Intervale de numere reale

Intervalele descriu compact mulțimi continue de numere reale. Tipul parantezei arată dacă un capăt este inclus, iar reuniunea și intersecția combină intervalele.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Cum se scriu intervalele

Un interval este mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între două capete. Paranteza pătrată arată că un capăt este inclus, iar paranteza rotundă că este exclus.

Astfel, (a, b) înseamnă a < x < b, [a, b] înseamnă a ≤ x ≤ b, iar formele mixte (a, b] și [a, b) includ doar unul dintre capete.

Există și intervale nemărginite: (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a) și (−∞, a]. La infinit se folosește întotdeauna paranteză rotundă, fiindcă infinitul nu este un număr care poate fi atins.

a < x < b ⇔ x ∈ (a, b)

a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a, b]

x ≥ a ⇔ x ∈ [a, +∞)

Paranteza pătrată = capăt inclus; paranteza rotundă = capăt exclus.
La ±∞ nu se folosește niciodată paranteză pătrată.

Exemplu rezolvat

Ce interval corespunde inegalității −3 ≤ x < 2?

1.Capătul −3 este inclus, fiindcă avem semnul ≤, deci punem paranteză pătrată.
2.Capătul 2 este exclus, fiindcă avem semnul <, deci punem paranteză rotundă.
3.Intervalul este [−3, 2).

Ce numere conține un interval

Ca să verifici dacă un număr aparține unui interval, îl compari cu capetele și te uiți la felul parantezelor. Numărul 3 nu aparține intervalului (3, 8), fiindcă paranteza rotundă îl exclude, dar aparține lui [3, 8).

Pentru radicali, folosești încadrarea: √5 se află între 2 și 3, deci √5 ∈ (2, 3).

Când problema cere câte numere întregi conține un interval, le enumeri: [−2, 3) conține −2, −1, 0, 1 și 2, adică 5 numere.

3 ∉ (3, 8), dar 3 ∈ [3, 8)

2 < √5 < 3 ⇒ √5 ∈ (2, 3)

Capătul exclus nu face parte din interval, oricât de aproape ar fi.
Un interval de numere reale conține o infinitate de numere, dar numai câteva întregi.

Exemplu rezolvat

Câte numere întregi aparțin intervalului [−2, 3)?

1.Capătul −2 este inclus, iar capătul 3 este exclus.
2.Numerele întregi din interval sunt −2, −1, 0, 1 și 2.
3.Sunt 5 numere întregi.

Intersecția a două intervale

Intersecția a două intervale conține numai numerele care aparțin amândurora. Practic, iei capătul din stânga cel mai mare și capătul din dreapta cel mai mic.

Pentru [−2, 6] ∩ [1, 9], capătul din stânga devine 1, iar cel din dreapta 6, deci intersecția este [1, 6].

Dacă intervalele nu au nicio parte comună, intersecția este mulțimea vidă: [1, 4] ∩ (4, 7] = ∅, fiindcă 4 este exclus din al doilea interval.

[−2, 6] ∩ [1, 9] = [1, 6]

[1, 4] ∩ (4, 7] = ∅

Un capăt rămâne inclus în intersecție doar dacă este inclus în ambele intervale.
Desenează cele două intervale unul sub altul: partea suprapusă este intersecția.

Exemplu rezolvat

Care este (1, 5) ∩ [3, 8]?

1.Capătul din stânga cel mai mare este 3, inclus în al doilea interval.
2.Capătul din dreapta cel mai mic este 5, exclus din primul interval.
3.Intersecția este [3, 5).

Reuniunea și complementara

Reuniunea a două intervale conține numerele care aparțin cel puțin unuia dintre ele. Dacă intervalele se suprapun sau se ating, reuniunea este un singur interval: [0, 4] ∪ [3, 7] = [0, 7].

Complementara unui interval în ℝ conține toate numerele reale care nu sunt în el. Complementara lui [−2, 3] este (−∞, −2) ∪ (3, +∞): capetele incluse în interval devin excluse în complementară.

[0, 4] ∪ [3, 7] = [0, 7]

ℝ \ [−2, 3] = (−∞, −2) ∪ (3, +∞)

Dacă intervalele nu se ating, reuniunea rămâne scrisă din două bucăți.
La complementară, parantezele se schimbă: ce era inclus devine exclus.

Exemplu rezolvat

Care este (−∞, 2] ∪ (0, 6)?

1.Primul interval acoperă tot până la 2 inclusiv, al doilea de la 0 până la 6 exclusiv.
2.Cele două se suprapun pe porțiunea (0, 2], deci reuniunea este un singur interval.
3.Rezultatul este (−∞, 6).

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale x pentru care 2 < x < 7.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(2, 7)
Ex. 2Dificultate redusă
Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale x pentru care −3 ≤ x ≤ 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−3, 5]
Ex. 3Dificultate redusă
Scrie ca inegalitate intervalul (1, 9].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 < x ≤ 9
Ex. 4Dificultate redusă
Scrie ca inegalitate intervalul [−4, 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−4 ≤ x < 2
Ex. 5Dificultate redusă
Precizează dacă numărul 3 aparține intervalului (3, 8).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: capătul 3 este deschis, deci nu aparține intervalului.
Ex. 6Dificultate medie
Calculează intersecția intervalelor [−2, 6] și [1, 9].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[1, 6]
Ex. 7Dificultate medie
Calculează reuniunea intervalelor [0, 4] și [3, 7].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[0, 7]
Ex. 8Dificultate medie
Calculează intersecția intervalelor (−∞, 5) și [2, +∞).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[2, 5)
Ex. 9Dificultate medie
Reprezintă pe axă intervalul (−3, 4] și precizează tipul fiecărui capăt.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cerc gol la −3 (capăt deschis, nu aparține) și punct plin la 4 (capăt închis, aparține); hașurezi între ele.
Ex. 10Dificultate medie
Scrie intervalul corespunzător soluției x ≥ −6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[−6, +∞)
Ex. 11Dificultate ridicată
Calculează intersecția intervalelor (−5, 1] și [1, 8).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
{1}: singurul număr comun este 1.
Ex. 12Dificultate ridicată
Calculează reuniunea intervalelor (−2, 3) și [3, 6].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−2, 6]
Ex. 13Dificultate ridicată
Determină numerele întregi care aparțin intervalului [−3, 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Ex. 14Dificultate ridicată
Determină valorile naturale din intervalul (2, 8].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3, 4, 5, 6, 7, 8
Ex. 15Dificultate ridicată
Precizează dacă intervalele (−∞, −1) și [−1, +∞) sunt disjuncte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: nu au niciun element comun; −1 aparține doar celui de-al doilea interval.
Ex. 16Excelență
Calculează [−4, 5] ∩ (0, 9) și scrie rezultatul ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(0, 5]
Ex. 17Excelență
Calculează (−∞, 2] ∪ (−1, 7) și explică de ce rezultatul este un singur interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−∞, 7): intervalele se suprapun (au în comun (−1, 2]), deci împreună acoperă tot, fără goluri.
Ex. 18Excelență
Se dau A = [−2, 5) și B = (1, 8]. Calculează A ∩ B și A ∪ B.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A ∩ B = (1, 5); A ∪ B = [−2, 8].
Ex. 19Excelență
Găsește cel mai mic număr întreg din intervalul (−4, 6] și cel mai mare număr întreg din același interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cel mai mic: −3; cel mai mare: 6.
Ex. 20Excelență
Scrie ca reuniune de intervale mulțimea numerelor reale care nu aparțin intervalului [−2, 3].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(−∞, −2) ∪ (3, +∞)