Încărcăm partea curentă…

Funcții și reprezentarea lor grafică

Ce este o funcție și cum îi calculezi valorile

O funcție este o regulă prin care fiecărei valori a variabilei x, numită argument, îi corespunde exact o valoare y, numită valoarea funcției. Se notează f(x) = …, unde f este numele funcției.

Pentru a calcula valoarea funcției într-un punct, înlocuiești x cu numărul dat și efectuezi calculele. Pentru f(x) = 3x − 2, avem f(4) = 3 × 4 − 2 = 10.

Valorile se pot aduna într-un tabel: pentru f(x) = x + 1, valorilor x = −1, 0, 1, 2 le corespund f(x) = 0, 1, 2, 3.

De ținut minte

f(x) = 2x + 3 ⇒ f(1) = 5
f(x) = 3x − 2 ⇒ f(4) = 10
  • Fiecărei valori a lui x îi corespunde o singură valoare a funcției.
  • Scrierea y = 2x + 3 este același lucru cu f(x) = 2x + 3.

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = −2x + 7, calculează f(−3).

  1. 1Înlocuim x peste tot cu −3.
  2. 2f(−3) = −2·(−3) + 7 = 6 + 7.
  3. 3Valoarea este 13.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Funcții și reprezentarea lor grafică: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O funcție asociază fiecărei valori x o singură valoare f(x). Graficul funcției de gradul I f(x) = ax + b este o dreaptă determinată de două puncte.

Ce este o funcție și cum îi calculezi valorile

O funcție este o regulă prin care fiecărei valori a variabilei x, numită argument, îi corespunde exact o valoare y, numită valoarea funcției. Se notează f(x) = …, unde f este numele funcției.

Pentru a calcula valoarea funcției într-un punct, înlocuiești x cu numărul dat și efectuezi calculele. Pentru f(x) = 3x − 2, avem f(4) = 3 × 4 − 2 = 10.

Valorile se pot aduna într-un tabel: pentru f(x) = x + 1, valorilor x = −1, 0, 1, 2 le corespund f(x) = 0, 1, 2, 3.

  • f(x) = 2x + 3 ⇒ f(1) = 5
  • f(x) = 3x − 2 ⇒ f(4) = 10
  • Fiecărei valori a lui x îi corespunde o singură valoare a funcției.
  • Scrierea y = 2x + 3 este același lucru cu f(x) = 2x + 3.

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = −2x + 7, calculează f(−3).

  1. Înlocuim x peste tot cu −3.
  2. f(−3) = −2·(−3) + 7 = 6 + 7.
  3. Valoarea este 13.

Funcția de gradul I: panta și ordonata la origine

O funcție de gradul I are forma f(x) = ax + b, unde a și b sunt numere reale, iar a ≠ 0.

Numărul a se numește panta funcției și arată cât de repede crește sau scade graficul; numărul b se numește ordonata la origine și este chiar valoarea funcției pentru x = 0.

Semnul pantei decide comportarea funcției: dacă a > 0, funcția este crescătoare, iar dacă a < 0, este descrescătoare.

  • f(x) = ax + b, a ≠ 0
  • a > 0 ⇒ crescătoare
  • a < 0 ⇒ descrescătoare
  • f(0) = b
  • Ordonata la origine se citește direct din formulă: este termenul liber.
  • Panta arată cu cât crește y când x crește cu o unitate.

Exemplu rezolvat · alte date

Pentru f(x) = 7x − 4, află intersecția cu Oy.

  1. Pe Oy avem x = 0.
  2. f(0) = −4.
  3. Intersecția este (0, −4); panta 7 este altă informație.

Graficul și intersecțiile cu axele

Graficul unei funcții de gradul I este întotdeauna o dreaptă. Fiindcă prin două puncte trece o singură dreaptă, este de ajuns să calculezi două valori ca să o poți desena.

Cele mai comode două puncte sunt intersecțiile cu axele: cu Oy la (0, b), obținut pentru x = 0, și cu Ox acolo unde f(x) = 0.

Pentru f(x) = 2x − 6, rezolvi 2x − 6 = 0 și obții x = 3, deci graficul taie axa Ox în punctul (3, 0).

  • intersecția cu Oy: (0, b)
  • intersecția cu Ox: f(x) = 0
  • Două puncte sunt suficiente pentru a trasa dreapta.
  • Intersecția cu Ox se află rezolvând o ecuație de gradul I.

Exemplu rezolvat

Unde intersectează axa Ox graficul lui f(x) = −3x + 12?

  1. Punem condiția f(x) = 0: −3x + 12 = 0.
  2. Mutăm termenii: 3x = 12, deci x = 4.
  3. Graficul taie axa Ox în punctul (4, 0).

Puncte de pe grafic și aflarea coeficienților

Un punct A(x0, y0) aparține graficului funcției f dacă, înlocuind x cu x0, obții exact y0, adică dacă f(x0) = y0.

Aceeași condiție ajută la aflarea unui coeficient necunoscut: dacă f(x) = ax + 1 și f(2) = 7, atunci 2a + 1 = 7, deci a = 3.

  • A(x0, y0) ∈ Gf ⇔ f(x0) = y0
  • f(2) = 7 și f(x) = ax + 1 ⇒ a = 3
  • Verifică apartenența înlocuind prima coordonată și comparând cu a doua.
  • O condiție de tipul f(2) = 7 dă întotdeauna o ecuație în coeficientul necunoscut.

Exemplu rezolvat · alte date

f(x) = ax + 2 are f(3) = 17. Află a.

  1. Înlocuim: 3a + 2 = 17.
  2. 3a = 15, deci a = 5.
  3. Verificare: 5·3 + 2 = 17.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Pentru f(x) = 2x + 1, calculează f(3).

    Vezi rezolvarea
    1. f(3) = 2 · 3 + 1 = 7.

    Răspuns: 7

  2. Exercițiul 2

    Pentru f(x) = x − 4, calculează f(4).

    Vezi rezolvarea
    1. f(4) = 4 − 4 = 0.

    Răspuns: 0

  3. Exercițiul 3

    Funcția f(x) = −2x + 4 este...

    Vezi rezolvarea
    1. Coeficientul lui x este −2 < 0, deci funcția este descrescătoare.

    Răspuns: descrescătoare

  4. Exercițiul 4

    Unde intersectează axa Ox graficul lui f(x) = 2x − 6? Scrie coordonata x.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x = 6, deci x = 3.
    2. Punctul de intersecție este (3, 0).

    Răspuns: 3

  5. Exercițiul 5

    Ce două puncte sunt suficiente pentru graficul lui f(x) = −x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 3 și f(3) = 0.
    2. Dreapta trece prin (0, 3) și (3, 0).

    Răspuns: (0, 3) și (3, 0)

  6. Exercițiul 6

    Pentru f(x) = 3x − 2, calculează f(4).

    Vezi rezolvarea
    1. f(4) = 3 · 4 − 2.
    2. 12 − 2 = 10.
    3. f(4) = 10.

    Răspuns: 10

  7. Exercițiul 7

    Pentru f(x) = −x + 5, calculează f(−2).

    Vezi rezolvarea
    1. f(−2) = −(−2) + 5.
    2. 2 + 5 = 7.
    3. f(−2) = 7.

    Răspuns: 7

  8. Exercițiul 8

    Funcția f(x) = 4x − 1 este...

    Vezi rezolvarea
    1. a = 4.
    2. a > 0.
    3. Funcția este crescătoare.

    Răspuns: crescătoare

  9. Exercițiul 9

    Graficul lui f(x) = 5x + 3 intersectează axa Oy în punctul (0, b). Cât este b?

    Vezi rezolvarea
    1. f(0) = 5 · 0 + 3.
    2. f(0) = 3.
    3. Punctul este (0, 3), deci b = 3.

    Răspuns: 3

  10. Exercițiul 10

    Unde intersectează axa Ox graficul lui f(x) = −3x + 12? Scrie coordonata x.

    Vezi rezolvarea
    1. −3x + 12 = 0.
    2. −3x = −12.
    3. x = 4, deci punctul este (4, 0).

    Răspuns: 4

  11. Exercițiul 11

    Punctul A(2, 5) aparține graficului funcției:

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · 2 + 1 = 5: da.
    2. Celelalte dau 7, 4 și 3.
    3. A aparține graficului lui f(x) = 2x + 1.

    Răspuns: f(x) = 2x + 1

  12. Exercițiul 12

    Funcția f(x) = ax + 1 are f(2) = 7. Cât este a?

    Vezi rezolvarea
    1. f(2) = 2a + 1.
    2. 2a + 1 = 7, deci 2a = 6.
    3. a = 3.

    Răspuns: 3

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Se dă funcția f(x) = 3x + 2. Calculează f(0), f(1), f(2).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 2, f(1) = 5, f(2) = 8

  2. 2. Dificultate redusă

    Se dă funcția f(x) = x − 6. Calculează f(6) și f(0).

    Vezi răspunsul

    f(6) = 0, f(0) = −6

  3. 3. Dificultate redusă

    Este funcția f(x) = 4x + 7 o funcție de gradul I? Precizează valorile a și b.

    Vezi răspunsul

    Da: a = 4, b = 7.

  4. 4. Dificultate redusă

    Completează tabelul de valori pentru f(x) = x + 5, pentru x = −1, 0, 1.

    Vezi răspunsul

    f(−1) = 4, f(0) = 5, f(1) = 6

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce reprezintă panta unei funcții de gradul I?

    Vezi răspunsul

    Coeficientul a al lui x: arată cu cât se schimbă f(x) când x crește cu 1, adică înclinarea dreptei.

  6. 6. Dificultate medie

    Se dă funcția f(x) = 3x − 9. Calculează f(0) și f(3), apoi reprezintă grafic funcția, folosind aceste puncte.

    Vezi răspunsul

    f(0) = −9, f(3) = 0; graficul este dreapta care trece prin (0, −9) și (3, 0).

  7. 7. Dificultate medie

    Determină intersecția cu axa Ox a funcției f(x) = x − 7.

    Vezi răspunsul

    x − 7 = 0, deci punctul (7, 0).

  8. 8. Dificultate medie

    Se dă funcția f(x) = −3x + 6. Calculează f(0) și f(2), apoi precizează dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare.

    Vezi răspunsul

    f(0) = 6, f(2) = 0; funcția este descrescătoare (a = −3 < 0).

  9. 9. Dificultate medie

    Se dă funcția f(x) = 4x. Calculează f(0), f(1), f(2), apoi observă ce se întâmplă cu graficul în punctul (0, 0).

    Vezi răspunsul

    f(0) = 0, f(1) = 4, f(2) = 8; graficul trece prin originea (0, 0).

  10. 10. Dificultate medie

    Determină valoarea lui a și b pentru funcția f(x) = −5x + 9, apoi precizează dacă funcția este crescătoare sau descrescătoare.

    Vezi răspunsul

    a = −5, b = 9; funcția este descrescătoare, pentru că a < 0.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Se dă funcția f(x) = 3x − 4. Determină pentru ce valoare a lui x avem f(x) = 11.

    Vezi răspunsul

    3x − 4 = 11, deci x = 5.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Graficul unei funcții de gradul I trece prin punctele (0, 3) și (2, 11). Determină expresia funcției f(x) = ax + b.

    Vezi răspunsul

    b = f(0) = 3, iar 2a + 3 = 11 dă a = 4: f(x) = 4x + 3.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Se dă funcția f(x) = x + 4. Determină pentru ce valori ale lui x avem f(x) > 9.

    Vezi răspunsul

    x + 4 > 9, deci x > 5.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un taxi are un cost fix de pornire de 4 lei, plus 3 lei pentru fiecare kilometru parcurs. Scrie funcția care exprimă costul total f(x), în funcție de numărul de kilometri x, apoi calculează costul pentru o cursă de 10 km.

    Vezi răspunsul

    f(x) = 3x + 4; pentru 10 km: 34 de lei.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Se dau funcțiile f(x) = 3x + 2 și g(x) = x + 8. Determină pentru ce valoare a lui x cele două funcții au aceeași valoare.

    Vezi răspunsul

    3x + 2 = x + 8, deci x = 3 (valoarea comună este 11).

  16. 16. Excelență

    Graficul unei funcții de gradul I trece prin punctul (2, 5) și intersectează axa Ox în punctul (5, 0). Determină expresia funcției f(x) = ax + b.

    Vezi răspunsul

    2a + b = 5 și 5a + b = 0: a = −53, b = 253, deci f(x) = −(53)x + 253.

  17. 17. Excelență

    Se dau funcțiile f(x) = 2x − 3 și g(x) = −x + 9. Determină punctul de intersecție al celor două grafice, rezolvând ecuația f(x) = g(x), apoi calculând și valoarea comună a lui y.

    Vezi răspunsul

    2x − 3 = −x + 9, deci x = 4 și y = 5: punctul (4, 5).

  18. 18. Excelență

    O firmă de închirieri auto percepe o taxă fixă de 50 lei, plus 0,5 lei pentru fiecare kilometru parcurs. O altă firmă percepe doar 0,8 lei pentru fiecare kilometru, fără taxă fixă. Scrie funcțiile de cost pentru fiecare firmă, apoi determină la ce distanță (număr de kilometri) costurile celor două firme devin egale.

    Vezi răspunsul

    f(x) = 50 + 0,5x și g(x) = 0,8x; 50 + 0,5x = 0,8x dă x = 5003 ≈ 166,7 km.

  19. 19. Excelență

    Se dă funcția f(x) = ax + 3, care trece prin punctul (4, 11). Determină valoarea lui a, apoi calculează pentru ce valoare a lui x avem f(x) = 0.

    Vezi răspunsul

    4a + 3 = 11, deci a = 2; 2x + 3 = 0 dă x = −32.

  20. 20. Excelență

    Un rezervor conține inițial 200 litri de apă, iar un robinet adaugă 15 litri pe minut. Scrie funcția care exprimă cantitatea de apă f(x) din rezervor, în funcție de timpul x (în minute), apoi calculează după câte minute rezervorul va conține 500 litri (rezolvând ecuația corespunzătoare).

    Vezi răspunsul

    f(x) = 200 + 15x; 200 + 15x = 500 dă x = 20 de minute.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.