Încărcăm partea curentă…

Relații metrice în triunghiul dreptunghic

Ipotenuza și proiecțiile catetelor

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în A, înălțimea AD dusă pe ipotenuză o împarte în două bucăți: BD și DC, numite proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Prima relație este cea mai simplă: ipotenuza este suma proiecțiilor, c = m + n. Ea se folosește aproape în orice problemă, ca prim pas.

Înălțimea împarte triunghiul în alte două triunghiuri dreptunghice, asemenea cu cel mare — de aici provin toate relațiile metrice.

De ținut minte

c = m + n
BD + DC = BC
  • Proiecția unei catete este bucata de ipotenuză de sub ea.
  • Calculează întâi ipotenuza: multe relații o folosesc.

Exemplu rezolvat

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 3 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

  1. 1Înălțimea împarte ipotenuza exact în cele două proiecții.
  2. 2Adunăm: 3 + 12.
  3. 3Ipotenuza are 15 cm.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Relații metrice în triunghiul dreptunghic: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înălțimea dusă din unghiul drept pe ipotenuză împarte triunghiul în două triunghiuri asemenea cu cel inițial. Din asemănare rezultă teoremele catetei și înălțimii.

Ipotenuza și proiecțiile catetelor

Într-un triunghi dreptunghic cu unghiul drept în A, înălțimea AD dusă pe ipotenuză o împarte în două bucăți: BD și DC, numite proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

Prima relație este cea mai simplă: ipotenuza este suma proiecțiilor, c = m + n. Ea se folosește aproape în orice problemă, ca prim pas.

Înălțimea împarte triunghiul în alte două triunghiuri dreptunghice, asemenea cu cel mare — de aici provin toate relațiile metrice.

  • c = m + n
  • BD + DC = BC
  • Proiecția unei catete este bucata de ipotenuză de sub ea.
  • Calculează întâi ipotenuza: multe relații o folosesc.

Exemplu rezolvat

Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 3 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.

  1. Înălțimea împarte ipotenuza exact în cele două proiecții.
  2. Adunăm: 3 + 12.
  3. Ipotenuza are 15 cm.

Teorema catetei

Teorema catetei spune că pătratul unei catete este egal cu produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete pe ipotenuză: a2 = c × m și b2 = c × n.

Exemplu: la o ipotenuză de 25 cm și o proiecție de 9 cm, cateta corespunzătoare are a2 = 25 × 9 = 225, deci a = 15 cm.

Relația merge și invers: dacă știi cateta și proiecția ei, afli ipotenuza împărțind: c = a2 : m.

  • a2 = c × m
  • b2 = c × n
  • c = a2 : m
  • Fiecare catetă merge împreună cu proiecția ei, nu cu cealaltă.
  • Din teorema catetei, adunând cele două relații, rezultă chiar teorema lui Pitagora.

Exemplu rezolvat

Într-un triunghi dreptunghic, o catetă are 12 cm, iar proiecția ei pe ipotenuză 8 cm. Calculează ipotenuza.

  1. Aplicăm teorema catetei: 122 = c × 8.
  2. Obținem 144 = 8c.
  3. Rezultă c = 18 cm.

Teorema înălțimii

Teorema înălțimii spune că pătratul înălțimii dusă din vârful unghiului drept este egal cu produsul proiecțiilor catetelor: h2 = m × n.

Exemplu: pentru proiecții de 4 cm și 9 cm, avem h2 = 36, deci h = 6 cm. Înălțimea este media geometrică a proiecțiilor.

Relația merge și invers: dacă știi înălțimea și o proiecție, o afli pe cealaltă cu n = h2 : m.

  • h2 = m × n
  • h = m × n
  • n = h2 : m
  • Înălțimea este media geometrică a celor două proiecții.
  • Dacă produsul proiecțiilor este pătrat perfect, înălțimea este număr întreg.

Exemplu rezolvat

Înălțimea pe ipotenuză este 6 cm, iar una dintre proiecții este 4 cm. Calculează cealaltă proiecție.

  1. Aplicăm teorema înălțimii: 62 = 4 × n.
  2. Obținem 36 = 4n.
  3. Rezultă n = 9 cm.

Relația dintre catete, ipotenuză și înălțime

A patra relație leagă direct catetele de ipotenuză și înălțime: a × b = c × h. Ea vine din faptul că aria triunghiului poate fi calculată în două feluri — cu catetele ca bază și înălțime sau cu ipotenuza ca bază.

Formula este cea mai rapidă cale de a afla înălțimea pe ipotenuză, când cunoști cele trei laturi: h = (a × b) : c.

Pentru catetele 6 și 8 și ipotenuza 10, înălțimea este 48 : 10 = 4,8 cm.

  • a × b = c × h
  • h = (a × b) : c
  • 6 × 8 : 10 = 4,8
  • Relația se ține minte ușor prin arie: (a × b) : 2 = (c × h) : 2.
  • Înălțimea pe ipotenuză este întotdeauna mai mică decât fiecare catetă.

Exemplu rezolvat

Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 6 cm și 8 cm, iar ipotenuza 10 cm. Calculează înălțimea pe ipotenuză.

  1. Aplicăm relația a × b = c × h: 6 × 8 = 10 × h.
  2. Obținem 48 = 10h.
  3. Rezultă h = 4,8 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Proiecțiile catetelor sunt 4 cm și 9 cm. Calculează ipotenuza.

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea din unghiul drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete.
    2. Cele două proiecții alcătuiesc împreună întreaga ipotenuză.
    3. c = 4 + 9 = 13 cm.

    Răspuns: 13

  2. Exercițiul 2

    Proiecțiile sunt 4 cm și 9 cm. Calculează înălțimea pe ipotenuză.

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea din unghiul drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete.
    2. Folosim teorema înălțimii h2 = p · q și alegem rădăcina pozitivă.
    3. h2 = 4 · 9 = 36, deci h = 6 cm.

    Răspuns: 6

  3. Exercițiul 3

    Ipotenuza este 25 cm, iar proiecția unei catete este 9 cm. Calculează cateta.

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea din unghiul drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete.
    2. Teorema catetei spune: cateta2 = ipotenuza · proiecția acelei catete.
    3. a2 = 25 · 9 = 225, deci a = 15 cm.

    Răspuns: 15

  4. Exercițiul 4

    Care este teorema înălțimii?

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea din unghiul drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete.
    2. Identificăm h drept înălțimea pe ipotenuză și p, q drept cele două proiecții.
    3. Pătratul înălțimii pe ipotenuză este produsul proiecțiilor catetelor.

    Răspuns: h2 = mn

  5. Exercițiul 5

    Catetele sunt 15 cm și 20 cm, iar ipotenuza 25 cm. Calculează înălțimea pe ipotenuză folosind ab = ch.

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțimea din unghiul drept împarte ipotenuza în proiecțiile celor două catete.
    2. Egalăm cele două formule ale ariei: ab2 = ch2, apoi izolăm h.
    3. h = 15 · 20 : 25 = 300 : 25 = 12 cm.

    Răspuns: 12

  6. Exercițiul 6

    Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 3 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. c = m + n.
    2. c = 3 + 12.
    3. c = 15 cm.

    Răspuns: 15

  7. Exercițiul 7

    Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 2 cm și 8 cm. Calculează înălțimea pe ipotenuză, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. h2 = 2 · 8 = 16.
    2. h = √16.
    3. h = 4 cm.

    Răspuns: 4

  8. Exercițiul 8

    Care este teorema catetei?

    Vezi rezolvarea
    1. h2 = m · n este teorema înălțimii.
    2. c = m + n spune că ipotenuza e suma proiecțiilor.
    3. Teorema catetei: a2 = c · m.

    Răspuns: a2 = c · m, unde m este proiecția catetei a

  9. Exercițiul 9

    Ipotenuza este 20 cm, iar proiecția unei catete pe ipotenuză este 5 cm. Calculează cateta, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 20 · 5 = 100.
    2. a = √100.
    3. a = 10 cm.

    Răspuns: 10

  10. Exercițiul 10

    Înălțimea pe ipotenuză este 6 cm, iar una dintre proiecții este 4 cm. Calculează cealaltă proiecție, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. 36 = 4 · n.
    2. n = 36 : 4.
    3. n = 9 cm.

    Răspuns: 9

  11. Exercițiul 11

    Catetele unui triunghi dreptunghic sunt 6 cm și 8 cm, iar ipotenuza 10 cm. Calculează înălțimea pe ipotenuză, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. 6 · 8 = 10 · h.
    2. 48 = 10h.
    3. h = 4,8 cm.

    Răspuns: 4,8

  12. Exercițiul 12

    Într-un triunghi dreptunghic, o catetă are 12 cm, iar proiecția ei pe ipotenuză 8 cm. Calculează ipotenuza, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = c · m, deci 144 = c · 8.
    2. c = 144 : 8.
    3. c = 18 cm.

    Răspuns: 18

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Într-un triunghi dreptunghic, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 5 cm și 20 cm. Calculează lungimea ipotenuzei.

    Vezi răspunsul

    5 + 20 = 25 cm

  2. 2. Dificultate redusă

    Folosind datele de la exercițiul 1, calculează înălțimea, folosind teorema înălțimii.

    Vezi răspunsul

    AD2 = 5 × 20 = 100, deci AD = 10 cm.

  3. 3. Dificultate redusă

    Se dă BD = 4 cm și BC = 16 cm. Calculează AB, folosind teorema catetei.

    Vezi răspunsul

    AB2 = BD × BC = 4 × 16 = 64, deci AB = 8 cm.

  4. 4. Dificultate redusă

    Ce reprezintă înălțimea dusă din vârful unghiului drept al unui triunghi dreptunghic?

    Vezi răspunsul

    Perpendiculara din vârful unghiului drept pe ipotenuză; împarte triunghiul în două triunghiuri dreptunghice, asemenea cu cel inițial.

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce înseamnă că triunghiurile ABD, ACD și ABC sunt asemenea?

    Vezi răspunsul

    Au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare proporționale.

  6. 6. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are proiecțiile catetelor BD = 8 cm și DC = 32 cm. Calculează ipotenuza BC, apoi înălțimea AD.

    Vezi răspunsul

    BC = 8 + 32 = 40 cm; AD2 = 8 × 32 = 256, deci AD = 16 cm.

  7. 7. Dificultate medie

    Se dă DC = 18 cm și BC = 32 cm. Calculează AC, folosind teorema catetei.

    Vezi răspunsul

    AC2 = DC × BC = 18 × 32 = 576, deci AC = 24 cm.

  8. 8. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are înălțimea AD = 15 cm, iar BD = 9 cm. Calculează DC, folosind teorema înălțimii.

    Vezi răspunsul

    AD2 = BD × DC, deci DC = 225 : 9 = 25 cm.

  9. 9. Dificultate medie

    Se dă BD = 3 cm și DC = 12 cm. Calculează AD, folosind teorema înălțimii, apoi BC.

    Vezi răspunsul

    AD2 = 3 × 12 = 36, deci AD = 6 cm; BC = 3 + 12 = 15 cm.

  10. 10. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are cateta AB = 8 cm, iar proiecția ei BD = 4 cm. Calculează ipotenuza BC.

    Vezi răspunsul

    AB2 = BD × BC, deci 64 = 4 × BC și BC = 16 cm.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 25 cm, iar o proiecție a catetelor este 4 cm. Calculează cealaltă proiecție, apoi ambele catete.

    Vezi răspunsul

    Cealaltă proiecție: 25 − 4 = 21 cm. Catetele: 4 × 25 = 10 cm și 21 × 25 = 5√21 ≈ 22,91 cm.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Un triunghi dreptunghic are înălțimea de 12 cm, iar suma proiecțiilor catetelor este 40 cm. Determină cele două proiecții.

    Vezi răspunsul

    x + y = 40 și x × y = 122 = 144: proiecțiile au 4 cm și 36 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Un triunghi dreptunghic are catetele de 6 cm și 8 cm, iar ipotenuza de 10 cm. Calculează proiecțiile catetelor pe ipotenuză.

    Vezi răspunsul

    62 : 10 = 3,6 cm și 82 : 10 = 6,4 cm

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un triunghi dreptunghic are proiecțiile catetelor în raportul 19, iar ipotenuza este 30 cm. Calculează lungimile celor două proiecții, apoi calculează înălțimea.

    Vezi răspunsul

    x + 9x = 30, deci proiecțiile au 3 cm și 27 cm; înălțimea: 3 × 27 = √81 = 9 cm.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Se dă un triunghi dreptunghic cu ipotenuza 20 cm și o catetă de 12 cm. Calculează proiecția acestei catete pe ipotenuză, apoi calculează și proiecția celeilalte catete.

    Vezi răspunsul

    122 : 20 = 7,2 cm; cealaltă proiecție: 20 − 7,2 = 12,8 cm.

  16. 16. Excelență

    Un triunghi dreptunghic are aria de 96 cm2 și ipotenuza de 20 cm. Calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, folosind formula ariei (A = ipotenuză × înălțime : 2), apoi calculează proiecțiile catetelor, folosind teorema înălțimii (căutând doi factori ai pătratului înălțimii, a căror sumă este ipotenuza).

    Vezi răspunsul

    h = 2 × 96 : 20 = 9,6 cm. Proiecțiile au suma 20 și produsul 9,62 = 92,16: sunt 7,2 cm și 12,8 cm.

  17. 17. Excelență

    Se dă un triunghi dreptunghic cu proiecțiile catetelor de 4 cm și 16 cm. Calculează perimetrul triunghiului, folosind teorema catetei pentru a afla ambele catete, apoi ipotenuza (deja cunoscută ca sumă a proiecțiilor).

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza: 20 cm. Catetele: 4 × 20 = 4√5 cm și 16 × 20 = 8√5 cm. Perimetrul: 20 + 12√5 ≈ 46,83 cm.

  18. 18. Excelență

    Un triunghi dreptunghic isoscel (catetele egale) are ipotenuza de 10√2 cm. Calculează lungimea unei catete, folosind faptul că, într-un triunghi dreptunghic isoscel, proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt egale (deci fiecare proiecție este jumătate din ipotenuză), apoi aplică teorema catetei.

    Vezi răspunsul

    Fiecare proiecție are 5√2 cm; cateta2 = 5√2 × 10√2 = 100, deci cateta are 10 cm.

  19. 19. Excelență

    Se dă un triunghi dreptunghic cu catetele de 15 cm și 20 cm. Calculează ipotenuza (verifică dacă tripletul 15-20-25 este valid), apoi calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, folosind formula ariei (calculată în două moduri: cu catetele, respectiv cu ipotenuza și înălțimea).

    Vezi răspunsul

    152 + 202 = 225 + 400 = 625 = 252, deci ipotenuza are 25 cm. Din arie: 15 × 20 : 2 = 25 × h : 2, deci h = 12 cm.

  20. 20. Excelență

    Un triunghi dreptunghic are proiecțiile catetelor x și y, cu x + y = 18 (ipotenuza) și x × y = 45 (din teorema înălțimii, dacă înălțimea ar fi √45). Determină valorile lui x și y, rezolvând sistemul format din suma și produsul lor (căutând doi factori ai lui 45 a căror sumă este 18).

    Vezi răspunsul

    x + y = 18 și x × y = 45: x = 3 și y = 15 (sau invers).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.