Medii

Media aritmetică simplă tratează valorile egal, iar media ponderată ține cont de importanța sau frecvența fiecărei valori. Media geometrică a două numere pozitive este rădăcina produsului lor.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Media aritmetică simplă

Media aritmetică a n numere se calculează adunând toate valorile și împărțind suma la n: ma = (x₁ + x₂ + … + x_n) : n.

Exemplu: media numerelor 4, 7 și 9 este (4 + 7 + 9) : 3 ≈ 6,67.

Formula merge și invers: suma valorilor este media înmulțită cu numărul lor. Așa afli o valoare care lipsește sau noua medie după adăugarea unui număr.

ma = (x₁ + … + x_n) : n

suma = ma × n

Media se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare.
Când adaugi o valoare mai mare decât media, media crește.

Exemplu rezolvat

Media aritmetică a 5 numere este 12. Se adaugă numărul 18. Care este noua medie?

1.Suma celor 5 numere este 12 × 5 = 60.
2.După adăugare, suma devine 60 + 18 = 78, iar numerele sunt 6.
3.Noua medie este 78 : 6 = 13.

Media aritmetică ponderată

Media ponderată se folosește când valorile nu au aceeași importanță: fiecare valoare are o pondere, iar unele „cântăresc” mai mult.

Formula este mp = (x₁p₁ + x₂p₂ + … + x_np_n) : (p₁ + p₂ + … + p_n), adică suma produselor împărțită la suma ponderilor.

Exemplu: un elev are nota 8 la test, cu pondere 3, și nota 9 la teme, cu pondere 1. Media este (8 × 3 + 9 × 1) : 4 = 33 : 4 = 8,25.

mp = (x₁p₁ + … + x_np_n) : (p₁ + … + p_n)

(8 × 3 + 9 × 1) : 4 = 8,25

Nu se împarte la numărul valorilor, ci la suma ponderilor.
Media ponderată se apropie de valoarea cu ponderea cea mai mare.

Exemplu rezolvat

Un elev are nota 6 cu pondere 1 și nota 9 cu pondere 2. Calculează media ponderată.

1.Calculăm suma produselor: 6 × 1 + 9 × 2 = 6 + 18 = 24.
2.Calculăm suma ponderilor: 1 + 2 = 3.
3.Media ponderată este 24 : 3 = 8.

Media când ponderile sunt frecvențe

Un caz foarte des întâlnit al mediei ponderate apare când ponderile sunt chiar frecvențele absolute ale valorilor: câți elevi au luat fiecare notă, de câte ori apare fiecare valoare.

Exemplu: 5 elevi au nota 7, 8 elevi au nota 8 și 3 elevi au nota 9. Media este (7 × 5 + 8 × 8 + 9 × 3) : 16 = 126 : 16 = 7,875.

media = Σ(valoare × frecvență) : Σfrecvențe

(7×5 + 8×8 + 9×3) : 16 = 7,875

Suma frecvențelor este numărul total de elevi sau de date.
Nu aduna notele fără să ții cont de câte ori apare fiecare.

Exemplu rezolvat

Trei elevi au nota 10, iar doi elevi au nota 7. Calculează media notelor.

1.Calculăm suma produselor: 10 × 3 + 7 × 2 = 30 + 14 = 44.
2.Numărul total de elevi este 3 + 2 = 5.
3.Media este 44 : 5 = 8,8.

Media geometrică

Media geometrică a două numere pozitive a și b este mg = a × b. Se folosește mai ales în geometrie, la relațiile metrice din triunghiul dreptunghic.

Exemplu: media geometrică a numerelor 9 și 16 este √144 = 12, iar a numerelor 2 și 8 este √16 = 4.

Între cele două medii există întotdeauna relația ma ≥ mg, cu egalitate doar când numerele sunt egale.

mg = a × b

mg(9, 16) = 12

ma ≥ mg

Media geometrică se calculează doar pentru numere pozitive.
Dacă produsul este pătrat perfect, media geometrică este un număr întreg.

Exemplu rezolvat

Calculează media geometrică a numerelor 4 și 25.

1.Înmulțim numerele: 4 × 25 = 100.
2.Extragem rădăcina pătrată: √100.
3.Media geometrică este 10, iar media aritmetică, 14,5, este mai mare.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează media aritmetică a numerelor: 7, 9, 11.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(7 + 9 + 11) : 3 = 9
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează media geometrică a numerelor 4 și 36.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 36 = √144 = 12
Ex. 3Dificultate redusă
Un elev are notele 8 (pondere 1) și 6 (pondere 2). Calculează media ponderată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(8 × 1 + 6 × 2) : 3 = 20 : 3 ≈ 6,67
Ex. 4Dificultate redusă
La un test, 5 elevi au nota 7, iar 3 elevi au nota 9. Calculează media ponderată a notelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(5 × 7 + 3 × 9) : 8 = 62 : 8 = 7,75
Ex. 5Dificultate redusă
Ce reprezintă frecvența, atunci când este folosită ca pondere la media ponderată?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De câte ori apare fiecare valoare: valorile care apar mai des contează mai mult în medie.
Ex. 6Dificultate medie
Un elev are notele: 6 (pondere 1), 9 (pondere 3), 10 (pondere 2). Calculează media ponderată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(6 + 27 + 20) : 6 = 53 : 6 ≈ 8,83
Ex. 7Dificultate medie
Calculează media geometrică a numerelor 8 și 32.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 × 32 = √256 = 16
Ex. 8Dificultate medie
La un concurs, 3 juriuri acordă note diferite unui concurent, cu ponderi diferite: nota 7 (pondere 25%), nota 9 (pondere 45%), nota 8 (pondere 30%). Calculează media ponderată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 × 0,25 + 9 × 0,45 + 8 × 0,30 = 1,75 + 4,05 + 2,4 = 8,2
Ex. 9Dificultate medie
Compară media aritmetică și media geometrică a numerelor 6 și 24. Care este mai mare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Media aritmetică: 15; media geometrică: √144 = 12. Media aritmetică este mai mare.
Ex. 10Dificultate medie
Se dau frecvențele: nota 5 — 2 elevi, nota 7 — 6 elevi, nota 8 — 5 elevi, nota 10 — 3 elevi. Calculează media ponderată a notelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(5 × 2 + 7 × 6 + 8 × 5 + 10 × 3) : 16 = 122 : 16 = 7,625
Ex. 11Dificultate ridicată
Un elev trebuie să obțină media 9 la un obiect, calculată din 2 teme (pondere 1 fiecare) și un test (pondere 3). Dacă la teme a obținut 8 și 9, calculează ce notă minimă trebuie să obțină la test pentru media 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(8 + 9 + 3t) : 5 = 9, deci 3t = 28 și t = 283 ≈ 9,33. Cu note întregi, are nevoie de cel puțin 10.
Ex. 12Dificultate ridicată
Media geometrică a două numere este 15, iar unul dintre numere este 25. Calculează celălalt număr.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
25 × b = 15² = 225, deci b = 9.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un magazin vinde un produs la 3 prețuri diferite: 80 buc. la 6 lei, 120 buc. la 5 lei, 40 buc. la 7 lei. Calculează prețul mediu ponderat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(80 × 6 + 120 × 5 + 40 × 7) : 240 = 1.360 : 240 ≈ 5,67 lei
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă un triunghi dreptunghic cu proiecțiile catetelor de 9 cm și 16 cm. Calculează media geometrică a acestor proiecții, apoi verifică legătura cu teorema înălțimii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 × 16 = √144 = 12 cm: este chiar înălțimea, pentru că teorema înălțimii spune h² = 9 × 16.
Ex. 15Dificultate ridicată
Media ponderată a 3 valori, cu ponderile 1, 4, 5, este 8. Dacă primele două valori sunt 5 și 9, calculează a treia valoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(5 × 1 + 9 × 4 + 5c) : 10 = 8, deci 41 + 5c = 80 și c = 7,8.
Ex. 16Excelență
Un elev are, pe parcursul unui semestru, următoarele note și ponderi: teme (pondere 20%, medie 9), teste (pondere 30%, medie 7), examen final (pondere 50%). Dacă media generală trebuie să fie exact 8, calculează ce notă trebuie obținută la examenul final.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
0,2 × 9 + 0,3 × 7 + 0,5 × e = 8, deci 3,9 + 0,5e = 8 și e = 8,2.
Ex. 17Excelență
Media geometrică a trei numere a, b, c (extinsă de la 2 la 3 numere, ca produs sub radical de ordin 3) este 6, iar produsul a × b × c = 216. Verifică dacă această relație este corectă, calculând 6³ și comparând cu 216.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 6³ = 216 = a × b × c.
Ex. 18Excelență
Un investitor plasează bani în 3 fonduri diferite, cu randamente anuale de 5%, 8% și 12%, în sume proporționale cu 2, 3, respectiv 5 (ponderi). Calculează randamentul mediu ponderat al investiției.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(2 × 5% + 3 × 8% + 5 × 12%) : 10 = 94% : 10 = 9,4%
Ex. 19Excelență
Se dă un dreptunghi cu lungimea 18 cm și lățimea 8 cm. Calculează media geometrică a lungimii și lățimii, apoi explică legătura cu latura unui pătrat care ar avea aceeași arie ca dreptunghiul (verifică, prin calcul, dacă pătratul laturii găsite este egal cu aria dreptunghiului).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18 × 8 = √144 = 12 cm: este latura pătratului cu aceeași arie, pentru că 12² = 144 = 18 × 8.