Paralelogramul

Paralelogramul are laturile opuse paralele. Din această definiție rezultă egalitatea laturilor și unghiurilor opuse, precum și înjumătățirea reciprocă a diagonalelor.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Înălțimea h este distanța perpendiculară dintre laturile paralele.

Definiție, laturi și perimetru

Un paralelogram este un patrulater cu ambele perechi de laturi opuse paralele: în ABCD avem [AB] ∥ [CD] și [BC] ∥ [AD].

Din paralelism rezultă prima proprietate: laturile opuse sunt și congruente, adică AB = CD și BC = AD.

De aceea perimetrul se calculează cu P = 2 × (a + b), unde a și b sunt două laturi alăturate. Invers, dacă știi perimetrul și o latură, o afli pe cealaltă.

AB = CD și BC = AD

P = 2 × (a + b)

b = P : 2 − a

Este de ajuns să cunoști două laturi alăturate ca să știi tot perimetrul.
Laturile opuse sunt egale, dar laturile alăturate pot fi diferite.

Exemplu rezolvat

Un paralelogram are perimetrul 40 cm și o latură de 12 cm. Cât are latura alăturată?

1.Perimetrul este 2 × (a + b), deci a + b = 40 : 2 = 20 cm.
2.Scădem latura cunoscută: 20 − 12.
3.Latura alăturată are 8 cm.

Unghiurile paralelogramului

Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt congruente: m(∢A) = m(∢C) și m(∢B) = m(∢D).

Unghiurile alăturate sunt suplementare, adică au suma 180°. Proprietatea vine din unghiurile formate de o secantă cu două drepte paralele, învățate la clasa a VI-a.

Astfel, dacă m(∢A) = 70°, atunci m(∢C) = 70°, iar m(∢B) = m(∢D) = 110°. Cunoscând un singur unghi, le știi pe toate patru.

∢A = ∢C și ∢B = ∢D

∢A + ∢B = 180°

Unghiurile opuse sunt egale, cele alăturate sunt suplementare — nu le confunda.
Când un unghi este de n ori mai mare decât cel alăturat, împarți 180° în n + 1 părți.

Exemplu rezolvat

În paralelogramul ABCD, ∢A este de 2 ori mai mare decât ∢B. Cât măsoară ∢A?

1.Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci ∢A + ∢B = 180°.
2.Notăm ∢B cu o parte; ∢A are două părți, deci 3 părți fac 180°, iar o parte are 60°.
3.Rezultă ∢A = 2 × 60° = 120°, iar ∢B = 60°.

Diagonalele paralelogramului

Diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc reciproc: punctul lor de intersecție este mijlocul fiecăreia dintre ele.

Dacă [AC] și [BD] se intersectează în O, atunci AO = OC = AC : 2 și BO = OD = BD : 2.

Proprietatea funcționează în ambele sensuri: dacă într-un patrulater diagonalele se înjumătățesc, atunci patrulaterul este paralelogram.

AO = OC = AC : 2

BO = OD = BD : 2

Diagonalele se înjumătățesc, dar nu sunt neapărat egale între ele.
Din jumătatea unei diagonale afli diagonala întreagă, înmulțind cu 2.

Exemplu rezolvat

În paralelogramul ABCD, diagonalele se intersectează în O, iar BO = 7 cm. Cât este BD?

1.Punctul O este mijlocul diagonalei [BD], deci BO = OD.
2.Diagonala întreagă este de două ori jumătatea ei: 2 × 7.
3.Deci BD = 14 cm.

Aria paralelogramului

Aria paralelogramului este produsul dintre o latură, luată ca bază, și înălțimea corespunzătoare ei: A = b × h. Înălțimea este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele.

Formula merge și invers: din arie și bază afli înălțimea, împărțind.

Un paralelogram are două perechi de laturi, deci și două înălțimi diferite. Aria rămâne aceeași, deci produsul latură × înălțime este același în ambele cazuri — de aici afli a doua înălțime.

A = b × h

h = A : b

a₁ × h₁ = a₂ × h₂

Înălțimea nu este latura oblică, ci perpendiculara dintre laturile paralele.
Latura mai scurtă are înălțimea mai mare, fiindcă aria rămâne constantă.

Exemplu rezolvat

Un paralelogram are laturile de 10 cm și 6 cm, iar înălțimea pe latura de 10 cm este 4,8 cm. Cât este înălțimea pe latura de 6 cm?

1.Calculăm aria cu prima pereche: A = 10 × 4,8 = 48 cm².
2.Aceeași arie se obține și cu a doua latură: 6 × h = 48.
3.Rezultă h = 48 : 6 = 8 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un paralelogram are laturile de 8 cm și 11 cm. Calculează perimetrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × (8 + 11) = 38 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Un paralelogram MNPQ are m(∢M) = 95°. Calculează m(∢P).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
95° (unghiurile opuse sunt congruente)
Ex. 3Dificultate redusă
Un paralelogram MNPQ are m(∢M) = 60°. Calculează m(∢N), folosind proprietatea unghiurilor alăturate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 60° = 120°
Ex. 4Dificultate redusă
Diagonalele unui paralelogram se intersectează în O. Dacă BO = 6 cm, calculează BD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BD = 2 × 6 = 12 cm (diagonalele se înjumătățesc)
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează aria unui paralelogram cu baza de 10 cm și înălțimea de 6 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10 × 6 = 60 cm²
Ex. 6Dificultate medie
Un paralelogram are perimetrul de 42 cm, iar o latură este cu 5 cm mai mare decât cealaltă. Calculează lungimea celor două laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a + b = 21 și b = a + 5: laturile au 8 cm și 13 cm.
Ex. 7Dificultate medie
Un paralelogram MNPQ are m(∢M) = 4x, m(∢N) = 5x. Calculează valoarea lui x, apoi măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 5x = 180°, deci x = 20°: m(∢M) = m(∢P) = 80°, m(∢N) = m(∢Q) = 100°.
Ex. 8Dificultate medie
Diagonalele unui paralelogram au lungimile 20 cm și 14 cm. Calculează distanțele de la punctul de intersecție O până la fiecare vârf.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O este mijlocul fiecărei diagonale: 10 cm până la capetele diagonalei de 20 cm și 7 cm până la capetele celei de 14 cm.
Ex. 9Dificultate medie
Un paralelogram are aria de 96 cm² și baza de 12 cm. Calculează înălțimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
96 : 12 = 8 cm
Ex. 10Dificultate medie
Explică, folosind proprietățile paralelogramului, de ce unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Două laturi opuse sunt paralele, iar latura dintre ele este o secantă. Unghiurile alăturate sunt interne de aceeași parte a secantei, deci suplementare (180°).
Ex. 11Dificultate ridicată
Un patrulater MNPQ are MN = PQ = 10 cm și MN ∥ PQ. Demonstrează, folosind un criteriu de paralelogram, că MNPQ este paralelogram, apoi precizează ce alte proprietăți rezultă automat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un patrulater cu două laturi opuse paralele și congruente este paralelogram. Rezultă: NP ∥ MQ și NP = MQ, unghiurile opuse sunt congruente, iar diagonalele se înjumătățesc.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un paralelogram are unghiul M cu 25° mai mic decât unghiul N. Calculează măsurile tuturor celor 4 unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢M) + m(∢N) = 180° și m(∢N) = m(∢M) + 25°: M = P = 77,5°, N = Q = 102,5°.
Ex. 13Dificultate ridicată
Perimetrul unui paralelogram este 60 cm, iar raportul dintre cele două laturi alăturate este 37. Calculează lungimile celor două laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a + b = 30 și ab = 37: laturile au 9 cm și 21 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un paralelogram MNPQ are diagonalele MP = 16 cm și NQ = 20 cm, perpendiculare între ele. Calculează aria paralelogramului, folosind formula A = (d1 × d2) : 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
16 × 20 : 2 = 160 cm²
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dă un paralelogram MNPQ, cu diagonalele intersectându-se în O. Triunghiurile MON și POQ sunt congruente. Explică de ce această congruență confirmă proprietatea că MN = PQ.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
OM = OP și ON = OQ (diagonalele se înjumătățesc), iar ∢MON ≡ ∢POQ (opuse la vârf). Deci △MON ≡ △POQ (LUL), iar laturile corespunzătoare sunt egale: MN = PQ.
Ex. 16Excelență
Un paralelogram ABCD are perimetrul 46 cm. Bisectoarea unghiului A intersectează latura CD în punctul E, formând triunghiul ADE isoscel (proprietate care rezultă din paralelism). Dacă AD = 10 cm, calculează DE, apoi determină lungimea laturii AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
DE = AD = 10 cm (triunghiul ADE este isoscel). Din perimetru, AB + AD = 23, deci AB = 13 cm.
Ex. 17Excelență
Se dă un paralelogram ABCD cu aria de 84 cm². O dreaptă care trece prin punctul de intersecție al diagonalelor împarte paralelogramul în două regiuni. Explică, folosind proprietatea de simetrie a paralelogramului față de punctul de intersecție al diagonalelor, de ce cele două regiuni au arii egale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Simetria față de O duce paralelogramul în el însuși și dreapta prin O tot în ea însăși, dar schimbă între ele cele două regiuni. Deci regiunile sunt congruente și au arii egale, câte 42 cm².
Ex. 18Excelență
Un paralelogram are laturile de 15 cm și 20 cm, iar unghiul dintre ele este de 60°. Explică (fără calcul trigonometric explicit) de ce aria acestui paralelogram NU se poate calcula direct ca produs al celor două laturi (15 × 20), și ce informație suplimentară ar mai fi necesară.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Produsul 15 × 20 ar fi aria doar dacă unghiul ar avea 90° (dreptunghi). Aria este bază × înălțime, iar înălțimea pe latura de 20 cm este mai mică de 15 cm. Trebuie cunoscută înălțimea, adică distanța dintre laturile paralele.
Ex. 19Excelență
Diagonalele unui paralelogram ABCD au lungimile AC = 12 cm și BD = 16 cm, iar aria paralelogramului este 96 cm². Verifică dacă diagonalele sunt perpendiculare, folosind formula A = (d1 × d2) : 2 și comparând cu aria dată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 × 16 : 2 = 96 cm², exact aria dată: diagonalele sunt perpendiculare (numai atunci aria este d₁ × d₂ : 2).
Ex. 20Excelență
Un paralelogram ABCD are m(∢A) = x + 20 și m(∢B) = 2x − 10. Calculează valoarea lui x, folosind proprietatea unghiurilor alăturate, apoi verifică dacă rezultatul respectă și proprietatea unghiurilor opuse, calculând m(∢C) și m(∢D).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 20) + (2x − 10) = 180°, deci x = 1703 ≈ 56,7°. m(∢A) = m(∢C) ≈ 76,7°, m(∢B) = m(∢D) ≈ 103,3°: unghiurile opuse sunt congruente.