Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză împarte triunghiul în două triunghiuri asemenea cu cel inițial. Din asemănare rezultă teoremele catetei și înălțimii.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

ABC este dreptunghic în A. AD este înălțimea pe ipotenuza BC; BD și DC sunt proiecțiile catetelor. Avem AD² = BD · DC, AB² = BC · BD și AC² = BC · DC. Desenul reprezintă un triunghi de tip 3–4–5.

Ipotenuza și proiecțiile catetelor

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în A, înălțimea AD dusă pe ipotenuză o împarte în două bucăți: BD și DC, numite proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Prima relație este cea mai simplă: ipotenuza este suma proiecțiilor, c = m + n. Ea se folosește aproape în orice problemă, ca prim pas.

Înălțimea împarte triunghiul în alte două triunghiuri dreptunghice, asemenea cu cel mare — de aici provin toate relațiile metrice.

c = m + n

BD + DC = BC

Proiecția unei catete este bucata de ipotenuză de sub ea.
Calculează întâi ipotenuza: multe relații o folosesc.

Exemplu rezolvat

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 3 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

1.Înălțimea împarte ipotenuza exact în cele două proiecții.
2.Adunăm: 3 + 12.
3.Ipotenuza are 15 cm.

Teorema catetei

Teorema catetei spune că pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză: a² = c × m și b² = c × n.

Exemplu: la o ipotenuză de 25 cm și o proiecție de 9 cm, cateta corespunzătoare are a² = 25 × 9 = 225, deci a = 15 cm.

Relația merge și invers: dacă știi cateta și proiecția ei, afli ipotenuza împărțind: c = a² : m.

a² = c × m

b² = c × n

c = a² : m

Fiecare catetă merge împreună cu proiecția ei, nu cu cealaltă.
Din teorema catetei, adunând cele două relații, rezultă chiar teorema lui Pitagora.

Exemplu rezolvat

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă are 12 cm, iar proiecția ei pe ipotenuză 8 cm. Calculează ipotenuza.

1.Aplicăm teorema catetei: 12² = c × 8.
2.Obținem 144 = 8c.
3.Rezultă c = 18 cm.

Teorema înălțimii

Teorema înălțimii spune că pătratul înălțimii dusă din vârful unghiului drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor: h² = m × n.

Exemplu: pentru proiecții de 4 cm și 9 cm, avem h² = 36, deci h = 6 cm. Înălțimea este media geometrică a proiecțiilor.

Relația merge și invers: dacă știi înălțimea și o proiecție, o afli pe cealaltă cu n = h² : m.

h² = m × n

h = m × n

n = h² : m

Înălțimea este media geometrică a celor două proiecții.
Dacă produsul proiecțiilor este pătrat perfect, înălțimea este număr întreg.

Exemplu rezolvat

Înălțimea pe ipotenuză este 6 cm, iar una dintre proiecții este 4 cm. Calculează cealaltă proiecție.

1.Aplicăm teorema înălțimii: 6² = 4 × n.
2.Obținem 36 = 4n.
3.Rezultă n = 9 cm.

Relația dintre catete, ipotenuză și înălțime

A patra relație leagă direct catetele de ipotenuză și înălțime: a × b = c × h. Ea vine din faptul că aria triunghiului poate fi calculată în două feluri — cu catetele ca bază și înălțime sau cu ipotenuza ca bază.

Formula este cea mai rapidă cale de a afla înălțimea pe ipotenuză, când cunoști cele trei laturi: h = (a × b) : c.

Pentru catetele 6 și 8 și ipotenuza 10, înălțimea este 48 : 10 = 4,8 cm.

a × b = c × h

h = (a × b) : c

6 × 8 : 10 = 4,8

Relația se ține minte ușor prin arie: (a × b) : 2 = (c × h) : 2.
Înălțimea pe ipotenuză este întotdeauna mai mică decât fiecare catetă.

Exemplu rezolvat

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 6 cm și 8 cm, iar ipotenuza 10 cm. Calculează înălțimea pe ipotenuză.

1.Aplicăm relația a × b = c × h: 6 × 8 = 10 × h.
2.Obținem 48 = 10h.
3.Rezultă h = 4,8 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 5 cm și 20 cm. Calculează lungimea ipotenuzei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + 20 = 25 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează înălțimea, folosind teorema înălțimii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD² = 5 × 20 = 100, deci AD = 10 cm.
Ex. 3Dificultate redusă
Se dă BD = 4 cm și BC = 16 cm. Calculează AB, folosind teorema catetei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB² = BD × BC = 4 × 16 = 64, deci AB = 8 cm.
Ex. 4Dificultate redusă
Ce reprezintă înălțimea dusă din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Perpendiculara din vârful unghiului drept pe ipotenuză; împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice, asemenea cu cel inițial.
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă că triunghiurile ABD, ACD și ABC sunt asemenea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare proporționale.
Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are proiecțiile catetelor BD = 8 cm și DC = 32 cm. Calculează ipotenuza BC, apoi înălțimea AD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 8 + 32 = 40 cm; AD² = 8 × 32 = 256, deci AD = 16 cm.
Ex. 7Dificultate medie
Se dă DC = 18 cm și BC = 32 cm. Calculează AC, folosind teorema catetei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC² = DC × BC = 18 × 32 = 576, deci AC = 24 cm.
Ex. 8Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are înălțimea AD = 15 cm, iar BD = 9 cm. Calculează DC, folosind teorema înălțimii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD² = BD × DC, deci DC = 225 : 9 = 25 cm.
Ex. 9Dificultate medie
Se dă BD = 3 cm și DC = 12 cm. Calculează AD, folosind teorema înălțimii, apoi BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD² = 3 × 12 = 36, deci AD = 6 cm; BC = 3 + 12 = 15 cm.
Ex. 10Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are cateta AB = 8 cm, iar proiecția ei BD = 4 cm. Calculează ipotenuza BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB² = BD × BC, deci 64 = 4 × BC și BC = 16 cm.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 25 cm, iar o proiecție a catetelor este 4 cm. Calculează cealaltă proiecție, apoi ambele catete.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cealaltă proiecție: 25 − 4 = 21 cm. Catetele: 4 × 25 = 10 cm și 21 × 25 = 5√21 ≈ 22,91 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are înălțimea de 12 cm, iar suma proiecțiilor catetelor este 40 cm. Determină cele două proiecții.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + y = 40 și x × y = 12² = 144: proiecțiile au 4 cm și 36 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm și 8 cm, iar ipotenuza de 10 cm. Calculează proiecțiile catetelor pe ipotenuză.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6² : 10 = 3,6 cm și 8² : 10 = 6,4 cm
Ex. 14Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are proiecțiile catetelor în raportul 19, iar ipotenuza este 30 cm. Calculează lungimile celor două proiecții, apoi calculează înălțimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 9x = 30, deci proiecțiile au 3 cm și 27 cm; înălțimea: 3 × 27 = √81 = 9 cm.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dă un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 20 cm și o catetă de 12 cm. Calculează proiecția acestei catete pe ipotenuză, apoi calculează și proiecția celeilalte catete.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12² : 20 = 7,2 cm; cealaltă proiecție: 20 − 7,2 = 12,8 cm.
Ex. 16Excelență
Un triunghi dreptunghic are aria de 96 cm² și ipotenuza de 20 cm. Calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, folosind formula ariei (A = ipotenuză × înălțime : 2), apoi calculează proiecțiile catetelor, folosind teorema înălțimii (căutând doi factori ai pătratului înălțimii, a căror sumă este ipotenuza).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 2 × 96 : 20 = 9,6 cm. Proiecțiile au suma 20 și produsul 9,6² = 92,16: sunt 7,2 cm și 12,8 cm.
Ex. 17Excelență
Se dă un triunghi dreptunghic cu proiecțiile catetelor de 4 cm și 16 cm. Calculează perimetrul triunghiului, folosind teorema catetei pentru a afla ambele catete, apoi ipotenuza (deja cunoscută ca sumă a proiecțiilor).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 20 cm. Catetele: 4 × 20 = 4√5 cm și 16 × 20 = 8√5 cm. Perimetrul: 20 + 12√5 ≈ 46,83 cm.
Ex. 18Excelență
Un triunghi dreptunghic isoscel (catetele egale) are ipotenuza de 10√2 cm. Calculează lungimea unei catete, folosind faptul că, într-un triunghi dreptunghic isoscel, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt egale (deci fiecare proiecție este jumătate din ipotenuză), apoi aplică teorema catetei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare proiecție are 5√2 cm; cateta² = 5√2 × 10√2 = 100, deci cateta are 10 cm.
Ex. 19Excelență
Se dă un triunghi dreptunghic cu catetele de 15 cm și 20 cm. Calculează ipotenuza (verifică dacă tripletul 15-20-25 este valid), apoi calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, folosind formula ariei (calculată în două moduri: cu catetele, respectiv cu ipotenuza și înălțimea).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25², deci ipotenuza are 25 cm. Din arie: 15 × 20 : 2 = 25 × h : 2, deci h = 12 cm.
Ex. 20Excelență
Un triunghi dreptunghic are proiecțiile catetelor x și y, cu x + y = 18 (ipotenuza) și x × y = 45 (din teorema înălțimii, dacă înălțimea ar fi √45). Determină valorile lui x și y, rezolvând sistemul format din suma și produsul lor (căutând doi factori ai lui 45 a căror sumă este 18).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + y = 18 și x × y = 45: x = 3 și y = 15 (sau invers).