Reprezentări grafice

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Gruparea datelor pe intervale

Când o caracteristică poate lua foarte multe valori diferite — de exemplu înălțimea exactă a 100 de elevi — datele se grupează pe intervale, numite și clase, în loc să fie tratate una câte una.

Fiecare interval primește o frecvență absolută: câte date cad în el. Suma frecvențelor tuturor intervalelor dă numărul total de date.

Scrierea intervalelor trebuie să fie clară: dacă scrii 0–10 și 10–20, nu se înțelege în care interval intră valoarea 10. De aceea se folosesc forme precum [0, 10) și [10, 20), unde capătul din dreapta este exclus.

De ținut minte

suma frecvențelor = totalul datelor

[0, 10) și [10, 20) — fără ambiguitate

Intervalele trebuie să acopere toate datele, fără suprapuneri.
Ca să afli câte date sunt sub o valoare, aduni frecvențele intervalelor de dinaintea ei.

Exemplu rezolvat · alte date

Intervalele [0, 5), [5, 10), [10, 15] au frecvențe 3, 7, 4. Câte date sunt strict sub 10?

1Primele două intervale conțin toate datele sub 10.
2Adunăm frecvențele lor: 3 + 7.
3Sunt 10 date; capătul 10 aparține celui de-al treilea interval.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Reprezentări grafice: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Când datele sunt numeroase, le putem grupa pe intervale. Histograma folosește bare lipite pentru intervale continue, iar poligonul frecvențelor unește punctele construite deasupra mijloacelor intervalelor.

Gruparea datelor pe intervale

Fiecare interval primește o frecvență absolută: câte date cad în el. Suma frecvențelor tuturor intervalelor dă numărul total de date.

suma frecvențelor = totalul datelor
[0, 10) și [10, 20) — fără ambiguitate

Intervalele trebuie să acopere toate datele, fără suprapuneri.
Ca să afli câte date sunt sub o valoare, aduni frecvențele intervalelor de dinaintea ei.

Exemplu rezolvat · alte date

Intervalele [0, 5), [5, 10), [10, 15] au frecvențe 3, 7, 4. Câte date sunt strict sub 10?

Primele două intervale conțin toate datele sub 10.
Adunăm frecvențele lor: 3 + 7.
Sunt 10 date; capătul 10 aparține celui de-al treilea interval.

Mijlocul unui interval

Mijlocul unui interval este media aritmetică a capetelor lui: (capăt stâng + capăt drept) : 2.

Pentru intervalul 20–30, mijlocul este (20 + 30) : 2 = 25, iar pentru 12–18 mijlocul este 15.

Mijloacele se folosesc ca valori reprezentative ale intervalelor: cu ele se desenează poligonul frecvențelor și se calculează media datelor grupate.

mijloc = (a + b) : 2
mijlocul lui 40–60 este 50

Mijlocul se calculează la fel, indiferent cât de larg este intervalul.
Valoarea de mijloc înlocuiește toate datele din acel interval, la calcule.

Exemplu rezolvat · alte date

Află mijlocul intervalului [16, 30].

Mijlocul este media capetelor.
16 + 302 = 462.
Rezultatul este 23.

Histograma și poligonul frecvențelor

Histograma seamănă cu un grafic cu bare, dar este folosită pentru date grupate pe intervale: barele sunt lipite, fără spații între ele, fiindcă intervalele sunt continue. Lățimea fiecărei bare corespunde intervalului, iar înălțimea, frecvenței.

Poligonul frecvențelor se obține marcând, pentru fiecare interval, un punct la mijlocul lui, la înălțimea dată de frecvență, apoi unind punctele printr-o linie frântă.

Astfel, pentru intervalul 10–20 cu frecvența 22, punctul este (15, 22): prima coordonată este mijlocul intervalului, a doua este frecvența.

histogramă: bare lipite
punct în poligon: (mijlocul intervalului, frecvența)

Barele lipite arată că datele sunt continue, nu categorii separate.
Poligonul frecvențelor se citește ca o linie: arată unde se îngrămădesc datele.

Exemplu rezolvat · alte date

Ce punct reprezintă intervalul [20, 40) cu frecvența 9 în poligonul frecvențelor?

Abscisa este mijlocul intervalului: 20 + 402 = 30.
Ordonata este frecvența, 9.
Punctul este (30, 9).

Intervalul modal și frecvențele relative

Intervalul modal este intervalul cu frecvența cea mai mare — în histogramă, bara cea mai înaltă. El arată unde se adună cele mai multe date.

Frecvența relativă a unui interval se calculează ca la orice set de date: frecvența intervalului împărțită la totalul datelor, înmulțită cu 100 dacă vrei procente.

interval modal = cel cu frecvența maximă
f relativă = frecvență : total × 100

Un set de date poate avea două intervale modale, dacă frecvența maximă apare de două ori.
Calculează întâi totalul, apoi procentul fiecărui interval.

Exemplu rezolvat · alte date

Frecvențele sunt 5, 14 și 16. Ce procent reprezintă al doilea interval?

Totalul este 35.
1435 = 0,4.
Frecvența relativă este 40%; intervalul modal este al treilea, cu 16.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Ce deosebește histograma de un grafic obișnuit cu bare?
Vezi rezolvarea
1. Intervalele sunt continue, de aceea barele histogramei sunt alăturate fără spații.
Răspuns: Barele sunt lipite
Exercițiul 2
Calculează mijlocul intervalului 20–30.
Vezi rezolvarea
1. (20 + 30) : 2 = 25.
Răspuns: 25
Exercițiul 3
Frecvențele intervalelor sunt 6, 10 și 4. Care interval este modal?
Vezi rezolvarea
1. Frecvența 10 este cea mai mare și aparține celui de-al doilea interval.
Răspuns: Al doilea
Exercițiul 4
Frecvențele sunt 8, 14, 10 și 6. Calculează totalul datelor.
Vezi rezolvarea
1. 8 + 14 + 10 + 6 = 38.
Răspuns: 38
Exercițiul 5
Ce punct folosim pentru intervalul 10–20 cu frecvența 22 în poligonul frecvențelor?
Vezi rezolvarea
1. Mijlocul intervalului este 15, iar frecvența este 22.
Răspuns: (15, 22)
Exercițiul 6
Calculează mijlocul intervalului 40–60.
Vezi rezolvarea
1. (40 + 60) : 2.
2. 100 : 2 = 50.
3. Mijlocul este 50.
Răspuns: 50
Exercițiul 7
Calculează mijlocul intervalului 12–18.
Vezi rezolvarea
1. (12 + 18) : 2.
2. 30 : 2 = 15.
3. Mijlocul este 15.
Răspuns: 15
Exercițiul 8
Frecvențele intervalelor 0–10, 10–20, 20–30 și 30–40 sunt 5, 3, 9 și 7. Care este intervalul modal?
Vezi rezolvarea
1. Frecvența maximă este 9.
2. Ea corespunde intervalului 20–30.
3. Intervalul modal este 20–30.
Răspuns: 20–30
Exercițiul 9
Ce punct folosim în poligonul frecvențelor pentru intervalul 30–50 cu frecvența 12?
Vezi rezolvarea
1. Mijlocul intervalului: (30 + 50) : 2 = 40.
2. Ordonata este frecvența, 12.
3. Punctul este (40, 12).
Răspuns: (40, 12)
Exercițiul 10
De ce intervalele scrise 0–10 și 10–20 pot crea confuzie?
Vezi rezolvarea
1. 10 este capăt la ambele intervale.
2. Nu e clar în care se numără.
3. Scriem [0, 10) și [10, 20) ca să nu existe ambiguitate.
Răspuns: valoarea 10 pare să aparțină ambelor intervale
Exercițiul 11
Frecvențele a patru intervale sunt 4, 11, 7 și 3. Ce frecvență relativă are al doilea interval, în procente?
Vezi rezolvarea
1. Totalul este 4 + 11 + 7 + 3 = 25.
2. 11 : 25 = 0,44.
3. 0,44 · 100 = 44%.
Răspuns: 44
Exercițiul 12
Intervalele [0, 10), [10, 20) și [20, 30] au frecvențele 6, 8 și 6. Câte date sunt mai mici decât 20?
Vezi rezolvarea
1. Sub 20 sunt intervalele [0, 10) și [10, 20).
2. 6 + 8 = 14.
3. 14 date sunt mai mici decât 20.
Răspuns: 14

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Ce este poligonul frecvențelor?
Vezi răspunsul
Linia frântă care unește punctele (mijlocul intervalului, frecvența) sau (valoarea, frecvența).
2. Dificultate redusă
De ce barele unei histograme sunt alăturate, fără spații între ele?
Vezi răspunsul
Intervalele sunt consecutive: unul se termină acolo unde începe următorul, deci nu rămân goluri între valori.
3. Dificultate redusă
Calculează mijlocul intervalului 30-40.
Vezi răspunsul
(30 + 40) : 2 = 35
4. Dificultate redusă
Se dă un tabel cu frecvențele: 0-10 (frecvență 8), 10-20 (frecvență 14), 20-30 (frecvență 6). Care este intervalul modal?
Vezi răspunsul
10–20 (cea mai mare frecvență, 14)
5. Dificultate redusă
Ce reprezintă o histogramă?
Vezi răspunsul
Un grafic cu bare lipite pentru date grupate pe intervale; înălțimea fiecărei bare arată frecvența intervalului.
6. Dificultate medie
Se dau intervalele și frecvențele: 0-5 (6), 5-10 (12), 10-15 (14), 15-20 (8). Calculează mijlocul fiecărui interval.
Vezi răspunsul
2,5; 7,5; 12,5; 17,5
7. Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează totalul frecvențelor, apoi frecvența relativă a intervalului 10-15.
Vezi răspunsul
Totalul: 6 + 12 + 14 + 8 = 40; frecvența relativă a intervalului 10–15: 1440 = 35%.
8. Dificultate medie
Construiește (descrie pe hârtie) o histogramă pentru datele: 20-30 (frecvență 7), 30-40 (frecvență 15), 40-50 (frecvență 10).
Vezi răspunsul
Pe axa orizontală, intervalele 20–30, 30–40, 40–50, lipite unul de altul; pe axa verticală, frecvențele. Trei bare cu înălțimile 7, 15 și 10.
9. Dificultate medie
Se dă un poligon al frecvențelor cu punctele (5, 6), (15, 18), (25, 14), (35, 5). Care este intervalul cu cea mai mare frecvență?
Vezi răspunsul
Intervalul cu mijlocul 15, adică 10–20 (frecvența 18).
10. Dificultate medie
Explică diferența dintre un poligon al frecvențelor și o histogramă, folosind un exemplu propriu.
Vezi răspunsul
Histograma folosește bare lipite; poligonul frecvențelor unește prin segmente punctele aflate la mijlocul fiecărui interval, la înălțimea frecvenței. De exemplu, pentru înălțimea elevilor pe intervale de 10 cm, histograma are bare, iar poligonul este o linie frântă peste vârfurile lor.
11. Dificultate ridicată
Se dau datele grupate: greutatea (kg) a 70 de persoane, pe intervale: 50-60 (12), 60-70 (30), 70-80 (20), 80-90 (8). Calculează frecvența relativă a fiecărui interval, verificând dacă suma este 100%.
Vezi răspunsul
50–60: 1270 ≈ 17,14%; 60–70: 3070 ≈ 42,86%; 70–80: 2070 ≈ 28,57%; 80–90: 870 ≈ 11,43%. Suma: 100%.
12. Dificultate ridicată
Folosind datele de la exercițiul 11, calculează mijlocul fiecărui interval, apoi estimează media aritmetică a greutăților, folosind media ponderată.
Vezi răspunsul
Mijloacele: 55, 65, 75, 85. Media estimată: (55 × 12 + 65 × 30 + 75 × 20 + 85 × 8) : 70 = 4.790 : 70 ≈ 68,43 kg.
13. Dificultate ridicată
O histogramă are 5 bare, cu frecvențele 5, 11, 18, 13, 8, corespunzătoare intervalelor 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50. Calculează totalul datelor, apoi determină ce procent din date se află în intervalul modal.
Vezi răspunsul
Totalul: 55. Intervalul modal este 20–30 (18 date), adică 1855 ≈ 32,73%.
14. Dificultate ridicată
Se dă un tabel cu vânzările unui magazin, grupate pe intervale de preț: 0-50 lei (frecvență 25), 50-100 lei (frecvență 40), 100-150 lei (frecvență 20), 150-200 lei (frecvență 15). Calculează frecvența relativă a vânzărilor sub 100 lei.
Vezi răspunsul
(25 + 40) : 100 = 65%
15. Dificultate ridicată
Un poligon al frecvențelor arată o distribuție simetrică, cu vârful la mijlocul intervalului central. Explică ce ar însemna, practic, pentru datele despre timpul petrecut la teme de 50 de elevi, dacă distribuția ar fi simetrică față de intervalul central.
Vezi răspunsul
Cei mai mulți elevi petrec la teme un timp din intervalul central, iar cam tot atâția elevi petrec mai puțin cât petrec mai mult. Media este aproape de mijlocul intervalului central.
16. Excelență
Se dau datele grupate pe 6 intervale egale (lățime 10), cu frecvențele: 3, 8, 15, 20, 10, 4. Calculează totalul datelor, mijloacele intervalelor (presupunând primul interval 0-10), apoi estimează media ponderată a distribuției.
Vezi răspunsul
Totalul: 60. Mijloacele: 5, 15, 25, 35, 45, 55. Media estimată: (15 + 120 + 375 + 700 + 450 + 220) : 60 = 1.880 : 60 ≈ 31,33.
17. Excelență
O histogramă cu 4 intervale de lățime egală (10 unități fiecare) are ariile barelor (calculate ca lățime × înălțime) egale cu frecvențele: 40, 90, 60, 20 (deci înălțimile sunt frecvența împărțită la 10). Calculează înălțimea fiecărei bare, apoi identifică intervalul modal.
Vezi răspunsul
Înălțimile: 4, 9, 6, 2. Intervalul modal este al doilea (frecvența 90).
18. Excelență
Se dă o distribuție de frecvențe pe 5 intervale, cu frecvențele x, 2x, 3x, 2x, x (simetrică). Dacă totalul datelor este 90, calculează valoarea lui x, apoi frecvența fiecărui interval.
Vezi răspunsul
x + 2x + 3x + 2x + x = 9x = 90, deci x = 10: frecvențele sunt 10, 20, 30, 20, 10.
19. Excelență
Un poligon al frecvențelor pentru notele unui test, pe intervale de câte 2 unități (4-6, 6-8, 8-10), are frecvențele 8, 20, 12. Calculează mijloacele intervalelor, apoi estimează media generală a notelor, folosind media ponderată cu aceste mijloace și frecvențe.
Vezi răspunsul
Mijloacele: 5, 7, 9. Media: (5 × 8 + 7 × 20 + 9 × 12) : 40 = 288 : 40 = 7,2.
20. Excelență
Se dau două histograme pentru aceleași intervale, reprezentând vânzările unui magazin în 2 ani diferiți. Anul 1 are frecvențele 10, 25, 30, 15, iar Anul 2 are frecvențele 15, 20, 35, 20 (aceleași 4 intervale). Calculează totalul vânzărilor pentru fiecare an, apoi determină cu cât procent au crescut vânzările totale din Anul 1 în Anul 2.
Vezi răspunsul
Anul 1: 80; Anul 2: 90. Creșterea: 1080 = 12,5%.