Descompunerea în factori

Descompunerea în factori transformă o sumă sau o diferență într-un produs. Căutăm mai întâi factorul comun, apoi verificăm dacă putem aplica o formulă de calcul prescurtat.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Descompunerea prin factor comun

A descompune în factori înseamnă a scrie o expresie ca produs, în loc de sumă sau diferență. Este operația inversă desfacerii parantezelor.

Dacă toți termenii au un factor comun — un număr, o literă sau amândouă — îl scoți în fața parantezei: ac + bc = c(a + b).

Exemplu: 6x² + 9x are factorul comun 3x, deci se scrie 3x(2x + 3). Verificarea se face desfăcând paranteza la loc.

ab + ac = a(b + c)

6x² + 9x = 3x(2x + 3)

4x²y − 8xy² + 12xy = 4xy(x − 2y + 3)

Scoate cel mai mare factor comun, nu unul oarecare.
Fiecare termen se împarte la factorul comun; niciunul nu dispare din paranteză.

Exemplu rezolvat

Descompune x² + 7x.

1.Ambii termeni conțin litera x, deci factorul comun este x.
2.Împărțim fiecare termen la x: x² : x = x și 7x : x = 7.
3.Rezultă x(x + 7).

Formulele de calcul prescurtat, în sens invers

Formulele învățate anterior se pot citi și de la dreapta la stânga, ca să descompui o expresie deja dezvoltată: a² + 2ab + b² = (a + b)², a² − 2ab + b² = (a − b)² și a² − b² = (a − b)(a + b).

Exemplu: x² + 6x + 9 are forma pătratului unei sume, cu a = x și b = 3, fiindcă 2 × x × 3 = 6x și 3² = 9. Deci x² + 6x + 9 = (x + 3)².

La diferența de pătrate, verifică dacă ambii termeni sunt pătrate: 4x² − 1 = (2x)² − 1² = (2x − 1)(2x + 1).

a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

a² − b² = (a − b)(a + b)

4x² − 1 = (2x − 1)(2x + 1)

Verifică termenul din mijloc: trebuie să fie exact dublul produsului.
Semnul termenului din mijloc îți spune dacă este (a + b)² sau (a − b)².

Exemplu rezolvat

Descompune x² − 6x + 9.

1.Primul și ultimul termen sunt pătrate: x² și 3².
2.Termenul din mijloc este −6x = −2 × x × 3, deci se potrivește pătratului unei diferențe.
3.Rezultă (x − 3)².

Descompunerea completă, în doi pași

Uneori un singur pas nu ajunge. Regula este să scoți întâi factorul comun, apoi să verifici dacă paranteza rămasă se mai poate descompune cu o formulă.

Exemplu: 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3). Dacă te oprești după primul pas, descompunerea nu este completă.

Aceeași idee scurtează și calcule numerice: 57² − 43² = (57 − 43)(57 + 43) = 14 × 100 = 1 400.

2x² − 18 = 2(x − 3)(x + 3)

57² − 43² = 14 × 100 = 1 400

Întâi factorul comun, apoi formulele.
O descompunere este completă când niciun factor nu se mai poate descompune.

Exemplu rezolvat

Descompune complet 3x² − 12.

1.Scoatem factorul comun 3: 3(x² − 4).
2.Paranteza este o diferență de pătrate: x² − 4 = (x − 2)(x + 2).
3.Rezultatul final este 3(x − 2)(x + 2).

Simplificarea fracțiilor algebrice

Într-o fracție algebrică se pot simplifica numai factori, niciodată termeni ai unei sume. De aceea primul pas este întotdeauna descompunerea în factori a numărătorului și a numitorului.

Exemplu: (x² − 25) : (x + 5) = (x − 5)(x + 5) : (x + 5) = x − 5, cu condiția x ≠ −5, fiindcă numitorul nu poate fi 0.

Condiția de existență se scrie întotdeauna: valorile care anulează numitorul sunt excluse.

x² − 25x + 5 = x − 5, x ≠ −5

x² − 6x + 9x − 3 = x − 3, x ≠ 3

Se simplifică factori, nu termeni: din x + 3x nu se poate tăia x.
Notează condiția de existență înainte de simplificare.

Exemplu rezolvat

Pentru x ≠ 3, cât este (x² − 6x + 9) : (x − 3)?

1.Descompunem numărătorul: x² − 6x + 9 = (x − 3)².
2.Fracția devine (x − 3)² : (x − 3).
3.Simplificăm un factor (x − 3) și rămâne x − 3.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Descompune în factori, extrăgând factorul comun: 6x + 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6(x + 2)
Ex. 2Dificultate redusă
Descompune în factori, extrăgând factorul comun: 5x² − 10x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x(x − 2)
Ex. 3Dificultate redusă
Descompune, folosind formula pătratului unei sume: x² + 6x + 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 3)²
Ex. 4Dificultate redusă
Descompune, folosind formula diferenței de pătrate: x² − 16.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 4)(x + 4)
Ex. 5Dificultate redusă
Descompune în factori: 9xy + 18x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9x(y + 2)
Ex. 6Dificultate medie
Descompune, folosind formula pătratului unei diferențe: x² − 8x + 16.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 4)²
Ex. 7Dificultate medie
Descompune în factori: 9x² − 49.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(3x − 7)(3x + 7)
Ex. 8Dificultate medie
Descompune, extrăgând factorul comun, apoi aplică formula potrivită: 3x² − 12.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3(x² − 4) = 3(x − 2)(x + 2)
Ex. 9Dificultate medie
Simplifică fracția: (x² − 36) / (x + 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 6)(x + 6) : (x + 6) = x − 6, pentru x ≠ −6.
Ex. 10Dificultate medie
Descompune în factori: 8x²y − 12xy² + 4xy.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4xy(2x − 3y + 1)
Ex. 11Dificultate ridicată
Descompune complet în factori: 2x² − 20x + 42.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2(x² − 10x + 21) = 2(x − 3)(x − 7)
Ex. 12Dificultate ridicată
Simplifică fracția: (x² + 10x + 25) / (x + 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x + 5)² : (x + 5) = x + 5, pentru x ≠ −5.
Ex. 13Dificultate ridicată
Descompune în factori: x⁴ − 81.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² − 9)(x² + 9) = (x − 3)(x + 3)(x² + 9)
Ex. 14Dificultate ridicată
Simplifică expresia: (x² − 9) / (x² + 6x + 9).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 3)(x + 3) / (x + 3)² = x − 3x + 3, pentru x ≠ −3.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un dreptunghi are aria exprimată prin polinomul x² + 9x + 20. Descompune acest polinom în factori, pentru a determina expresiile lungimii și lățimii dreptunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5): lungimea x + 5, lățimea x + 4.
Ex. 16Excelență
Descompune în factori expresia x³ − x, extrăgând mai întâi factorul comun x, apoi aplicând diferența de pătrate asupra parantezei rămase.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1)
Ex. 17Excelență
Simplifică expresia: (x² − 4) / (x² − 4x + 4), descompunând atât numărătorul, cât și numitorul, folosind formule diferite pentru fiecare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 2)(x + 2) / (x − 2)² = x + 2x − 2, pentru x ≠ 2.
Ex. 18Excelență
Descompune în factori: x² − 5x + 6, căutând doi factori ai lui 6 a căror sumă este −5 (indiciu: gândește-te la ce numere înmulțite dau 6 și adunate dau −5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 2)(x − 3): (−2) × (−3) = 6 și (−2) + (−3) = −5.
Ex. 19Excelență
Aria unui pătrat este exprimată prin polinomul x² − 6x + 9. Descompune polinomul pentru a afla expresia laturii pătratului, apoi calculează perimetrul pătratului (ca expresie algebrică, în funcție de x).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 6x + 9 = (x − 3)², deci latura este x − 3 și perimetrul 4(x − 3) = 4x − 12 (pentru x > 3).
Ex. 20Excelență
Se dă fracția algebrică (x² − 1) / (x² − 2x + 1). Descompune complet numărătorul și numitorul, simplifică fracția, apoi calculează valoarea ei pentru x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x − 1)(x + 1) / (x − 1)² = x + 1x − 1; pentru x = 5: 64 = 32.