Încărcăm partea curentă…

Intervale de numere reale

Cum se scriu intervalele

Un interval este mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între două capete. Paranteza pătrată arată că un capăt este inclus, iar paranteza rotundă că este exclus.

Astfel, (a, b) înseamnă a < x < b, [a, b] înseamnă a ≤ x ≤ b, iar formele mixte (a, b] și [a, b) includ doar unul dintre capete.

Există și intervale nemărginite: (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a) și (−∞, a]. La infinit se folosește întotdeauna paranteză rotundă, fiindcă infinitul nu este un număr care poate fi atins.

De ținut minte

a < x < b ⇔ x ∈ (a, b)
a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a, b]
x ≥ a ⇔ x ∈ [a, +∞)
  • Paranteza pătrată = capăt inclus; paranteza rotundă = capăt exclus.
  • La ±∞ nu se folosește niciodată paranteză pătrată.

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie ca interval condiția 2 < x ≤ 9.

  1. 12 este exclus, deci folosim paranteză rotundă la stânga.
  2. 29 este inclus, deci folosim paranteză dreaptă la dreapta.
  3. 3Intervalul este (2, 9].
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Intervale de numere reale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Intervalele descriu compact mulțimi continue de numere reale. Tipul parantezei arată dacă un capăt este inclus, iar reuniunea și intersecția combină intervalele.

Cum se scriu intervalele

Un interval este mulțimea tuturor numerelor reale cuprinse între două capete. Paranteza pătrată arată că un capăt este inclus, iar paranteza rotundă că este exclus.

Astfel, (a, b) înseamnă a < x < b, [a, b] înseamnă a ≤ x ≤ b, iar formele mixte (a, b] și [a, b) includ doar unul dintre capete.

Există și intervale nemărginite: (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a) și (−∞, a]. La infinit se folosește întotdeauna paranteză rotundă, fiindcă infinitul nu este un număr care poate fi atins.

  • a < x < b ⇔ x ∈ (a, b)
  • a ≤ x ≤ b ⇔ x ∈ [a, b]
  • x ≥ a ⇔ x ∈ [a, +∞)
  • Paranteza pătrată = capăt inclus; paranteza rotundă = capăt exclus.
  • La ±∞ nu se folosește niciodată paranteză pătrată.

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie ca interval condiția 2 < x ≤ 9.

  1. 2 este exclus, deci folosim paranteză rotundă la stânga.
  2. 9 este inclus, deci folosim paranteză dreaptă la dreapta.
  3. Intervalul este (2, 9].

Ce numere conține un interval

Ca să verifici dacă un număr aparține unui interval, îl compari cu capetele și te uiți la felul parantezelor. Numărul 3 nu aparține intervalului (3, 8), fiindcă paranteza rotundă îl exclude, dar aparține lui [3, 8).

Pentru radicali, folosești încadrarea: √5 se află între 2 și 3, deci √5 ∈ (2, 3).

Când problema cere câte numere întregi conține un interval, le enumeri: [−2, 3) conține −2, −1, 0, 1 și 2, adică 5 numere.

  • 3 ∉ (3, 8), dar 3 ∈ [3, 8)
  • 2 < √5 < 3 ⇒ √5 ∈ (2, 3)
  • Capătul exclus nu face parte din interval, oricât de aproape ar fi.
  • Un interval de numere reale conține o infinitate de numere, dar numai câteva întregi.

Exemplu rezolvat · alte date

Enumeră întregii din [−3, 2).

  1. −3 este inclus; 2 este exclus.
  2. Întregii sunt −3, −2, −1, 0, 1.
  3. Sunt 5 valori.

Intersecția a două intervale

Intersecția a două intervale conține numai numerele care aparțin amândurora. Practic, iei capătul din stânga cel mai mare și capătul din dreapta cel mai mic.

Pentru [−2, 6] ∩ [1, 9], capătul din stânga devine 1, iar cel din dreapta 6, deci intersecția este [1, 6].

Dacă intervalele nu au nicio parte comună, intersecția este mulțimea vidă: [1, 4] ∩ (4, 7] = ∅, fiindcă 4 este exclus din al doilea interval.

  • [−2, 6] ∩ [1, 9] = [1, 6]
  • [1, 4] ∩ (4, 7] = ∅
  • Un capăt rămâne inclus în intersecție doar dacă este inclus în ambele intervale.
  • Desenează cele două intervale unul sub altul: partea suprapusă este intersecția.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (−1, 6] ∩ [2, 9).

  1. Intersecția păstrează doar numerele prezente în ambele intervale.
  2. Limita inferioară comună este 2, inclusă în ambele; cea superioară este 6, inclusă în ambele.
  3. Intersecția este [2, 6].

Reuniunea și complementara

Reuniunea a două intervale conține numerele care aparțin cel puțin unuia dintre ele. Dacă intervalele se suprapun sau se ating, reuniunea este un singur interval: [0, 4] ∪ [3, 7] = [0, 7].

Complementara unui interval în ℝ conține toate numerele reale care nu sunt în el. Complementara lui [−2, 3] este (−∞, −2) ∪ (3, +∞): capetele incluse în interval devin excluse în complementară.

  • [0, 4] ∪ [3, 7] = [0, 7]
  • ℝ \ [−2, 3] = (−∞, −2) ∪ (3, +∞)
  • Dacă intervalele nu se ating, reuniunea rămâne scrisă din două bucăți.
  • La complementară, parantezele se schimbă: ce era inclus devine exclus.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (−∞, 1] ∪ (−2, 5).

  1. Intervalele se suprapun pe (−2, 1].
  2. Reuniunea acoperă toate numerele până la 5, dar fără 5.
  3. Rezultatul este (−∞, 5).

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce interval corespunde inegalității 2 < x ≤ 7?

    Vezi rezolvarea
    1. La 2 folosim paranteză rotundă, iar la 7 paranteză pătrată.

    Răspuns: (2, 7]

  2. Exercițiul 2

    Care este [−2, 6] ∩ [1, 9]?

    Vezi rezolvarea
    1. Valorile comune sunt de la 1 la 6, ambele capete incluse.

    Răspuns: [1, 6]

  3. Exercițiul 3

    Care este [0, 4] ∪ [3, 7]?

    Vezi rezolvarea
    1. Reuniunea acoperă continuu toate valorile de la 0 la 7.

    Răspuns: [0, 7]

  4. Exercițiul 4

    Numărul 3 aparține intervalului (3, 8)?

    Vezi rezolvarea
    1. Paranteza rotundă exclude capătul 3.

    Răspuns: Nu

  5. Exercițiul 5

    Care este complementul intervalului [−2, 3] în ℝ?

    Vezi rezolvarea
    1. Valorile din exterior sunt mai mici decât −2 sau mai mari decât 3.

    Răspuns: (−∞, −2) ∪ (3, +∞)

  6. Exercițiul 6

    Ce interval corespunde inegalității x ≥ −1?

    Vezi rezolvarea
    1. ≥ include capătul −1: paranteză pătrată.
    2. Valorile merg spre +∞, unde punem mereu paranteză rotundă.
    3. x ∈ [−1, +∞).

    Răspuns: [−1, +∞)

  7. Exercițiul 7

    Ce interval corespunde inegalității −3 ≤ x < 2?

    Vezi rezolvarea
    1. −3 este inclus: [.
    2. 2 nu este inclus: ).
    3. x ∈ [−3, 2).

    Răspuns: [−3, 2)

  8. Exercițiul 8

    Care este (1, 5) ∩ [3, 8]?

    Vezi rezolvarea
    1. Valorile comune sunt între 3 și 5.
    2. 3 aparține ambelor intervale, 5 nu aparține lui (1, 5).
    3. Intersecția este [3, 5).

    Răspuns: [3, 5)

  9. Exercițiul 9

    Care este (−∞, 2] ∪ (0, 6)?

    Vezi rezolvarea
    1. Intervalele se suprapun între 0 și 2.
    2. Împreună acoperă tot de la −∞ până la 6.
    3. 6 nu aparține niciunui interval: (−∞, 6).

    Răspuns: (−∞, 6)

  10. Exercițiul 10

    Care este [1, 4] ∩ (4, 7]?

    Vezi rezolvarea
    1. 4 aparține lui [1, 4], dar nu lui (4, 7].
    2. Alte valori comune nu există.
    3. Intersecția este mulțimea vidă.

    Răspuns: ∅

  11. Exercițiul 11

    Numărul √5 aparține intervalului:

    Vezi rezolvarea
    1. 4 < 5 < 9, deci 2 < √5 < 3.
    2. √5 ≈ 2,24.
    3. √5 ∈ (2, 3).

    Răspuns: (2, 3)

  12. Exercițiul 12

    Câte numere întregi aparțin intervalului [−2, 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele întregi sunt −2, −1, 0, 1, 2.
    2. 3 este exclus de paranteza rotundă.
    3. Sunt 5 numere întregi.

    Răspuns: 5

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale x pentru care 2 < x < 7.

    Vezi răspunsul

    (2, 7)

  2. 2. Dificultate redusă

    Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor reale x pentru care −3 ≤ x ≤ 5.

    Vezi răspunsul

    [−3, 5]

  3. 3. Dificultate redusă

    Scrie ca inegalitate intervalul (1, 9].

    Vezi răspunsul

    1 < x ≤ 9

  4. 4. Dificultate redusă

    Scrie ca inegalitate intervalul [−4, 2).

    Vezi răspunsul

    −4 ≤ x < 2

  5. 5. Dificultate redusă

    Precizează dacă numărul 3 aparține intervalului (3, 8).

    Vezi răspunsul

    Nu: capătul 3 este deschis, deci nu aparține intervalului.

  6. 6. Dificultate medie

    Calculează intersecția intervalelor [−2, 6] și [1, 9].

    Vezi răspunsul

    [1, 6]

  7. 7. Dificultate medie

    Calculează reuniunea intervalelor [0, 4] și [3, 7].

    Vezi răspunsul

    [0, 7]

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează intersecția intervalelor (−∞, 5) și [2, +∞).

    Vezi răspunsul

    [2, 5)

  9. 9. Dificultate medie

    Reprezintă pe axă intervalul (−3, 4] și precizează tipul fiecărui capăt.

    Vezi răspunsul

    Cerc gol la −3 (capăt deschis, nu aparține) și punct plin la 4 (capăt închis, aparține); hașurezi între ele.

  10. 10. Dificultate medie

    Scrie intervalul corespunzător soluției x ≥ −6.

    Vezi răspunsul

    [−6, +∞)

  11. 11. Dificultate ridicată

    Calculează intersecția intervalelor (−5, 1] și [1, 8).

    Vezi răspunsul

    {1}: singurul număr comun este 1.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Calculează reuniunea intervalelor (−2, 3) și [3, 6].

    Vezi răspunsul

    (−2, 6]

  13. 13. Dificultate ridicată

    Determină numerele întregi care aparțin intervalului [−3, 4).

    Vezi răspunsul

    −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3

  14. 14. Dificultate ridicată

    Determină valorile naturale din intervalul (2, 8].

    Vezi răspunsul

    3, 4, 5, 6, 7, 8

  15. 15. Dificultate ridicată

    Precizează dacă intervalele (−∞, −1) și [−1, +∞) sunt disjuncte.

    Vezi răspunsul

    Da: nu au niciun element comun; −1 aparține doar celui de-al doilea interval.

  16. 16. Excelență

    Calculează [−4, 5] ∩ (0, 9) și scrie rezultatul ca interval.

    Vezi răspunsul

    (0, 5]

  17. 17. Excelență

    Calculează (−∞, 2] ∪ (−1, 7) și explică de ce rezultatul este un singur interval.

    Vezi răspunsul

    (−∞, 7): intervalele se suprapun (au în comun (−1, 2]), deci împreună acoperă tot, fără goluri.

  18. 18. Excelență

    Se dau A = [−2, 5) și B = (1, 8]. Calculează A ∩ B și A ∪ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = (1, 5); A ∪ B = [−2, 8].

  19. 19. Excelență

    Găsește cel mai mic număr întreg din intervalul (−4, 6] și cel mai mare număr întreg din același interval.

    Vezi răspunsul

    Cel mai mic: −3; cel mai mare: 6.

  20. 20. Excelență

    Scrie ca reuniune de intervale mulțimea numerelor reale care nu aparțin intervalului [−2, 3].

    Vezi răspunsul

    (−∞, −2) ∪ (3, +∞)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.