Încărcăm partea curentă…

Ecuații de gradul I

Forma ax + b = 0

O ecuație de gradul I cu o necunoscută este o ecuație care, după toate calculele și reducerea termenilor asemenea, ajunge la forma ax + b = 0, cu a ≠ 0.

Soluția unei astfel de ecuații se scrie direct: x = −b : a. Pentru 3x − 6 = 0 avem a = 3 și b = −6, deci x = 6 : 3 = 2.

În practică nu aplici formula, ci izolezi necunoscuta pas cu pas: muți termenii liberi în dreapta, apoi împarți la coeficientul lui x.

De ținut minte

ax + b = 0, a ≠ 0 ⇒ x = −b : a
5x − 7 = 18 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5
  • Coeficientul a nu poate fi 0, altfel necunoscuta dispare.
  • O ecuație cu numitori se rezolvă înmulțind toată ecuația cu numitorul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x : 3 + 2 = 6.

  1. 1Scădem 2 din ambii membri: x : 3 = 4.
  2. 2Înmulțim cu 3: x = 12.
  3. 3Verificare: 12 : 3 + 2 = 4 + 2 = 6.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații de gradul I: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Într-o ecuație de gradul I păstrăm egalitatea efectuând aceeași operație în ambii membri. Desfacem parantezele, reducem termenii asemenea și izolăm necunoscuta.

Forma ax + b = 0

O ecuație de gradul I cu o necunoscută este o ecuație care, după toate calculele și reducerea termenilor asemenea, ajunge la forma ax + b = 0, cu a ≠ 0.

Soluția unei astfel de ecuații se scrie direct: x = −b : a. Pentru 3x − 6 = 0 avem a = 3 și b = −6, deci x = 6 : 3 = 2.

În practică nu aplici formula, ci izolezi necunoscuta pas cu pas: muți termenii liberi în dreapta, apoi împarți la coeficientul lui x.

  • ax + b = 0, a ≠ 0 ⇒ x = −b : a
  • 5x − 7 = 18 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5
  • Coeficientul a nu poate fi 0, altfel necunoscuta dispare.
  • O ecuație cu numitori se rezolvă înmulțind toată ecuația cu numitorul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x : 3 + 2 = 6.

  1. Scădem 2 din ambii membri: x : 3 = 4.
  2. Înmulțim cu 3: x = 12.
  3. Verificare: 12 : 3 + 2 = 4 + 2 = 6.

Ecuații cu paranteze

Dacă ecuația conține paranteze, primul pas este desfacerea lor cu proprietatea distributivă. Apoi continui ca la orice ecuație: izolezi termenul cu necunoscuta și împarți la coeficient.

Exemplu: 3(x + 2) = 21 devine 3x + 6 = 21, apoi 3x = 15 și x = 5.

Atenție la minusul din fața parantezei: el schimbă semnul fiecărui termen dinăuntru. În 2x − 3(x − 4) = 5, paranteza devine −3x + 12.

  • a(x + b) = ax + ab
  • −3(x − 4) = −3x + 12
  • Desfacerea parantezelor se face înaintea mutării termenilor.
  • Verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială, cu paranteze cu tot.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă 3x − 2(x − 5) = 17.

  1. Desfacem paranteza: 3x − 2x + 10 = 17.
  2. x + 10 = 17, deci x = 7.
  3. Verificare: 21 − 2·2 = 17.

Necunoscuta în ambii membri

Când necunoscuta apare de ambele părți ale egalului, muți toți termenii cu x într-un membru și numerele în celălalt, schimbând semnul termenilor mutați.

Dacă ecuația are fracții, o înmulțești întâi cu numitorul comun, ca să scapi de ele: din (x + 1) : 2 = (x + 4) : 3 obții 3(x + 1) = 2(x + 4).

Aceeași metodă rezolvă și problemele în cuvinte: trei numere naturale consecutive se scriu x, x + 1 și x + 2, iar condiția din enunț devine o ecuație.

  • 3x + 4 = x + 12 ⇒ 2x = 8
  • x + 12 = x + 43 ⇒ 3(x + 1) = 2(x + 4)
  • Termenii care trec de partea cealaltă a egalului își schimbă semnul.
  • Numere consecutive: x, x + 1, x + 2 — suma lor este 3x + 3.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă 8x − 5 = 3x + 20.

  1. Scădem 3x și adunăm 5 în ambii membri.
  2. 5x = 25, deci x = 5.
  3. Verificare: 35 = 35.

Ecuații fără soluții sau cu o infinitate de soluții

Nu orice ecuație are exact o soluție. Dacă, după toate calculele, ajungi la o egalitate adevărată pentru orice x — cum ar fi 6 = 6 — atunci orice număr real este soluție, deci mulțimea soluțiilor este ℝ.

Dacă ajungi la o egalitate falsă — de exemplu 2 = 5 — ecuația nu are nicio soluție.

Semnul care te avertizează este dispariția necunoscutei: dacă toți termenii cu x se reduc, ai de-a face cu unul dintre aceste două cazuri.

  • 3(x + 2) = 3x + 6 ⇒ 6 = 6 ⇒ x ∈ ℝ
  • 2(x + 1) = 2x + 5 ⇒ 2 = 5 ⇒ fără soluții
  • Dispariția lui x nu înseamnă că ai greșit: verifică ce egalitate a rămas.
  • Egalitate adevărată ⇒ toate numerele sunt soluții; egalitate falsă ⇒ nicio soluție.

Exemplu rezolvat

Ce putem spune despre ecuația 2(x + 1) = 2x + 5?

  1. Desfacem paranteza: 2x + 2 = 2x + 5.
  2. Scădem 2x din ambii membri: rămâne 2 = 5.
  3. Egalitatea este falsă, deci ecuația nu are nicio soluție.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Rezolvă 2(x + 3) = 16.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 3 = 8, deci x = 5.

    Răspuns: 5

  2. Exercițiul 2

    Rezolvă 3x + 4 = x + 12.

    Vezi rezolvarea
    1. 3x − x = 12 − 4, deci 2x = 8 și x = 4.

    Răspuns: 4

  3. Exercițiul 3

    Care este mulțimea soluțiilor ecuației 2x + 3 = 2x + 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Ambii membri sunt identici pentru orice număr real x.

    Răspuns: ℝ

  4. Exercițiul 4

    Rezolvă 4(x − 2) + 3 = 2(x + 5) − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația devine 4x − 5 = 2x + 9.
    2. 2x = 14, deci x = 7.

    Răspuns: 7

  5. Exercițiul 5

    Ce putem spune despre 2(x + 1) = 2x + 5?

    Vezi rezolvarea
    1. Ecuația devine 2x + 2 = 2x + 5, adică 2 = 5, contradicție.

    Răspuns: Nu are soluții

  6. Exercițiul 6

    Rezolvă 5x − 7 = 18.

    Vezi rezolvarea
    1. 5x = 25.
    2. x = 25 : 5.
    3. x = 5.

    Răspuns: 5

  7. Exercițiul 7

    Rezolvă x3 + 2 = 6.

    Vezi rezolvarea
    1. x3 = 4.
    2. x = 4 · 3.
    3. x = 12.

    Răspuns: 12

  8. Exercițiul 8

    Rezolvă 3(x − 2) = x + 8.

    Vezi rezolvarea
    1. 3x − 6 = x + 8.
    2. 2x = 14.
    3. x = 7.

    Răspuns: 7

  9. Exercițiul 9

    Ce putem spune despre ecuația 3(x + 2) = 3x + 6?

    Vezi rezolvarea
    1. 3(x + 2) = 3x + 6.
    2. Membrii sunt identici, deci egalitatea e adevărată pentru orice x.
    3. Mulțimea soluțiilor este ℝ.

    Răspuns: Orice număr real este soluție

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă 2x − 3(x − 4) = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x − 3x + 12 = 5.
    2. −x = −7.
    3. x = 7.

    Răspuns: 7

  11. Exercițiul 11

    Rezolvă x + 12 = x + 43.

    Vezi rezolvarea
    1. 3(x + 1) = 2(x + 4).
    2. 3x + 3 = 2x + 8.
    3. x = 5.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Suma a trei numere naturale consecutive este 78. Care este cel mai mare dintre ele?

    Vezi rezolvarea
    1. n + (n + 1) + (n + 2) = 78.
    2. 3n + 3 = 78, deci n = 25.
    3. Cel mai mare număr este 27.

    Răspuns: 27

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: 3 × (x + 2) = 21.

    Vezi răspunsul

    x + 2 = 7, deci x = 5.

  2. 2. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: 4 × (x − 3) = 16.

    Vezi răspunsul

    x − 3 = 4, deci x = 7.

  3. 3. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: 5x + 2 = 2x + 14.

    Vezi răspunsul

    3x = 12, deci x = 4.

  4. 4. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația: 8x − 3 = 5x + 12.

    Vezi răspunsul

    3x = 15, deci x = 5.

  5. 5. Dificultate redusă

    Verifică dacă x = 4 este soluția ecuației 3x + 2 = 14.

    Vezi răspunsul

    Da: 3 × 4 + 2 = 14.

  6. 6. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 5 × (x + 1) = 4 × (x + 4).

    Vezi răspunsul

    5x + 5 = 4x + 16, deci x = 11.

  7. 7. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 3 × (x − 2) + 4 = 2 × (x + 1).

    Vezi răspunsul

    3x − 2 = 2x + 2, deci x = 4.

  8. 8. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 7x − 2 × (x − 3) = 24.

    Vezi răspunsul

    5x + 6 = 24, deci x = 185 = 3,6.

  9. 9. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 4 × (x + 2) − 3x = 2x + 5.

    Vezi răspunsul

    x + 8 = 2x + 5, deci x = 3.

  10. 10. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația: 2 × (3x − 2) = 5 × (x + 1) − 4.

    Vezi răspunsul

    6x − 4 = 5x + 1, deci x = 5.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 3 × (x + 5) = 3x + 15, apoi precizează natura soluțiilor.

    Vezi răspunsul

    3x + 15 = 3x + 15 este adevărată pentru orice x: ecuația are o infinitate de soluții (orice număr real).

  12. 12. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 4 × (x − 1) = 4x − 7, apoi precizează natura soluțiilor.

    Vezi răspunsul

    4x − 4 = 4x − 7 ar însemna −4 = −7, fals: ecuația nu are soluții.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 5 × (x + 2) − 3 × (x − 1) = 4x − 5.

    Vezi răspunsul

    2x + 13 = 4x − 5, deci 2x = 18 și x = 9.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Suma dintre un număr și dublul lui, micșorat cu 6, este 33. Scrie ecuația corespunzătoare și rezolv-o.

    Vezi răspunsul

    x + 2x − 6 = 33, deci 3x = 39 și x = 13.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația: 3 × (2x − 1) − (x + 3) = 2 × (x + 2) − 4.

    Vezi răspunsul

    5x − 6 = 2x, deci 3x = 6 și x = 2.

  16. 16. Excelență

    Rezolvă ecuația: (x + 1)2 − x2 = 4x − 3, dezvoltând pătratul mai întâi (folosește formula de calcul prescurtat).

    Vezi răspunsul

    x2 + 2x + 1 − x2 = 4x − 3, deci 2x + 1 = 4x − 3 și x = 2.

  17. 17. Excelență

    Rezolvă ecuația: (x − 3)(x + 3) = x2 − 4x + 2, aplicând formula diferenței de pătrate în stânga, apoi rezolvând ecuația de gradul I rezultată.

    Vezi răspunsul

    x2 − 9 = x2 − 4x + 2, deci 4x = 11 și x = 114.

  18. 18. Excelență

    Perimetrul unui dreptunghi este 56 cm. Lungimea este exprimată ca 2x + 3, iar lățimea ca x + 1. Scrie ecuația corespunzătoare perimetrului, rezolv-o, apoi calculează aria dreptunghiului pentru valoarea găsită a lui x.

    Vezi răspunsul

    2(2x + 3 + x + 1) = 56, deci 3x + 4 = 28 și x = 8. Lungimea 19 cm, lățimea 9 cm, aria 171 cm2.

  19. 19. Excelență

    Rezolvă ecuația: 3(x+2)2 − 3x2 = 42, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat, apoi simplificând.

    Vezi răspunsul

    3(x2 + 4x + 4) − 3x2 = 42, deci 12x + 12 = 42 și x = 52 = 2,5.

  20. 20. Excelență

    Un elev are un număr de bani egal cu x lei. După ce cheltuie 25 din sumă, apoi mai primește 30 de lei, ajunge să aibă exact suma inițială x. Scrie ecuația corespunzătoare acestei situații, apoi rezolv-o.

    Vezi răspunsul

    x − (25)x + 30 = x, deci (25)x = 30 și x = 75 de lei.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.