Încărcăm partea curentă…

Formule de calcul prescurtat

Pătratul unei sume

Formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 se obține dezvoltând produsul (a + b)(a + b). Fiindcă apare foarte des, merită învățată pe de rost: pătratul primului, plus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea.

Exemplu: (x + 3)2 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = x2 + 6x + 9.

Formula ajută și la calcule numerice rapide: 522 = (50 + 2)2 = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

De ținut minte

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
522 = 2 704
  • Greșeala clasică este (a + b)2 = a2 + b2; termenul 2ab lipsește.
  • Pentru numere apropiate de 50 sau 100, descompunerea în sumă scurtează mult calculul.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 1032 prin pătratul unei sume.

  1. 1103 = 100 + 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  2. 21002 + 2·100·3 + 32 = 10000 + 600 + 9.
  3. 31032 = 10609.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Formule de calcul prescurtat: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Formulele de calcul prescurtat transformă rapid produse frecvente în sume și invers. Termenul din mijloc al unui pătrat este dublul produsului celor două componente.

Pătratul unei sume

Formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 se obține dezvoltând produsul (a + b)(a + b). Fiindcă apare foarte des, merită învățată pe de rost: pătratul primului, plus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea.

Exemplu: (x + 3)2 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = x2 + 6x + 9.

Formula ajută și la calcule numerice rapide: 522 = (50 + 2)2 = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

  • (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • (x + 3)2 = x2 + 6x + 9
  • 522 = 2 704
  • Greșeala clasică este (a + b)2 = a2 + b2; termenul 2ab lipsește.
  • Pentru numere apropiate de 50 sau 100, descompunerea în sumă scurtează mult calculul.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 1032 prin pătratul unei sume.

  1. 103 = 100 + 3; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  2. 1002 + 2·100·3 + 32 = 10000 + 600 + 9.
  3. 1032 = 10609.

Pătratul unei diferențe

Formula este aproape la fel, dar termenul din mijloc are semnul minus: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Ultimul termen rămâne pozitiv, fiindcă este un pătrat.

Exemplu: (x − 4)2 = x2 − 2 × x × 4 + 42 = x2 − 8x + 16.

Și aici formula scurtează calculele numerice: 492 = (50 − 1)2 = 2 500 − 100 + 1 = 2 401.

  • (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
  • (x − 4)2 = x2 − 8x + 16
  • 492 = 2 401
  • Doar termenul din mijloc își schimbă semnul.
  • Când primul termen are coeficient, îl ridici și pe el la pătrat: (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1.

Exemplu rezolvat · alte date

Dezvoltă (3x − 2)2.

  1. Folosim (a − b)2 = a2 − 2ab + b2.
  2. a = 3x, b = 2: 9x2 − 12x + 4.
  3. Termenul mixt este negativ, iar pătratul lui 2 este pozitiv.

Diferența de pătrate

Formula a2 − b2 = (a − b)(a + b) se folosește în ambele sensuri: fie pentru a transforma o diferență de pătrate într-un produs, fie pentru a calcula rapid un produs care are forma (a − b)(a + b).

Exemplu algebric: x2 − 25 = (x − 5)(x + 5), fiindcă 25 = 52.

Exemplu numeric: 27 × 33 = (30 − 3)(30 + 3) = 900 − 9 = 891. Caută mereu media celor două numere: ea este a.

  • a2 − b2 = (a − b)(a + b)
  • x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)
  • 27 × 33 = 891
  • Suma de pătrate, a2 + b2, nu se poate descompune în factori.
  • Pentru un produs de forma (a − b)(a + b), numărul a este media celor doi factori.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează 47·53.

  1. 47 = 50 − 3 și 53 = 50 + 3.
  2. Produsul este 502 − 32.
  3. 2500 − 9 = 2491.

Expresii combinate

Multe exerciții cer să aplici două formule și apoi să reduci termenii asemenea. Dezvolți fiecare pătrat separat, ai grijă la semnul din fața parantezei și aduni ce rămâne.

Formulele merg și invers: din (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 rezultă a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab, ceea ce rezolvă problemele în care se dau suma și produsul a două numere.

  • (x + 5)2 − (x − 5)2 = 20x
  • a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
  • Dezvoltă întâi, aplică semnele după aceea.
  • Când ți se dau a + b și ab, aproape sigur ai nevoie de a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.

Exemplu rezolvat · alte date

a + b = 9 și ab = 14. Află a2 + b2.

  1. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
  2. a2 + b2 = 92 − 2·14.
  3. 81 − 28 = 53.

Un pătrat nu e niciodată negativ: demonstrații

Multe cerințe de la subiectul al III-lea spun „Arată că … este pozitiv pentru orice număr real x”. Cheia e un fapt simplu: pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu 0.

Metoda se numește completarea pătratului. Din x2 − 4x + 5 iei primii doi termeni ca început al lui (x − 2)2 = x2 − 4x + 4 și scrii ce rămâne: x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1. Cum (x − 2)2 ≥ 0, expresia este cel puțin 1, deci strict pozitivă.

La inegalități muți totul într-o parte și recunoști un pătrat: n2 + 9 ≥ 6n devine n2 − 6n + 9 ≥ 0, adică (n − 3)2 ≥ 0, ceea ce este adevărat pentru orice n.

  • (a − b)2 ≥ 0, pentru orice a, b reale
  • x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1 ≥ 1
  • Coeficientul lui x, împărțit la 2, dă numărul din paranteză.
  • Scrie la final concluzia „pentru orice x real” — pentru ea se dă punctul.

Exemplu rezolvat

Arată că x2 + 2x + 3 > 0 pentru orice număr real x.

  1. Completăm pătratul: x2 + 2x + 1 = (x + 1)2, deci x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2.
  2. Pentru orice x real, (x + 1)2 ≥ 0, deci (x + 1)2 + 2 ≥ 2.
  3. Așadar x2 + 2x + 3 ≥ 2 > 0, pentru orice număr real x.

Exerciții rezolvate din lecție (16)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Dezvoltă (x + 2)2.

    Vezi rezolvarea
    1. (x + 2)2 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = x2 + 4x + 4.

    Răspuns: x2 + 4x + 4

  2. Exercițiul 2

    Dezvoltă (x − 3)2.

    Vezi rezolvarea
    1. (x − 3)2 = x2 − 2 · x · 3 + 32 = x2 − 6x + 9.

    Răspuns: x2 − 6x + 9

  3. Exercițiul 3

    Scrie ca produs x2 − 16.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 16 = x2 − 42.
    2. Aplicăm diferența de pătrate: (x − 4)(x + 4).

    Răspuns: (x − 4)(x + 4)

  4. Exercițiul 4

    Calculează 19 · 21 folosind diferența de pătrate.

    Vezi rezolvarea
    1. 19 · 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 202 − 12 = 400 − 1 = 399.

    Răspuns: 399

  5. Exercițiul 5

    Simplifică (x + 5)2 − (x − 5)2.

    Vezi rezolvarea
    1. Prima expresie este x2 + 10x + 25, iar a doua x2 − 10x + 25.
    2. Diferența este 20x.

    Răspuns: 20x

  6. Exercițiul 6

    Dezvoltă (x + 5)2.

    Vezi rezolvarea
    1. a = x, b = 5.
    2. 2ab = 2 · x · 5 = 10x, iar b2 = 25.
    3. (x + 5)2 = x2 + 10x + 25.

    Răspuns: x2 + 10x + 25

  7. Exercițiul 7

    Dezvoltă (2x − 1)2.

    Vezi rezolvarea
    1. (2x)2 = 4x2.
    2. 2 · 2x · 1 = 4x, cu semnul minus.
    3. (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1.

    Răspuns: 4x2 − 4x + 1

  8. Exercițiul 8

    Scrie ca produs x2 − 49.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 49 = x2 − 72.
    2. a2 − b2 = (a − b)(a + b).
    3. x2 − 49 = (x − 7)(x + 7).

    Răspuns: (x − 7)(x + 7)

  9. Exercițiul 9

    Calculează 1012 folosind pătratul unei sume.

    Vezi rezolvarea
    1. (100 + 1)2 = 1002 + 2 · 100 · 1 + 12.
    2. 10 000 + 200 + 1.
    3. 1012 = 10 201.

    Răspuns: 10201

  10. Exercițiul 10

    Calculează 992 folosind pătratul unei diferențe.

    Vezi rezolvarea
    1. (100 − 1)2 = 1002 − 2 · 100 · 1 + 12.
    2. 10 000 − 200 + 1.
    3. 992 = 9 801.

    Răspuns: 9801

  11. Exercițiul 11

    Calculează 48 · 52 folosind diferența de pătrate.

    Vezi rezolvarea
    1. (50 − 2)(50 + 2) = 502 − 22.
    2. 2 500 − 4.
    3. 48 · 52 = 2 496.

    Răspuns: 2496

  12. Exercițiul 12

    Dacă a + b = 7 și ab = 10, cât este a2 + b2?

    Vezi rezolvarea
    1. (a + b)2 = 49.
    2. a2 + b2 = 49 − 2ab = 49 − 20.
    3. a2 + b2 = 29.

    Răspuns: 29

  13. Exercițiul 13

    Expresia x2 − 4x + 5 se poate scrie ca:

    Vezi rezolvarea
    1. (x − 2)2 = x2 − 4x + 4.
    2. x2 − 4x + 5 = (x2 − 4x + 4) + 1.
    3. Deci x2 − 4x + 5 = (x − 2)2 + 1.

    Răspuns: (x − 2)2 + 1

  14. Exercițiul 14

    Pentru orice număr real x, expresia x2 − 6x + 10 este:

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 6x + 10 = (x − 3)2 + 1.
    2. (x − 3)2 ≥ 0 pentru orice x, deci expresia este cel puțin 1.
    3. Expresia este strict pozitivă.

    Răspuns: strict pozitivă

  15. Exercițiul 15

    De ce este adevărat n2 + 9 ≥ 6n pentru orice număr real n?

    Vezi rezolvarea
    1. Inegalitatea devine n2 − 6n + 9 ≥ 0.
    2. n2 − 6n + 9 = (n − 3)2.
    3. Un pătrat este mereu ≥ 0, deci inegalitatea e adevărată pentru orice n.

    Răspuns: pentru că n2 − 6n + 9 = (n − 3)2 ≥ 0

  16. Exercițiul 16

    Arată că x2 + y2 − 2x + 4y + 5 ≥ 0, pentru orice numere reale x și y.

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem 5 = 1 + 4 și grupăm: (x2 − 2x + 1) + (y2 + 4y + 4).
    2. x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 și y2 + 4y + 4 = (y + 2)2, deci expresia este (x − 1)2 + (y + 2)2.
    3. Un pătrat nu este niciodată negativ, deci suma a două pătrate este ≥ 0.

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x + 4)2.

    Vezi răspunsul

    x2 + 8x + 16

  2. 2. Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x − 5)2.

    Vezi răspunsul

    x2 − 10x + 25

  3. 3. Dificultate redusă

    Scrie ca produs, folosind formula diferenței de pătrate: x2 − 25.

    Vezi răspunsul

    (x − 5)(x + 5)

  4. 4. Dificultate redusă

    Calculează 312, folosind formula pătratului unei sume (31 = 30 + 1).

    Vezi răspunsul

    (30 + 1)2 = 900 + 60 + 1 = 961

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează 29 × 31, recunoscând tiparul diferenței de pătrate.

    Vezi răspunsul

    (30 − 1)(30 + 1) = 900 − 1 = 899

  6. 6. Dificultate medie

    Dezvoltă, folosind formula: (3x + 2)2.

    Vezi răspunsul

    9x2 + 12x + 4

  7. 7. Dificultate medie

    Dezvoltă, folosind formula: (2x − 3)2.

    Vezi răspunsul

    4x2 − 12x + 9

  8. 8. Dificultate medie

    Scrie ca produs: 9x2 − 16.

    Vezi răspunsul

    (3x − 4)(3x + 4)

  9. 9. Dificultate medie

    Calculează 972, folosind formula pătratului unei diferențe (97 = 100 − 3).

    Vezi răspunsul

    (100 − 3)2 = 10.000 − 600 + 9 = 9.409

  10. 10. Dificultate medie

    Simplifică: (x + 6)2 − x2, dezvoltând pătratul și reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    x2 + 12x + 36 − x2 = 12x + 36

  11. 11. Dificultate ridicată

    Simplifică: (x + 5)2 + (x − 5)2, dezvoltând ambele pătrate.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 10x + 25) + (x2 − 10x + 25) = 2x2 + 50

  12. 12. Dificultate ridicată

    Simplifică: (3x − 2)2 − (3x + 2)2.

    Vezi răspunsul

    (9x2 − 12x + 4) − (9x2 + 12x + 4) = −24x

  13. 13. Dificultate ridicată

    Scrie ca produs, apoi simplifică: (x2 − 49) : (x − 7), aplicând formula diferenței de pătrate.

    Vezi răspunsul

    (x − 7)(x + 7) : (x − 7) = x + 7, pentru x ≠ 7.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Calculează, folosind formulele de calcul prescurtat, valoarea expresiei 2052 − 1952.

    Vezi răspunsul

    (205 − 195)(205 + 195) = 10 × 400 = 4.000

  15. 15. Dificultate ridicată

    Un pătrat are latura (x + 8). Scrie expresia ariei, folosind formula pătratului unei sume, apoi calculează aria pentru x = 3.

    Vezi răspunsul

    A = (x + 8)2 = x2 + 16x + 64; pentru x = 3: 9 + 48 + 64 = 121.

  16. 16. Excelență

    Simplifică expresia: (x + y)2 − (x − y)2, dezvoltând ambele pătrate și demonstrând că rezultatul este întotdeauna 4xy.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 2xy + y2) − (x2 − 2xy + y2) = 4xy, oricare ar fi x și y.

  17. 17. Excelență

    Se dă expresia (x + 7)2 = x2 + 14x + c. Determină valoarea lui c, folosind formula pătratului unei sume, fără a dezvolta complet expresia.

    Vezi răspunsul

    c = 72 = 49

  18. 18. Excelență

    Simplifică: (x + 3)2 − (x + 1) × (x + 5), dezvoltând atât pătratul, cât și produsul, apoi reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 6x + 9) − (x2 + 6x + 5) = 4

  19. 19. Excelență

    Suma a două numere este 20, iar diferența lor este 6. Folosind identitatea (a+b)2 − (a−b)2 = 4ab, calculează produsul celor două numere, fără a le afla individual.

    Vezi răspunsul

    4ab = 202 − 62 = 400 − 36 = 364, deci ab = 91.

  20. 20. Excelență

    Un pătrat cu latura (2x − 1) are aceeași arie cu un dreptunghi cu lungimea (2x + 3) și lățimea (2x − 5). Scrie ecuația corespunzătoare (dezvoltând ambele expresii ale ariei), apoi rezolvă ecuația pentru a afla valoarea lui x.

    Vezi răspunsul

    (2x − 1)2 = (2x + 3)(2x − 5) dă 4x2 − 4x + 1 = 4x2 − 4x − 15, adică 1 = −15. Ecuația nu are soluție: aria pătratului este mereu cu 16 mai mare.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.