Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Modulul unui număr real
Modulul unui număr real este distanța de la acel număr până la 0 pe axă, deci este întotdeauna pozitiv sau zero. Se scrie |x| și se calculează așa: |x| = x dacă x ≥ 0 și |x| = −x dacă x < 0.
Regula se aplică și numerelor iraționale: |−√7| = √7, iar |−3,5| = 3,5.
Când sub modul se află o diferență, trebuie să stabilești mai întâi semnul ei. Cum √3 ≈ 1,73 este mai mic decât 2, diferența √3 − 2 este negativă, deci |√3 − 2| = 2 − √3.
🧮 De ținut minte
|x| = x, dacă x ≥ 0
|x| = −x, dacă x < 0
|√3 − 2| = 2 − √3
✓Modulul nu poate fi niciodată negativ.
✓Înainte să scoți ceva de sub modul, verifică semnul expresiei.
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Simplifică |√5 − 3|.
1√5 < 3, deoarece 5 < 9.
2Expresia dintre bare este negativă; îi schimbăm semnul.
3Rezultatul este 3 − √5, pozitiv.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Modulul unui număr real: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Modulul unui număr real reprezintă distanța sa față de zero. Această interpretare transformă ecuațiile și inecuațiile cu modul în condiții de distanță pe axă.
Modulul unui număr real
Modulul unui număr real este distanța de la acel număr până la 0 pe axă, deci este întotdeauna pozitiv sau zero. Se scrie |x| și se calculează așa: |x| = x dacă x ≥ 0 și |x| = −x dacă x < 0.
Regula se aplică și numerelor iraționale: |−√7| = √7, iar |−3,5| = 3,5.
Când sub modul se află o diferență, trebuie să stabilești mai întâi semnul ei. Cum √3 ≈ 1,73 este mai mic decât 2, diferența √3 − 2 este negativă, deci |√3 − 2| = 2 − √3.
|x| = x, dacă x ≥ 0
|x| = −x, dacă x < 0
|√3 − 2| = 2 − √3
•Modulul nu poate fi niciodată negativ.
•Înainte să scoți ceva de sub modul, verifică semnul expresiei.
Exemplu rezolvat · alte date
Simplifică |√5 − 3|.
√5 < 3, deoarece 5 < 9.
Expresia dintre bare este negativă; îi schimbăm semnul.
Rezultatul este 3 − √5, pozitiv.
Calcule cu module
Într-o expresie, modulele se calculează ca niște paranteze: mai întâi afli valoarea din interiorul fiecărui modul, apoi îi aplici modulul și abia la final efectuezi operațiile dintre ele.
Astfel, |2 − 7| = |−5| = 5, iar |5 − 12| + |−2| = 7 + 2 = 9. Modulul unei sume nu este suma modulelor, deci ordinea operațiilor contează.
|2 − 7| = |−5| = 5
|5 − 12| + |−2| = 9
•Barele de modul se comportă exact ca parantezele.
•|a − b| este distanța dintre a și b, deci nu depinde de ordinea lor.
Exemplu rezolvat · alte date
Calculează |−9| + |4 − 11|.
|−9| = 9.
4 − 11 = −7, deci |4 − 11| = 7.
9 + 7 = 16.
Ecuații cu modul
Ecuația |x| = a, cu a > 0, are întotdeauna două soluții: x = a și x = −a, fiindcă două numere opuse au același modul.
Dacă a = 0, soluția este unică: x = 0. Dacă a < 0, ecuația nu are nicio soluție, fiindcă modulul nu poate fi negativ.
Când sub modul se află o expresie, aplici aceeași regulă expresiei întregi: din |x − 1| = 4 rezultă x − 1 = 4 sau x − 1 = −4, deci x = 5 sau x = −3.
|x| = a > 0 ⇒ x = a sau x = −a
|x| = 0 ⇒ x = 0
|x| = a < 0 ⇒ nicio soluție
•Nu uita a doua soluție: ecuațiile cu modul au aproape întotdeauna două.
•Verifică ambele soluții în ecuația inițială.
Exemplu rezolvat
Rezolvă ecuația |x − 1| = 4.
Expresia de sub modul poate fi 4 sau −4.
Din x − 1 = 4 rezultă x = 5; din x − 1 = −4 rezultă x = −3.
Ambele verifică: |5 − 1| = 4 și |−3 − 1| = 4.
Inecuații cu modul
Inecuația |x| < a, cu a > 0, cere ca distanța până la 0 să fie mai mică decât a, deci soluția este intervalul (−a, a).
Inecuația |x| > a cere ca distanța să fie mai mare decât a, deci soluția are două bucăți: (−∞, −a) ∪ (a, +∞).
Când sub modul se află x − c, centrul se mută în c: din |x − 3| ≤ 2 rezultă −2 ≤ x − 3 ≤ 2, adică x ∈ [1, 5]. Practic, sunt numerele aflate la distanță cel mult 2 de numărul 3.
|x| < a ⇔ x ∈ (−a, a)
|x| > a ⇔ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞)
|x − c| ≤ a ⇔ x ∈ [c − a, c + a]
•Semnul „mai mic” dă un singur interval, semnul „mai mare” dă două.
•Semnele ≤ și ≥ includ capetele, deci se folosesc paranteze pătrate.
Exemplu rezolvat
Rezolvă |x − 3| ≤ 2 și scrie soluția ca interval.
Condiția înseamnă că distanța de la x la 3 este cel mult 2.
Scriem dubla inegalitate: −2 ≤ x − 3 ≤ 2, apoi adunăm 3 peste tot.
Obținem 1 ≤ x ≤ 5, deci x ∈ [1, 5].
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Calculează |−√7|.
Vezi rezolvarea
−√7 este negativ, deci modulul său este √7.
Răspuns: √7
Exercițiul 2
Care sunt soluțiile ecuației |x| = 5?
Vezi rezolvarea
Atât −5, cât și 5 sunt la distanța 5 de zero.
Răspuns: x = −5 sau x = 5
Exercițiul 3
Care este soluția inecuației |x| < 4?
Vezi rezolvarea
Inegalitatea strictă exclude capetele −4 și 4.
Răspuns: x ∈ (−4, 4)
Exercițiul 4
Calculează |2 − 7|.
Vezi rezolvarea
2 − 7 = −5, iar |−5| = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 5
Care este soluția lui |x − 3| ≤ 2?
Vezi rezolvarea
−2 ≤ x − 3 ≤ 2, deci 1 ≤ x ≤ 5.
Răspuns: x ∈ [1, 5]
Exercițiul 6
Calculează |−3,5|.
Vezi rezolvarea
−3,5 < 0.
|−3,5| = −(−3,5).
|−3,5| = 3,5.
Răspuns: 3,5
Exercițiul 7
Calculează |5 − 12| + |−2|.
Vezi rezolvarea
5 − 12 = −7, iar |−7| = 7.
|−2| = 2.
7 + 2 = 9.
Răspuns: 9
Exercițiul 8
Care sunt soluțiile ecuației |x| = 8?
Vezi rezolvarea
|8| = 8.
|−8| = 8.
Soluțiile sunt −8 și 8.
Răspuns: x = −8 sau x = 8
Exercițiul 9
Ecuația |x| = −3 are:
Vezi rezolvarea
|x| ≥ 0 pentru orice număr real x.
−3 < 0.
Ecuația nu are soluții.
Răspuns: nicio soluție
Exercițiul 10
Care este soluția inecuației |x| > 2?
Vezi rezolvarea
x > 2 sau x < −2.
−2 și 2 nu sunt incluse.
x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞).
Răspuns: x ∈ (−∞, −2) ∪ (2, +∞)
Exercițiul 11
Calculează |√3 − 2|.
Vezi rezolvarea
√3 ≈ 1,73 < 2, deci √3 − 2 < 0.
Modulul unui număr negativ este opusul lui.
|√3 − 2| = 2 − √3.
Răspuns: 2 − √3
Exercițiul 12
Care sunt soluțiile ecuației |x − 1| = 4?
Vezi rezolvarea
x − 1 = 4 ⇒ x = 5.
x − 1 = −4 ⇒ x = −3.
Soluțiile sunt 5 și −3.
Răspuns: x = 5 sau x = −3
Fișă de consolidare din material (20)
1. Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: |x| = 11.
Vezi răspunsul
x = 11 sau x = −11
2. Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: |x − 4| = 7.
Vezi răspunsul
x − 4 = 7 sau x − 4 = −7, deci x = 11 sau x = −3.
3. Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: |x| < 8, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
−8 < x < 8, adică x ∈ (−8, 8).
4. Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: |x| > 3, apoi scrie soluția ca reuniune de intervale.
Vezi răspunsul
x < −3 sau x > 3, adică x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞).
5. Dificultate redusă
Calculează |√11| și |−√11|.
Vezi răspunsul
Ambele sunt egale cu √11.
6. Dificultate medie
Rezolvă ecuația: |x + 5| = 9.
Vezi răspunsul
x + 5 = 9 sau x + 5 = −9, deci x = 4 sau x = −14.
7. Dificultate medie
Rezolvă inecuația: |x − 2| < 6, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
−6 < x − 2 < 6, deci x ∈ (−4, 8).
8. Dificultate medie
Rezolvă inecuația: |x + 3| > 7, apoi scrie soluția ca reuniune de intervale.
Vezi răspunsul
x + 3 > 7 sau x + 3 < −7, deci x ∈ (−∞, −10) ∪ (4, +∞).
9. Dificultate medie
Rezolvă inecuația: |x| ≤ 10, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
−10 ≤ x ≤ 10, adică x ∈ [−10, 10].
10. Dificultate medie
Rezolvă ecuația: |2x − 8| = 14.
Vezi răspunsul
2x − 8 = 14 sau 2x − 8 = −14, deci x = 11 sau x = −3.
11. Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: |x − 4| ≤ 11, apoi scrie soluția ca interval și reprezint-o pe axă.
Vezi răspunsul
−11 ≤ x − 4 ≤ 11, deci x ∈ [−7, 15]; pe axă, puncte pline la −7 și la 15 și hașura între ele.
12. Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația: |4x + 2| = 18.
Vezi răspunsul
4x + 2 = 18 sau 4x + 2 = −18, deci x = 4 sau x = −5.
13. Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: |3x + 3| < 15, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
−15 < 3x + 3 < 15, deci −18 < 3x < 12 și x ∈ (−6, 4).
14. Dificultate ridicată
Distanța de la un punct x, pe axa numerelor, până la punctul 8, este mai mică sau egală cu 5. Scrie această situație ca inecuație cu modul, apoi rezolv-o și scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
|x − 8| ≤ 5, deci −5 ≤ x − 8 ≤ 5 și x ∈ [3, 13].
15. Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: |x − 7| ≥ 4, apoi scrie soluția ca reuniune de intervale.
Vezi răspunsul
x − 7 ≥ 4 sau x − 7 ≤ −4, deci x ∈ (−∞, 3] ∪ [11, +∞).
16. Excelență
Rezolvă ecuația: |x − 2| = |x + 4|. (Indiciu: distanța de la x la 2 este egală cu distanța de la x la −4; folosește proprietatea geometrică a modulului sau analizează cele două cazuri posibile.)
Vezi răspunsul
x = −1: punctul egal depărtat de 2 și de −4 este mijlocul lor, (2 + (−4)) : 2 = −1.
17. Excelență
Rezolvă inecuația: |2x − 5| ≤ x + 3, analizând cazurile posibile pentru semnul expresiei din interiorul modulului.
Vezi răspunsul
Trebuie x + 3 ≥ 0 și −(x + 3) ≤ 2x − 5 ≤ x + 3. Din 2x − 5 ≤ x + 3 rezultă x ≤ 8; din 2x − 5 ≥ −x − 3 rezultă x ≥ 23. Soluția: x ∈ [23, 8].
18. Excelență
Un obiect se mișcă pe o axă, iar poziția sa x satisface simultan condițiile |x − 10| < 3 și |x − 12| < 4. Determină intervalul comun de valori posibile pentru x, prin observație pe axa numerelor.
Vezi răspunsul
|x − 10| < 3 dă (7, 13), iar |x − 12| < 4 dă (8, 16); intervalul comun: (8, 13).
19. Excelență
Rezolvă ecuația: |x|2 − 5|x| + 6 = 0, notând |x| = y și rezolvând mai întâi ecuația de gradul II în y (dacă y2 − 5y + 6 = 0 are soluțiile y = 2 și y = 3, găsește toate valorile lui x).
Vezi răspunsul
y = |x| = 2 sau |x| = 3, deci x ∈ {−3, −2, 2, 3}.
20. Excelență
Suma |x − 3| + |x + 3| reprezintă suma distanțelor de la x la punctele 3 și −3. Explică, folosind poziția lui x pe axă, pentru ce valori ale lui x această sumă este minimă, și care este valoarea minimă.
Vezi răspunsul
Pentru orice x între −3 și 3 (inclusiv), suma este distanța de la −3 la 3, adică 6. Aceasta este valoarea minimă; în afara intervalului suma este mai mare.