Inecuații

Inecuațiile se rezolvă asemănător ecuațiilor, cu o excepție esențială: la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Rezolvarea inecuațiilor simple

O inecuație se rezolvă ca o ecuație: aduni sau scazi aceeași valoare în ambele părți și împarți la coeficientul necunoscutei. Adunarea și scăderea nu schimbă niciodată sensul inegalității.

Exemplu: din 4x + 5 ≤ 2x + 11 muți termenii și obții 2x ≤ 6, deci x ≤ 3.

Dacă inecuația are fracții, o înmulțești cu numitorul: din (x − 1) : 2 ≥ 3 obții x − 1 ≥ 6, deci x ≥ 7.

4x + 5 ≤ 2x + 11 ⇒ x ≤ 3

x − 12 ≥ 3 ⇒ x ≥ 7

Termenii care trec de partea cealaltă își schimbă semnul, ca la ecuații.
Verifică soluția cu o valoare din intervalul găsit.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 5x − 3 < 2x + 9.

1.Mutăm termenii cu x într-o parte: 5x − 2x < 9 + 3.
2.Reducem: 3x < 12.
3.Împărțim la 3, număr pozitiv, deci sensul rămâne: x < 4.

Împărțirea cu un număr negativ

Regula cea mai importantă de la inecuații: dacă înmulțești sau împarți ambele părți cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Exemplu: din −2x > 8, împărțind la −2, rezultă x < −4. Semnul „mai mare” devine „mai mic”.

Alternativa, dacă vrei să eviți inversarea, este să muți termenii astfel încât coeficientul necunoscutei să rămână pozitiv.

−2x > 8 ⇒ x < −4

−3x < 9 ⇒ x > −3

a < b ⇒ −a > −b

Inversarea se face doar la înmulțire sau împărțire cu numere negative, nu la adunare.
Verifică rezultatul cu un număr concret: prinde imediat o inversare uitată.

Exemplu rezolvat

Care este soluția inecuației 3 − 2x > 7, scrisă ca interval?

1.Scădem 3 din ambele părți: −2x > 4.
2.Împărțim la −2 și inversăm sensul: x < −2.
3.Soluția este intervalul (−∞, −2).

Inecuații cu paranteze

La fel ca la ecuații, primul pas este desfacerea parantezelor, apoi reducerea termenilor asemenea.

Exemplu: 3(x − 2) < 15 devine 3x − 6 < 15, apoi 3x < 21 și, împărțind la 3, x < 7.

Când necunoscuta apare în ambele părți, o grupezi într-un singur membru, având grijă la semn dacă rămâne cu coeficient negativ.

3(x − 2) < 15 ⇒ x < 7

4(x + 1) − 2x ≥ 3(x − 2) + 5 ⇒ x ≤ 5

Desfacerea parantezelor se face înaintea mutării termenilor.
Dacă la final rămâi cu −x, împarte la −1 și inversează sensul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 4(x + 1) − 2x ≥ 3(x − 2) + 5.

1.Desfacem parantezele: 4x + 4 − 2x ≥ 3x − 6 + 5.
2.Reducem termenii asemenea: 2x + 4 ≥ 3x − 1, deci −x ≥ −5.
3.Împărțim la −1 și inversăm sensul: x ≤ 5.

Soluția scrisă ca interval

Mulțimea soluțiilor unei inecuații se scrie de obicei ca interval. Semnele < și > dau paranteze rotunde, iar ≤ și ≥ dau paranteze pătrate: x ≤ 5 înseamnă x ∈ (−∞, 5], iar x > −2 înseamnă x ∈ (−2, +∞).

Când problema cere soluții întregi sau naturale, rezolvi întâi inecuația, apoi numeri valorile din interval: cel mai mare întreg cu 3x − 1 < 11 este 3, fiindcă x < 4.

x ≤ c ⇔ x ∈ (−∞, c]

x > c ⇔ x ∈ (c, +∞)

La ±∞ se folosește întotdeauna paranteză rotundă.
Pentru soluții naturale, nu uita că 0 este număr natural.

Exemplu rezolvat

Care este cel mai mare număr întreg x pentru care 3x − 1 < 11?

1.Adunăm 1: 3x < 12, apoi împărțim la 3: x < 4.
2.Numerele întregi care verifică sunt …, 1, 2, 3, fiindcă 4 este exclus.
3.Cel mai mare este 3.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: 3 × (x + 1) > 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 1 > 4, deci x > 3.
Ex. 2Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: −4x < 16.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Împărțim la −4 și schimbăm sensul: x > −4.
Ex. 3Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: 5x + 3 ≤ 3x + 13.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x ≤ 10, deci x ≤ 5.
Ex. 4Dificultate redusă
Rezolvă inecuația: 4 × (x − 2) ≥ 16.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 2 ≥ 4, deci x ≥ 6.
Ex. 5Dificultate redusă
Scrie sub formă de interval soluția inecuației x > 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(5, +∞)
Ex. 6Dificultate medie
Rezolvă inecuația: 2 × (x + 3) < 3 × (x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x + 6 < 3x + 3, deci x > 3.
Ex. 7Dificultate medie
Rezolvă inecuația: −3 × (x − 2) > 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Împărțim la −3 și schimbăm sensul: x − 2 < −3, deci x < −1.
Ex. 8Dificultate medie
Rezolvă inecuația: 7x − 4 ≤ 5x + 6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x ≤ 10, deci x ≤ 5.
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă inecuația: 3 × (x − 2) ≥ 4x − 10.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x − 6 ≥ 4x − 10, deci x ≤ 4.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă inecuația: 8 − 3x < 14, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
−3x < 6, deci x > −2: x ∈ (−2, +∞).
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: 4 × (x + 1) − 3x ≤ 5 × (x − 2) + 8.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 4 ≤ 5x − 2, deci 4x ≥ 6 și x ≥ 32.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: 3x + 5 > 6x − 10, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15 > 3x, deci x < 5: x ∈ (−∞, 5).
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: 5 × (2x − 1) ≥ 4 × (x + 3) − 1.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10x − 5 ≥ 4x + 11, deci 6x ≥ 16 și x ≥ 83.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un elev are un buget de 100 de lei. Cumpără un rucsac de 60 de lei, apoi vrea să cumpere pixuri de 4 lei fiecare. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de pixuri x pe care le poate cumpăra, apoi rezolv-o.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
60 + 4x ≤ 100, deci x ≤ 10: cel mult 10 pixuri.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația: 6 − 2 × (x − 3) < 3x + 2, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 − 2x < 3x + 2, deci 5x > 10 și x > 2: x ∈ (2, +∞).
Ex. 16Excelență
Rezolvă inecuația: (x + 2)² − x² ≥ 4x + 3, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 4 ≥ 4x + 3, adică 4 ≥ 3, adevărat: orice număr real este soluție.
Ex. 17Excelență
Rezolvă sistemul de inecuații: { 2x + 3 > 7, 3x − 1 < 14 }, rezolvând fiecare inecuație separat, apoi determinând intervalul comun al soluțiilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x + 3 > 7 dă x > 2, iar 3x − 1 < 14 dă x < 5: x ∈ (2, 5).
Ex. 18Excelență
Perimetrul unui dreptunghi cu lungimea (x + 4) și lățimea x trebuie să fie mai mic decât 40 cm. Scrie inecuația corespunzătoare, rezolv-o, apoi precizează cea mai mare valoare întreagă posibilă pentru x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2(x + 4 + x) < 40, deci 4x + 8 < 40 și x < 8; cea mai mare valoare întreagă este 7.
Ex. 19Excelență
Rezolvă inecuația: 3(x−1)² − 3x² < 15, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat, apoi simplificând.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3(x² − 2x + 1) − 3x² < 15, deci −6x + 3 < 15 și x > −2.
Ex. 20Excelență
Un magazin vinde un produs cu prețul de 50 lei bucata, cu o reducere de 10% dacă se cumpără mai mult de 5 bucăți. Un client vrea să cheltuiască cel mult 300 lei. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de produse x (presupunând x > 5, deci se aplică reducerea), apoi rezolv-o pentru a afla câte produse poate cumpăra cel mult.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
50 × 0,9 × x ≤ 300, deci 45x ≤ 300 și x ≤ 6,67: cel mult 6 produse.