Probabilități

Pentru evenimente independente înmulțim probabilitățile. Pentru reuniunea evenimentelor adunăm probabilitățile și scădem intersecția dacă evenimentele pot avea rezultate comune.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Probabilitatea unui eveniment

Probabilitatea unui eveniment se calculează ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile, iar valoarea ei este întotdeauna între 0 și 1.

La aruncarea unui zar, evenimentul „număr mai mare decât 4” are cazurile favorabile 5 și 6, deci P = 26 = 13.

Rezultatul se simplifică întotdeauna și poate fi scris ca fracție, ca zecimal sau în procente.

P(E) = cazuri favorabile : cazuri posibile

P(număr > 4) = 26 = 13

Numără cu atenție cazurile favorabile: „mai mare decât 4” nu îl include pe 4.
O probabilitate mai mare decât 1 înseamnă sigur o greșeală de numărare.

Exemplu rezolvat

Care este P(1 sau 6) la aruncarea unui zar?

1.Cazurile posibile sunt 6, iar cele favorabile sunt două: fața 1 și fața 6.
2.Probabilitatea este 26.
3.Simplificăm: P = 13.

Evenimente independente: regula produsului

Două evenimente sunt independente dacă producerea unuia nu schimbă cu nimic probabilitatea celuilalt: aruncarea a două zaruri, două aruncări ale unei monede, o extragere cu punerea bilei înapoi în urnă.

Pentru evenimente independente se aplică regula produsului: P(A și B) = P(A) × P(B).

Exemplu: probabilitatea de a obține 6 la ambele zaruri este 16 × 16 = 136. La fel, stemă la două aruncări ale monedei dă 12 × 12 = 14.

P(A și B) = P(A) × P(B)

P(6 și 6) = 16 × 16 = 136

Extragerea cu revenire păstrează independența; fără revenire, nu.
Probabilitatea a două evenimente care se produc amândouă este mai mică decât fiecare în parte.

Exemplu rezolvat

Dintr-o urnă cu 5 bile roșii și 3 albe se extrage o bilă, se pune la loc, apoi se extrage din nou. Care este probabilitatea să fie roșie de ambele ori?

1.La o extragere, P(roșie) = 58, fiindcă sunt 8 bile în total.
2.Bila se pune la loc, deci a doua extragere este independentă și are aceeași probabilitate.
3.Aplicăm regula produsului: 58 × 58 = 2564.

Evenimente compatibile și incompatibile

Două evenimente sunt incompatibile dacă nu se pot produce în același timp, adică nu au niciun caz favorabil comun. La o singură aruncare a zarului, „obțin 1” și „obțin 4” sunt incompatibile.

Sunt compatibile dacă au cel puțin un caz comun: „număr par” și „număr mai mic decât 4” se pot produce amândouă, pentru fața 2.

La evenimente compatibile, probabilitatea reuniunii se calculează cu P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), ca să nu numeri de două ori cazurile comune.

incompatibile: P(A ∩ B) = 0

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Verifică dacă există un caz care îndeplinește ambele condiții.
La evenimente incompatibile, probabilitățile se adună pur și simplu.

Exemplu rezolvat

La aruncarea unui zar, A = „număr par” și B = „număr mai mic decât 4”. Cât este P(A ∪ B)?

1.A are cazurile 2, 4, 6, deci P(A) = 36; B are cazurile 1, 2, 3, deci P(B) = 36.
2.Cazul comun este 2, deci P(A ∩ B) = 16.
3.P(A ∪ B) = 36 + 36 − 16 = 56.

Evenimentul contrar

Evenimentul contrar lui A, notat Ā, se produce exact atunci când A nu se produce. Probabilitățile lor se completează până la 1: P(Ā) = 1 − P(A).

Dacă probabilitatea ca un elev să rezolve o problemă este 0,8, atunci probabilitatea să nu o rezolve este 1 − 0,8 = 0,2.

Trucul este util mai ales la enunțurile cu „cel puțin unul”: calculezi probabilitatea contrarului, de obicei mult mai simplă, și o scazi din 1.

P(Ā) = 1 − P(A)

P(cel puțin una) = 1 − P(niciuna)

Suma probabilităților unui eveniment și a contrarului său este întotdeauna 1.
„Cel puțin unul” se rezolvă aproape mereu prin evenimentul contrar.

Exemplu rezolvat

Dacă P(A) = 38, cât este probabilitatea evenimentului contrar?

1.Probabilitatea contrarului se află scăzând din 1: P(Ā) = 1 − 38.
2.Scriem 1 ca 88 și scădem: 88 − 38.
3.Rezultă P(Ā) = 58.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Se aruncă un zar de 2 ori. Calculează probabilitatea de a obține numărul 5 la ambele aruncări.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 × 16 = 136
Ex. 2Dificultate redusă
Sunt evenimentele "obținerea numărului 2" și "obținerea numărului 6", la aruncarea unui zar, compatibile sau incompatibile?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Incompatibile: nu pot avea loc la aceeași aruncare.
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează probabilitatea de a obține, la aruncarea unui zar, numărul 2 sau numărul 5 (evenimente incompatibile).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 + 16 = 13
Ex. 4Dificultate redusă
Se aruncă o monedă de 2 ori. Calculează probabilitatea de a obține "banul" la ambele aruncări.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 × 12 = 14
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă că două evenimente sunt incompatibile?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu se pot produce în același timp.
Ex. 6Dificultate medie
Un sac conține 5 bile roșii și 7 bile albastre. Se extrage o bilă, se pune înapoi, apoi se extrage din nou. Calculează probabilitatea de a extrage, ambele dăți, o bilă roșie.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
512 × 512 = 25144
Ex. 7Dificultate medie
La aruncarea unui zar, calculează probabilitatea de a obține un număr impar sau un număr mai mare decât 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Rezultatele favorabile: 1, 3, 5, 6, deci 46 = 23.
Ex. 8Dificultate medie
Se extrage o carte dintr-un pachet de 52. Calculează probabilitatea ca aceasta să fie neagră (pică sau treflă, 26 de cărți) sau să fie o damă (4 cărți), folosind regula pentru evenimente compatibile.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2652 + 452 − 252 = 2852 = 713 (cele 2 dame negre se numără o singură dată).
Ex. 9Dificultate medie
Se aruncă două zaruri simultan. Calculează probabilitatea de a obține un număr impar la primul zar și un număr par la al doilea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 × 12 = 14
Ex. 10Dificultate medie
Un elev are 70% șanse să rezolve corect un exercițiu, independent de alt exercițiu. Calculează probabilitatea să rezolve corect ambele exerciții dintr-un test cu 2 exerciții.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0,7 × 0,7 = 0,49, adică 49%.
Ex. 11Dificultate ridicată
O urnă conține 7 bile albe și 5 bile negre. Se extrag 2 bile, cu revenire. Calculează probabilitatea de a extrage cel puțin o bilă neagră.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − (712)² = 1 − 49144 = 95144
Ex. 12Dificultate ridicată
Se aruncă un zar de 3 ori. Calculează probabilitatea de a obține numărul 4 la toate cele 3 aruncări.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(16)³ = 1216
Ex. 13Dificultate ridicată
Doi arcași trag independent la o țintă. Primul are 60% șanse să nimerească, al doilea are 75%. Calculează probabilitatea ca ambii să nimerească ținta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0,6 × 0,75 = 0,45, adică 45%.
Ex. 14Dificultate ridicată
Folosind datele de la exercițiul 13, calculează probabilitatea ca cel puțin unul dintre cei doi arcași să nimerească ținta.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 − 0,4 × 0,25 = 1 − 0,1 = 0,9, adică 90%.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se extrage o carte dintr-un pachet de 52 de cărți. Calculează probabilitatea ca aceasta să fie o damă SAU o carte de pică, folosind formula pentru evenimente compatibile.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
452 + 1352 − 152 = 1652 = 413 (dama de pică se numără o singură dată).
Ex. 16Excelență
Trei studenți rezolvă independent o problemă, cu probabilitățile de succes 0,5, 0,6 și 0,8. Calculează probabilitatea ca toți trei să rezolve problema corect, apoi calculează probabilitatea ca niciunul să nu o rezolve.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toți trei: 0,5 × 0,6 × 0,8 = 0,24. Niciunul: 0,5 × 0,4 × 0,2 = 0,04.
Ex. 17Excelență
O urnă conține 3 bile roșii, 4 bile albastre și 5 bile verzi. Se extrag 2 bile, fără revenire (a doua extragere se face din urna rămasă, cu o bilă mai puțin). Calculează probabilitatea ca ambele bile extrase să fie roșii (atenție: probabilitatea celei de-a doua extrageri se calculează din 11 bile rămase, nu 12).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
312 × 211 = 6132 = 122
Ex. 18Excelență
Se aruncă 2 zaruri simultan. Calculează probabilitatea ca suma celor 2 numere obținute să fie un număr par (numără toate perechile favorabile, din cele 36 posibile).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1836 = 12: suma e pară când ambele zaruri sunt pare (9 perechi) sau ambele impare (9 perechi).
Ex. 19Excelență
Un test are 3 întrebări cu răspuns adevăratfals. Un elev răspunde la întâmplare la toate cele 3. Calculează probabilitatea ca elevul să răspundă corect la toate cele 3 întrebări (fiecare răspuns are 50% șanse de reușită, independent).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(12)³ = 18
Ex. 20Excelență
Se extrage o carte dintr-un pachet de 52. Se pune înapoi, apoi se mai extrage o carte. Calculează probabilitatea ca prima carte extrasă să fie o inimă roșie (cupă) și a doua să fie o carte neagră (pică sau treflă), folosind regula produsului pentru evenimente independente.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1352 × 2652 = 14 × 12 = 18