Produsul cartezian a două mulțimi

Produsul cartezian A × B conține toate perechile ordonate (a, b) în care primul element vine din A, iar al doilea din B. Ordinea contează: (2, 5) și (5, 2) nu sunt aceeași pereche.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

A = {1, 2}

B = {x, y, z}

(1, x)(1, y)(1, z)(2, x)(2, y)(2, z)

Fiecare element din A este asociat, în ordine, cu fiecare element din B.

Perechi ordonate și produsul cartezian

O pereche ordonată se scrie (a, b): a este prima coordonată, iar b este a doua. Ordinea contează, deci (2, 5) și (5, 2) sunt perechi diferite.

Produsul cartezian A × B este mulțimea tuturor perechilor ordonate care au prima coordonată din A și a doua din B: A × B = {(a, b) | a ∈ A și b ∈ B}.

Cel mai simplu îl scrii cu metoda tabelului: elementele lui A pe rânduri, ale lui B pe coloane, iar fiecare celulă dă o pereche — întâi elementul rândului, apoi cel al coloanei.

A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}

(a, b) = (c, d) ⇔ a = c și b = d

A × B începe cu elemente din A, iar B × A cu elemente din B.
Două perechi sunt egale doar dacă coincid pe ambele poziții.

Exemplu rezolvat

A = {1, 2} și B = {3, 4}. Care pereche aparține lui B × A?

1.În B × A, prima coordonată vine din B, iar a doua din A.
2.Perechile sunt (3, 1), (3, 2), (4, 1) și (4, 2).
3.Deci (3, 1) aparține lui B × A, dar (1, 3) nu.

Câte perechi are produsul

Fiecare element din A se combină cu fiecare element din B, deci numărul de perechi este produsul numerelor de elemente: |A × B| = |A| × |B|.

Dacă A are 4 elemente și B are 3, produsul cartezian are 12 perechi. Formula merge și invers: dacă |A × B| = 15 și |A| = 5, atunci |B| = 3.

|A × B| = |A| × |B|

|A| = 4, |B| = 3 ⇒ 12 perechi

A × B și B × A au același număr de perechi, dar perechi diferite.
Numărul de perechi crește repede: două mulțimi de câte 5 elemente dau 25 de perechi.

Exemplu rezolvat

A = {1, 2, 3, 4} și B = {x, y}. Câte perechi are A × B?

1.Mulțimea A are 4 elemente, iar B are 2.
2.Fiecare element din A se combină cu fiecare din B: 4 × 2.
3.Produsul cartezian are 8 perechi.

Reprezentarea în plan

Orice pereche ordonată (a, b) poate fi desenată ca punct într-un sistem de axe: prima coordonată se măsoară pe axa orizontală Ox, a doua pe axa verticală Oy.

Astfel, perechea (−2, 3) devine punctul cu x = −2 și y = 3, adică două unități la stânga și trei în sus față de origine.

Reprezentarea unui produs cartezian este o rețea de puncte: dacă A are 3 elemente și B are 2, apar 6 puncte, așezate pe 3 coloane și 2 rânduri.

(a, b) → punct cu x = a, y = b

A × B cu |A| = 3, |B| = 2 → 6 puncte

Prima coordonată este mereu pe orizontală, a doua pe verticală.
Numărul de puncte din desen este exact numărul de perechi.

Exemplu rezolvat

A = {0, 1, 2} și B = {4, 5}. Câte puncte are reprezentarea lui A × B?

1.Fiecare element din A dă o coloană de puncte, iar fiecare element din B un rând.
2.Numărul de perechi este 3 × 2.
3.Desenul are 6 puncte.

Ordinea contează. Cazuri speciale

În general A × B nu este egal cu B × A, fiindcă perechile își schimbă ordinea coordonatelor. Singurul caz în care cele două produse coincid, pentru mulțimi nevide, este A = B.

Dacă una dintre mulțimi este vidă, nu se poate forma nicio pereche, deci produsul cartezian este mulțimea vidă.

Egalitatea a două perechi se rezolvă pe componente: din (x + 1, 5) = (3, y − 2) rezultă x + 1 = 3 și 5 = y − 2, deci x = 2 și y = 7.

A × B ≠ B × A, în general

A × ∅ = ∅

(x + 1, 5) = (3, y − 2) ⇒ x = 2, y = 7

Egalitatea perechilor se traduce în două ecuații separate.
Produsul cu mulțimea vidă este mereu mulțimea vidă.

Exemplu rezolvat

Perechile (x + 1, 5) și (3, y − 2) sunt egale. Cât este x + y?

1.Prima coordonată: x + 1 = 3, deci x = 2.
2.A doua coordonată: 5 = y − 2, deci y = 7.
3.Suma cerută este 2 + 7 = 9.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 17 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 2Dificultate redusă
Dacă A = {1, 2} și B = {a, b}, care pereche aparține lui A × B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De exemplu (1, a). A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}: primul element vine din A, al doilea din B.
Ex. 3Dificultate redusă
Dacă |A| = 4 și |B| = 3, cât este |A × B|?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 3 = 12
Ex. 4Dificultate redusă
Este perechea (2, 5) egală cu (5, 2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: la o pereche ordonată contează ordinea.
Ex. 5Dificultate redusă
Dacă A = {1, 2} și B = ∅, atunci A × B este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mulțimea vidă, ∅.
Ex. 6Dificultate medie
A = {0, 1, 2}, B = {4, 5}. Câte puncte are reprezentarea lui A × B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 × 2 = 6 puncte
Ex. 7Dificultate medie
Punctul asociat perechii (−2, 3) are coordonatele...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Abscisa −2 și ordonata 3 (punctul este în cadranul al II-lea).
Ex. 8Dificultate medie
Când este adevărat A × B = B × A pentru mulțimi nevide?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Doar când A = B.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Dacă A = {1, 2} și B = {a, b}, care pereche aparține lui A × B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De exemplu (1, a) (sau (1, b), (2, a), (2, b)): o pereche din A × B are primul element din A și al doilea din B.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Dacă |A| = 4 și |B| = 3, cât este |A × B|?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12: fiecare dintre cele 4 elemente ale lui A formează o pereche cu fiecare dintre cele 3 ale lui B.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Este perechea (2, 5) egală cu (5, 2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: (a, b) = (c, d) doar dacă a = c și b = d, iar aici 2 ≠ 5.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Dacă A = {1, 2} și B = ∅, atunci A × B este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
∅: B nu are niciun element cu care să formăm perechi.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: A = {0, 1, 2}, B = {4, 5}. Câte puncte are reprezentarea lui A × B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 puncte: fiecare dintre cele 3 valori ale lui A se combină cu fiecare dintre cele 2 ale lui B.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Punctul asociat perechii (−2, 3) are coordonatele...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−2, 3): abscisa −2 (la stânga originii) și ordonata 3 (în sus), deci cadranul al II-lea.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Când este adevărat A × B = B × A pentru mulțimi nevide?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Doar când A = B. Dacă un element a este în A, dar nu în B, atunci (a, b) este în A × B, dar nu în B × A.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Dacă A = {1, 2} și B = {a, b}, care pereche aparține lui A × B?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: perechile din A × B au primul element din A și al doilea din B. De exemplu, (1, a).
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Dacă |A| = 4 și |B| = 3, cât este |A × B|?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: numărul de perechi este produsul numerelor de elemente, |A × B| = |A| × |B| = 4 × 3 = 12.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Este perechea (2, 5) egală cu (5, 2)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: la o pereche ordonată contează ordinea. Deci (2, 5) ≠ (5, 2).