Patrulatere

Un patrulater este un poligon cu patru laturi. Diagonalele unesc vârfuri opuse, iar suma unghiurilor interioare este întotdeauna 360°.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

ABCD are patru laturi, iar AC și BD sunt cele două diagonale.

Patrulaterul și elementele lui

Un patrulater este un poligon cu 4 laturi, 4 vârfuri și 4 unghiuri. În patrulaterul ABCD, laturile sunt [AB], [BC], [CD] și [DA].

Diagonalele sunt segmentele care unesc vârfurile opuse: [AC] și [BD]. Orice patrulater are exact două diagonale, fiindcă din fiecare vârf pleacă una singură.

Perimetrul unui patrulater este, ca la orice poligon, suma lungimilor laturilor sale.

4 laturi, 4 vârfuri, 2 diagonale

P = AB + BC + CD + DA

Diagonala unește vârfuri opuse, nu vârfuri vecine.
Triunghiul nu are diagonale, fiindcă nu are vârfuri neconsecutive.

Exemplu rezolvat

Un patrulater are laturile de 5 cm, 7 cm, 6 cm și 8 cm. Calculează perimetrul.

1.Perimetrul este suma tuturor laturilor.
2.Adunăm: 5 + 7 = 12, apoi 12 + 6 = 18.
3.În final, 18 + 8 = 26 cm.

Suma unghiurilor unui patrulater

Suma măsurilor celor patru unghiuri interioare ale unui patrulater convex este întotdeauna 360°.

Explicația este simplă: orice patrulater poate fi împărțit printr-o diagonală în două triunghiuri, iar fiecare triunghi are suma unghiurilor 180°, deci 2 × 180° = 360°.

De aici, dacă știi trei unghiuri, al patrulea se află scăzând suma lor din 360°.

m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) + m(∢D) = 360°

al patrulea unghi = 360° − suma celorlalte

Dacă suma celor trei unghiuri date depășește 360°, enunțul are o greșeală.
Într-un patrulater cu toate unghiurile egale, fiecare are 90°.

Exemplu rezolvat

Trei unghiuri ale unui patrulater au 80°, 100° și 95°. Cât măsoară al patrulea?

1.Adunăm unghiurile cunoscute: 80 + 100 + 95 = 275°.
2.Scădem din suma totală: 360 − 275.
3.Al patrulea unghi are 85°.

Unghiuri date prin expresii sau proporții

Când unghiurile sunt date prin expresii — x, x, 2x și 2x — scrii că suma lor este 360°, reduci termenii asemenea și afli necunoscuta.

Când sunt proporționale cu niște numere, împarți cele 360° în tot atâtea părți: pentru unghiuri proporționale cu 1, 2, 3 și 4, sunt 10 părți, deci o parte are 36°.

La final, verifică întotdeauna: suma valorilor găsite trebuie să dea exact 360°.

x + x + 2x + 2x = 360° ⇒ x = 60°

1 + 2 + 3 + 4 = 10 părți ⇒ o parte = 36°

Proporțional cu 1, 2, 3, 4 înseamnă părți egale, nu unghiuri de 1°, 2°, 3°, 4°.
Cel mai mare unghi are cel mai mare număr de părți.

Exemplu rezolvat

Unghiurile unui patrulater sunt proporționale cu 1, 2, 3 și 4. Cât măsoară unghiul cel mai mare?

1.Numărul total de părți este 1 + 2 + 3 + 4 = 10.
2.O parte valorează 360° : 10 = 36°.
3.Unghiul cel mai mare are 4 părți: 4 × 36° = 144°.

Patrulatere convexe și concave. Clasificare

Un patrulater este convex dacă toate unghiurile lui interioare sunt mai mici de 180° și dacă ambele diagonale se află în interiorul figurii. Dacă un unghi depășește 180°, patrulaterul este concav și o diagonală iese în afară.

După paralelismul laturilor, patrulaterele se împart în: trapez, cu exact o pereche de laturi paralele, și paralelogram, cu ambele perechi de laturi opuse paralele.

Dreptunghiul, rombul și pătratul sunt cazuri particulare de paralelogram, cu proprietăți în plus, pe care le vei studia în lecțiile următoare.

convex: toate unghiurile < 180°

trapez: o pereche de laturi paralele

paralelogram: două perechi

Un unghi de peste 180° se numește unghi reflex și face figura concavă.
Pătratul este în același timp dreptunghi, romb și paralelogram.

Exemplu rezolvat

Un patrulater are un unghi interior de 200°. Ce fel de patrulater este?

1.Un patrulater convex are toate unghiurile mai mici de 180°.
2.Aici un unghi depășește 180°, deci este unghi reflex.
3.Patrulaterul este concav, adică neconvex.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Desenează un patrulater MNPQ și marchează ambele diagonale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un patrulater cu vârfurile M, N, P, Q în ordine; diagonalele sunt [MP] și [NQ].
Ex. 2Dificultate redusă
Câte diagonale are un patrulater?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2
Ex. 3Dificultate redusă
Cât este suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360°
Ex. 4Dificultate redusă
Un patrulater are 3 unghiuri de 100°, 75°, 95°. Calculează al patrulea unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° − (100° + 75° + 95°) = 90°
Ex. 5Dificultate redusă
Ce este un paralelogram?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Patrulaterul care are laturile opuse paralele două câte două.
Ex. 6Dificultate medie
Un patrulater are unghiurile exprimate ca 3x, 2x, 4x, x. Calculează valoarea lui x, apoi măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10x = 360°, deci x = 36°: unghiurile au 108°, 72°, 144° și 36°.
Ex. 7Dificultate medie
Un patrulater MNPQ are m(∢M) = m(∢P) = 105°. Dacă m(∢N) = 60°, calculează m(∢Q).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° − 105° − 105° − 60° = 90°
Ex. 8Dificultate medie
Explică diferența dintre un trapez și un paralelogram.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trapezul are o singură pereche de laturi opuse paralele; paralelogramul are două perechi.
Ex. 9Dificultate medie
Un patrulater are toate cele 4 unghiuri egale. Calculează măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° : 4 = 90°
Ex. 10Dificultate medie
Un patrulater are unghiurile M, N, P, Q, cu m(∢M) = 90°, m(∢N) = 90°, m(∢P) = 90°. Ce fel de unghi este ∢Q? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Drept: m(∢Q) = 360° − 3 × 90° = 90°.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un patrulater are unghiurile în progresie, exprimate ca x, x+15, x+30, x+45. Calculează valoarea lui x și măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 90° = 360°, deci x = 67,5°: unghiurile au 67,5°, 82,5°, 97,5° și 112,5°.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un patrulater MNPQ are m(∢M) = 2 × m(∢N), m(∢P) = 4 × m(∢N), iar m(∢Q) = m(∢N) + 30°. Calculează măsurile tuturor celor 4 unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu m(∢N) = x: 2x + x + 4x + x + 30° = 360°, deci x = 41,25°. Unghiurile: M = 82,5°, N = 41,25°, P = 165°, Q = 71,25°.
Ex. 13Dificultate ridicată
Diagonala MP a unui patrulater MNPQ îl împarte în două triunghiuri, MNP și MPQ. Explică, folosind suma unghiurilor fiecărui triunghi, de ce suma tuturor celor 4 unghiuri ale patrulaterului este 360°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare triunghi are suma unghiurilor 180°, deci împreună 360°. Unghiurile celor două triunghiuri formează exact unghiurile patrulaterului (diagonala doar împarte unghiurile din M și P în câte două părți).
Ex. 14Dificultate ridicată
Un patrulater are 2 unghiuri opuse (nealăturate) egale cu 105° fiecare. Dacă celelalte 2 unghiuri opuse sunt egale între ele, calculează măsura lor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(360° − 2 × 105°) : 2 = 75° fiecare
Ex. 15Dificultate ridicată
Un patrulater MNPQ are m(∢M) = 4x − 15, m(∢N) = 3x + 10, m(∢P) = x + 30, m(∢Q) = 2x. Calculează valoarea lui x, apoi verifică dacă suma celor 4 unghiuri obținute este 360°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10x + 25° = 360°, deci x = 33,5°. Unghiurile: 119°, 110,5°, 63,5° și 67°, iar suma lor este 360°.
Ex. 16Excelență
Un patrulater ABCD are proprietatea că bisectoarele unghiurilor ∢A și ∢B se intersectează formând un unghi de 70°. Știind că m(∢A) + m(∢B) + acest unghi de 70° formează, împreună, un triunghi cu suma 180°, calculează suma m(∢A) + m(∢B).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Bisectoarele formează cu latura AB un triunghi cu unghiurile A2, B2 și 70°. Deci A2 + B2 = 110°, adică m(∢A) + m(∢B) = 220°.
Ex. 17Excelență
Un patrulater are unghiurile A, B, C, D astfel încât m(∢A) : m(∢B) : m(∢C) : m(∢D) = 2 : 3 : 4 : 3. Calculează măsura fiecărui unghi, folosind proporționalitatea și suma de 360°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 + 3 + 4 + 3 = 12 părți, iar 360° : 12 = 30°: unghiurile au 60°, 90°, 120° și 90°.
Ex. 18Excelență
Diagonalele unui patrulater ABCD se intersectează în punctul O, împărțind patrulaterul în 4 triunghiuri. Dacă suma unghiurilor din jurul punctului O este 360° (unghiuri formate de cele două diagonale), explică relația dintre această sumă și faptul că fiecare pereche de unghiuri opuse la vârf, format de diagonale, este egală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Diagonalele formează în O două perechi de unghiuri opuse la vârf: a, b, a, b, cu a + b = 180° (unghiuri alăturate pe o dreaptă). Deci suma este 2a + 2b = 2 × 180° = 360°.
Ex. 19Excelență
Un patrulater convex are toate unghiurile exprimate ca numere naturale consecutive: x, x+1, x+2, x+3. Calculează valoarea lui x și măsura fiecărui unghi, verificând dacă rezultatul respectă condiția de patrulater convex (toate unghiurile mai mici de 180°).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 6° = 360° dă x = 88,5°, care nu este număr natural. Unghiurile ar fi 88,5°, 89,5°, 90,5°, 91,5°: patrulaterul ar fi convex, dar unghiurile nu sunt naturale consecutive.
Ex. 20Excelență
Un patrulater ABCD are m(∢A) = 130°, iar unghiul opus, ∢C, este cu 40° mai mic. Dacă m(∢B) = m(∢D) (unghiurile rămase sunt egale între ele), calculează măsura tuturor celor 4 unghiuri, verificând suma finală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢C) = 90°, iar m(∢B) = m(∢D) = (360° − 130° − 90°) : 2 = 70°. Verificare: 130° + 70° + 90° + 70° = 360°.