Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min
( )²

Teorie înainte de exerciții

Formule de calcul prescurtat

Formulele de calcul prescurtat transformă rapid produse frecvente în sume și invers. Termenul din mijloc al unui pătrat este dublul produsului celor două componente.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Pătratul unei sume

Formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 se obține dezvoltând produsul (a + b)(a + b). Fiindcă apare foarte des, merită învățată pe de rost: pătratul primului, plus dublul produsului, plus pătratul celui de-al doilea.

Exemplu: (x + 3)2 = x2 + 2 × x × 3 + 32 = x2 + 6x + 9.

Formula ajută și la calcule numerice rapide: 522 = (50 + 2)2 = 2 500 + 200 + 4 = 2 704.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(x + 3)2 = x2 + 6x + 9
522 = 2 704
  • Greșeala clasică este (a + b)2 = a2 + b2; termenul 2ab lipsește.
  • Pentru numere apropiate de 50 sau 100, descompunerea în sumă scurtează mult calculul.

Exemplu rezolvat

Calculează 1012 folosind pătratul unei sume.

  1. 1.Scriem 101 = 100 + 1.
  2. 2.Aplicăm formula: 1002 + 2 × 100 × 1 + 12.
  3. 3.Obținem 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
2

Pătratul unei diferențe

Formula este aproape la fel, dar termenul din mijloc are semnul minus: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2. Ultimul termen rămâne pozitiv, fiindcă este un pătrat.

Exemplu: (x − 4)2 = x2 − 2 × x × 4 + 42 = x2 − 8x + 16.

Și aici formula scurtează calculele numerice: 492 = (50 − 1)2 = 2 500 − 100 + 1 = 2 401.

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
(x − 4)2 = x2 − 8x + 16
492 = 2 401
  • Doar termenul din mijloc își schimbă semnul.
  • Când primul termen are coeficient, îl ridici și pe el la pătrat: (2x − 1)2 = 4x2 − 4x + 1.

Exemplu rezolvat

Dezvoltă (2x − 1)2.

  1. 1.Pătratul primului termen: (2x)2 = 4x2.
  2. 2.Dublul produsului, cu minus: −2 × 2x × 1 = −4x.
  3. 3.Pătratul celui de-al doilea: 12 = 1, deci rezultatul este 4x2 − 4x + 1.
3

Diferența de pătrate

Formula a2 − b2 = (a − b)(a + b) se folosește în ambele sensuri: fie pentru a transforma o diferență de pătrate într-un produs, fie pentru a calcula rapid un produs care are forma (a − b)(a + b).

Exemplu algebric: x2 − 25 = (x − 5)(x + 5), fiindcă 25 = 52.

Exemplu numeric: 27 × 33 = (30 − 3)(30 + 3) = 900 − 9 = 891. Caută mereu media celor două numere: ea este a.

a2 − b2 = (a − b)(a + b)
x2 − 25 = (x − 5)(x + 5)
27 × 33 = 891
  • Suma de pătrate, a2 + b2, nu se poate descompune în factori.
  • Pentru un produs de forma (a − b)(a + b), numărul a este media celor doi factori.

Exemplu rezolvat

Calculează 48 · 52 folosind diferența de pătrate.

  1. 1.Media celor doi factori este 50, iar fiecare se abate cu 2: 48 = 50 − 2 și 52 = 50 + 2.
  2. 2.Aplicăm formula: 502 − 22.
  3. 3.Obținem 2 500 − 4 = 2 496.
4

Expresii combinate

Multe exerciții cer să aplici două formule și apoi să reduci termenii asemenea. Dezvolți fiecare pătrat separat, ai grijă la semnul din fața parantezei și aduni ce rămâne.

Formulele merg și invers: din (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 rezultă a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab, ceea ce rezolvă problemele în care se dau suma și produsul a două numere.

(x + 5)2 − (x − 5)2 = 20x
a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab
  • Dezvoltă întâi, aplică semnele după aceea.
  • Când ți se dau a + b și ab, aproape sigur ai nevoie de a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab.

Exemplu rezolvat

Dacă a + b = 7 și ab = 10, cât este a2 + b2?

  1. 1.Pornim de la formula (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, deci 49 = a2 + b2 + 2 × 10.
  2. 2.Scădem dublul produsului: a2 + b2 = 49 − 20.
  3. 3.Rezultatul este 29.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x + 4)2.

    Vezi răspunsul

    x2 + 8x + 16

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x − 5)2.

    Vezi răspunsul

    x2 − 10x + 25

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Scrie ca produs, folosind formula diferenței de pătrate: x2 − 25.

    Vezi răspunsul

    (x − 5)(x + 5)

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Calculează 312, folosind formula pătratului unei sume (31 = 30 + 1).

    Vezi răspunsul

    (30 + 1)2 = 900 + 60 + 1 = 961

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Calculează 29 × 31, recunoscând tiparul diferenței de pătrate.

    Vezi răspunsul

    (30 − 1)(30 + 1) = 900 − 1 = 899

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Dezvoltă, folosind formula: (3x + 2)2.

    Vezi răspunsul

    9x2 + 12x + 4

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Dezvoltă, folosind formula: (2x − 3)2.

    Vezi răspunsul

    4x2 − 12x + 9

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Scrie ca produs: 9x2 − 16.

    Vezi răspunsul

    (3x − 4)(3x + 4)

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Calculează 972, folosind formula pătratului unei diferențe (97 = 100 − 3).

    Vezi răspunsul

    (100 − 3)2 = 10.000 − 600 + 9 = 9.409

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Simplifică: (x + 6)2 − x2, dezvoltând pătratul și reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    x2 + 12x + 36 − x2 = 12x + 36

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Simplifică: (x + 5)2 + (x − 5)2, dezvoltând ambele pătrate.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 10x + 25) + (x2 − 10x + 25) = 2x2 + 50

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Simplifică: (3x − 2)2 − (3x + 2)2.

    Vezi răspunsul

    (9x2 − 12x + 4) − (9x2 + 12x + 4) = −24x

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Scrie ca produs, apoi simplifică: (x2 − 49) : (x − 7), aplicând formula diferenței de pătrate.

    Vezi răspunsul

    (x − 7)(x + 7) : (x − 7) = x + 7, pentru x ≠ 7.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Calculează, folosind formulele de calcul prescurtat, valoarea expresiei 2052 − 1952.

    Vezi răspunsul

    (205 − 195)(205 + 195) = 10 × 400 = 4.000

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Un pătrat are latura (x + 8). Scrie expresia ariei, folosind formula pătratului unei sume, apoi calculează aria pentru x = 3.

    Vezi răspunsul

    A = (x + 8)2 = x2 + 16x + 64; pentru x = 3: 9 + 48 + 64 = 121.

  16. Ex. 16Excelență

    Simplifică expresia: (x + y)2 − (x − y)2, dezvoltând ambele pătrate și demonstrând că rezultatul este întotdeauna 4xy.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 2xy + y2) − (x2 − 2xy + y2) = 4xy, oricare ar fi x și y.

  17. Ex. 17Excelență

    Se dă expresia (x + 7)2 = x2 + 14x + c. Determină valoarea lui c, folosind formula pătratului unei sume, fără a dezvolta complet expresia.

    Vezi răspunsul

    c = 72 = 49

  18. Ex. 18Excelență

    Simplifică: (x + 3)2 − (x + 1) × (x + 5), dezvoltând atât pătratul, cât și produsul, apoi reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 6x + 9) − (x2 + 6x + 5) = 4

  19. Ex. 19Excelență

    Suma a două numere este 20, iar diferența lor este 6. Folosind identitatea (a+b)2 − (a−b)2 = 4ab, calculează produsul celor două numere, fără a le afla individual.

    Vezi răspunsul

    4ab = 202 − 62 = 400 − 36 = 364, deci ab = 91.

  20. Ex. 20Excelență

    Un pătrat cu latura (2x − 1) are aceeași arie cu un dreptunghi cu lungimea (2x + 3) și lățimea (2x − 5). Scrie ecuația corespunzătoare (dezvoltând ambele expresii ale ariei), apoi rezolvă ecuația pentru a afla valoarea lui x.

    Vezi răspunsul

    (2x − 1)2 = (2x + 3)(2x − 5) dă 4x2 − 4x + 1 = 4x2 − 4x − 15, adică 1 = −15. Ecuația nu are soluție: aria pătratului este mereu cu 16 mai mare.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.