Încărcăm partea curentă…

Sisteme de ecuații

Ce este un sistem de ecuații

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute este format din două ecuații care conțin aceleași necunoscute, de obicei x și y, și care trebuie îndeplinite în același timp. Se scrie cu o acoladă în față.

Soluția sistemului este perechea (x, y) care verifică ambele ecuații. Pentru sistemul x + y = 10 și x − y = 2, soluția este (6, 4), fiindcă 6 + 4 = 10 și 6 − 4 = 2.

Ca să verifici o pereche dată, o înlocuiești în fiecare ecuație: dacă una singură nu este verificată, perechea nu este soluție.

De ținut minte

{ ax + by = c
{ dx + ey = f
soluția este o pereche (x, y)
  • O pereche trebuie să verifice ambele ecuații, nu doar una.
  • Ordinea din pereche contează: prima valoare este x, a doua y.

Exemplu rezolvat

Este perechea (2, 3) soluție a sistemului 2x + y = 7 și x + y = 6?

  1. 1Verificăm prima ecuație: 2 × 2 + 3 = 7, adevărat.
  2. 2Verificăm a doua: 2 + 3 = 5, dar ar trebui să fie 6.
  3. 3A doua ecuație nu este verificată, deci perechea nu este soluție.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Sisteme de ecuații: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Soluția unui sistem este perechea care verifică simultan ambele ecuații. Alegem substituția când o necunoscută se izolează ușor și reducerea când putem elimina rapid o necunoscută.

Ce este un sistem de ecuații

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute este format din două ecuații care conțin aceleași necunoscute, de obicei x și y, și care trebuie îndeplinite în același timp. Se scrie cu o acoladă în față.

Soluția sistemului este perechea (x, y) care verifică ambele ecuații. Pentru sistemul x + y = 10 și x − y = 2, soluția este (6, 4), fiindcă 6 + 4 = 10 și 6 − 4 = 2.

Ca să verifici o pereche dată, o înlocuiești în fiecare ecuație: dacă una singură nu este verificată, perechea nu este soluție.

  • { ax + by = c
  • { dx + ey = f
  • soluția este o pereche (x, y)
  • O pereche trebuie să verifice ambele ecuații, nu doar una.
  • Ordinea din pereche contează: prima valoare este x, a doua y.

Exemplu rezolvat

Este perechea (2, 3) soluție a sistemului 2x + y = 7 și x + y = 6?

  1. Verificăm prima ecuație: 2 × 2 + 3 = 7, adevărat.
  2. Verificăm a doua: 2 + 3 = 5, dar ar trebui să fie 6.
  3. A doua ecuație nu este verificată, deci perechea nu este soluție.

Metoda substituției

La substituție exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-o ecuație, apoi înlocuiești expresia obținută în cealaltă ecuație. Astfel rămâi cu o singură ecuație și o singură necunoscută.

Exemplu: pentru x + y = 7 și x − y = 1, din prima ecuație obții y = 7 − x. Înlocuind în a doua: x − (7 − x) = 1, adică 2x = 8, deci x = 4 și y = 3.

Metoda este cea mai potrivită când una dintre necunoscute este deja izolată, de exemplu când sistemul conține y = x + 1 sau x = 2y.

  • y = 7 − x ⇒ x − (7 − x) = 1
  • x = 2y ⇒ 2y + y = 12
  • Izolează necunoscuta cu coeficientul 1: calculele ies fără fracții.
  • După ce afli o necunoscută, nu uita să o calculezi și pe cealaltă.

Exemplu rezolvat

Pentru sistemul x = 2y și x + y = 12, cât este y?

  1. Prima ecuație dă direct x = 2y, deci înlocuim în a doua.
  2. Obținem 2y + y = 12, adică 3y = 12.
  3. Rezultă y = 4, iar x = 8.

Metoda reducerii

La reducere aduni sau scazi cele două ecuații, astfel încât una dintre necunoscute să dispară. Merge cel mai bine când coeficienții aceleiași necunoscute sunt egali sau opuși.

Pentru x + y = 12 și x − y = 2, adunând ecuațiile obții 2x = 14, deci x = 7, iar apoi y = 5.

Dacă coeficienții nu se potrivesc, înmulțești una dintre ecuații cu un număr nenul, ca să îi aduci la aceeași valoare. Din 3x + 2y = 16 și x + 2y = 8, scăzând a doua din prima, rămâne 2x = 8.

  • adunarea ecuațiilor elimină y dacă coeficienții sunt opuși
  • scăderea elimină y dacă coeficienții sunt egali
  • Alege necunoscuta cu coeficienți egali sau opuși: dispare într-un singur pas.
  • Când scazi ecuațiile, schimbă semnul fiecărui termen din a doua.

Exemplu rezolvat

Pentru sistemul 2x + y = 11 și x − y = 1, cât este x?

  1. Coeficienții lui y sunt 1 și −1, deci adunăm ecuațiile.
  2. Obținem 3x = 12, fiindcă y se reduce.
  3. Rezultă x = 4, iar y = 3.

Probleme rezolvate cu sisteme

Multe probleme cu două mărimi necunoscute se traduc direct într-un sistem: notezi necunoscutele, scrii câte o ecuație pentru fiecare informație din enunț și rezolvi.

Pentru „2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar un caiet și un pix costă 8 lei”, notezi cu c prețul unui caiet și cu p prețul unui pix, apoi scrii 2c + 3p = 19 și c + p = 8.

La final, verifică soluția în enunț, nu doar în ecuații: așa prinzi și greșelile de traducere.

  • 2c + 3p = 19
  • c + p = 8
  • soluția: c = 5, p = 3
  • Scrie clar ce înseamnă fiecare necunoscută, înainte de ecuații.
  • Sistemele „sumă și diferență” se rezolvă cel mai repede prin adunarea ecuațiilor.

Exemplu rezolvat

2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar un caiet și un pix costă 8 lei. Cât costă un caiet?

  1. Notăm cu c prețul caietului și cu p pe cel al pixului: 2c + 3p = 19 și c + p = 8.
  2. Din a doua ecuație, p = 8 − c; înlocuim: 2c + 3(8 − c) = 19.
  3. Obținem 24 − c = 19, deci c = 5 lei, iar p = 3 lei.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care este soluția sistemului x + y = 10, x − y = 4?

    Vezi rezolvarea
    1. Adunând ecuațiile obținem 2x = 14, deci x = 7.
    2. Apoi y = 3.

    Răspuns: (7, 3)

  2. Exercițiul 2

    Este perechea (5, 3) soluție pentru x + y = 8 și x − y = 2?

    Vezi rezolvarea
    1. 5 + 3 = 8 și 5 − 3 = 2, deci perechea verifică sistemul.

    Răspuns: Da

  3. Exercițiul 3

    Pentru sistemul y = x + 1, x + y = 7, scrie valoarea lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. x + (x + 1) = 7, deci 2x = 6 și x = 3.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Pentru același sistem, scrie valoarea lui y.

    Vezi rezolvarea
    1. y = 3 + 1 = 4.

    Răspuns: 4

  5. Exercițiul 5

    Ce metodă este cea mai directă pentru sistemul x + y = 12, x − y = 2?

    Vezi rezolvarea
    1. Adunarea celor două ecuații elimină imediat necunoscuta y.

    Răspuns: Metoda reducerii

  6. Exercițiul 6

    Care este soluția sistemului x + y = 9, x − y = 1?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x = 10, deci x = 5.
    2. y = 9 − 5 = 4.
    3. Soluția este (5, 4).

    Răspuns: (5, 4)

  7. Exercițiul 7

    Este perechea (2, 3) soluție a sistemului 2x + y = 7, x + y = 6?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · 2 + 3 = 7: prima ecuație este verificată.
    2. 2 + 3 = 5 ≠ 6: a doua nu este verificată.
    3. Perechea nu este soluție a sistemului.

    Răspuns: Nu, nu verifică a doua ecuație

  8. Exercițiul 8

    Pentru sistemul x = 2y, x + y = 12, scrie valoarea lui y.

    Vezi rezolvarea
    1. 2y + y = 12.
    2. 3y = 12.
    3. y = 4 (și x = 8).

    Răspuns: 4

  9. Exercițiul 9

    Pentru sistemul 2x + y = 11, x − y = 1, scrie valoarea lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. (2x + y) + (x − y) = 11 + 1.
    2. 3x = 12.
    3. x = 4 (și y = 3).

    Răspuns: 4

  10. Exercițiul 10

    Pentru sistemul 3x + 2y = 16, x + 2y = 8, scrie valoarea lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. (3x + 2y) − (x + 2y) = 16 − 8.
    2. 2x = 8.
    3. x = 4 (și y = 2).

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Pentru sistemul x + y = 5, 2x + 3y = 12, scrie valoarea lui y.

    Vezi rezolvarea
    1. 2(5 − y) + 3y = 12.
    2. 10 + y = 12.
    3. y = 2 (și x = 3).

    Răspuns: 2

  12. Exercițiul 12

    2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar un caiet și un pix costă împreună 8 lei. Cât costă un caiet, în lei?

    Vezi rezolvarea
    1. 2c + 3p = 19 și c + p = 8, deci 2c + 2p = 16.
    2. Scăzând: p = 3.
    3. c = 8 − 3 = 5 lei.

    Răspuns: 5

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Verifică dacă perechea x = 6, y = 2 este soluția sistemului { x + y = 8, x − y = 4 }.

    Vezi răspunsul

    Da: 6 + 2 = 8 și 6 − 2 = 4, deci ambele ecuații sunt adevărate.

  2. 2. Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { x + y = 12, x − y = 6 }, prin metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Adunând ecuațiile: 2x = 18, deci x = 9 și y = 3.

  3. 3. Dificultate redusă

    Din ecuația x + y = 11, izolează y în funcție de x.

    Vezi răspunsul

    y = 11 − x

  4. 4. Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { y = x + 2, x + y = 8 }, prin substituție.

    Vezi răspunsul

    x + (x + 2) = 8, deci x = 3 și y = 5.

  5. 5. Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { x + y = 7, x − y = 1 }.

    Vezi răspunsul

    x = 4, y = 3

  6. 6. Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { 2x + y = 15, x − y = 3 }, prin metoda substituției.

    Vezi răspunsul

    x = y + 3, deci 2(y + 3) + y = 15, y = 3 și x = 6.

  7. 7. Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x + 2y = 13, x − y = 4 }, prin metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Scăzând ecuațiile: 3y = 9, deci y = 3 și x = 7.

  8. 8. Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { 4x + y = 19, x + y = 7 }.

    Vezi răspunsul

    Scăzând ecuațiile: 3x = 12, deci x = 4 și y = 3.

  9. 9. Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x + y = 14, 2x − y = 4 }.

    Vezi răspunsul

    Adunând ecuațiile: 3x = 18, deci x = 6 și y = 8.

  10. 10. Dificultate medie

    Suma a două numere este 32, iar diferența lor este 10. Scrie sistemul de ecuații corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    x + y = 32, x − y = 10: numerele sunt 21 și 11.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 3x + 2y = 22, x + y = 9 }, prin metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Scădem dublul celei de-a doua: x = 22 − 18 = 4, apoi y = 5.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 4x − 3y = 6, 2x + y = 12 }.

    Vezi răspunsul

    Din a doua, y = 12 − 2x; înlocuim: 4x − 36 + 6x = 6, deci x = 4,2 și y = 3,6.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Într-o clasă sunt 28 de elevi, băieți și fete. Numărul fetelor este cu 6 mai mare decât numărul băieților. Scrie sistemul de ecuații corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    b + f = 28 și f = b + 6: 11 băieți și 17 fete.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 5x + 2y = 27, 3x − y = 5 }.

    Vezi răspunsul

    y = 3x − 5; înlocuim: 5x + 6x − 10 = 27, deci x = 3711 și y = 5611.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Suma a două numere este 48. Dacă primul număr se împarte la 4, iar al doilea se împarte la 2, rezultatele sunt egale. Scrie sistemul de ecuații corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    x + y = 48 și x4 = y2 (adică x = 2y): y = 16, x = 32.

  16. 16. Excelență

    Rezolvă sistemul { (x+1) + (y−2) = 10, (x−1) − (y+2) = 2 }, desfăcând mai întâi parantezele din fiecare ecuație.

    Vezi răspunsul

    x + y − 1 = 10 și x − y − 3 = 2, adică x + y = 11 și x − y = 5: x = 8, y = 3.

  17. 17. Excelență

    Vârsta unui tată este de 3 ori vârsta fiului. Peste 12 ani, vârsta tatălui va fi doar de 2 ori vârsta fiului. Scrie sistemul de ecuații corespunzător (notând vârstele actuale) și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    t = 3f și t + 12 = 2(f + 12): f = 12 ani, t = 36 de ani.

  18. 18. Excelență

    Rezolvă sistemul { 2x + 3y = 16, 3x + 2y = 19 }, prin metoda reducerii, înmulțind fiecare ecuație cu un coeficient potrivit pentru a elimina y.

    Vezi răspunsul

    Prima ×2, a doua ×3: 4x + 6y = 32 și 9x + 6y = 57. Scăzând, 5x = 25, deci x = 5 și y = 2.

  19. 19. Excelență

    Un bazin poate fi umplut de două robinete. Primul robinet, folosit singur timp de 3 ore, plus al doilea, folosit singur timp de 2 ore, umplu împreună 26 litri. Primul, folosit singur 1 oră, plus al doilea, folosit singur 4 ore, umplu 28 litri. Notează cu x și y debitele (litri/oră) ale celor două robinete, scrie sistemul corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    3x + 2y = 26 și x + 4y = 28: x = 4,8 l/oră, y = 5,8 l/oră.

  20. 20. Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi este 60 cm, iar aria lui, dacă lungimea și lățimea ar fi schimbate între ele, rămâne aceeași (proprietate evidentă). Se știe, suplimentar, că lungimea este cu 6 cm mai mare decât lățimea. Scrie sistemul de ecuații (folosind perimetrul și diferența), rezolvă-l pentru a afla lungimea și lățimea, apoi calculează aria dreptunghiului.

    Vezi răspunsul

    L + l = 30 și L − l = 6: L = 18 cm, l = 12 cm, aria 216 cm2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.