Încărcăm partea curentă…

Descompunerea în factori

Descompunerea prin factor comun

A descompune în factori înseamnă a scrie o expresie ca produs, în loc de sumă sau diferență. Este operația inversă desfacerii parantezelor.

Dacă toți termenii au un factor comun — un număr, o literă sau amândouă — îl scoți în fața parantezei: ac + bc = c(a + b).

Exemplu: 6x2 + 9x are factorul comun 3x, deci se scrie 3x(2x + 3). Verificarea se face desfăcând paranteza la loc.

De ținut minte

ab + ac = a(b + c)
6x2 + 9x = 3x(2x + 3)
4x2y − 8xy2 + 12xy = 4xy(x − 2y + 3)
  • Scoate cel mai mare factor comun, nu unul oarecare.
  • Fiecare termen se împarte la factorul comun; niciunul nu dispare din paranteză.

Exemplu rezolvat · alte date

Descompune 4x2 + 12x.

  1. 1Ambele expresii au factorul 4x.
  2. 24x24x = x și 12x4x = 3, pentru calculul formal al factorilor.
  3. 3Rezultatul este 4x(x + 3), identitate valabilă și în x = 0.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Descompunerea în factori: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Descompunerea în factori transformă o sumă sau o diferență într-un produs. Căutăm mai întâi factorul comun, apoi verificăm dacă putem aplica o formulă de calcul prescurtat.

Descompunerea prin factor comun

A descompune în factori înseamnă a scrie o expresie ca produs, în loc de sumă sau diferență. Este operația inversă desfacerii parantezelor.

Dacă toți termenii au un factor comun — un număr, o literă sau amândouă — îl scoți în fața parantezei: ac + bc = c(a + b).

Exemplu: 6x2 + 9x are factorul comun 3x, deci se scrie 3x(2x + 3). Verificarea se face desfăcând paranteza la loc.

  • ab + ac = a(b + c)
  • 6x2 + 9x = 3x(2x + 3)
  • 4x2y − 8xy2 + 12xy = 4xy(x − 2y + 3)
  • Scoate cel mai mare factor comun, nu unul oarecare.
  • Fiecare termen se împarte la factorul comun; niciunul nu dispare din paranteză.

Exemplu rezolvat · alte date

Descompune 4x2 + 12x.

  1. Ambele expresii au factorul 4x.
  2. 4x24x = x și 12x4x = 3, pentru calculul formal al factorilor.
  3. Rezultatul este 4x(x + 3), identitate valabilă și în x = 0.

Formulele de calcul prescurtat, în sens invers

Formulele învățate anterior se pot citi și de la dreapta la stânga, ca să descompui o expresie deja dezvoltată: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2, a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 și a2 − b2 = (a − b)(a + b).

Exemplu: x2 + 6x + 9 are forma pătratului unei sume, cu a = x și b = 3, fiindcă 2 × x × 3 = 6x și 32 = 9. Deci x2 + 6x + 9 = (x + 3)2.

La diferența de pătrate, verifică dacă ambii termeni sunt pătrate: 4x2 − 1 = (2x)2 − 12 = (2x − 1)(2x + 1).

  • a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
  • a2 − b2 = (a − b)(a + b)
  • 4x2 − 1 = (2x − 1)(2x + 1)
  • Verifică termenul din mijloc: trebuie să fie exact dublul produsului.
  • Semnul termenului din mijloc îți spune dacă este (a + b)2 sau (a − b)2.

Exemplu rezolvat · alte date

Descompune x2 − 10x + 25.

  1. 25 = 52, iar −10x = −2·x·5.
  2. Expresia are forma a2 − 2ab + b2.
  3. Factorizarea este (x − 5)2.

Descompunerea completă, în doi pași

Uneori un singur pas nu ajunge. Regula este să scoți întâi factorul comun, apoi să verifici dacă paranteza rămasă se mai poate descompune cu o formulă.

Exemplu: 2x2 − 18 = 2(x2 − 9) = 2(x − 3)(x + 3). Dacă te oprești după primul pas, descompunerea nu este completă.

Aceeași idee scurtează și calcule numerice: 572 − 432 = (57 − 43)(57 + 43) = 14 × 100 = 1 400.

  • 2x2 − 18 = 2(x − 3)(x + 3)
  • 572 − 432 = 14 × 100 = 1 400
  • Întâi factorul comun, apoi formulele.
  • O descompunere este completă când niciun factor nu se mai poate descompune.

Exemplu rezolvat · alte date

Descompune 2x2 − 18.

  1. Scoatem factorul comun 2: 2(x2 − 9).
  2. Diferența de pătrate este x2 − 32 = (x − 3)(x + 3).
  3. Rezultatul este 2(x − 3)(x + 3).

Simplificarea fracțiilor algebrice

Într-o fracție algebrică se pot simplifica numai factori, niciodată termeni ai unei sume. De aceea primul pas este întotdeauna descompunerea în factori a numărătorului și a numitorului.

Exemplu: (x2 − 25) : (x + 5) = (x − 5)(x + 5) : (x + 5) = x − 5, cu condiția x ≠ −5, fiindcă numitorul nu poate fi 0.

Condiția de existență se scrie întotdeauna: valorile care anulează numitorul sunt excluse.

  • x2 − 25x + 5 = x − 5, x ≠ −5
  • x2 − 6x + 9x − 3 = x − 3, x ≠ 3
  • Se simplifică factori, nu termeni: din x + 3x nu se poate tăia x.
  • Notează condiția de existență înainte de simplificare.

Exemplu rezolvat

Pentru x ≠ 3, cât este (x2 − 6x + 9) : (x − 3)?

  1. Descompunem numărătorul: x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
  2. Fracția devine (x − 3)2 : (x − 3).
  3. Simplificăm un factor (x − 3) și rămâne x − 3.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Descompune 5x + 10.

    Vezi rezolvarea
    1. 5x + 10 = 5 · x + 5 · 2 = 5(x + 2).

    Răspuns: 5(x + 2)

  2. Exercițiul 2

    Descompune x2 − 9.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 9 = x2 − 32 = (x − 3)(x + 3).

    Răspuns: (x − 3)(x + 3)

  3. Exercițiul 3

    Descompune x2 + 4x + 4.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 + 4x + 4 = x2 + 2 · x · 2 + 22 = (x + 2)2.

    Răspuns: (x + 2)2

  4. Exercițiul 4

    Descompune complet 2x2 − 18.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x2 − 18 = 2(x2 − 9).
    2. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).

    Răspuns: 2(x − 3)(x + 3)

  5. Exercițiul 5

    Pentru x ≠ −5, cât este x2 − 25x + 5?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 25 = (x − 5)(x + 5).
    2. Simplificăm factorul x + 5 și rămâne x − 5.

    Răspuns: x − 5

  6. Exercițiul 6

    Descompune 6x − 9.

    Vezi rezolvarea
    1. 6x = 3 · 2x.
    2. 9 = 3 · 3.
    3. 6x − 9 = 3(2x − 3).

    Răspuns: 3(2x − 3)

  7. Exercițiul 7

    Descompune x2 + 7x.

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul comun este x.
    2. x2 : x = x și 7x : x = 7.
    3. x2 + 7x = x(x + 7).

    Răspuns: x(x + 7)

  8. Exercițiul 8

    Descompune 4x2 − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. Este o diferență de pătrate.
    2. a = 2x, b = 1.
    3. 4x2 − 1 = (2x − 1)(2x + 1).

    Răspuns: (2x − 1)(2x + 1)

  9. Exercițiul 9

    Descompune x2 − 6x + 9.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 = x2, 9 = 32, iar 6x = 2 · x · 3.
    2. Termenul din mijloc are minus.
    3. x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.

    Răspuns: (x − 3)2

  10. Exercițiul 10

    Descompune complet 3x2 − 12.

    Vezi rezolvarea
    1. 3x2 − 12 = 3(x2 − 4).
    2. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    3. 3x2 − 12 = 3(x − 2)(x + 2).

    Răspuns: 3(x − 2)(x + 2)

  11. Exercițiul 11

    Pentru x ≠ 3, cât este x2 − 6x + 9x − 3?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
    2. (x − 3)2 : (x − 3) = x − 3.
    3. Rezultatul este x − 3.

    Răspuns: x − 3

  12. Exercițiul 12

    Calculează 572 − 432 scriind diferența de pătrate ca produs.

    Vezi rezolvarea
    1. 57 − 43 = 14.
    2. 57 + 43 = 100.
    3. 14 · 100 = 1 400.

    Răspuns: 1400

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Descompune în factori, extrăgând factorul comun: 6x + 12.

    Vezi răspunsul

    6(x + 2)

  2. 2. Dificultate redusă

    Descompune în factori, extrăgând factorul comun: 5x2 − 10x.

    Vezi răspunsul

    5x(x − 2)

  3. 3. Dificultate redusă

    Descompune, folosind formula pătratului unei sume: x2 + 6x + 9.

    Vezi răspunsul

    (x + 3)2

  4. 4. Dificultate redusă

    Descompune, folosind formula diferenței de pătrate: x2 − 16.

    Vezi răspunsul

    (x − 4)(x + 4)

  5. 5. Dificultate redusă

    Descompune în factori: 9xy + 18x.

    Vezi răspunsul

    9x(y + 2)

  6. 6. Dificultate medie

    Descompune, folosind formula pătratului unei diferențe: x2 − 8x + 16.

    Vezi răspunsul

    (x − 4)2

  7. 7. Dificultate medie

    Descompune în factori: 9x2 − 49.

    Vezi răspunsul

    (3x − 7)(3x + 7)

  8. 8. Dificultate medie

    Descompune, extrăgând factorul comun, apoi aplică formula potrivită: 3x2 − 12.

    Vezi răspunsul

    3(x2 − 4) = 3(x − 2)(x + 2)

  9. 9. Dificultate medie

    Simplifică fracția: x2 − 36x + 6.

    Vezi răspunsul

    (x − 6)(x + 6) : (x + 6) = x − 6, pentru x ≠ −6.

  10. 10. Dificultate medie

    Descompune în factori: 8x2y − 12xy2 + 4xy.

    Vezi răspunsul

    4xy(2x − 3y + 1)

  11. 11. Dificultate ridicată

    Descompune complet în factori: 2x2 − 20x + 42.

    Vezi răspunsul

    2(x2 − 10x + 21) = 2(x − 3)(x − 7)

  12. 12. Dificultate ridicată

    Simplifică fracția: x2 + 10x + 25x + 5.

    Vezi răspunsul

    (x + 5)2 : (x + 5) = x + 5, pentru x ≠ −5.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Descompune în factori: x4 − 81.

    Vezi răspunsul

    (x2 − 9)(x2 + 9) = (x − 3)(x + 3)(x2 + 9)

  14. 14. Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: x2 − 9x2 + 6x + 9.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)x + 3(x + 3)2 = x − 3x + 3, pentru x ≠ −3.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are aria exprimată prin polinomul x2 + 9x + 20. Descompune acest polinom în factori, pentru a determina expresiile lungimii și lățimii dreptunghiului.

    Vezi răspunsul

    x2 + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5): lungimea x + 5, lățimea x + 4.

  16. 16. Excelență

    Descompune în factori expresia x3 − x, extrăgând mai întâi factorul comun x, apoi aplicând diferența de pătrate asupra parantezei rămase.

    Vezi răspunsul

    x(x2 − 1) = x(x − 1)(x + 1)

  17. 17. Excelență

    Simplifică expresia: x2 − 4x2 − 4x + 4, descompunând atât numărătorul, cât și numitorul, folosind formule diferite pentru fiecare.

    Vezi răspunsul

    (x − 2)x + 2(x − 2)2 = x + 2x − 2, pentru x ≠ 2.

  18. 18. Excelență

    Descompune în factori: x2 − 5x + 6, căutând doi factori ai lui 6 a căror sumă este −5 (indiciu: gândește-te la ce numere înmulțite dau 6 și adunate dau −5).

    Vezi răspunsul

    (x − 2)(x − 3): (−2) × (−3) = 6 și (−2) + (−3) = −5.

  19. 19. Excelență

    Aria unui pătrat este exprimată prin polinomul x2 − 6x + 9. Descompune polinomul pentru a afla expresia laturii pătratului, apoi calculează perimetrul pătratului (ca expresie algebrică, în funcție de x).

    Vezi răspunsul

    x2 − 6x + 9 = (x − 3)2, deci latura este x − 3 și perimetrul 4(x − 3) = 4x − 12 (pentru x > 3).

  20. 20. Excelență

    Se dă fracția algebrică x2 − 1x2 − 2x + 1. Descompune complet numărătorul și numitorul, simplifică fracția, apoi calculează valoarea ei pentru x = 5.

    Vezi răspunsul

    (x − 1)x + 1(x − 1)2 = x + 1x − 1; pentru x = 5: 64 = 32.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.