Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min
ℝ

Teorie înainte de exerciții

Numere reale

Mulțimea numerelor reale reunește numerele raționale și iraționale. Radicalii ne ajută să scriem exact valori care nu au o reprezentare zecimală finită sau periodică.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Numere iraționale și mulțimea ℝ

Toate numerele de până acum — naturale, întregi, raționale — pot fi scrise ca fracție ab. Există însă numere care nu pot fi scrise așa: ele se numesc iraționale.

Cele mai cunoscute sunt rădăcinile pătrate ale numerelor care nu sunt pătrate perfecte: √2, √3, √5. Scrise ca zecimale, au o infinitate de zecimale care nu se repetă după niciun tipar: √2 ≈ 1,41421356…

Mulțimea numerelor reale, notată ℝ, cuprinde toate numerele raționale împreună cu toate cele iraționale, deci ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
√2 ≈ 1,41421356…
  • O fracție dă mereu zecimale finite sau periodice; un irațional, niciodată.
  • √25 = 5 este rațional, deși are radical: contează rezultatul, nu forma scrisă.

Exemplu rezolvat

Care dintre numerele √25 și √2 este rațional?

  1. 1.Calculăm √25 = 5, fiindcă 52 = 25, iar 5 se poate scrie 51.
  2. 2.Numărul 2 nu este pătrat perfect, deci √2 are zecimale infinite, fără tipar.
  3. 3.Prin urmare √25 este rațional, iar √2 este irațional.
2

Rădăcina pătrată și pătratele perfecte

Rădăcina pătrată a unui număr a, cu a ≥ 0, este numărul nenegativ care ridicat la pătrat dă a: √a = b, unde b2 = a.

De exemplu, √25 = 5, fiindcă 52 = 25. Numerele a căror rădăcină pătrată este un număr natural se numesc pătrate perfecte: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii se anulează una pe alta: (√5)2 = 5, pentru orice număr nenegativ.

√a = b ⇔ b2 = a și b ≥ 0
(√a)2 = a
pătrate perfecte: 1, 4, 9, 16, 25, …
  • Merită învățate pe de rost pătratele numerelor de la 1 la 15.
  • Nu există rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, în mulțimea numerelor reale.

Exemplu rezolvat

Calculează (√5)2 + √81.

  1. 1.Ridicarea la pătrat anulează radicalul: (√5)2 = 5.
  2. 2.Calculăm √81 = 9, fiindcă 92 = 81.
  3. 3.Adunăm: 5 + 9 = 14.
3

Aproximarea unei rădăcini pătrate

Dacă numărul de sub radical nu este pătrat perfect, rădăcina lui este irațională și poate fi doar aproximată.

Metoda este încadrarea: cauți cele două pătrate perfecte consecutive între care se află numărul. Pentru √20 observi că 16 < 20 < 25, adică 42 < 20 < 52, deci 4 < √20 < 5.

Ca să vezi de care capăt este mai aproape, compari numărul cu mijlocul intervalului. Cum 20 este mai aproape de 16 decât de 25, √20 ≈ 4,47, mai aproape de 4,5.

16 < 20 < 25 ⇒ 4 < √20 < 5
√20 ≈ 4,47
  • Caută pătratele perfecte imediat mai mic și imediat mai mare decât numărul.
  • Rădăcina crește mai încet decât numărul: între 49 și 64 sunt 15 unități, dar rădăcinile diferă doar cu 1.

Exemplu rezolvat

Între ce numere naturale consecutive se află √50?

  1. 1.Căutăm pătratele perfecte vecine: 49 = 72 și 64 = 82.
  2. 2.Cum 49 < 50 < 64, rezultă 7 < √50 < 8.
  3. 3.Deci √50 se află între 7 și 8, mult mai aproape de 7.
4

Simplificarea radicalilor

Rădăcina unui produs este produsul rădăcinilor: a × b = √a × √b, pentru numere nenegative. Proprietatea permite scoaterea factorilor de sub radical.

Ca să simplifici √50, descompui numărul într-un produs care conține un pătrat perfect: 50 = 25 × 2, deci √50 = √25 × √2 = 5√2.

Radicalii cu aceeași parte de sub radical se pot aduna, ca termenii asemenea: 3√2 + 2√2 = 5√2. Radicalii cu numere diferite sub radical nu se pot aduna direct.

a × b = √a × √b
√50 = 5√2
3√2 + 2√2 = 5√2
  • Caută cel mai mare pătrat perfect care divide numărul de sub radical.
  • Înainte să aduni radicali, simplifică-i: poate ajung la aceeași formă.

Exemplu rezolvat

Calculează √18 + √8.

  1. 1.Simplificăm fiecare radical: √18 = 9 × 2 = 3√2.
  2. 2.La fel, √8 = 4 × 2 = 2√2.
  3. 3.Radicalii au aceeași parte, deci se adună coeficienții: 3√2 + 2√2 = 5√2.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Calculează: √4, √64, √144.

    Vezi răspunsul

    2, 8, 12

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Este numărul 40 un pătrat perfect? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Nu: 62 = 36 < 40 < 49 = 72, deci nu este pătratul niciunui număr natural.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Scrie primele 8 pătrate perfecte (de la 12 la 82).

    Vezi răspunsul

    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Încadrează √15 între două numere naturale consecutive.

    Vezi răspunsul

    3 < √15 < 4 (9 < 15 < 16)

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Calculează: √25 + √49.

    Vezi răspunsul

    5 + 7 = 12

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Simplifică: √48.

    Vezi răspunsul

    √48 = 16 · 3 = 4√3

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Simplifică: √98.

    Vezi răspunsul

    √98 = 49 · 2 = 7√2

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Calculează: √100 − √36.

    Vezi răspunsul

    10 − 6 = 4

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Încadrează √70 între două numere naturale consecutive, apoi estimează o valoare aproximativă cu o zecimală.

    Vezi răspunsul

    8 < √70 < 9. Cu o zecimală: 8,32 = 68,89 < 70 < 70,56 = 8,42, deci √70 ≈ 8,4 (mai exact 8,37).

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Calculează: √9 × √16, apoi verifică rezultatul calculând direct 9 × 16.

    Vezi răspunsul

    √9 × √16 = 3 × 4 = 12; direct: √144 = 12.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: √27 + √12.

    Vezi răspunsul

    3√3 + 2√3 = 5√3

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Calculează: 2√3 × 3√12, simplificând mai întâi √12.

    Vezi răspunsul

    √12 = 2√3, deci 2√3 × 3 × 2√3 = 12 × 3 = 36.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Un pătrat are aria de 72 cm2. Calculează lungimea laturii, simplificând rădăcina pătrată obținută.

    Vezi răspunsul

    Latura = √72 = 36 · 2 = 6√2 cm.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Încadrează numărul √150 între două numere naturale consecutive, apoi simplifică radicalul, scoțând factorul pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    12 < √150 < 13 (144 < 150 < 169); √150 = 25 · 6 = 5√6.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Calculează: √180 − √45 + √20, simplificând fiecare radical, apoi reducând termenii asemenea rezultați.

    Vezi răspunsul

    6√5 − 3√5 + 2√5 = 5√5

  16. Ex. 16Excelență

    Simplifică expresia: √8 + √18 − √2, apoi calculează valoarea numerică aproximativă, folosind √2 ≈ 1,41.

    Vezi răspunsul

    2√2 + 3√2 − √2 = 4√2 ≈ 4 × 1,41 = 5,64

  17. Ex. 17Excelență

    Un dreptunghi are lungimea √48 cm și lățimea √3 cm. Calculează aria dreptunghiului, simplificând radicalii înainte de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    √48 = 4√3, deci A = 4√3 × √3 = 4 × 3 = 12 cm2.

  18. Ex. 18Excelență

    Calculează: (√5 + √3) × (√5 − √3), folosind formula de calcul prescurtat (a+b)(a−b) = a2 − b2 (chiar dacă formula va fi studiată detaliat ulterior, poți aplica ideea direct pentru radicali).

    Vezi răspunsul

    (√5)2 − (√3)2 = 5 − 3 = 2

  19. Ex. 19Excelență

    Un pătrat are perimetrul numeric egal cu √200 (adică suma laturilor, exprimată ca radical simplificat). Calculează lungimea unei laturi, simplificând mai întâi √200.

    Vezi răspunsul

    √200 = 10√2, deci latura = 10√2 : 4 = 5√22.

  20. Ex. 20Excelență

    Încadrează numărul 5 + √20 între două numere naturale consecutive, simplificând mai întâi radicalul și folosind o aproximare potrivită.

    Vezi răspunsul

    √20 = 2√5 ≈ 4,47, deci 5 + √20 ≈ 9,47: între 9 și 10.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.