Modulul unui număr real

Modulul unui număr real reprezintă distanța sa față de zero. Această interpretare transformă ecuațiile și inecuațiile cu modul în condiții de distanță pe axă.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Modulul unui număr real

Modulul unui număr real este distanța de la acel număr până la 0 pe axă, deci este întotdeauna pozitiv sau zero. Se scrie |x| și se calculează așa: |x| = x dacă x ≥ 0 și |x| = −x dacă x < 0.

Regula se aplică și numerelor iraționale: |−√7| = √7, iar |−3,5| = 3,5.

Când sub modul se află o diferență, trebuie să stabilești mai întâi semnul ei. Cum √3 ≈ 1,73 este mai mic decât 2, diferența √3 − 2 este negativă, deci |√3 − 2| = 2 − √3.

|x| = x, dacă x ≥ 0

|x| = −x, dacă x < 0

|√3 − 2| = 2 − √3

Modulul nu poate fi niciodată negativ.
Înainte să scoți ceva de sub modul, verifică semnul expresiei.

Exemplu rezolvat

Calculează |√3 − 2|.

1.Aproximăm √3 ≈ 1,73, deci √3 este mai mic decât 2.
2.Diferența √3 − 2 este negativă, deci modulul îi schimbă semnul.
3.Rezultă |√3 − 2| = 2 − √3.

Calcule cu module

Într-o expresie, modulele se calculează ca niște paranteze: mai întâi afli valoarea din interiorul fiecărui modul, apoi îi aplici modulul și abia la final efectuezi operațiile dintre ele.

Astfel, |2 − 7| = |−5| = 5, iar |5 − 12| + |−2| = 7 + 2 = 9. Modulul unei sume nu este suma modulelor, deci ordinea operațiilor contează.

|2 − 7| = |−5| = 5

|5 − 12| + |−2| = 9

Barele de modul se comportă exact ca parantezele.
|a − b| este distanța dintre a și b, deci nu depinde de ordinea lor.

Exemplu rezolvat

Calculează |5 − 12| + |−2|.

1.Calculăm interiorul primului modul: 5 − 12 = −7, deci |−7| = 7.
2.Al doilea modul: |−2| = 2.
3.Adunăm rezultatele: 7 + 2 = 9.

Ecuații cu modul

Ecuația |x| = a, cu a > 0, are întotdeauna două soluții: x = a și x = −a, fiindcă două numere opuse au același modul.

Dacă a = 0, soluția este unică: x = 0. Dacă a < 0, ecuația nu are nicio soluție, fiindcă modulul nu poate fi negativ.

Când sub modul se află o expresie, aplici aceeași regulă expresiei întregi: din |x − 1| = 4 rezultă x − 1 = 4 sau x − 1 = −4, deci x = 5 sau x = −3.

|x| = a > 0 ⇒ x = a sau x = −a

|x| = 0 ⇒ x = 0

|x| = a < 0 ⇒ nicio soluție

Nu uita a doua soluție: ecuațiile cu modul au aproape întotdeauna două.
Verifică ambele soluții în ecuația inițială.

Exemplu rezolvat

Rezolvă ecuația |x − 1| = 4.

1.Expresia de sub modul poate fi 4 sau −4.
2.Din x − 1 = 4 rezultă x = 5; din x − 1 = −4 rezultă x = −3.
3.Ambele verifică: |5 − 1| = 4 și |−3 − 1| = 4.

Inecuații cu modul

Inecuația |x| < a, cu a > 0, cere ca distanța până la 0 să fie mai mică decât a, deci soluția este intervalul (−a, a).

Inecuația |x| > a cere ca distanța să fie mai mare decât a, deci soluția are două bucăți: (−∞, −a) ∪ (a, +∞).

Când sub modul se află x − c, centrul se mută în c: din |x − 3| ≤ 2 rezultă −2 ≤ x − 3 ≤ 2, adică x ∈ [1, 5]. Practic, sunt numerele aflate la distanță cel mult 2 de numărul 3.

|x| < a ⇔ x ∈ (−a, a)

|x| > a ⇔ x ∈ (−∞, −a) ∪ (a, +∞)

|x − c| ≤ a ⇔ x ∈ [c − a, c + a]

Semnul „mai mic” dă un singur interval, semnul „mai mare” dă două.
Semnele ≤ și ≥ includ capetele, deci se folosesc paranteze pătrate.

Exemplu rezolvat

Rezolvă |x − 3| ≤ 2 și scrie soluția ca interval.

1.Condiția înseamnă că distanța de la x la 3 este cel mult 2.
2.Scriem dubla inegalitate: −2 ≤ x − 3 ≤ 2, apoi adunăm 3 peste tot.
3.Obținem 1 ≤ x ≤ 5, deci x ∈ [1, 5].

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: |x| = 11.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = 11 sau x = −11
Ex. 2Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: |x − 4| = 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 4 = 7 sau x − 4 = −7, deci x = 11 sau x = −3.
Ex. 3Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: |x| < 8, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−8 < x < 8, adică x ∈ (−8, 8).
Ex. 4Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: |x| > 3, apoi scrie soluția ca reuniune de intervale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x < −3 sau x > 3, adică x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, +∞).
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează |√11| și |−√11|.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ambele sunt egale cu √11.
Ex. 6Dificultate medie
Rezolvă ecuația: |x + 5| = 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 5 = 9 sau x + 5 = −9, deci x = 4 sau x = −14.
Ex. 7Dificultate medie
Rezolvă inecuația: |x − 2| < 6, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−6 < x − 2 < 6, deci x ∈ (−4, 8).
Ex. 8Dificultate medie
Rezolvă inecuația: |x + 3| > 7, apoi scrie soluția ca reuniune de intervale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 3 > 7 sau x + 3 < −7, deci x ∈ (−∞, −10) ∪ (4, +∞).
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă inecuația: |x| ≤ 10, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−10 ≤ x ≤ 10, adică x ∈ [−10, 10].
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă ecuația: |2x − 8| = 14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x − 8 = 14 sau 2x − 8 = −14, deci x = 11 sau x = −3.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: |x − 4| ≤ 11, apoi scrie soluția ca interval și reprezint-o pe axă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−11 ≤ x − 4 ≤ 11, deci x ∈ [−7, 15]; pe axă, puncte pline la −7 și la 15 și hașura între ele.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația: |4x + 2| = 18.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 2 = 18 sau 4x + 2 = −18, deci x = 4 sau x = −5.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: |3x + 3| < 15, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−15 < 3x + 3 < 15, deci −18 < 3x < 12 și x ∈ (−6, 4).
Ex. 14Dificultate ridicată
Distanța de la un punct x, pe axa numerelor, până la punctul 8, este mai mică sau egală cu 5. Scrie această situație ca inecuație cu modul, apoi rezolv-o și scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|x − 8| ≤ 5, deci −5 ≤ x − 8 ≤ 5 și x ∈ [3, 13].
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: |x − 7| ≥ 4, apoi scrie soluția ca reuniune de intervale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 7 ≥ 4 sau x − 7 ≤ −4, deci x ∈ (−∞, 3] ∪ [11, +∞).
Ex. 16Excelență
Rezolvă ecuația: |x − 2| = |x + 4|. (Indiciu: distanța de la x la 2 este egală cu distanța de la x la −4; folosește proprietatea geometrică a modulului sau analizează cele două cazuri posibile.)
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x = −1: punctul egal depărtat de 2 și de −4 este mijlocul lor, (2 + (−4)) : 2 = −1.
Ex. 17Excelență
Rezolvă inecuația: |2x − 5| ≤ x + 3, analizând cazurile posibile pentru semnul expresiei din interiorul modulului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trebuie x + 3 ≥ 0 și −(x + 3) ≤ 2x − 5 ≤ x + 3. Din 2x − 5 ≤ x + 3 rezultă x ≤ 8; din 2x − 5 ≥ −x − 3 rezultă x ≥ 23. Soluția: x ∈ [23, 8].
Ex. 18Excelență
Un obiect se mișcă pe o axă, iar poziția sa x satisface simultan condițiile |x − 10| < 3 și |x − 12| < 4. Determină intervalul comun de valori posibile pentru x, prin observație pe axa numerelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
|x − 10| < 3 dă (7, 13), iar |x − 12| < 4 dă (8, 16); intervalul comun: (8, 13).
Ex. 19Excelență
Rezolvă ecuația: |x|² − 5|x| + 6 = 0, notând |x| = y și rezolvând mai întâi ecuația de gradul II în y (dacă y² − 5y + 6 = 0 are soluțiile y = 2 și y = 3, găsește toate valorile lui x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
y = |x| = 2 sau |x| = 3, deci x ∈ {−3, −2, 2, 3}.
Ex. 20Excelență
Suma |x − 3| + |x + 3| reprezintă suma distanțelor de la x la punctele 3 și −3. Explică, folosind poziția lui x pe axă, pentru ce valori ale lui x această sumă este minimă, și care este valoarea minimă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pentru orice x între −3 și 3 (inclusiv), suma este distanța de la −3 la 3, adică 6. Aceasta este valoarea minimă; în afara intervalului suma este mai mare.