Ecuații de gradul I

Într-o ecuație de gradul I păstrăm egalitatea efectuând aceeași operație în ambii membri. Desfacem parantezele, reducem termenii asemenea și izolăm necunoscuta.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Forma ax + b = 0

O ecuație de gradul I cu o necunoscută este o ecuație care, după toate calculele și reducerea termenilor asemenea, ajunge la forma ax + b = 0, cu a ≠ 0.

Soluția unei astfel de ecuații se scrie direct: x = −b : a. Pentru 3x − 6 = 0 avem a = 3 și b = −6, deci x = 6 : 3 = 2.

În practică nu aplici formula, ci izolezi necunoscuta pas cu pas: muți termenii liberi în dreapta, apoi împarți la coeficientul lui x.

ax + b = 0, a ≠ 0 ⇒ x = −b : a

5x − 7 = 18 ⇒ 5x = 25 ⇒ x = 5

Coeficientul a nu poate fi 0, altfel necunoscuta dispare.
O ecuație cu numitori se rezolvă înmulțind toată ecuația cu numitorul.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x : 3 + 2 = 6.

1.Scădem 2 din ambii membri: x : 3 = 4.
2.Înmulțim cu 3: x = 12.
3.Verificare: 12 : 3 + 2 = 4 + 2 = 6.

Ecuații cu paranteze

Dacă ecuația conține paranteze, primul pas este desfacerea lor cu proprietatea distributivă. Apoi continui ca la orice ecuație: izolezi termenul cu necunoscuta și împarți la coeficient.

Exemplu: 3(x + 2) = 21 devine 3x + 6 = 21, apoi 3x = 15 și x = 5.

Atenție la minusul din fața parantezei: el schimbă semnul fiecărui termen dinăuntru. În 2x − 3(x − 4) = 5, paranteza devine −3x + 12.

a(x + b) = ax + ab

−3(x − 4) = −3x + 12

Desfacerea parantezelor se face înaintea mutării termenilor.
Verifică soluția înlocuind-o în ecuația inițială, cu paranteze cu tot.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 2x − 3(x − 4) = 5.

1.Desfacem paranteza: 2x − 3x + 12 = 5.
2.Reducem termenii asemenea: −x + 12 = 5, deci −x = −7.
3.Împărțim la −1: x = 7.

Necunoscuta în ambii membri

Când necunoscuta apare de ambele părți ale egalului, muți toți termenii cu x într-un membru și numerele în celălalt, schimbând semnul termenilor mutați.

Dacă ecuația are fracții, o înmulțești întâi cu numitorul comun, ca să scapi de ele: din (x + 1) : 2 = (x + 4) : 3 obții 3(x + 1) = 2(x + 4).

Aceeași metodă rezolvă și problemele în cuvinte: trei numere naturale consecutive se scriu x, x + 1 și x + 2, iar condiția din enunț devine o ecuație.

3x + 4 = x + 12 ⇒ 2x = 8

x + 12 = x + 43 ⇒ 3(x + 1) = 2(x + 4)

Termenii care trec de partea cealaltă a egalului își schimbă semnul.
Numere consecutive: x, x + 1, x + 2 — suma lor este 3x + 3.

Exemplu rezolvat

Suma a trei numere naturale consecutive este 78. Care este cel mai mare dintre ele?

1.Notăm numerele cu x, x + 1 și x + 2, deci suma lor este 3x + 3 = 78.
2.Scădem 3 și împărțim la 3: 3x = 75, deci x = 25.
3.Numerele sunt 25, 26 și 27, iar cel mai mare este 27.

Ecuații fără soluții sau cu o infinitate de soluții

Nu orice ecuație are exact o soluție. Dacă, după toate calculele, ajungi la o egalitate adevărată pentru orice x — cum ar fi 6 = 6 — atunci orice număr real este soluție, deci mulțimea soluțiilor este ℝ.

Dacă ajungi la o egalitate falsă — de exemplu 2 = 5 — ecuația nu are nicio soluție.

Semnul care te avertizează este dispariția necunoscutei: dacă toți termenii cu x se reduc, ai de-a face cu unul dintre aceste două cazuri.

3(x + 2) = 3x + 6 ⇒ 6 = 6 ⇒ x ∈ ℝ

2(x + 1) = 2x + 5 ⇒ 2 = 5 ⇒ fără soluții

Dispariția lui x nu înseamnă că ai greșit: verifică ce egalitate a rămas.
Egalitate adevărată ⇒ toate numerele sunt soluții; egalitate falsă ⇒ nicio soluție.

Exemplu rezolvat

Ce putem spune despre ecuația 2(x + 1) = 2x + 5?

1.Desfacem paranteza: 2x + 2 = 2x + 5.
2.Scădem 2x din ambii membri: rămâne 2 = 5.
3.Egalitatea este falsă, deci ecuația nu are nicio soluție.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: 3 × (x + 2) = 21.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 2 = 7, deci x = 5.
Ex. 2Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: 4 × (x − 3) = 16.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − 3 = 4, deci x = 7.
Ex. 3Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: 5x + 2 = 2x + 14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x = 12, deci x = 4.
Ex. 4Dificultate redusă
Rezolvă ecuația: 8x − 3 = 5x + 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x = 15, deci x = 5.
Ex. 5Dificultate redusă
Verifică dacă x = 4 este soluția ecuației 3x + 2 = 14.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 3 × 4 + 2 = 14.
Ex. 6Dificultate medie
Rezolvă ecuația: 5 × (x + 1) = 4 × (x + 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x + 5 = 4x + 16, deci x = 11.
Ex. 7Dificultate medie
Rezolvă ecuația: 3 × (x − 2) + 4 = 2 × (x + 1).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x − 2 = 2x + 2, deci x = 4.
Ex. 8Dificultate medie
Rezolvă ecuația: 7x − 2 × (x − 3) = 24.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x + 6 = 24, deci x = 185 = 3,6.
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă ecuația: 4 × (x + 2) − 3x = 2x + 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 8 = 2x + 5, deci x = 3.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă ecuația: 2 × (3x − 2) = 5 × (x + 1) − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x − 4 = 5x + 1, deci x = 5.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația: 3 × (x + 5) = 3x + 15, apoi precizează natura soluțiilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 15 = 3x + 15 este adevărată pentru orice x: ecuația are o infinitate de soluții (orice număr real).
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația: 4 × (x − 1) = 4x − 7, apoi precizează natura soluțiilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x − 4 = 4x − 7 ar însemna −4 = −7, fals: ecuația nu are soluții.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația: 5 × (x + 2) − 3 × (x − 1) = 4x − 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x + 13 = 4x − 5, deci 2x = 18 și x = 9.
Ex. 14Dificultate ridicată
Suma dintre un număr și dublul lui, micșorat cu 6, este 33. Scrie ecuația corespunzătoare și rezolv-o.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 2x − 6 = 33, deci 3x = 39 și x = 13.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă ecuația: 3 × (2x − 1) − (x + 3) = 2 × (x + 2) − 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x − 6 = 2x, deci 3x = 6 și x = 2.
Ex. 16Excelență
Rezolvă ecuația: (x + 1)² − x² = 4x − 3, dezvoltând pătratul mai întâi (folosește formula de calcul prescurtat).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 2x + 1 − x² = 4x − 3, deci 2x + 1 = 4x − 3 și x = 2.
Ex. 17Excelență
Rezolvă ecuația: (x − 3)(x + 3) = x² − 4x + 2, aplicând formula diferenței de pătrate în stânga, apoi rezolvând ecuația de gradul I rezultată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 9 = x² − 4x + 2, deci 4x = 11 și x = 114.
Ex. 18Excelență
Perimetrul unui dreptunghi este 56 cm. Lungimea este exprimată ca 2x + 3, iar lățimea ca x + 1. Scrie ecuația corespunzătoare perimetrului, rezolv-o, apoi calculează aria dreptunghiului pentru valoarea găsită a lui x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2(2x + 3 + x + 1) = 56, deci 3x + 4 = 28 și x = 8. Lungimea 19 cm, lățimea 9 cm, aria 171 cm².
Ex. 19Excelență
Rezolvă ecuația: 3(x+2)² − 3x² = 42, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat, apoi simplificând.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3(x² + 4x + 4) − 3x² = 42, deci 12x + 12 = 42 și x = 52 = 2,5.
Ex. 20Excelență
Un elev are un număr de bani egal cu x lei. După ce cheltuie 25 din sumă, apoi mai primește 30 de lei, ajunge să aibă exact suma inițială x. Scrie ecuația corespunzătoare acestei situații, apoi rezolv-o.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x − (25)x + 30 = x, deci (25)x = 30 și x = 75 de lei.