Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min
{x,y}

Teorie înainte de exerciții

Sisteme de ecuații

Soluția unui sistem este perechea care verifică simultan ambele ecuații. Alegem substituția când o necunoscută se izolează ușor și reducerea când putem elimina rapid o necunoscută.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Ce este un sistem de ecuații

Un sistem de două ecuații cu două necunoscute este format din două ecuații care conțin aceleași necunoscute, de obicei x și y, și care trebuie îndeplinite în același timp. Se scrie cu o acoladă în față.

Soluția sistemului este perechea (x, y) care verifică ambele ecuații. Pentru sistemul x + y = 10 și x − y = 2, soluția este (6, 4), fiindcă 6 + 4 = 10 și 6 − 4 = 2.

Ca să verifici o pereche dată, o înlocuiești în fiecare ecuație: dacă una singură nu este verificată, perechea nu este soluție.

{ ax + by = c
{ dx + ey = f
soluția este o pereche (x, y)
  • O pereche trebuie să verifice ambele ecuații, nu doar una.
  • Ordinea din pereche contează: prima valoare este x, a doua y.

Exemplu rezolvat

Este perechea (2, 3) soluție a sistemului 2x + y = 7 și x + y = 6?

  1. 1.Verificăm prima ecuație: 2 × 2 + 3 = 7, adevărat.
  2. 2.Verificăm a doua: 2 + 3 = 5, dar ar trebui să fie 6.
  3. 3.A doua ecuație nu este verificată, deci perechea nu este soluție.
2

Metoda substituției

La substituție exprimi o necunoscută în funcție de cealaltă dintr-o ecuație, apoi înlocuiești expresia obținută în cealaltă ecuație. Astfel rămâi cu o singură ecuație și o singură necunoscută.

Exemplu: pentru x + y = 7 și x − y = 1, din prima ecuație obții y = 7 − x. Înlocuind în a doua: x − (7 − x) = 1, adică 2x = 8, deci x = 4 și y = 3.

Metoda este cea mai potrivită când una dintre necunoscute este deja izolată, de exemplu când sistemul conține y = x + 1 sau x = 2y.

y = 7 − x ⇒ x − (7 − x) = 1
x = 2y ⇒ 2y + y = 12
  • Izolează necunoscuta cu coeficientul 1: calculele ies fără fracții.
  • După ce afli o necunoscută, nu uita să o calculezi și pe cealaltă.

Exemplu rezolvat

Pentru sistemul x = 2y și x + y = 12, cât este y?

  1. 1.Prima ecuație dă direct x = 2y, deci înlocuim în a doua.
  2. 2.Obținem 2y + y = 12, adică 3y = 12.
  3. 3.Rezultă y = 4, iar x = 8.
3

Metoda reducerii

La reducere aduni sau scazi cele două ecuații, astfel încât una dintre necunoscute să dispară. Merge cel mai bine când coeficienții aceleiași necunoscute sunt egali sau opuși.

Pentru x + y = 12 și x − y = 2, adunând ecuațiile obții 2x = 14, deci x = 7, iar apoi y = 5.

Dacă coeficienții nu se potrivesc, înmulțești una dintre ecuații cu un număr nenul, ca să îi aduci la aceeași valoare. Din 3x + 2y = 16 și x + 2y = 8, scăzând a doua din prima, rămâne 2x = 8.

adunarea ecuațiilor elimină y dacă coeficienții sunt opuși
scăderea elimină y dacă coeficienții sunt egali
  • Alege necunoscuta cu coeficienți egali sau opuși: dispare într-un singur pas.
  • Când scazi ecuațiile, schimbă semnul fiecărui termen din a doua.

Exemplu rezolvat

Pentru sistemul 2x + y = 11 și x − y = 1, cât este x?

  1. 1.Coeficienții lui y sunt 1 și −1, deci adunăm ecuațiile.
  2. 2.Obținem 3x = 12, fiindcă y se reduce.
  3. 3.Rezultă x = 4, iar y = 3.
4

Probleme rezolvate cu sisteme

Multe probleme cu două mărimi necunoscute se traduc direct într-un sistem: notezi necunoscutele, scrii câte o ecuație pentru fiecare informație din enunț și rezolvi.

Pentru „2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar un caiet și un pix costă 8 lei”, notezi cu c prețul unui caiet și cu p prețul unui pix, apoi scrii 2c + 3p = 19 și c + p = 8.

La final, verifică soluția în enunț, nu doar în ecuații: așa prinzi și greșelile de traducere.

2c + 3p = 19
c + p = 8
soluția: c = 5, p = 3
  • Scrie clar ce înseamnă fiecare necunoscută, înainte de ecuații.
  • Sistemele „sumă și diferență” se rezolvă cel mai repede prin adunarea ecuațiilor.

Exemplu rezolvat

2 caiete și 3 pixuri costă 19 lei, iar un caiet și un pix costă 8 lei. Cât costă un caiet?

  1. 1.Notăm cu c prețul caietului și cu p pe cel al pixului: 2c + 3p = 19 și c + p = 8.
  2. 2.Din a doua ecuație, p = 8 − c; înlocuim: 2c + 3(8 − c) = 19.
  3. 3.Obținem 24 − c = 19, deci c = 5 lei, iar p = 3 lei.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Verifică dacă perechea x = 6, y = 2 este soluția sistemului { x + y = 8, x − y = 4 }.

    Vezi răspunsul

    Da: 6 + 2 = 8 și 6 − 2 = 4, deci ambele ecuații sunt adevărate.

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { x + y = 12, x − y = 6 }, prin metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Adunând ecuațiile: 2x = 18, deci x = 9 și y = 3.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Din ecuația x + y = 11, izolează y în funcție de x.

    Vezi răspunsul

    y = 11 − x

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { y = x + 2, x + y = 8 }, prin substituție.

    Vezi răspunsul

    x + (x + 2) = 8, deci x = 3 și y = 5.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Rezolvă sistemul { x + y = 7, x − y = 1 }.

    Vezi răspunsul

    x = 4, y = 3

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { 2x + y = 15, x − y = 3 }, prin metoda substituției.

    Vezi răspunsul

    x = y + 3, deci 2(y + 3) + y = 15, y = 3 și x = 6.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x + 2y = 13, x − y = 4 }, prin metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Scăzând ecuațiile: 3y = 9, deci y = 3 și x = 7.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { 4x + y = 19, x + y = 7 }.

    Vezi răspunsul

    Scăzând ecuațiile: 3x = 12, deci x = 4 și y = 3.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x + y = 14, 2x − y = 4 }.

    Vezi răspunsul

    Adunând ecuațiile: 3x = 18, deci x = 6 și y = 8.

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Suma a două numere este 32, iar diferența lor este 10. Scrie sistemul de ecuații corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    x + y = 32, x − y = 10: numerele sunt 21 și 11.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 3x + 2y = 22, x + y = 9 }, prin metoda reducerii.

    Vezi răspunsul

    Scădem dublul celei de-a doua: x = 22 − 18 = 4, apoi y = 5.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 4x − 3y = 6, 2x + y = 12 }.

    Vezi răspunsul

    Din a doua, y = 12 − 2x; înlocuim: 4x − 36 + 6x = 6, deci x = 4,2 și y = 3,6.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Într-o clasă sunt 28 de elevi, băieți și fete. Numărul fetelor este cu 6 mai mare decât numărul băieților. Scrie sistemul de ecuații corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    b + f = 28 și f = b + 6: 11 băieți și 17 fete.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 5x + 2y = 27, 3x − y = 5 }.

    Vezi răspunsul

    y = 3x − 5; înlocuim: 5x + 6x − 10 = 27, deci x = 3711 și y = 5611.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Suma a două numere este 48. Dacă primul număr se împarte la 4, iar al doilea se împarte la 2, rezultatele sunt egale. Scrie sistemul de ecuații corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    x + y = 48 și x4 = y2 (adică x = 2y): y = 16, x = 32.

  16. Ex. 16Excelență

    Rezolvă sistemul { (x+1) + (y−2) = 10, (x−1) − (y+2) = 2 }, desfăcând mai întâi parantezele din fiecare ecuație.

    Vezi răspunsul

    x + y − 1 = 10 și x − y − 3 = 2, adică x + y = 11 și x − y = 5: x = 8, y = 3.

  17. Ex. 17Excelență

    Vârsta unui tată este de 3 ori vârsta fiului. Peste 12 ani, vârsta tatălui va fi doar de 2 ori vârsta fiului. Scrie sistemul de ecuații corespunzător (notând vârstele actuale) și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    t = 3f și t + 12 = 2(f + 12): f = 12 ani, t = 36 de ani.

  18. Ex. 18Excelență

    Rezolvă sistemul { 2x + 3y = 16, 3x + 2y = 19 }, prin metoda reducerii, înmulțind fiecare ecuație cu un coeficient potrivit pentru a elimina y.

    Vezi răspunsul

    Prima ×2, a doua ×3: 4x + 6y = 32 și 9x + 6y = 57. Scăzând, 5x = 25, deci x = 5 și y = 2.

  19. Ex. 19Excelență

    Un bazin poate fi umplut de două robinete. Primul robinet, folosit singur timp de 3 ore, plus al doilea, folosit singur timp de 2 ore, umplu împreună 26 litri. Primul, folosit singur 1 oră, plus al doilea, folosit singur 4 ore, umplu 28 litri. Notează cu x și y debitele (litrioră) ale celor două robinete, scrie sistemul corespunzător și rezolvă-l.

    Vezi răspunsul

    3x + 2y = 26 și x + 4y = 28: x = 4,8 loră, y = 5,8 loră.

  20. Ex. 20Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi este 60 cm, iar aria lui, dacă lungimea și lățimea ar fi schimbate între ele, rămâne aceeași (proprietate evidentă). Se știe, suplimentar, că lungimea este cu 6 cm mai mare decât lățimea. Scrie sistemul de ecuații (folosind perimetrul și diferența), rezolvă-l pentru a afla lungimea și lățimea, apoi calculează aria dreptunghiului.

    Vezi răspunsul

    L + l = 30 și L − l = 6: L = 18 cm, l = 12 cm, aria 216 cm2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.