Încărcăm partea curentă…

Operații cu radicali

Adunarea și scăderea radicalilor

Radicalii se pot aduna sau scădea doar dacă au același număr sub radical — se numesc radicali asemenea și se comportă exact ca termenii asemenea dintr-o expresie algebrică: a√c + b√c = (a + b)√c.

Astfel, 3√2 + 5√2 = 8√2, iar 7√3 − 2√3 = 5√3. În schimb √2 + √3 nu se poate simplifica: numerele de sub radical sunt diferite.

Uneori radicalii par diferiți, dar devin asemenea după simplificare: √8 = 2√2 și √18 = 3√2, deci √8 + √18 = 5√2.

De ținut minte

a√c + b√c = (a + b)√c
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
  • Simplifică fiecare radical înainte să decizi dacă se pot aduna.
  • Se adună coeficienții, nu numerele de sub radical.

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică √98 − √32.

  1. 1√98 = 49·2 = 7√2.
  2. 2√32 = 16·2 = 4√2.
  3. 3Diferența este 3√2.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Operații cu radicali: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înainte de a opera cu radicali îi simplificăm. Putem aduna doar radicali asemenea, iar produsele și rapoartele se pot grupa sub același radical în condițiile potrivite.

Adunarea și scăderea radicalilor

Radicalii se pot aduna sau scădea doar dacă au același număr sub radical — se numesc radicali asemenea și se comportă exact ca termenii asemenea dintr-o expresie algebrică: a√c + b√c = (a + b)√c.

Astfel, 3√2 + 5√2 = 8√2, iar 7√3 − 2√3 = 5√3. În schimb √2 + √3 nu se poate simplifica: numerele de sub radical sunt diferite.

Uneori radicalii par diferiți, dar devin asemenea după simplificare: √8 = 2√2 și √18 = 3√2, deci √8 + √18 = 5√2.

  • a√c + b√c = (a + b)√c
  • √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
  • Simplifică fiecare radical înainte să decizi dacă se pot aduna.
  • Se adună coeficienții, nu numerele de sub radical.

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică √98 − √32.

  1. √98 = 49·2 = 7√2.
  2. √32 = 16·2 = 4√2.
  3. Diferența este 3√2.

Înmulțirea radicalilor

La înmulțire nu este nevoie ca radicalii să fie asemenea: se înmulțesc numerele de sub radical, apoi se simplifică rezultatul, dacă se poate. Formula este √a × √b = a × b.

Exemplu: √3 × √12 = √36 = 6. Dacă radicalii au și coeficienți, îi înmulțești separat: 2√5 × 3√5 = 6 × √25 = 30.

Ridicarea la pătrat a unui radical cu coeficient urmează aceeași regulă: (2√3)2 = 22 × (√3)2 = 4 × 3 = 12.

  • √a × √b = a × b
  • √3 × √12 = 6
  • (2√3)2 = 12
  • Coeficienții se înmulțesc între ei, iar radicalii între ei.
  • Verifică la final dacă rezultatul de sub radical este pătrat perfect.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (√75 − √12)·√3.

  1. Simplificăm: √75 − √12 = 5√3 − 2√3 = 3√3.
  2. 3√3·√3 = 3·3.
  3. Rezultatul este 9.

Împărțirea radicalilor

Și la împărțire se lucrează sub radical: √a : √b = a : b, pentru b > 0.

Exemplu: √72 : √8 = √9 = 3, iar √75 : √3 = √25 = 5. Când numitorul se simplifică exact, rezultatul iese număr întreg.

Dacă expresia are o paranteză la numărător, o simplifici întâi, apoi împarți: (√12 + √27) : √3 = 5√3 : √3 = 5.

  • √a : √b = a : b, b > 0
  • √72 : √8 = 3
  • (√12 + √27) : √3 = 5
  • Împărțirea sub radical scurtează mult calculele: nu calcula fiecare radical separat.
  • Radicalii identici se simplifică între ei: 5√3 : √3 = 5.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează √80 + √45√5.

  1. √80 = 4√5, √45 = 3√5.
  2. Numărătorul este 7√5.
  3. Împărțirea la √5 ≠ 0 dă 7.

Raționalizarea numitorului

Prin convenție, un rezultat nu se lasă cu radical la numitor. A raționaliza înseamnă a scăpa de radicalul de jos, înmulțind și numărătorul, și numitorul cu acel radical.

Pentru 3√5, înmulțim sus și jos cu √5: (3 × √5) : (√5 × √5) = 3√5 : 5. Valoarea fracției nu se schimbă, fiindcă am înmulțit cu 1 scris altfel.

Regula generală este 1√a = √a : a, pentru a > 0.

  • 1√a = √a : a
  • 3√5 = 3√55
  • 2√3 = 2√33
  • Se înmulțește și sus, și jos cu același radical.
  • La numitor, √a × √a = a, deci radicalul dispare.

Exemplu rezolvat · alte date

Raționalizează 5√7.

  1. Înmulțim numărătorul și numitorul cu √7.
  2. Obținem 5√7√7·√7.
  3. Numitorul este 7, deci rezultatul este 5√77.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 4√5 + 3√5.

    Vezi rezolvarea
    1. (4 + 3)√5 = 7√5.

    Răspuns: 7√5

  2. Exercițiul 2

    Simplifică √18 + √50.

    Vezi rezolvarea
    1. √18 = 3√2 și √50 = 5√2.
    2. Suma este 8√2.

    Răspuns: 8√2

  3. Exercițiul 3

    Calculează √72 : √8.

    Vezi rezolvarea
    1. √72 : √8 = 72 : 8 = √9 = 3.

    Răspuns: 3

  4. Exercițiul 4

    Care este forma raționalizată a lui 3√5?

    Vezi rezolvarea
    1. 3√5 · √5√5 = 3√55.

    Răspuns: 3√55

  5. Exercițiul 5

    Calculează (√12 + √27) : √3.

    Vezi rezolvarea
    1. √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3.
    2. 5√3 : √3 = 5.

    Răspuns: 5

  6. Exercițiul 6

    Calculează 6√3 − 2√3.

    Vezi rezolvarea
    1. Ambii termeni conțin √3.
    2. 6 − 2 = 4.
    3. 6√3 − 2√3 = 4√3.

    Răspuns: 4√3

  7. Exercițiul 7

    Calculează √2 · √8.

    Vezi rezolvarea
    1. √2 · √8 = √16.
    2. √16 = 4.
    3. Rezultatul este 4.

    Răspuns: 4

  8. Exercițiul 8

    Calculează √75 : √3.

    Vezi rezolvarea
    1. √75 : √3 = 75 : 3.
    2. 75 : 3 = 25.
    3. √25 = 5.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    Simplifică √20 + √45.

    Vezi rezolvarea
    1. √20 = 4 × 5 = 2√5.
    2. √45 = 9 × 5 = 3√5.
    3. 2√5 + 3√5 = 5√5.

    Răspuns: 5√5

  10. Exercițiul 10

    Care este forma raționalizată a lui 2√3?

    Vezi rezolvarea
    1. 2√3 = 2√3√3 · √3.
    2. √3 · √3 = 3.
    3. 2√3 = 2√33.

    Răspuns: 2√33

  11. Exercițiul 11

    Calculează (2√3)2.

    Vezi rezolvarea
    1. (2√3)2 = 22 · (√3)2.
    2. 4 · 3 = 12.
    3. Rezultatul este 12.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Calculează (√50 − √18) · √2.

    Vezi rezolvarea
    1. √50 = 5√2 și √18 = 3√2, deci paranteza este 2√2.
    2. 2√2 · √2 = 2 · 2.
    3. Rezultatul este 4.

    Răspuns: 4

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Calculează: 6√3 + 2√3.

    Vezi răspunsul

    8√3

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează: 8√5 − 3√5.

    Vezi răspunsul

    5√5

  3. 3. Dificultate redusă

    Calculează: √9 × √16.

    Vezi răspunsul

    3 × 4 = 12

  4. 4. Dificultate redusă

    Calculează: √64 : √4.

    Vezi răspunsul

    8 : 2 = 4

  5. 5. Dificultate redusă

    Simplifică: √12 + √3 (simplifică mai întâi √12).

    Vezi răspunsul

    √12 = 2√3, deci 2√3 + √3 = 3√3.

  6. 6. Dificultate medie

    Calculează: √8 + √32 (simplifică mai întâi fiecare radical).

    Vezi răspunsul

    √8 = 2√2, √32 = 4√2, deci suma este 6√2.

  7. 7. Dificultate medie

    Calculează: 4√5 × 2√5.

    Vezi răspunsul

    8 × (√5)2 = 8 × 5 = 40

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează: √98 : √2.

    Vezi răspunsul

    98 : 2 = √49 = 7

  9. 9. Dificultate medie

    Raționalizează: 4√7.

    Vezi răspunsul

    4√7 = 4√77

  10. 10. Dificultate medie

    Calculează: √48 − √27 (simplifică mai întâi fiecare radical).

    Vezi răspunsul

    √48 = 4√3, √27 = 3√3, deci diferența este √3.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Calculează: (√18 + √50) : √2, simplificând pas cu pas.

    Vezi răspunsul

    (3√2 + 5√2) : √2 = 8√2 : √2 = 8

  12. 12. Dificultate ridicată

    Raționalizează și simplifică: 12√18 (simplifică mai întâi √18, apoi raționalizează).

    Vezi răspunsul

    √18 = 3√2, deci 123√2 = 4√2 = 4√22 = 2√2.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Calculează: 3√2 × (√8 − √2), aplicând proprietatea distributivă.

    Vezi răspunsul

    √8 = 2√2, deci 3√2 × (2√2 − √2) = 3√2 × √2 = 6.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are lungimea √48 cm și lățimea √3 cm. Calculează aria dreptunghiului, simplificând rezultatul.

    Vezi răspunsul

    √48 = 4√3, deci A = 4√3 × √3 = 12 cm2.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Calculează: (√7 + √28) × (√7 − √28), aplicând formula (a+b)(a−b) = a2 − b2, apoi simplifică √28 înainte de calcul.

    Vezi răspunsul

    √28 = 2√7; (√7)2 − (2√7)2 = 7 − 28 = −21.

  16. 16. Excelență

    Calculează: √2 × √3 × √6, simplificând rezultatul final (indiciu: grupează factorii sub un singur radical, apoi extrage pătratele perfecte).

    Vezi răspunsul

    2 × 3 × 6 = √36 = 6

  17. 17. Excelență

    Raționalizează și simplifică expresia: 4 + √2√2, distribuind împărțirea la fiecare termen din numărător.

    Vezi răspunsul

    4√2 + √2√2 = 2√2 + 1

  18. 18. Excelență

    Un triunghi dreptunghic are catetele √18 cm și √32 cm. Calculează aria triunghiului (bază × înălțime : 2), simplificând radicalii înainte de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    √18 = 3√2, √32 = 4√2; A = 3√2 × 4√2 : 2 = 24 : 2 = 12 cm2.

  19. 19. Excelență

    Calculează: √75 + √48 − √27, simplificând fiecare radical, apoi verifică dacă rezultatul este un multiplu întreg al lui √3.

    Vezi răspunsul

    5√3 + 4√3 − 3√3 = 6√3: da, este 6 × √3.

  20. 20. Excelență

    Se dă expresia E = (√5 + √20 − √45) : √5. Simplifică fiecare radical din interiorul parantezei, reduce termenii asemenea, apoi efectuează împărțirea finală.

    Vezi răspunsul

    √20 = 2√5, √45 = 3√5; paranteza: √5 + 2√5 − 3√5 = 0, deci E = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.