Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min

◇

Încărcăm partea curentă…

Patrulatere

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Patrulaterul și elementele lui

Un patrulater este un poligon cu 4 laturi, 4 vârfuri și 4 unghiuri. În patrulaterul ABCD, laturile sunt [AB], [BC], [CD] și [DA].

Diagonalele sunt segmentele care unesc vârfurile opuse: [AC] și [BD]. Orice patrulater are exact două diagonale, fiindcă din fiecare vârf pleacă una singură.

Perimetrul unui patrulater este, ca la orice poligon, suma lungimilor laturilor sale.

De ținut minte

4 laturi, 4 vârfuri, 2 diagonale

P = AB + BC + CD + DA

Diagonala unește vârfuri opuse, nu vârfuri vecine.
Triunghiul nu are diagonale, fiindcă nu are vârfuri neconsecutive.

Exemplu rezolvat

Un patrulater are laturile de 5 cm, 7 cm, 6 cm și 8 cm. Calculează perimetrul.

1Perimetrul este suma tuturor laturilor.
2Adunăm: 5 + 7 = 12, apoi 12 + 6 = 18.
3În final, 18 + 8 = 26 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Patrulatere: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un patrulater este un poligon cu patru laturi. Diagonalele unesc vârfuri opuse, iar suma unghiurilor interioare este întotdeauna 360°.

Patrulaterul și elementele lui

Un patrulater este un poligon cu 4 laturi, 4 vârfuri și 4 unghiuri. În patrulaterul ABCD, laturile sunt [AB], [BC], [CD] și [DA].

Diagonalele sunt segmentele care unesc vârfurile opuse: [AC] și [BD]. Orice patrulater are exact două diagonale, fiindcă din fiecare vârf pleacă una singură.

Perimetrul unui patrulater este, ca la orice poligon, suma lungimilor laturilor sale.

4 laturi, 4 vârfuri, 2 diagonale
P = AB + BC + CD + DA

Diagonala unește vârfuri opuse, nu vârfuri vecine.
Triunghiul nu are diagonale, fiindcă nu are vârfuri neconsecutive.

Exemplu rezolvat

Un patrulater are laturile de 5 cm, 7 cm, 6 cm și 8 cm. Calculează perimetrul.

Perimetrul este suma tuturor laturilor.
Adunăm: 5 + 7 = 12, apoi 12 + 6 = 18.
În final, 18 + 8 = 26 cm.

Suma unghiurilor unui patrulater

Suma măsurilor celor patru unghiuri interioare ale unui patrulater convex este întotdeauna 360°.

Explicația este simplă: orice patrulater poate fi împărțit printr-o diagonală în două triunghiuri, iar fiecare triunghi are suma unghiurilor 180°, deci 2 × 180° = 360°.

De aici, dacă știi trei unghiuri, al patrulea se află scăzând suma lor din 360°.

m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) + m(∢D) = 360°
al patrulea unghi = 360° − suma celorlalte

Dacă suma celor trei unghiuri date depășește 360°, enunțul are o greșeală.
Într-un patrulater cu toate unghiurile egale, fiecare are 90°.

Exemplu rezolvat

Trei unghiuri ale unui patrulater au 80°, 100° și 95°. Cât măsoară al patrulea?

Adunăm unghiurile cunoscute: 80 + 100 + 95 = 275°.
Scădem din suma totală: 360 − 275.
Al patrulea unghi are 85°.

Unghiuri date prin expresii sau proporții

Când unghiurile sunt date prin expresii — x, x, 2x și 2x — scrii că suma lor este 360°, reduci termenii asemenea și afli necunoscuta.

Când sunt proporționale cu niște numere, împarți cele 360° în tot atâtea părți: pentru unghiuri proporționale cu 1, 2, 3 și 4, sunt 10 părți, deci o parte are 36°.

La final, verifică întotdeauna: suma valorilor găsite trebuie să dea exact 360°.

x + x + 2x + 2x = 360° ⇒ x = 60°
1 + 2 + 3 + 4 = 10 părți ⇒ o parte = 36°

Proporțional cu 1, 2, 3, 4 înseamnă părți egale, nu unghiuri de 1°, 2°, 3°, 4°.
Cel mai mare unghi are cel mai mare număr de părți.

Exemplu rezolvat

Unghiurile unui patrulater sunt proporționale cu 1, 2, 3 și 4. Cât măsoară unghiul cel mai mare?

Numărul total de părți este 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
O parte valorează 360° : 10 = 36°.
Unghiul cel mai mare are 4 părți: 4 × 36° = 144°.

Patrulatere convexe și concave. Clasificare

Un patrulater este convex dacă toate unghiurile lui interioare sunt mai mici de 180° și dacă ambele diagonale se află în interiorul figurii. Dacă un unghi depășește 180°, patrulaterul este concav și o diagonală iese în afară.

După paralelismul laturilor, patrulaterele se împart în: trapez, cu exact o pereche de laturi paralele, și paralelogram, cu ambele perechi de laturi opuse paralele.

Dreptunghiul, rombul și pătratul sunt cazuri particulare de paralelogram, cu proprietăți în plus, pe care le vei studia în lecțiile următoare.

convex: toate unghiurile < 180°
trapez: o pereche de laturi paralele
paralelogram: două perechi

Un unghi de peste 180° se numește unghi reflex și face figura concavă.
Pătratul este în același timp dreptunghi, romb și paralelogram.

Exemplu rezolvat

Un patrulater are un unghi interior de 200°. Ce fel de patrulater este?

Un patrulater convex are toate unghiurile mai mici de 180°.
Aici un unghi depășește 180°, deci este unghi reflex.
Patrulaterul este concav, adică neconvex.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Câte diagonale are un patrulater?
Vezi rezolvarea
1. Un patrulater are exact două diagonale.
Răspuns: 2
Exercițiul 2
Trei unghiuri ale unui patrulater sunt 70°, 90° și 110°. Cât este al patrulea?
Vezi rezolvarea
1. 70° + 90° + 110° = 270°.
2. Al patrulea unghi este 360° − 270° = 90°.
Răspuns: 90
Exercițiul 3
Care figură nu este patrulater?
Vezi rezolvarea
1. Triunghiul are trei laturi, nu patru.
Răspuns: Triunghiul
Exercițiul 4
Diagonala unui patrulater unește...
Vezi rezolvarea
1. Diagonalele unesc vârfurile opuse ale patrulaterului.
Răspuns: două vârfuri opuse
Exercițiul 5
Unghiurile unui patrulater sunt x, x, 2x și 2x. Cât este x?
Vezi rezolvarea
1. 6x = 360°, deci x = 60°.
Răspuns: 60
Exercițiul 6
Suma unghiurilor unui patrulater este:
Vezi rezolvarea
1. Diagonala formează două triunghiuri.
2. Fiecare triunghi are 180°.
3. 2 · 180° = 360°.
Răspuns: 360°
Exercițiul 7
Trei unghiuri ale unui patrulater au 80°, 100° și 95°. Cât măsoară al patrulea, în grade?
Vezi rezolvarea
1. 80 + 100 + 95 = 275.
2. 360 − 275 = 85.
3. Al patrulea unghi are 85°.
Răspuns: 85
Exercițiul 8
Toate unghiurile unui patrulater sunt egale. Cât măsoară fiecare, în grade?
Vezi rezolvarea
1. Suma unghiurilor este 360°.
2. Sunt 4 unghiuri egale.
3. Fiecare are 90°.
Răspuns: 90
Exercițiul 9
Care patrulater are o singură pereche de laturi paralele?
Vezi rezolvarea
1. Paralelogramul, dreptunghiul și rombul au două perechi de laturi paralele.
2. Trapezul are doar bazele paralele.
3. Răspunsul este trapezul.
Răspuns: trapezul
Exercițiul 10
Un patrulater are laturile de 5 cm, 7 cm, 6 cm și 8 cm. Calculează perimetrul, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. 5 + 7 = 12.
2. 12 + 6 + 8 = 26.
3. P = 26 cm.
Răspuns: 26
Exercițiul 11
Un patrulater are un unghi interior de 200°. El este:
Vezi rezolvarea
1. 200° > 180°.
2. Deci patrulaterul nu este convex.
3. Este un patrulater concav.
Răspuns: concav (neconvex)
Exercițiul 12
Unghiurile unui patrulater sunt proporționale cu 1, 2, 3 și 4. Cât măsoară unghiul cel mai mare, în grade?
Vezi rezolvarea
1. 1 + 2 + 3 + 4 = 10 părți.
2. O parte are 360° : 10 = 36°.
3. Cel mai mare unghi are 4 · 36° = 144°.
Răspuns: 144

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Desenează un patrulater MNPQ și marchează ambele diagonale.
Vezi răspunsul
Un patrulater cu vârfurile M, N, P, Q în ordine; diagonalele sunt [MP] și [NQ].
2. Dificultate redusă
Câte diagonale are un patrulater?
Vezi răspunsul
2
3. Dificultate redusă
Cât este suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex?
Vezi răspunsul
360°
4. Dificultate redusă
Un patrulater are 3 unghiuri de 100°, 75°, 95°. Calculează al patrulea unghi.
Vezi răspunsul
360° − (100° + 75° + 95°) = 90°
5. Dificultate redusă
Ce este un paralelogram?
Vezi răspunsul
Patrulaterul care are laturile opuse paralele două câte două.
6. Dificultate medie
Un patrulater are unghiurile exprimate ca 3x, 2x, 4x, x. Calculează valoarea lui x, apoi măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsul
10x = 360°, deci x = 36°: unghiurile au 108°, 72°, 144° și 36°.
7. Dificultate medie
Un patrulater MNPQ are m(∢M) = m(∢P) = 105°. Dacă m(∢N) = 60°, calculează m(∢Q).
Vezi răspunsul
360° − 105° − 105° − 60° = 90°
8. Dificultate medie
Explică diferența dintre un trapez și un paralelogram.
Vezi răspunsul
Trapezul are o singură pereche de laturi opuse paralele; paralelogramul are două perechi.
9. Dificultate medie
Un patrulater are toate cele 4 unghiuri egale. Calculează măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsul
360° : 4 = 90°
10. Dificultate medie
Un patrulater are unghiurile M, N, P, Q, cu m(∢M) = 90°, m(∢N) = 90°, m(∢P) = 90°. Ce fel de unghi este ∢Q? Justifică.
Vezi răspunsul
Drept: m(∢Q) = 360° − 3 × 90° = 90°.
11. Dificultate ridicată
Un patrulater are unghiurile în progresie, exprimate ca x, x+15, x+30, x+45. Calculează valoarea lui x și măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsul
4x + 90° = 360°, deci x = 67,5°: unghiurile au 67,5°, 82,5°, 97,5° și 112,5°.
12. Dificultate ridicată
Un patrulater MNPQ are m(∢M) = 2 × m(∢N), m(∢P) = 4 × m(∢N), iar m(∢Q) = m(∢N) + 30°. Calculează măsurile tuturor celor 4 unghiuri.
Vezi răspunsul
Cu m(∢N) = x: 2x + x + 4x + x + 30° = 360°, deci x = 41,25°. Unghiurile: M = 82,5°, N = 41,25°, P = 165°, Q = 71,25°.
13. Dificultate ridicată
Diagonala MP a unui patrulater MNPQ îl împarte în două triunghiuri, MNP și MPQ. Explică, folosind suma unghiurilor fiecărui triunghi, de ce suma tuturor celor 4 unghiuri ale patrulaterului este 360°.
Vezi răspunsul
Fiecare triunghi are suma unghiurilor 180°, deci împreună 360°. Unghiurile celor două triunghiuri formează exact unghiurile patrulaterului (diagonala doar împarte unghiurile din M și P în câte două părți).
14. Dificultate ridicată
Un patrulater are 2 unghiuri opuse (nealăturate) egale cu 105° fiecare. Dacă celelalte 2 unghiuri opuse sunt egale între ele, calculează măsura lor.
Vezi răspunsul
(360° − 2 × 105°) : 2 = 75° fiecare
15. Dificultate ridicată
Un patrulater MNPQ are m(∢M) = 4x − 15, m(∢N) = 3x + 10, m(∢P) = x + 30, m(∢Q) = 2x. Calculează valoarea lui x, apoi verifică dacă suma celor 4 unghiuri obținute este 360°.
Vezi răspunsul
10x + 25° = 360°, deci x = 33,5°. Unghiurile: 119°, 110,5°, 63,5° și 67°, iar suma lor este 360°.
16. Excelență
Un patrulater ABCD are proprietatea că bisectoarele unghiurilor ∢A și ∢B se intersectează formând un unghi de 70°. Știind că m(∢A) + m(∢B) + acest unghi de 70° formează, împreună, un triunghi cu suma 180°, calculează suma m(∢A) + m(∢B).
Vezi răspunsul
Bisectoarele formează cu latura AB un triunghi cu unghiurile A2, B2 și 70°. Deci A2 + B2 = 110°, adică m(∢A) + m(∢B) = 220°.
17. Excelență
Un patrulater are unghiurile A, B, C, D astfel încât m(∢A) : m(∢B) : m(∢C) : m(∢D) = 2 : 3 : 4 : 3. Calculează măsura fiecărui unghi, folosind proporționalitatea și suma de 360°.
Vezi răspunsul
2 + 3 + 4 + 3 = 12 părți, iar 360° : 12 = 30°: unghiurile au 60°, 90°, 120° și 90°.
18. Excelență
Diagonalele unui patrulater ABCD se intersectează în punctul O, împărțind patrulaterul în 4 triunghiuri. Dacă suma unghiurilor din jurul punctului O este 360° (unghiuri formate de cele două diagonale), explică relația dintre această sumă și faptul că fiecare pereche de unghiuri opuse la vârf, format de diagonale, este egală.
Vezi răspunsul
Diagonalele formează în O două perechi de unghiuri opuse la vârf: a, b, a, b, cu a + b = 180° (unghiuri alăturate pe o dreaptă). Deci suma este 2a + 2b = 2 × 180° = 360°.
19. Excelență
Un patrulater convex are toate unghiurile exprimate ca numere naturale consecutive: x, x+1, x+2, x+3. Calculează valoarea lui x și măsura fiecărui unghi, verificând dacă rezultatul respectă condiția de patrulater convex (toate unghiurile mai mici de 180°).
Vezi răspunsul
4x + 6° = 360° dă x = 88,5°, care nu este număr natural. Unghiurile ar fi 88,5°, 89,5°, 90,5°, 91,5°: patrulaterul ar fi convex, dar unghiurile nu sunt naturale consecutive.
20. Excelență
Un patrulater ABCD are m(∢A) = 130°, iar unghiul opus, ∢C, este cu 40° mai mic. Dacă m(∢B) = m(∢D) (unghiurile rămase sunt egale între ele), calculează măsura tuturor celor 4 unghiuri, verificând suma finală.
Vezi răspunsul
m(∢C) = 90°, iar m(∢B) = m(∢D) = (360° − 130° − 90°) : 2 = 70°. Verificare: 130° + 70° + 90° + 70° = 360°.