Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Perechi ordonate și produsul cartezian
O pereche ordonată se scrie (a, b): a este prima coordonată, iar b este a doua. Ordinea contează, deci (2, 5) și (5, 2) sunt perechi diferite.
Produsul cartezian A × B este mulțimea tuturor perechilor ordonate care au prima coordonată din A și a doua din B: A × B = {(a, b) | a ∈ A și b ∈ B}.
Cel mai simplu îl scrii cu metoda tabelului: elementele lui A pe rânduri, ale lui B pe coloane, iar fiecare celulă dă o pereche — întâi elementul rândului, apoi cel al coloanei.
🧮 De ținut minte
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c și b = d
✓A × B începe cu elemente din A, iar B × A cu elemente din B.
✓Două perechi sunt egale doar dacă coincid pe ambele poziții.
✏️Exemplu rezolvat · alte date
A = {a, b}, B = {4, 7}. Scrie A × B.
1Primul element al perechii se ia din A, al doilea din B.
2Pentru a avem (a, 4), (a, 7); pentru b avem (b, 4), (b, 7).
3A × B are aceste patru perechi; inversarea componentelor dă alt produs.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Produsul cartezian a două mulțimi: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Produsul cartezian A × B conține toate perechile ordonate (a, b) în care primul element vine din A, iar al doilea din B. Ordinea contează: (2, 5) și (5, 2) nu sunt aceeași pereche.
Perechi ordonate și produsul cartezian
O pereche ordonată se scrie (a, b): a este prima coordonată, iar b este a doua. Ordinea contează, deci (2, 5) și (5, 2) sunt perechi diferite.
Produsul cartezian A × B este mulțimea tuturor perechilor ordonate care au prima coordonată din A și a doua din B: A × B = {(a, b) | a ∈ A și b ∈ B}.
Cel mai simplu îl scrii cu metoda tabelului: elementele lui A pe rânduri, ale lui B pe coloane, iar fiecare celulă dă o pereche — întâi elementul rândului, apoi cel al coloanei.
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c și b = d
•A × B începe cu elemente din A, iar B × A cu elemente din B.
•Două perechi sunt egale doar dacă coincid pe ambele poziții.
Exemplu rezolvat · alte date
A = {a, b}, B = {4, 7}. Scrie A × B.
Primul element al perechii se ia din A, al doilea din B.
Pentru a avem (a, 4), (a, 7); pentru b avem (b, 4), (b, 7).
A × B are aceste patru perechi; inversarea componentelor dă alt produs.
Câte perechi are produsul
Fiecare element din A se combină cu fiecare element din B, deci numărul de perechi este produsul numerelor de elemente: |A × B| = |A| × |B|.
Dacă A are 4 elemente și B are 3, produsul cartezian are 12 perechi. Formula merge și invers: dacă |A × B| = 15 și |A| = 5, atunci |B| = 3.
|A × B| = |A| × |B|
|A| = 4, |B| = 3 ⇒ 12 perechi
•A × B și B × A au același număr de perechi, dar perechi diferite.
•Numărul de perechi crește repede: două mulțimi de câte 5 elemente dau 25 de perechi.
Exemplu rezolvat · alte date
A are 3 elemente și B are 5. Câte perechi are A × B?
Fiecare element din A se poate combina cu 5 elemente din B.
Cele 3 alegeri pentru primul element sunt distincte.
Sunt 3·5 = 15 perechi.
Reprezentarea în plan
Orice pereche ordonată (a, b) poate fi desenată ca punct într-un sistem de axe: prima coordonată se măsoară pe axa orizontală Ox, a doua pe axa verticală Oy.
Astfel, perechea (−2, 3) devine punctul cu x = −2 și y = 3, adică două unități la stânga și trei în sus față de origine.
Reprezentarea unui produs cartezian este o rețea de puncte: dacă A are 3 elemente și B are 2, apar 6 puncte, așezate pe 3 coloane și 2 rânduri.
(a, b) → punct cu x = a, y = b
A × B cu |A| = 3, |B| = 2 → 6 puncte
•Prima coordonată este mereu pe orizontală, a doua pe verticală.
•Numărul de puncte din desen este exact numărul de perechi.
Exemplu rezolvat
A = {0, 1, 2} și B = {4, 5}. Câte puncte are reprezentarea lui A × B?
Fiecare element din A dă o coloană de puncte, iar fiecare element din B un rând.
Numărul de perechi este 3 × 2.
Desenul are 6 puncte.
Ordinea contează. Cazuri speciale
În general A × B nu este egal cu B × A, fiindcă perechile își schimbă ordinea coordonatelor. Singurul caz în care cele două produse coincid, pentru mulțimi nevide, este A = B.
Dacă una dintre mulțimi este vidă, nu se poate forma nicio pereche, deci produsul cartezian este mulțimea vidă.
Egalitatea a două perechi se rezolvă pe componente: din (x + 1, 5) = (3, y − 2) rezultă x + 1 = 3 și 5 = y − 2, deci x = 2 și y = 7.
A × B ≠ B × A, în general
A × ∅ = ∅
(x + 1, 5) = (3, y − 2) ⇒ x = 2, y = 7
•Egalitatea perechilor se traduce în două ecuații separate.
•Produsul cu mulțimea vidă este mereu mulțimea vidă.
Exemplu rezolvat · alte date
Perechile (x + 2, 8) și (6, y − 3) sunt egale. Află x + y.
Egalăm componentele pe aceeași poziție: x + 2 = 6, y − 3 = 8.
x = 4 și y = 11.
Suma este 15.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Câte perechi apar în produsul ilustrat?
Vezi rezolvarea
A are 2 elemente și B are 3, deci 2 · 3 = 6 perechi.
Răspuns: 6
Exercițiul 2
Dacă A = {1, 2} și B = {a, b}, care pereche aparține lui A × B?
Vezi rezolvarea
2 ∈ A și b ∈ B, deci (2,b) ∈ A × B.
Răspuns: (2, b)
Exercițiul 3
Dacă |A| = 4 și |B| = 3, cât este |A × B|?
Vezi rezolvarea
|A × B| = 4 · 3 = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 4
Este perechea (2, 5) egală cu (5, 2)?
Vezi rezolvarea
Prima coordonată diferă, deci perechile ordonate nu sunt egale.
Răspuns: Nu
Exercițiul 5
Dacă A = {1, 2} și B = ∅, atunci A × B este...
Vezi rezolvarea
Nu se poate forma nicio pereche, deci produsul este mulțimea vidă.
Răspuns: ∅
Exercițiul 6
A = {0, 1, 2}, B = {4, 5}. Câte puncte are reprezentarea lui A × B?
Vezi rezolvarea
3 · 2 = 6 perechi, deci 6 puncte.
Răspuns: 6
Exercițiul 7
Punctul asociat perechii (−2, 3) are coordonatele...
Vezi rezolvarea
Perechea ordonată se citește (x,y), deci x = −2 și y = 3.
Răspuns: x = −2, y = 3
Exercițiul 8
Când este adevărat A × B = B × A pentru mulțimi nevide?
Vezi rezolvarea
Pentru mulțimi nevide, egalitatea produselor în ambele ordine are loc când A și B sunt aceleași mulțimi.
Răspuns: Când A = B
Exercițiul 9
A = {1, 2, 3, 4} și B = {x, y}. Câte perechi are A × B?
Vezi rezolvarea
|A| = 4 și |B| = 2.
4 · 2 = 8.
A × B are 8 perechi.
Răspuns: 8
Exercițiul 10
A = {1, 2} și B = {3, 4}. Care pereche aparține lui B × A?
Vezi rezolvarea
Prima coordonată trebuie să fie 3 sau 4.
A doua trebuie să fie 1 sau 2.
Doar (3, 1) respectă ordinea.
Răspuns: (3, 1)
Exercițiul 11
|A × B| = 15 și |A| = 5. Cât este |B|?
Vezi rezolvarea
15 = 5 · |B|.
|B| = 15 : 5.
|B| = 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 12
Perechile (x + 1, 5) și (3, y − 2) sunt egale. Cât este x + y?
Vezi rezolvarea
x + 1 = 3, deci x = 2.
y − 2 = 5, deci y = 7.
x + y = 9.
Răspuns: 9
Fișă de consolidare din material (7)
2. Dificultate redusă
Dacă A = {1, 2} și B = {a, b}, care pereche aparține lui A × B?
Vezi răspunsul
De exemplu (1, a). A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}: primul element vine din A, al doilea din B.
3. Dificultate redusă
Dacă |A| = 4 și |B| = 3, cât este |A × B|?
Vezi răspunsul
4 × 3 = 12
4. Dificultate redusă
Este perechea (2, 5) egală cu (5, 2)?
Vezi răspunsul
Nu: la o pereche ordonată contează ordinea.
5. Dificultate redusă
Dacă A = {1, 2} și B = ∅, atunci A × B este...
Vezi răspunsul
Mulțimea vidă, ∅.
6. Dificultate medie
A = {0, 1, 2}, B = {4, 5}. Câte puncte are reprezentarea lui A × B?
Vezi răspunsul
3 × 2 = 6 puncte
7. Dificultate medie
Punctul asociat perechii (−2, 3) are coordonatele...
Vezi răspunsul
Abscisa −2 și ordonata 3 (punctul este în cadranul al II-lea).
8. Dificultate medie
Când este adevărat A × B = B × A pentru mulțimi nevide?