Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min

Încărcăm partea curentă…

Probabilități

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Probabilitatea unui eveniment

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, iar valoarea ei este întotdeauna între 0 și 1.

La aruncarea unui zar, evenimentul „număr mai mare decât 4” are cazurile favorabile 5 și 6, deci P = 26 = 13.

Rezultatul se simplifică întotdeauna și poate fi scris ca fracție, ca zecimal sau în procente.

De ținut minte

P(E) = cazuri favorabile : cazuri posibile

P(număr > 4) = 26 = 13

Numără cu atenție cazurile favorabile: „mai mare decât 4” nu îl include pe 4.
O probabilitate mai mare decât 1 înseamnă sigur o greșeală de numărare.

Exemplu rezolvat · alte date

La un zar corect, află probabilitatea evenimentului „obțin 2 sau 5”.

1Sunt 6 rezultate echiprobabile.
2Două sunt favorabile, 2 și 5.
3Probabilitatea este 26 = 13.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Pentru evenimente independente înmulțim probabilitățile. Pentru reuniunea evenimentelor adunăm probabilitățile și scădem intersecția dacă evenimentele pot avea rezultate comune.

Probabilitatea unui eveniment

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, iar valoarea ei este întotdeauna între 0 și 1.

La aruncarea unui zar, evenimentul „număr mai mare decât 4” are cazurile favorabile 5 și 6, deci P = 26 = 13.

Rezultatul se simplifică întotdeauna și poate fi scris ca fracție, ca zecimal sau în procente.

P(E) = cazuri favorabile : cazuri posibile
P(număr > 4) = 26 = 13

Numără cu atenție cazurile favorabile: „mai mare decât 4” nu îl include pe 4.
O probabilitate mai mare decât 1 înseamnă sigur o greșeală de numărare.

Exemplu rezolvat · alte date

La un zar corect, află probabilitatea evenimentului „obțin 2 sau 5”.

Sunt 6 rezultate echiprobabile.
Două sunt favorabile, 2 și 5.
Probabilitatea este 26 = 13.

Evenimente independente: regula produsului

Două evenimente sunt independente dacă producerea unuia nu schimbă cu nimic probabilitatea celuilalt: aruncarea a două zaruri, două aruncări ale unei monede, o extragere cu punerea bilei înapoi în urnă.

Pentru evenimente independente se aplică regula produsului: P(A și B) = P(A) × P(B).

Exemplu: probabilitatea de a obține 6 la ambele zaruri este 16 × 16 = 136. La fel, stemă la două aruncări ale monedei dă 12 × 12 = 14.

P(A și B) = P(A) × P(B)
P(6 și 6) = 16 × 16 = 136

Extragerea cu revenire păstrează independența; fără revenire, nu.
Probabilitatea a două evenimente care se produc amândouă este mai mică decât fiecare în parte.

Exemplu rezolvat · alte date

Urna are 2 bile verzi și 3 roșii. Extragi de două ori cu revenire. Află P(două verzi).

La fiecare extragere P(verde) = 25.
Revenirea păstrează compoziția, deci evenimentele sunt independente.
P = (25)² = 425.

Evenimente compatibile și incompatibile

Două evenimente sunt incompatibile dacă nu se pot produce în același timp, adică nu au niciun caz favorabil comun. La o singură aruncare a zarului, „obțin 1” și „obțin 4” sunt incompatibile.

Sunt compatibile dacă au cel puțin un caz comun: „număr par” și „număr mai mic decât 4” se pot produce amândouă, pentru fața 2.

La evenimente compatibile, probabilitatea reuniunii se calculează cu P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ca să nu numeri de două ori cazurile comune.

incompatibile: P(A ∩ B) = 0
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Verifică dacă există un caz care îndeplinește ambele condiții.
La evenimente incompatibile, probabilitățile se adună pur și simplu.

Exemplu rezolvat · alte date

La un zar, A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}. Află P(A ∪ B).

A ∪ B = {1, 2, 3, 4}; rezultatul 3 se numără o singură dată.
Sunt 4 cazuri favorabile din 6.
P = 46 = 23; echivalent 36 + 26 − 16.

Evenimentul contrar

Evenimentul contrar lui A, notat Ā, se produce exact atunci când A nu se produce. Probabilitățile lor se completează până la 1: P(Ā) = 1 − P(A).

Dacă probabilitatea ca un elev să rezolve o problemă este 0,8, atunci probabilitatea să nu o rezolve este 1 − 0,8 = 0,2.

Trucul este util mai ales la enunțurile cu „cel puțin unul”: calculezi probabilitatea contrarului, de obicei mult mai simplă, și o scazi din 1.

P(Ā) = 1 − P(A)
P(cel puțin una) = 1 − P(niciuna)

Suma probabilităților unui eveniment și a contrarului său este întotdeauna 1.
„Cel puțin unul” se rezolvă aproape mereu prin evenimentul contrar.

Exemplu rezolvat · alte date

Dacă P(A) = 512, află P(A′).

A și contrariul A′ acoperă toate rezultatele, fără suprapunere.
P(A′) = 1 − 512.
Rezultatul este 712.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Aruncăm un zar de două ori. Care este probabilitatea de a obține 3 la ambele aruncări?
Vezi rezolvarea
1. P = 16 · 16 = 136.
Răspuns: 136
Exercițiul 2
La o singură aruncare a zarului, evenimentele «obțin 1» și «obțin 4» sunt...
Vezi rezolvarea
1. La o aruncare nu putem obține simultan și 1, și 4.
Răspuns: incompatibile
Exercițiul 3
Care este P(1 sau 6) la aruncarea unui zar?
Vezi rezolvarea
1. P = 16 + 16 = 26 = 13.
Răspuns: 13
Exercițiul 4
Aruncăm o monedă de două ori. Care este P(stemă la ambele aruncări)?
Vezi rezolvarea
1. Cele două aruncări sunt independente: 12 · 12 = 14.
Răspuns: 14
Exercițiul 5
Dacă P(A) = 38, cât este probabilitatea evenimentului contrar?
Vezi rezolvarea
1. P(Ā) = 1 − 38 = 58.
Răspuns: 58
Exercițiul 6
La aruncarea unui zar, care este probabilitatea de a obține un număr mai mare decât 4?
Vezi rezolvarea
1. Cazuri favorabile: 5 și 6, adică 2.
2. Cazuri posibile: 6.
3. P = 26 = 13.
Răspuns: 13
Exercițiul 7
Dacă P(A) = 0,35, cât este probabilitatea evenimentului contrar?
Vezi rezolvarea
1. P(Ā) = 1 − 0,35.
2. 1 − 0,35 = 0,65.
3. Probabilitatea contrarului este 0,65.
Răspuns: 0,65
Exercițiul 8
Aruncăm o monedă și un zar. Care este probabilitatea de a obține stemă și 6?
Vezi rezolvarea
1. P(stemă) = 12.
2. P(6) = 16.
3. P = 12 · 16 = 112.
Răspuns: 112
Exercițiul 9
La aruncarea unui zar, evenimentele „număr par” și „număr mai mic decât 4” sunt:
Vezi rezolvarea
1. Numărul 2 este par și mai mic decât 4.
2. Deci evenimentele se pot produce simultan.
3. Ele sunt compatibile.
Răspuns: compatibile
Exercițiul 10
La aruncarea unui zar, A = „număr par” și B = „număr mai mic decât 4”. Cât este P(A ∪ B)?
Vezi rezolvarea
1. A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3}, A ∩ B = {2}.
2. P(A ∪ B) = 36 + 36 − 16.
3. P(A ∪ B) = 56.
Răspuns: 56
Exercițiul 11
Probabilitatea ca un elev să rezolve o problemă este 0,8. Care este probabilitatea să nu o rezolve?
Vezi rezolvarea
1. P(nu rezolvă) = 1 − P(rezolvă).
2. 1 − 0,8 = 0,2.
3. Probabilitatea este 0,2.
Răspuns: 0,2
Exercițiul 12
Dintr-o urnă cu 5 bile roșii și 3 albe se extrage o bilă, se pune la loc, apoi se extrage din nou. Care este probabilitatea să fie roșie de ambele ori?
Vezi rezolvarea
1. P(roșie) = 58 la fiecare extragere.
2. Înmulțim: 58 · 58.
3. P = 2564.
Răspuns: 2564

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Se aruncă un zar de 2 ori. Calculează probabilitatea de a obține numărul 5 la ambele aruncări.
Vezi răspunsul
16 × 16 = 136
2. Dificultate redusă
Sunt evenimentele "obținerea numărului 2" și "obținerea numărului 6", la aruncarea unui zar, compatibile sau incompatibile?
Vezi răspunsul
Incompatibile: nu pot avea loc la aceeași aruncare.
3. Dificultate redusă
Calculează probabilitatea de a obține, la aruncarea unui zar, numărul 2 sau numărul 5 (evenimente incompatibile).
Vezi răspunsul
16 + 16 = 13
4. Dificultate redusă
Se aruncă o monedă de 2 ori. Calculează probabilitatea de a obține "banul" la ambele aruncări.
Vezi răspunsul
12 × 12 = 14
5. Dificultate redusă
Ce înseamnă că două evenimente sunt incompatibile?
Vezi răspunsul
Nu se pot produce în același timp.
6. Dificultate medie
Un sac conține 5 bile roșii și 7 bile albastre. Se extrage o bilă, se pune înapoi, apoi se extrage din nou. Calculează probabilitatea de a extrage, ambele dăți, o bilă roșie.
Vezi răspunsul
512 × 512 = 25144
7. Dificultate medie
La aruncarea unui zar, calculează probabilitatea de a obține un număr impar sau un număr mai mare decât 4.
Vezi răspunsul
Rezultatele favorabile: 1, 3, 5, 6, deci 46 = 23.
8. Dificultate medie
Se extrage o carte dintr-un pachet de 52. Calculează probabilitatea ca aceasta să fie neagră (pică sau treflă, 26 de cărți) sau să fie o damă (4 cărți), folosind regula pentru evenimente compatibile.
Vezi răspunsul
2652 + 452 − 252 = 2852 = 713 (cele 2 dame negre se numără o singură dată).
9. Dificultate medie
Se aruncă două zaruri simultan. Calculează probabilitatea de a obține un număr impar la primul zar și un număr par la al doilea.
Vezi răspunsul
12 × 12 = 14
10. Dificultate medie
Un elev are 70% șanse să rezolve corect un exercițiu, independent de alt exercițiu. Calculează probabilitatea să rezolve corect ambele exerciții dintr-un test cu 2 exerciții.
Vezi răspunsul
0,7 × 0,7 = 0,49, adică 49%.
11. Dificultate ridicată
O urnă conține 7 bile albe și 5 bile negre. Se extrag 2 bile, cu revenire. Calculează probabilitatea de a extrage cel puțin o bilă neagră.
Vezi răspunsul
1 − (712)² = 1 − 49144 = 95144
12. Dificultate ridicată
Se aruncă un zar de 3 ori. Calculează probabilitatea de a obține numărul 4 la toate cele 3 aruncări.
Vezi răspunsul
(16)³ = 1216
13. Dificultate ridicată
Doi arcași trag independent la o țintă. Primul are 60% șanse să nimerească, al doilea are 75%. Calculează probabilitatea ca ambii să nimerească ținta.
Vezi răspunsul
0,6 × 0,75 = 0,45, adică 45%.
14. Dificultate ridicată
Folosind datele de la exercițiul 13, calculează probabilitatea ca cel puțin unul dintre cei doi arcași să nimerească ținta.
Vezi răspunsul
1 − 0,4 × 0,25 = 1 − 0,1 = 0,9, adică 90%.
15. Dificultate ridicată
Se extrage o carte dintr-un pachet de 52 de cărți. Calculează probabilitatea ca aceasta să fie o damă SAU o carte de pică, folosind formula pentru evenimente compatibile.
Vezi răspunsul
452 + 1352 − 152 = 1652 = 413 (dama de pică se numără o singură dată).
16. Excelență
Trei studenți rezolvă independent o problemă, cu probabilitățile de succes 0,5, 0,6 și 0,8. Calculează probabilitatea ca toți trei să rezolve problema corect, apoi calculează probabilitatea ca niciunul să nu o rezolve.
Vezi răspunsul
Toți trei: 0,5 × 0,6 × 0,8 = 0,24. Niciunul: 0,5 × 0,4 × 0,2 = 0,04.
17. Excelență
O urnă conține 3 bile roșii, 4 bile albastre și 5 bile verzi. Se extrag 2 bile, fără revenire (a doua extragere se face din urna rămasă, cu o bilă mai puțin). Calculează probabilitatea ca ambele bile extrase să fie roșii (atenție: probabilitatea celei de-a doua extrageri se calculează din 11 bile rămase, nu 12).
Vezi răspunsul
312 × 211 = 6132 = 122
18. Excelență
Se aruncă 2 zaruri simultan. Calculează probabilitatea ca suma celor 2 numere obținute să fie un număr par (numără toate perechile favorabile, din cele 36 posibile).
Vezi răspunsul
1836 = 12: suma e pară când ambele zaruri sunt pare (9 perechi) sau ambele impare (9 perechi).
19. Excelență
Un test are 3 întrebări cu răspuns adevărat/fals. Un elev răspunde la întâmplare la toate cele 3. Calculează probabilitatea ca elevul să răspundă corect la toate cele 3 întrebări (fiecare răspuns are 50% șanse de reușită, independent).
Vezi răspunsul
(12)³ = 18
20. Excelență
Se extrage o carte dintr-un pachet de 52. Se pune înapoi, apoi se mai extrage o carte. Calculează probabilitatea ca prima carte extrasă să fie o inimă roșie (cupă) și a doua să fie o carte neagră (pică sau treflă), folosind regula produsului pentru evenimente independente.
Vezi răspunsul
1352 × 2652 = 14 × 12 = 18