Încărcăm partea curentă…

Medii

Media aritmetică simplă

Media aritmetică a n numere se calculează adunând toate valorile și împărțind suma la n: ma = (x1 + x2 + … + xn) : n.

Exemplu: media numerelor 4, 7 și 9 este (4 + 7 + 9) : 3 ≈ 6,67.

Formula merge și invers: suma valorilor este media înmulțită cu numărul lor. Așa afli o valoare care lipsește sau noua medie după adăugarea unui număr.

De ținut minte

ma = (x1 + … + xn) : n
suma = ma × n
  • Media se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare.
  • Când adaugi o valoare mai mare decât media, media crește.

Exemplu rezolvat · alte date

Media a 3 numere este 14. Adăugăm 18. Află noua medie.

  1. 1Suma inițială este 3·14 = 42.
  2. 2Noua sumă este 60, cu 4 numere.
  3. 3Media nouă este 604 = 15.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Medii: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Media aritmetică simplă tratează valorile egal, iar media ponderată ține cont de importanța sau frecvența fiecărei valori. Media geometrică a două numere pozitive este rădăcina produsului lor.

Media aritmetică simplă

Media aritmetică a n numere se calculează adunând toate valorile și împărțind suma la n: ma = (x1 + x2 + … + xn) : n.

Exemplu: media numerelor 4, 7 și 9 este (4 + 7 + 9) : 3 ≈ 6,67.

Formula merge și invers: suma valorilor este media înmulțită cu numărul lor. Așa afli o valoare care lipsește sau noua medie după adăugarea unui număr.

  • ma = (x1 + … + xn) : n
  • suma = ma × n
  • Media se află întotdeauna între cea mai mică și cea mai mare valoare.
  • Când adaugi o valoare mai mare decât media, media crește.

Exemplu rezolvat · alte date

Media a 3 numere este 14. Adăugăm 18. Află noua medie.

  1. Suma inițială este 3·14 = 42.
  2. Noua sumă este 60, cu 4 numere.
  3. Media nouă este 604 = 15.

Media aritmetică ponderată

Media ponderată se folosește când valorile nu au aceeași importanță: fiecare valoare are o pondere, iar unele „cântăresc” mai mult.

Formula este mp = (x1p1 + x2p2 + … + xnpn) : (p1 + p2 + … + pn), adică suma produselor împărțită la suma ponderilor.

Exemplu: un elev are nota 8 la test, cu pondere 3, și nota 9 la teme, cu pondere 1. Media este (8 × 3 + 9 × 1) : 4 = 33 : 4 = 8,25.

  • mp = (x1p1 + … + xnpn) : (p1 + … + pn)
  • (8 × 3 + 9 × 1) : 4 = 8,25
  • Nu se împarte la numărul valorilor, ci la suma ponderilor.
  • Media ponderată se apropie de valoarea cu ponderea cea mai mare.

Exemplu rezolvat · alte date

Notele 7 și 10 au ponderile 2 și 1. Află media ponderată.

  1. Suma produselor este 7·2 + 10·1 = 24.
  2. Suma ponderilor este 3.
  3. Media este 243 = 8.

Media când ponderile sunt frecvențe

Un caz foarte des întâlnit al mediei ponderate apare când ponderile sunt chiar frecvențele absolute ale valorilor: câți elevi au luat fiecare notă, de câte ori apare fiecare valoare.

Exemplu: 5 elevi au nota 7, 8 elevi au nota 8 și 3 elevi au nota 9. Media este (7 × 5 + 8 × 8 + 9 × 3) : 16 = 126 : 16 = 7,875.

  • media = Σ(valoare × frecvență) : Σfrecvențe
  • (7×5 + 8×8 + 9×3) : 16 = 7,875
  • Suma frecvențelor este numărul total de elevi sau de date.
  • Nu aduna notele fără să ții cont de câte ori apare fiecare.

Exemplu rezolvat · alte date

Patru elevi au nota 9, iar doi nota 6. Află media notelor.

  1. Suma notelor este 4·9 + 2·6 = 48.
  2. Sunt 6 elevi.
  3. Media este 486 = 8.

Media geometrică

Media geometrică a două numere pozitive a și b este mg = a × b. Se folosește mai ales în geometrie, la relațiile metrice din triunghiul dreptunghic.

Exemplu: media geometrică a numerelor 9 și 16 este √144 = 12, iar a numerelor 2 și 8 este √16 = 4.

Între cele două medii există întotdeauna relația ma ≥ mg, cu egalitate doar când numerele sunt egale.

  • mg = a × b
  • mg(9, 16) = 12
  • ma ≥ mg
  • Media geometrică se calculează doar pentru numere pozitive.
  • Dacă produsul este pătrat perfect, media geometrică este un număr întreg.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează media geometrică a lui 9 și 16.

  1. Pentru două numere pozitive, media geometrică este radicalul produsului.
  2. 9·16 = 144.
  3. √144 = 12.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează media aritmetică a numerelor 6, 8 și 10.

    Vezi rezolvarea
    1. (6 + 8 + 10) : 3 = 24 : 3 = 8.

    Răspuns: 8

  2. Exercițiul 2

    Calculează media geometrică a numerelor 9 și 16.

    Vezi rezolvarea
    1. mg = √144 = 12.

    Răspuns: 12

  3. Exercițiul 3

    Un elev are nota 7 cu pondere 1 și nota 9 cu pondere 2. Calculează media ponderată.

    Vezi rezolvarea
    1. (7 · 1 + 9 · 2) : 3 = 25 : 3 ≈ 8,33.

    Răspuns: 8,33

  4. Exercițiul 4

    Patru elevi au nota 8 și șase elevi au nota 9. Calculează media notelor.

    Vezi rezolvarea
    1. (4 · 8 + 6 · 9) : 10 = 86 : 10 = 8,6.

    Răspuns: 8,6

  5. Exercițiul 5

    Pentru două numere pozitive, ce relație este adevărată?

    Vezi rezolvarea
    1. Inegalitatea mediilor spune că media aritmetică este mai mare sau egală cu media geometrică.

    Răspuns: ma ≥ mg

  6. Exercițiul 6

    Calculează media aritmetică a numerelor 5, 7, 9 și 15.

    Vezi rezolvarea
    1. 5 + 7 + 9 + 15 = 36.
    2. 36 : 4 = 9.
    3. Media aritmetică este 9.

    Răspuns: 9

  7. Exercițiul 7

    Calculează media geometrică a numerelor 4 și 25.

    Vezi rezolvarea
    1. 4 · 25 = 100.
    2. √100 = 10.
    3. Media geometrică este 10.

    Răspuns: 10

  8. Exercițiul 8

    Media geometrică a numerelor 2 și 8 este:

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · 8 = 16.
    2. √16 = 4.
    3. mg = 4, mai mică decât media aritmetică, 5.

    Răspuns: 4

  9. Exercițiul 9

    Media aritmetică a două numere este 15, iar unul dintre ele este 11. Care este celălalt?

    Vezi rezolvarea
    1. Suma lor este 30.
    2. 30 − 11 = 19.
    3. Celălalt număr este 19.

    Răspuns: 19

  10. Exercițiul 10

    Un elev are nota 6 cu pondere 1 și nota 9 cu pondere 2. Calculează media ponderată.

    Vezi rezolvarea
    1. 6 · 1 + 9 · 2 = 24.
    2. 1 + 2 = 3.
    3. 24 : 3 = 8.

    Răspuns: 8

  11. Exercițiul 11

    Trei elevi au nota 10, iar doi elevi au nota 7. Calculează media notelor.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 · 10 + 2 · 7 = 44.
    2. Sunt 5 elevi.
    3. 44 : 5 = 8,8.

    Răspuns: 8,8

  12. Exercițiul 12

    Media aritmetică a 5 numere este 12. Se adaugă numărul 18. Care este noua medie?

    Vezi rezolvarea
    1. Suma celor 5 numere este 60.
    2. Noua sumă este 78, pentru 6 numere.
    3. 78 : 6 = 13.

    Răspuns: 13

Fișă de consolidare din material (19)

  1. 1. Dificultate redusă

    Calculează media aritmetică a numerelor: 7, 9, 11.

    Vezi răspunsul

    (7 + 9 + 11) : 3 = 9

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează media geometrică a numerelor 4 și 36.

    Vezi răspunsul

    4 × 36 = √144 = 12

  3. 3. Dificultate redusă

    Un elev are notele 8 (pondere 1) și 6 (pondere 2). Calculează media ponderată.

    Vezi răspunsul

    (8 × 1 + 6 × 2) : 3 = 20 : 3 ≈ 6,67

  4. 4. Dificultate redusă

    La un test, 5 elevi au nota 7, iar 3 elevi au nota 9. Calculează media ponderată a notelor.

    Vezi răspunsul

    (5 × 7 + 3 × 9) : 8 = 62 : 8 = 7,75

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce reprezintă frecvența, atunci când este folosită ca pondere la media ponderată?

    Vezi răspunsul

    De câte ori apare fiecare valoare: valorile care apar mai des contează mai mult în medie.

  6. 6. Dificultate medie

    Un elev are notele: 6 (pondere 1), 9 (pondere 3), 10 (pondere 2). Calculează media ponderată.

    Vezi răspunsul

    (6 + 27 + 20) : 6 = 53 : 6 ≈ 8,83

  7. 7. Dificultate medie

    Calculează media geometrică a numerelor 8 și 32.

    Vezi răspunsul

    8 × 32 = √256 = 16

  8. 8. Dificultate medie

    La un concurs, 3 juriuri acordă note diferite unui concurent, cu ponderi diferite: nota 7 (pondere 25%), nota 9 (pondere 45%), nota 8 (pondere 30%). Calculează media ponderată.

    Vezi răspunsul

    7 × 0,25 + 9 × 0,45 + 8 × 0,30 = 1,75 + 4,05 + 2,4 = 8,2

  9. 9. Dificultate medie

    Compară media aritmetică și media geometrică a numerelor 6 și 24. Care este mai mare?

    Vezi răspunsul

    Media aritmetică: 15; media geometrică: √144 = 12. Media aritmetică este mai mare.

  10. 10. Dificultate medie

    Se dau frecvențele: nota 5 — 2 elevi, nota 7 — 6 elevi, nota 8 — 5 elevi, nota 10 — 3 elevi. Calculează media ponderată a notelor.

    Vezi răspunsul

    (5 × 2 + 7 × 6 + 8 × 5 + 10 × 3) : 16 = 122 : 16 = 7,625

  11. 11. Dificultate ridicată

    Un elev trebuie să obțină media 9 la un obiect, calculată din 2 teme (pondere 1 fiecare) și un test (pondere 3). Dacă la teme a obținut 8 și 9, calculează ce notă minimă trebuie să obțină la test pentru media 9.

    Vezi răspunsul

    (8 + 9 + 3t) : 5 = 9, deci 3t = 28 și t = 283 ≈ 9,33. Cu note întregi, are nevoie de cel puțin 10.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Media geometrică a două numere este 15, iar unul dintre numere este 25. Calculează celălalt număr.

    Vezi răspunsul

    25 × b = 152 = 225, deci b = 9.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Un magazin vinde un produs la 3 prețuri diferite: 80 buc. la 6 lei, 120 buc. la 5 lei, 40 buc. la 7 lei. Calculează prețul mediu ponderat.

    Vezi răspunsul

    (80 × 6 + 120 × 5 + 40 × 7) : 240 = 1.360 : 240 ≈ 5,67 lei

  14. 14. Dificultate ridicată

    Se dă un triunghi dreptunghic cu proiecțiile catetelor de 9 cm și 16 cm. Calculează media geometrică a acestor proiecții, apoi verifică legătura cu teorema înălțimii.

    Vezi răspunsul

    9 × 16 = √144 = 12 cm: este chiar înălțimea, pentru că teorema înălțimii spune h2 = 9 × 16.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Media ponderată a 3 valori, cu ponderile 1, 4, 5, este 8. Dacă primele două valori sunt 5 și 9, calculează a treia valoare.

    Vezi răspunsul

    (5 × 1 + 9 × 4 + 5c) : 10 = 8, deci 41 + 5c = 80 și c = 7,8.

  16. 16. Excelență

    Un elev are, pe parcursul unui semestru, următoarele note și ponderi: teme (pondere 20%, medie 9), teste (pondere 30%, medie 7), examen final (pondere 50%). Dacă media generală trebuie să fie exact 8, calculează ce notă trebuie obținută la examenul final.

    Vezi răspunsul

    0,2 × 9 + 0,3 × 7 + 0,5 × e = 8, deci 3,9 + 0,5e = 8 și e = 8,2.

  17. 17. Excelență

    Media geometrică a trei numere a, b, c (extinsă de la 2 la 3 numere, ca produs sub radical de ordin 3) este 6, iar produsul a × b × c = 216. Verifică dacă această relație este corectă, calculând 63 și comparând cu 216.

    Vezi răspunsul

    Da: 63 = 216 = a × b × c.

  18. 18. Excelență

    Un investitor plasează bani în 3 fonduri diferite, cu randamente anuale de 5%, 8% și 12%, în sume proporționale cu 2, 3, respectiv 5 (ponderi). Calculează randamentul mediu ponderat al investiției.

    Vezi răspunsul

    (2 × 5% + 3 × 8% + 5 × 12%) : 10 = 94% : 10 = 9,4%

  19. 19. Excelență

    Se dă un dreptunghi cu lungimea 18 cm și lățimea 8 cm. Calculează media geometrică a lungimii și lățimii, apoi explică legătura cu latura unui pătrat care ar avea aceeași arie ca dreptunghiul (verifică, prin calcul, dacă pătratul laturii găsite este egal cu aria dreptunghiului).

    Vezi răspunsul

    18 × 8 = √144 = 12 cm: este latura pătratului cu aceeași arie, pentru că 122 = 144 = 18 × 8.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.