are sens: ipotenuza trebuie să fie cea mai lungă latură.

Exemplu rezolvat

O scară de 5 m este sprijinită de un perete, cu baza la 3 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele?

  1. Peretele și solul formează unghiul drept, iar scara este ipotenuza.
  2. Aplicăm teorema: h2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16.
  3. Rezultă h = 4 m.

Triunghiul echilateral: înălțimea și aria

Într-un triunghi echilateral cu latura l, înălțimea cade exact la mijlocul laturii opuse și împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice. Fiecare are ipotenuza l și o catetă egală cu l2, așa că teorema lui Pitagora dă înălțimea: h2 = l2 − (l2)2 = 3l24, adică h = l√32.

De aici vine și aria: A = l · h : 2 = l2√34. Cele două formule apar aproape în fiecare an la Evaluare, la subiectele al II-lea și al III-lea, inclusiv la piramida cu baza triunghi echilateral.

În triunghiul echilateral, înălțimile sunt și mediane, iar punctul lor comun se află la două treimi din înălțime față de vârf. De aceea raza cercului circumscris este R = l√33, iar raza cercului înscris este r = l√36.

  • h = l√32
  • A = l2√34
  • R = l√33
  • r = l√36
  • Înălțimea se obține din Pitagora: dacă uiți formula, o refaci în două rânduri.
  • R = 2r: raza cercului circumscris este dublul razei cercului înscris.

Exemplu rezolvat

Un triunghi echilateral are latura 10 cm. Află înălțimea și aria.

  1. Înălțimea: h = l√32 = 10√32 = 5√3 cm.
  2. Aria: A = l2√34 = 100√34 = 25√3 cm2.
  3. Verificare: A = l · h : 2 = 10 · 5√3 : 2 = 25√3 cm2.

Exerciții rezolvate din lecție (17)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Catetele sunt 6 cm și 8 cm. Calculează ipotenuza.

    Vezi rezolvarea
    1. c2 = 36 + 64 = 100, deci c = 10 cm.

    Răspuns: 10

  2. Exercițiul 2

    Ipotenuza este 13 cm, iar o catetă 5 cm. Calculează cealaltă catetă.

    Vezi rezolvarea
    1. b2 = 169 − 25 = 144, deci b = 12 cm.

    Răspuns: 12

  3. Exercițiul 3

    Triunghiul cu laturile 7, 24 și 25 este dreptunghic?

    Vezi rezolvarea
    1. 72 + 242 = 49 + 576 = 625 = 252.

    Răspuns: Da

  4. Exercițiul 4

    Un pătrat are latura 6 cm. Scrie lungimea diagonalei.

    Vezi rezolvarea
    1. d2 = 62 + 62 = 72, deci d = √72 = 6√2 cm.

    Răspuns: 6√2

  5. Exercițiul 5

    Un dreptunghi are diagonala 17 cm și lățimea 8 cm. Calculează lungimea.

    Vezi rezolvarea
    1. L2 = 172 − 82 = 289 − 64 = 225.
    2. L = 15 cm.

    Răspuns: 15

  6. Exercițiul 6

    Catetele sunt 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. c2 = 81 + 144 = 225.
    2. c = √225.
    3. c = 15 cm.

    Răspuns: 15

  7. Exercițiul 7

    Ipotenuza este 10 cm, iar o catetă 6 cm. Calculează cealaltă catetă, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 100 − 36 = 64.
    2. a = √64.
    3. a = 8 cm.

    Răspuns: 8

  8. Exercițiul 8

    Catetele sunt 1 cm și 2 cm. Ipotenuza este:

    Vezi rezolvarea
    1. c2 = 1 + 4 = 5.
    2. 5 nu este pătrat perfect.
    3. c = √5 cm (nu 3 cm: nu adunăm catetele).

    Răspuns: √5 cm

  9. Exercițiul 9

    Triunghiul cu laturile 5, 6 și 8 este dreptunghic?

    Vezi rezolvarea
    1. 52 + 62 = 25 + 36 = 61.
    2. 82 = 64.
    3. 61 ≠ 64, deci triunghiul nu este dreptunghic.

    Răspuns: Nu, pentru că 52 + 62 ≠ 82

  10. Exercițiul 10

    Un dreptunghi are laturile 12 cm și 5 cm. Calculează diagonala, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. d2 = 144 + 25 = 169.
    2. d = √169.
    3. d = 13 cm.

    Răspuns: 13

  11. Exercițiul 11

    O scară de 5 m este sprijinită de un perete, cu baza la 3 m de perete. La ce înălțime atinge scara peretele, în metri?

    Vezi rezolvarea
    1. h2 = 52 − 32 = 25 − 9 = 16.
    2. h = √16.
    3. Scara atinge peretele la 4 m.

    Răspuns: 4

  12. Exercițiul 12

    Un triunghi isoscel are laturile egale de 10 cm și baza de 12 cm. Calculează înălțimea dusă pe bază, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. Jumătate din bază are 6 cm.
    2. h2 = 102 − 62 = 100 − 36 = 64.
    3. h = 8 cm.

    Răspuns: 8

  13. Exercițiul 13

    Un triunghi echilateral are latura 8 cm. Cât este înălțimea?

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea triunghiului echilateral este h = l√32.
    2. Înlocuim l = 8: h = 8√32.
    3. h = 4√3 cm.

    Răspuns: 4√3 cm

  14. Exercițiul 14

    Care este aria unui triunghi echilateral cu latura 6 cm?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria triunghiului echilateral este A = l2√34.
    2. l2 = 36, deci A = 36√34.
    3. A = 9√3 cm2.

    Răspuns: 9√3 cm2

  15. Exercițiul 15

    Un triunghi echilateral are perimetrul 18√3 cm. Cât este înălțimea?

    Vezi rezolvarea
    1. Latura este l = 18√3 : 3 = 6√3 cm.
    2. h = l√32 = 6√3 · √3 : 2 = 18 : 2.
    3. h = 9 cm.

    Răspuns: 9 cm

  16. Exercițiul 16

    Cât este raza cercului circumscris unui triunghi echilateral cu latura 6√3 cm?

    Vezi rezolvarea
    1. Raza cercului circumscris este R = l√33.
    2. R = 6√3 · √3 : 3 = 18 : 3.
    3. R = 6 cm.

    Răspuns: 6 cm

  17. Exercițiul 17

    Un triunghi echilateral are perimetrul 18√3 cm. Arată că aria lui este 27√3 cm2.

    Vezi rezolvarea
    1. Perimetrul este 3l, deci l = 18√3 : 3 = 6√3 cm.
    2. Aria triunghiului echilateral este A = l2√34.
    3. (6√3)2 = 36 · 3 = 108, deci A = 108√34 = 27√3 cm2.

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    81 + 144 = √225 = 15 cm

  2. 2. Dificultate redusă

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 15 cm și o catetă de 9 cm. Calculează cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    225 − 81 = √144 = 12 cm

  3. 3. Dificultate redusă

    Enunță reciproca teoremei lui Pitagora, cu propriile cuvinte.

    Vezi răspunsul

    Dacă pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic, iar unghiul drept este opus acelei laturi.

  4. 4. Dificultate redusă

    Verifică dacă 9, 12, 15 este un triplet pitagoric.

    Vezi răspunsul

    Da: 92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152.

  5. 5. Dificultate redusă

    Un triunghi dreptunghic are catetele 8 cm și 15 cm. Calculează ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    64 + 225 = √289 = 17 cm

  6. 6. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are catetele 12 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi verifică dacă formează un triplet pitagoric.

    Vezi răspunsul

    144 + 256 = √400 = 20 cm; da, 12, 16, 20 este triplet pitagoric.

  7. 7. Dificultate medie

    Un triunghi are laturile 8 cm, 15 cm, 17 cm. Verifică, folosind reciproca teoremei lui Pitagora, dacă este dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Da: 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172.

  8. 8. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 25 cm și o catetă de 15 cm. Calculează cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    625 − 225 = √400 = 20 cm

  9. 9. Dificultate medie

    O scară de 17 m este sprijinită de un perete, cu baza la 8 m distanță de acesta. Calculează înălțimea la care ajunge scara pe perete.

    Vezi răspunsul

    172 − 82 = 289 − 64 = √225 = 15 m

  10. 10. Dificultate medie

    Un triunghi are laturile 5 cm, 6 cm, 8 cm. Verifică dacă este dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Nu: 52 + 62 = 61, iar 82 = 64.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are lungimea 20 cm și lățimea 15 cm. Calculează lungimea diagonalei.

    Vezi răspunsul

    400 + 225 = √625 = 25 cm

  12. 12. Dificultate ridicată

    Un triunghi isoscel are baza de 24 cm și laturile congruente de 13 cm fiecare. Calculează înălțimea corespunzătoare bazei.

    Vezi răspunsul

    Înălțimea cade în mijlocul bazei: 132 − 122 = √25 = 5 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Un teren dreptunghiular are lungimea de 30 m și diagonala de 34 m. Calculează lățimea terenului.

    Vezi răspunsul

    342 − 302 = 1.156 − 900 = √256 = 16 m

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un pătrat are latura de 8 cm. Calculează lungimea diagonalei, folosind teorema lui Pitagora, apoi verifică folosind formula d = l × √2.

    Vezi răspunsul

    d2 = 64 + 64 = 128, deci d = √128 = 8√2 ≈ 11,31 cm, la fel ca din d = l√2.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Doi drumeți pornesc din același punct, unul mergând spre nord 12 km, celălalt mergând spre est 9 km. Calculează distanța dintre ei.

    Vezi răspunsul

    144 + 81 = √225 = 15 km

  16. 16. Excelență

    Un trapez dreptunghic are bazele de 15 cm și 9 cm, iar latura laterală perpendiculară pe baze (înălțimea) este de 8 cm. Calculează lungimea celeilalte laturi laterale, folosind teorema lui Pitagora (catetele fiind diferența bazelor și înălțimea).

    Vezi răspunsul

    Catetele: 15 − 9 = 6 cm și 8 cm; latura: 36 + 64 = 10 cm.

  17. 17. Excelență

    Un romb are diagonalele de 16 cm și 12 cm. Calculează lungimea laturii rombului, folosind teorema lui Pitagora aplicată jumătăților diagonalelor (care se intersectează perpendicular).

    Vezi răspunsul

    Jumătățile diagonalelor au 8 cm și 6 cm; latura: 64 + 36 = 10 cm.

  18. 18. Excelență

    Un triunghi echilateral are latura de 10 cm. Calculează înălțimea triunghiului, folosind teorema lui Pitagora (indiciu: înălțimea împarte triunghiul echilateral în două triunghiuri dreptunghice, cu o catetă egală cu jumătate din latură).

    Vezi răspunsul

    h = 102 − 52 = √75 = 5√3 ≈ 8,66 cm

  19. 19. Excelență

    Un cub are muchia de 6 cm. Calculează lungimea diagonalei unei fețe a cubului (un pătrat), folosind teorema lui Pitagora, apoi explică (fără calcul suplimentar) că, pentru diagonala cubului însuși, ar fi nevoie de o aplicare suplimentară a teoremei, în spațiu.

    Vezi răspunsul

    Diagonala feței: 36 + 36 = 6√2 ≈ 8,49 cm. Diagonala cubului este ipotenuza unui alt triunghi dreptunghic, cu catetele diagonala feței și o muchie verticală, deci teorema se aplică încă o dată, în spațiu.

  20. 20. Excelență

    Un triunghi dreptunghic are catetele exprimate ca x și x+7, iar ipotenuza este x+8. Scrie ecuația corespunzătoare, folosind teorema lui Pitagora (x2 + (x+7)2 = (x+8)2), apoi rezolvă ecuația pentru a afla valoarea lui x și lungimile laturilor triunghiului.

    Vezi răspunsul

    x2 + (x + 7)2 = (x + 8)2 dă x2 − 2x − 15 = 0, deci x = 5 (x = −3 nu convine). Laturile: 5 cm, 12 cm, 13 cm.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.