Încărcăm partea curentă…

Inecuații

Rezolvarea inecuațiilor simple

O inecuație se rezolvă ca o ecuație: aduni sau scazi aceeași valoare în ambele părți și împarți la coeficientul necunoscutei. Adunarea și scăderea nu schimbă niciodată sensul inegalității.

Exemplu: din 4x + 5 ≤ 2x + 11 muți termenii și obții 2x ≤ 6, deci x ≤ 3.

Dacă inecuația are fracții, o înmulțești cu numitorul: din (x − 1) : 2 ≥ 3 obții x − 1 ≥ 6, deci x ≥ 7.

De ținut minte

4x + 5 ≤ 2x + 11 ⇒ x ≤ 3
x − 12 ≥ 3 ⇒ x ≥ 7
  • Termenii care trec de partea cealaltă își schimbă semnul, ca la ecuații.
  • Verifică soluția cu o valoare din intervalul găsit.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă 6x − 4 < 2x + 16.

  1. 1Scădem 2x și adunăm 4: 4x < 20.
  2. 2Împărțim la 4, pozitiv: x < 5.
  3. 3Soluția este (−∞, 5).
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Inecuații: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Inecuațiile se rezolvă asemănător ecuațiilor, cu o excepție esențială: la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Rezolvarea inecuațiilor simple

O inecuație se rezolvă ca o ecuație: aduni sau scazi aceeași valoare în ambele părți și împarți la coeficientul necunoscutei. Adunarea și scăderea nu schimbă niciodată sensul inegalității.

Exemplu: din 4x + 5 ≤ 2x + 11 muți termenii și obții 2x ≤ 6, deci x ≤ 3.

Dacă inecuația are fracții, o înmulțești cu numitorul: din (x − 1) : 2 ≥ 3 obții x − 1 ≥ 6, deci x ≥ 7.

  • 4x + 5 ≤ 2x + 11 ⇒ x ≤ 3
  • x − 12 ≥ 3 ⇒ x ≥ 7
  • Termenii care trec de partea cealaltă își schimbă semnul, ca la ecuații.
  • Verifică soluția cu o valoare din intervalul găsit.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă 6x − 4 < 2x + 16.

  1. Scădem 2x și adunăm 4: 4x < 20.
  2. Împărțim la 4, pozitiv: x < 5.
  3. Soluția este (−∞, 5).

Împărțirea cu un număr negativ

Regula cea mai importantă de la inecuații: dacă înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Exemplu: din −2x > 8, împărțind la −2, rezultă x < −4. Semnul „mai mare” devine „mai mic”.

Alternativa, dacă vrei să eviți inversarea, este să muți termenii astfel încât coeficientul necunoscutei să rămână pozitiv.

  • −2x > 8 ⇒ x < −4
  • −3x < 9 ⇒ x > −3
  • a < b ⇒ −a > −b
  • Inversarea se face doar la înmulțire sau împărțire cu numere negative, nu la adunare.
  • Verifică rezultatul cu un număr concret: prinde imediat o inversare uitată.

Exemplu rezolvat

Care este soluția inecuației 3 − 2x > 7, scrisă ca interval?

  1. Scădem 3 din ambele părți: −2x > 4.
  2. Împărțim la −2 și inversăm sensul: x < −2.
  3. Soluția este intervalul (−∞, −2).

Inecuații cu paranteze

La fel ca la ecuații, primul pas este desfacerea parantezelor, apoi reducerea termenilor asemenea.

Exemplu: 3(x − 2) < 15 devine 3x − 6 < 15, apoi 3x < 21 și, împărțind la 3, x < 7.

Când necunoscuta apare în ambele părți, o grupezi într-un singur membru, având grijă la semn dacă rămâne cu coeficient negativ.

  • 3(x − 2) < 15 ⇒ x < 7
  • 4(x + 1) − 2x ≥ 3(x − 2) + 5 ⇒ x ≤ 5
  • Desfacerea parantezelor se face înaintea mutării termenilor.
  • Dacă la final rămâi cu −x, împarte la −1 și inversează sensul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 4(x + 1) − 2x ≥ 3(x − 2) + 5.

  1. Desfacem parantezele: 4x + 4 − 2x ≥ 3x − 6 + 5.
  2. Reducem termenii asemenea: 2x + 4 ≥ 3x − 1, deci −x ≥ −5.
  3. Împărțim la −1 și inversăm sensul: x ≤ 5.

Soluția scrisă ca interval

Mulțimea soluțiilor unei inecuații se scrie de obicei ca interval. Semnele < și > dau paranteze rotunde, iar ≤ și ≥ dau paranteze pătrate: x ≤ 5 înseamnă x ∈ (−∞, 5], iar x > −2 înseamnă x ∈ (−2, +∞).

Când problema cere soluții întregi sau naturale, rezolvi întâi inecuația, apoi numeri valorile din interval: cel mai mare întreg cu 3x − 1 < 11 este 3, fiindcă x < 4.

  • x ≤ c ⇔ x ∈ (−∞, c]
  • x > c ⇔ x ∈ (c, +∞)
  • La ±∞ se folosește întotdeauna paranteză rotundă.
  • Pentru soluții naturale, nu uita că 0 este număr natural.

Exemplu rezolvat · alte date

Află cel mai mare întreg care verifică 2x + 1 < 10.

  1. 2x < 9, deci x < 4,5.
  2. Soluția reală este (−∞, 4,5).
  3. Cel mai mare întreg permis este 4.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care este soluția lui −3x < 9?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțind la −3, semnul < devine > și obținem x > −3.

    Răspuns: x > −3

  2. Exercițiul 2

    Rezolvă 4x + 5 ≤ 2x + 11. Scrie limita superioară a lui x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x ≤ 6, deci x ≤ 3.

    Răspuns: 3

  3. Exercițiul 3

    Ce interval corespunde soluției x ≤ 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Semnul ≤ include valoarea 5.

    Răspuns: (−∞, 5]

  4. Exercițiul 4

    Rezolvă 2(x + 3) > 14. Scrie numărul aflat la limita intervalului.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 3 > 7, deci x > 4.

    Răspuns: 4

  5. Exercițiul 5

    Care este soluția inecuației 4(x + 1) − 2x ≥ 3(x − 2) + 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Inecuația devine −x ≥ −5.
    2. Împărțirea la −1 inversează sensul: x ≤ 5.

    Răspuns: x ≤ 5

  6. Exercițiul 6

    Care este soluția lui −2x ≥ 8?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțim ambele părți la −2.
    2. ≥ devine ≤.
    3. x ≤ −4.

    Răspuns: x ≤ −4

  7. Exercițiul 7

    Ce interval corespunde soluției x > −2?

    Vezi rezolvarea
    1. > exclude capătul: paranteză rotundă.
    2. Valorile mai mari decât −2 sunt spre dreapta.
    3. x ∈ (−2, +∞).

    Răspuns: (−2, +∞)

  8. Exercițiul 8

    Rezolvă 5x − 3 < 2x + 9.

    Vezi rezolvarea
    1. 5x − 2x < 9 + 3.
    2. 3x < 12.
    3. x < 4.

    Răspuns: x < 4

  9. Exercițiul 9

    Care este cel mai mare număr întreg x pentru care 3x − 1 < 11?

    Vezi rezolvarea
    1. 3x < 12.
    2. x < 4.
    3. Cel mai mare întreg mai mic decât 4 este 3.

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă x − 12 ≥ 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x − 1 ≥ 6.
    2. x ≥ 6 + 1.
    3. x ≥ 7.

    Răspuns: x ≥ 7

  11. Exercițiul 11

    Care este soluția lui 3 − 2x > 7, scrisă ca interval?

    Vezi rezolvarea
    1. −2x > 4.
    2. Împărțind la −2, sensul se schimbă: x < −2.
    3. x ∈ (−∞, −2).

    Răspuns: (−∞, −2)

  12. Exercițiul 12

    Câte numere naturale verifică 2(x − 1) ≤ x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x − 2 ≤ x + 3, deci x ≤ 5.
    2. Numerele naturale sunt 0, 1, 2, 3, 4, 5.
    3. Sunt 6 numere.

    Răspuns: 6

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: 3 × (x + 1) > 12.

    Vezi răspunsul

    x + 1 > 4, deci x > 3.

  2. 2. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: −4x < 16.

    Vezi răspunsul

    Împărțim la −4 și schimbăm sensul: x > −4.

  3. 3. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: 5x + 3 ≤ 3x + 13.

    Vezi răspunsul

    2x ≤ 10, deci x ≤ 5.

  4. 4. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația: 4 × (x − 2) ≥ 16.

    Vezi răspunsul

    x − 2 ≥ 4, deci x ≥ 6.

  5. 5. Dificultate redusă

    Scrie sub formă de interval soluția inecuației x > 5.

    Vezi răspunsul

    (5, +∞)

  6. 6. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 2 × (x + 3) < 3 × (x + 1).

    Vezi răspunsul

    2x + 6 < 3x + 3, deci x > 3.

  7. 7. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: −3 × (x − 2) > 9.

    Vezi răspunsul

    Împărțim la −3 și schimbăm sensul: x − 2 < −3, deci x < −1.

  8. 8. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 7x − 4 ≤ 5x + 6.

    Vezi răspunsul

    2x ≤ 10, deci x ≤ 5.

  9. 9. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 3 × (x − 2) ≥ 4x − 10.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 ≥ 4x − 10, deci x ≤ 4.

  10. 10. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația: 8 − 3x < 14, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    −3x < 6, deci x > −2: x ∈ (−2, +∞).

  11. 11. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 4 × (x + 1) − 3x ≤ 5 × (x − 2) + 8.

    Vezi răspunsul

    x + 4 ≤ 5x − 2, deci 4x ≥ 6 și x ≥ 32.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 3x + 5 > 6x − 10, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    15 > 3x, deci x < 5: x ∈ (−∞, 5).

  13. 13. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 5 × (2x − 1) ≥ 4 × (x + 3) − 1.

    Vezi răspunsul

    10x − 5 ≥ 4x + 11, deci 6x ≥ 16 și x ≥ 83.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un elev are un buget de 100 de lei. Cumpără un rucsac de 60 de lei, apoi vrea să cumpere pixuri de 4 lei fiecare. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de pixuri x pe care le poate cumpăra, apoi rezolv-o.

    Vezi răspunsul

    60 + 4x ≤ 100, deci x ≤ 10: cel mult 10 pixuri.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația: 6 − 2 × (x − 3) < 3x + 2, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    12 − 2x < 3x + 2, deci 5x > 10 și x > 2: x ∈ (2, +∞).

  16. 16. Excelență

    Rezolvă inecuația: (x + 2)2 − x2 ≥ 4x + 3, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat.

    Vezi răspunsul

    4x + 4 ≥ 4x + 3, adică 4 ≥ 3, adevărat: orice număr real este soluție.

  17. 17. Excelență

    Rezolvă sistemul de inecuații: { 2x + 3 > 7, 3x − 1 < 14 }, rezolvând fiecare inecuație separat, apoi determinând intervalul comun al soluțiilor.

    Vezi răspunsul

    2x + 3 > 7 dă x > 2, iar 3x − 1 < 14 dă x < 5: x ∈ (2, 5).

  18. 18. Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea (x + 4) și lățimea x trebuie să fie mai mic decât 40 cm. Scrie inecuația corespunzătoare, rezolv-o, apoi precizează cea mai mare valoare întreagă posibilă pentru x.

    Vezi răspunsul

    2(x + 4 + x) < 40, deci 4x + 8 < 40 și x < 8; cea mai mare valoare întreagă este 7.

  19. 19. Excelență

    Rezolvă inecuația: 3(x−1)2 − 3x2 < 15, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat, apoi simplificând.

    Vezi răspunsul

    3(x2 − 2x + 1) − 3x2 < 15, deci −6x + 3 < 15 și x > −2.

  20. 20. Excelență

    Un magazin vinde un produs cu prețul de 50 lei bucata, cu o reducere de 10% dacă se cumpără mai mult de 5 bucăți. Un client vrea să cheltuiască cel mult 300 lei. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de produse x (presupunând x > 5, deci se aplică reducerea), apoi rezolv-o pentru a afla câte produse poate cumpăra cel mult.

    Vezi răspunsul

    50 × 0,9 × x ≤ 300, deci 45x ≤ 300 și x ≤ 6,67: cel mult 6 produse.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.