Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min
▥

Teorie înainte de exerciții

Reprezentări grafice

Când datele sunt numeroase, le putem grupa pe intervale. Histograma folosește bare lipite pentru intervale continue, iar poligonul frecvențelor unește punctele construite deasupra mijloacelor intervalelor.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Gruparea datelor pe intervale

Când o caracteristică poate lua foarte multe valori diferite — de exemplu înălțimea exactă a 100 de elevi — datele se grupează pe intervale, numite și clase, în loc să fie tratate una câte una.

Fiecare interval primește o frecvență absolută: câte date cad în el. Suma frecvențelor tuturor intervalelor dă numărul total de date.

Scrierea intervalelor trebuie să fie clară: dacă scrii 0–10 și 10–20, nu se înțelege în care interval intră valoarea 10. De aceea se folosesc forme precum [0, 10) și [10, 20), unde capătul din dreapta este exclus.

suma frecvențelor = totalul datelor
[0, 10) și [10, 20) — fără ambiguitate
  • Intervalele trebuie să acopere toate datele, fără suprapuneri.
  • Ca să afli câte date sunt sub o valoare, aduni frecvențele intervalelor de dinaintea ei.

Exemplu rezolvat

Intervalele [0, 10), [10, 20) și [20, 30] au frecvențele 6, 8 și 6. Câte date sunt mai mici decât 20?

  1. 1.Datele mai mici decât 20 se află în primele două intervale.
  2. 2.Adunăm frecvențele lor: 6 + 8.
  3. 3.Sunt 14 date mai mici decât 20.
2

Mijlocul unui interval

Mijlocul unui interval este media aritmetică a capetelor lui: (capăt stâng + capăt drept) : 2.

Pentru intervalul 20–30, mijlocul este (20 + 30) : 2 = 25, iar pentru 12–18 mijlocul este 15.

Mijloacele se folosesc ca valori reprezentative ale intervalelor: cu ele se desenează poligonul frecvențelor și se calculează media datelor grupate.

mijloc = (a + b) : 2
mijlocul lui 40–60 este 50
  • Mijlocul se calculează la fel, indiferent cât de larg este intervalul.
  • Valoarea de mijloc înlocuiește toate datele din acel interval, la calcule.

Exemplu rezolvat

Calculează mijlocul intervalului 12–18.

  1. 1.Adunăm capetele: 12 + 18 = 30.
  2. 2.Împărțim la 2: 30 : 2.
  3. 3.Mijlocul intervalului este 15.
3

Histograma și poligonul frecvențelor

Histograma seamănă cu un grafic cu bare, dar este folosită pentru date grupate pe intervale: barele sunt lipite, fără spații între ele, fiindcă intervalele sunt continue. Lățimea fiecărei bare corespunde intervalului, iar înălțimea, frecvenței.

Poligonul frecvențelor se obține marcând, pentru fiecare interval, un punct la mijlocul lui, la înălțimea dată de frecvență, apoi unind punctele printr-o linie frântă.

Astfel, pentru intervalul 10–20 cu frecvența 22, punctul este (15, 22): prima coordonată este mijlocul intervalului, a doua este frecvența.

histogramă: bare lipite
punct în poligon: (mijlocul intervalului, frecvența)
  • Barele lipite arată că datele sunt continue, nu categorii separate.
  • Poligonul frecvențelor se citește ca o linie: arată unde se îngrămădesc datele.

Exemplu rezolvat

Ce punct folosim în poligonul frecvențelor pentru intervalul 30–50 cu frecvența 12?

  1. 1.Calculăm mijlocul intervalului: (30 + 50) : 2 = 40.
  2. 2.Înălțimea punctului este dată de frecvență, adică 12.
  3. 3.Punctul este (40, 12).
4

Intervalul modal și frecvențele relative

Intervalul modal este intervalul cu frecvența cea mai mare — în histogramă, bara cea mai înaltă. El arată unde se adună cele mai multe date.

Frecvența relativă a unui interval se calculează ca la orice set de date: frecvența intervalului împărțită la totalul datelor, înmulțită cu 100 dacă vrei procente.

interval modal = cel cu frecvența maximă
f relativă = frecvență : total × 100
  • Un set de date poate avea două intervale modale, dacă frecvența maximă apare de două ori.
  • Calculează întâi totalul, apoi procentul fiecărui interval.

Exemplu rezolvat

Frecvențele a patru intervale sunt 4, 11, 7 și 3. Ce frecvență relativă are al doilea interval, în procente?

  1. 1.Calculăm totalul: 4 + 11 + 7 + 3 = 25.
  2. 2.Raportăm frecvența intervalului la total: 11 : 25 = 0,44.
  3. 3.În procente, frecvența relativă este 44%.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Ce este poligonul frecvențelor?

    Vezi răspunsul

    Linia frântă care unește punctele (mijlocul intervalului, frecvența) sau (valoarea, frecvența).

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    De ce barele unei histograme sunt alăturate, fără spații între ele?

    Vezi răspunsul

    Intervalele sunt consecutive: unul se termină acolo unde începe următorul, deci nu rămân goluri între valori.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Calculează mijlocul intervalului 30-40.

    Vezi răspunsul

    (30 + 40) : 2 = 35

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Se dă un tabel cu frecvențele: 0-10 (frecvență 8), 10-20 (frecvență 14), 20-30 (frecvență 6). Care este intervalul modal?

    Vezi răspunsul

    10–20 (cea mai mare frecvență, 14)

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Ce reprezintă o histogramă?

    Vezi răspunsul

    Un grafic cu bare lipite pentru date grupate pe intervale; înălțimea fiecărei bare arată frecvența intervalului.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Se dau intervalele și frecvențele: 0-5 (6), 5-10 (12), 10-15 (14), 15-20 (8). Calculează mijlocul fiecărui interval.

    Vezi răspunsul

    2,5; 7,5; 12,5; 17,5

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Folosind datele de la exercițiul 6, calculează totalul frecvențelor, apoi frecvența relativă a intervalului 10-15.

    Vezi răspunsul

    Totalul: 6 + 12 + 14 + 8 = 40; frecvența relativă a intervalului 10–15: 1440 = 35%.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Construiește (descrie pe hârtie) o histogramă pentru datele: 20-30 (frecvență 7), 30-40 (frecvență 15), 40-50 (frecvență 10).

    Vezi răspunsul

    Pe axa orizontală, intervalele 20–30, 30–40, 40–50, lipite unul de altul; pe axa verticală, frecvențele. Trei bare cu înălțimile 7, 15 și 10.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Se dă un poligon al frecvențelor cu punctele (5, 6), (15, 18), (25, 14), (35, 5). Care este intervalul cu cea mai mare frecvență?

    Vezi răspunsul

    Intervalul cu mijlocul 15, adică 10–20 (frecvența 18).

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Explică diferența dintre un poligon al frecvențelor și o histogramă, folosind un exemplu propriu.

    Vezi răspunsul

    Histograma folosește bare lipite; poligonul frecvențelor unește prin segmente punctele aflate la mijlocul fiecărui interval, la înălțimea frecvenței. De exemplu, pentru înălțimea elevilor pe intervale de 10 cm, histograma are bare, iar poligonul este o linie frântă peste vârfurile lor.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Se dau datele grupate: greutatea (kg) a 70 de persoane, pe intervale: 50-60 (12), 60-70 (30), 70-80 (20), 80-90 (8). Calculează frecvența relativă a fiecărui interval, verificând dacă suma este 100%.

    Vezi răspunsul

    50–60: 1270 ≈ 17,14%; 60–70: 3070 ≈ 42,86%; 70–80: 2070 ≈ 28,57%; 80–90: 870 ≈ 11,43%. Suma: 100%.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Folosind datele de la exercițiul 11, calculează mijlocul fiecărui interval, apoi estimează media aritmetică a greutăților, folosind media ponderată.

    Vezi răspunsul

    Mijloacele: 55, 65, 75, 85. Media estimată: (55 × 12 + 65 × 30 + 75 × 20 + 85 × 8) : 70 = 4.790 : 70 ≈ 68,43 kg.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    O histogramă are 5 bare, cu frecvențele 5, 11, 18, 13, 8, corespunzătoare intervalelor 0-10, 10-20, 20-30, 30-40, 40-50. Calculează totalul datelor, apoi determină ce procent din date se află în intervalul modal.

    Vezi răspunsul

    Totalul: 55. Intervalul modal este 20–30 (18 date), adică 1855 ≈ 32,73%.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Se dă un tabel cu vânzările unui magazin, grupate pe intervale de preț: 0-50 lei (frecvență 25), 50-100 lei (frecvență 40), 100-150 lei (frecvență 20), 150-200 lei (frecvență 15). Calculează frecvența relativă a vânzărilor sub 100 lei.

    Vezi răspunsul

    (25 + 40) : 100 = 65%

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Un poligon al frecvențelor arată o distribuție simetrică, cu vârful la mijlocul intervalului central. Explică ce ar însemna, practic, pentru datele despre timpul petrecut la teme de 50 de elevi, dacă distribuția ar fi simetrică față de intervalul central.

    Vezi răspunsul

    Cei mai mulți elevi petrec la teme un timp din intervalul central, iar cam tot atâția elevi petrec mai puțin cât petrec mai mult. Media este aproape de mijlocul intervalului central.

  16. Ex. 16Excelență

    Se dau datele grupate pe 6 intervale egale (lățime 10), cu frecvențele: 3, 8, 15, 20, 10, 4. Calculează totalul datelor, mijloacele intervalelor (presupunând primul interval 0-10), apoi estimează media ponderată a distribuției.

    Vezi răspunsul

    Totalul: 60. Mijloacele: 5, 15, 25, 35, 45, 55. Media estimată: (15 + 120 + 375 + 700 + 450 + 220) : 60 = 1.880 : 60 ≈ 31,33.

  17. Ex. 17Excelență

    O histogramă cu 4 intervale de lățime egală (10 unități fiecare) are ariile barelor (calculate ca lățime × înălțime) egale cu frecvențele: 40, 90, 60, 20 (deci înălțimile sunt frecvența împărțită la 10). Calculează înălțimea fiecărei bare, apoi identifică intervalul modal.

    Vezi răspunsul

    Înălțimile: 4, 9, 6, 2. Intervalul modal este al doilea (frecvența 90).

  18. Ex. 18Excelență

    Se dă o distribuție de frecvențe pe 5 intervale, cu frecvențele x, 2x, 3x, 2x, x (simetrică). Dacă totalul datelor este 90, calculează valoarea lui x, apoi frecvența fiecărui interval.

    Vezi răspunsul

    x + 2x + 3x + 2x + x = 9x = 90, deci x = 10: frecvențele sunt 10, 20, 30, 20, 10.

  19. Ex. 19Excelență

    Un poligon al frecvențelor pentru notele unui test, pe intervale de câte 2 unități (4-6, 6-8, 8-10), are frecvențele 8, 20, 12. Calculează mijloacele intervalelor, apoi estimează media generală a notelor, folosind media ponderată cu aceste mijloace și frecvențe.

    Vezi răspunsul

    Mijloacele: 5, 7, 9. Media: (5 × 8 + 7 × 20 + 9 × 12) : 40 = 288 : 40 = 7,2.

  20. Ex. 20Excelență

    Se dau două histograme pentru aceleași intervale, reprezentând vânzările unui magazin în 2 ani diferiți. Anul 1 are frecvențele 10, 25, 30, 15, iar Anul 2 are frecvențele 15, 20, 35, 20 (aceleași 4 intervale). Calculează totalul vânzărilor pentru fiecare an, apoi determină cu cât procent au crescut vânzările totale din Anul 1 în Anul 2.

    Vezi răspunsul

    Anul 1: 80; Anul 2: 90. Creșterea: 1080 = 12,5%.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.