Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min
√

Teorie înainte de exerciții

Operații cu radicali

Înainte de a opera cu radicali îi simplificăm. Putem aduna doar radicali asemenea, iar produsele și rapoartele se pot grupa sub același radical în condițiile potrivite.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Adunarea și scăderea radicalilor

Radicalii se pot aduna sau scădea doar dacă au același număr sub radical — se numesc radicali asemenea și se comportă exact ca termenii asemenea dintr-o expresie algebrică: a√c + b√c = (a + b)√c.

Astfel, 3√2 + 5√2 = 8√2, iar 7√3 − 2√3 = 5√3. În schimb √2 + √3 nu se poate simplifica: numerele de sub radical sunt diferite.

Uneori radicalii par diferiți, dar devin asemenea după simplificare: √8 = 2√2 și √18 = 3√2, deci √8 + √18 = 5√2.

a√c + b√c = (a + b)√c
√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
  • Simplifică fiecare radical înainte să decizi dacă se pot aduna.
  • Se adună coeficienții, nu numerele de sub radical.

Exemplu rezolvat

Simplifică √20 + √45.

  1. 1.Scoatem pătratele perfecte: √20 = 4 × 5 = 2√5.
  2. 2.La fel, √45 = 9 × 5 = 3√5.
  3. 3.Radicalii sunt asemenea, deci 2√5 + 3√5 = 5√5.
2

Înmulțirea radicalilor

La înmulțire nu este nevoie ca radicalii să fie asemenea: se înmulțesc numerele de sub radical, apoi se simplifică rezultatul, dacă se poate. Formula este √a × √b = a × b.

Exemplu: √3 × √12 = √36 = 6. Dacă radicalii au și coeficienți, îi înmulțești separat: 2√5 × 3√5 = 6 × √25 = 30.

Ridicarea la pătrat a unui radical cu coeficient urmează aceeași regulă: (2√3)2 = 22 × (√3)2 = 4 × 3 = 12.

√a × √b = a × b
√3 × √12 = 6
(2√3)2 = 12
  • Coeficienții se înmulțesc între ei, iar radicalii între ei.
  • Verifică la final dacă rezultatul de sub radical este pătrat perfect.

Exemplu rezolvat

Calculează (√50 − √18) · √2.

  1. 1.Simplificăm paranteza: √50 = 5√2 și √18 = 3√2, deci diferența este 2√2.
  2. 2.Înmulțim cu √2: 2√2 × √2 = 2 × √4.
  3. 3.Rezultatul este 2 × 2 = 4.
3

Împărțirea radicalilor

Și la împărțire se lucrează sub radical: √a : √b = a : b, pentru b > 0.

Exemplu: √72 : √8 = √9 = 3, iar √75 : √3 = √25 = 5. Când numitorul se simplifică exact, rezultatul iese număr întreg.

Dacă expresia are o paranteză la numărător, o simplifici întâi, apoi împarți: (√12 + √27) : √3 = 5√3 : √3 = 5.

√a : √b = a : b, b > 0
√72 : √8 = 3
(√12 + √27) : √3 = 5
  • Împărțirea sub radical scurtează mult calculele: nu calcula fiecare radical separat.
  • Radicalii identici se simplifică între ei: 5√3 : √3 = 5.

Exemplu rezolvat

Calculează (√12 + √27) : √3.

  1. 1.Simplificăm radicalii din paranteză: √12 = 2√3 și √27 = 3√3.
  2. 2.Adunăm: 2√3 + 3√3 = 5√3.
  3. 3.Împărțim: 5√3 : √3 = 5.
4

Raționalizarea numitorului

Prin convenție, un rezultat nu se lasă cu radical la numitor. A raționaliza înseamnă a scăpa de radicalul de jos, înmulțind și numărătorul, și numitorul cu acel radical.

Pentru 3√5, înmulțim sus și jos cu √5: (3 × √5) : (√5 × √5) = 3√5 : 5. Valoarea fracției nu se schimbă, fiindcă am înmulțit cu 1 scris altfel.

Regula generală este 1√a = √a : a, pentru a > 0.

1√a = √a : a
3√5 = 3√55
2√3 = 2√33
  • Se înmulțește și sus, și jos cu același radical.
  • La numitor, √a × √a = a, deci radicalul dispare.

Exemplu rezolvat

Care este forma raționalizată a lui 2√3?

  1. 1.Înmulțim numărătorul și numitorul cu √3.
  2. 2.La numitor: √3 × √3 = 3; la numărător: 2 × √3 = 2√3.
  3. 3.Rezultă 2√33.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Calculează: 6√3 + 2√3.

    Vezi răspunsul

    8√3

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Calculează: 8√5 − 3√5.

    Vezi răspunsul

    5√5

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Calculează: √9 × √16.

    Vezi răspunsul

    3 × 4 = 12

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Calculează: √64 : √4.

    Vezi răspunsul

    8 : 2 = 4

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Simplifică: √12 + √3 (simplifică mai întâi √12).

    Vezi răspunsul

    √12 = 2√3, deci 2√3 + √3 = 3√3.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Calculează: √8 + √32 (simplifică mai întâi fiecare radical).

    Vezi răspunsul

    √8 = 2√2, √32 = 4√2, deci suma este 6√2.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Calculează: 4√5 × 2√5.

    Vezi răspunsul

    8 × (√5)2 = 8 × 5 = 40

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Calculează: √98 : √2.

    Vezi răspunsul

    98 : 2 = √49 = 7

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Raționalizează: 4 / √7.

    Vezi răspunsul

    4√7 = 4√77

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Calculează: √48 − √27 (simplifică mai întâi fiecare radical).

    Vezi răspunsul

    √48 = 4√3, √27 = 3√3, deci diferența este √3.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Calculează: (√18 + √50) : √2, simplificând pas cu pas.

    Vezi răspunsul

    (3√2 + 5√2) : √2 = 8√2 : √2 = 8

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Raționalizează și simplifică: 12 / √18 (simplifică mai întâi √18, apoi raționalizează).

    Vezi răspunsul

    √18 = 3√2, deci 123√2 = 4√2 = 4√22 = 2√2.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Calculează: 3√2 × (√8 − √2), aplicând proprietatea distributivă.

    Vezi răspunsul

    √8 = 2√2, deci 3√2 × (2√2 − √2) = 3√2 × √2 = 6.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are lungimea √48 cm și lățimea √3 cm. Calculează aria dreptunghiului, simplificând rezultatul.

    Vezi răspunsul

    √48 = 4√3, deci A = 4√3 × √3 = 12 cm2.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Calculează: (√7 + √28) × (√7 − √28), aplicând formula (a+b)(a−b) = a2 − b2, apoi simplifică √28 înainte de calcul.

    Vezi răspunsul

    √28 = 2√7; (√7)2 − (2√7)2 = 7 − 28 = −21.

  16. Ex. 16Excelență

    Calculează: √2 × √3 × √6, simplificând rezultatul final (indiciu: grupează factorii sub un singur radical, apoi extrage pătratele perfecte).

    Vezi răspunsul

    2 × 3 × 6 = √36 = 6

  17. Ex. 17Excelență

    Raționalizează și simplifică expresia: (4 + √2) / √2, distribuind împărțirea la fiecare termen din numărător.

    Vezi răspunsul

    4√2 + √2√2 = 2√2 + 1

  18. Ex. 18Excelență

    Un triunghi dreptunghic are catetele √18 cm și √32 cm. Calculează aria triunghiului (bază × înălțime : 2), simplificând radicalii înainte de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    √18 = 3√2, √32 = 4√2; A = 3√2 × 4√2 : 2 = 24 : 2 = 12 cm2.

  19. Ex. 19Excelență

    Calculează: √75 + √48 − √27, simplificând fiecare radical, apoi verifică dacă rezultatul este un multiplu întreg al lui √3.

    Vezi răspunsul

    5√3 + 4√3 − 3√3 = 6√3: da, este 6 × √3.

  20. Ex. 20Excelență

    Se dă expresia E = (√5 + √20 − √45) : √5. Simplifică fiecare radical din interiorul parantezei, reduce termenii asemenea, apoi efectuează împărțirea finală.

    Vezi răspunsul

    √20 = 2√5, √45 = 3√5; paranteza: √5 + 2√5 − 3√5 = 0, deci E = 0.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.