Calcul algebric

Calculul algebric combină regulile puterilor cu proprietatea distributivă. Înmulțim fiecare termen necesar și reducem numai termenii asemenea.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Monoame, polinoame și regulile puterilor

Un monom este o expresie formată dintr-un singur termen: un număr, numit coeficient, înmulțit cu una sau mai multe litere, eventual la puteri. Sunt monoame 3x², −5xy și chiar 7.

Un polinom este o sumă sau o diferență de monoame. Expresia 3x² + 5x − 2 este un polinom cu trei termeni.

Regulile puterilor, învățate la numere, se aplică la fel și literelor: x^m × xⁿ = x^m+n, x^m : xⁿ = x^m−n și (x^m)ⁿ = x^mxn.

a^m × aⁿ = a^m+n

a^m : aⁿ = a^m−n

(a^m)ⁿ = a^mxn

La înmulțire exponenții se adună, la puterea unei puteri se înmulțesc.
x înseamnă x¹, deci x × x³ = x⁴.

Exemplu rezolvat

Calculează (x⁴)² și x³ · x⁵.

1.La puterea unei puteri se înmulțesc exponenții: (x⁴)² = x⁸.
2.La produsul puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: x³ · x⁵ = x⁸.
3.Ambele expresii dau același rezultat, x⁸, deși regulile sunt diferite.

Înmulțirea unui monom cu un polinom

Se aplică proprietatea distributivă: monomul se înmulțește cu fiecare termen al polinomului, iar rezultatele se adună.

Exemplu: 3x × (2x² + 5x − 4) = 6x³ + 15x² − 12x. La fiecare produs, coeficienții se înmulțesc între ei, iar exponenții literelor se adună.

Când monoamele au mai multe litere, procedezi la fel, literă cu literă: 3a²b × 2ab³ = 6a³b⁴.

m(a + b + c) = ma + mb + mc

3x(2x² + 5x − 4) = 6x³ + 15x² − 12x

Nu uita niciun termen din paranteză și păstrează semnele.
Coeficienții se înmulțesc, exponenții acelorași litere se adună.

Exemplu rezolvat

Calculează 3a²b · 2ab³.

1.Înmulțim coeficienții: 3 × 2 = 6.
2.Adunăm exponenții lui a: a² × a = a³.
3.Adunăm exponenții lui b: b × b³ = b⁴, deci rezultatul este 6a³b⁴.

Înmulțirea a două polinoame

Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua, apoi se reduc termenii asemenea: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Exemplu: (x + 3)(x + 5) = x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15. Așa apar cele patru produse, dintre care două se adună între ele.

La semne, ai grijă: (x + 2)(x − 4) = x² − 4x + 2x − 8 = x² − 2x − 8.

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

(x + 3)(x + 5) = x² + 8x + 15

Din două paranteze cu câte doi termeni ies patru produse.
Verifică rezultatul dând o valoare lui x în ambele forme.

Exemplu rezolvat

Calculează valoarea expresiei (x + 1)(x + 2) pentru x = 3.

1.Putem înlocui direct: (3 + 1)(3 + 2) = 4 × 5 = 20.
2.Sau dezvoltăm întâi: (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2.
3.Pentru x = 3: 9 + 9 + 2 = 20, același rezultat.

Expresii cu mai multe produse

Când o expresie conține mai multe produse legate prin plus sau minus, dezvolți fiecare produs separat, apoi reduci termenii asemenea.

Atenție la minusul din fața unei paranteze: el schimbă semnul fiecărui termen dinăuntru. În 2x(x + 3) − (x − 2)(x + 5), al doilea produs este x² + 3x − 10, iar scăderea lui dă −x² − 3x + 10.

−(x² + 3x − 10) = −x² − 3x + 10

2x(x + 3) − (x − 2)(x + 5) = x² + 3x + 10

Dezvoltă întâi produsele, apoi aplică semnul din fața lor.
Dacă toți termenii cu x se anulează, rezultatul este un număr constant.

Exemplu rezolvat

Simplifică (x + 1)(x + 3) − x(x + 4).

1.Dezvoltăm primul produs: x² + 4x + 3.
2.Dezvoltăm al doilea: x² + 4x, pe care îl scădem.
3.Termenii x² și 4x se anulează, deci rămâne 3.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează: x³ × x⁵.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x⁸
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează: x⁹ : x⁴.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x⁵
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează: (x⁴)².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x⁸
Ex. 4Dificultate redusă
Înmulțește: 3x × (2x + 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x² + 12x
Ex. 5Dificultate redusă
Înmulțește: 5 × (x² − 3x + 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x² − 15x + 10
Ex. 6Dificultate medie
Înmulțește: 2x² × (3x − 5x² + 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x³ − 10x⁴ + 4x², adică −10x⁴ + 6x³ + 4x².
Ex. 7Dificultate medie
Calculează produsul: (x + 3) × (x + 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15
Ex. 8Dificultate medie
Calculează produsul: (x − 4) × (x + 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 6x − 4x − 24 = x² + 2x − 24
Ex. 9Dificultate medie
Simplifică: 4x × (x + 3) + 3x².
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x² + 12x + 3x² = 7x² + 12x
Ex. 10Dificultate medie
Calculează produsul: (3x + 2) × (x − 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x² − 12x + 2x − 8 = 3x² − 10x − 8
Ex. 11Dificultate ridicată
Simplifică: 4x × (x − 3) − 2x × (x + 2).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x² − 12x − 2x² − 4x = 2x² − 16x
Ex. 12Dificultate ridicată
Calculează produsul: (x + 5) × (x − 5), apoi observă tiparul rezultatului obținut.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² − 25: pătratul primului termen minus pătratul celui de-al doilea.
Ex. 13Dificultate ridicată
Simplifică: (x + 5) × (x + 3) − (x − 2) × (x + 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² + 8x + 15) − (x² + 2x − 8) = 6x + 23
Ex. 14Dificultate ridicată
Un dreptunghi are lungimea (x + 6) și lățimea (x + 3). Scrie expresia algebrică a ariei, apoi dezvoltă produsul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = (x + 6)(x + 3) = x² + 9x + 18
Ex. 15Dificultate ridicată
Simplifică: 3 × (x + 2) × (x − 4) + 5x, dezvoltând mai întâi produsul dintre paranteze.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3(x² − 2x − 8) + 5x = 3x² − 6x − 24 + 5x = 3x² − x − 24
Ex. 16Excelență
Simplifică expresia: (x + 2)² − (x − 2)², dezvoltând fiecare pătrat ca produs (x+2)(x+2), respectiv (x−2)(x−2), apoi reducând termenii asemenea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² + 4x + 4) − (x² − 4x + 4) = 8x
Ex. 17Excelență
Se dă expresia E = (x + a) × (x + b), unde a și b sunt necunoscute. Știind că, după dezvoltare, coeficientul lui x este 7, iar termenul liber este 12, află valorile posibile pentru a și b (numere naturale).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a + b = 7 și a × b = 12, deci a = 3, b = 4 (sau a = 4, b = 3).
Ex. 18Excelență
Simplifică: 2x × (x + 1) × 3 − (x + 4) × (x − 4), efectuând întâi înmulțirile, apoi reducând termenii asemenea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x² + 6x − (x² − 16) = 5x² + 6x + 16
Ex. 19Excelență
Un teren dreptunghiular are lungimea (2x + 3) metri și lățimea (x + 1) metri. Scrie expresia algebrică a ariei, dezvoltă produsul, apoi calculează aria pentru x = 5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = (2x + 3)(x + 1) = 2x² + 5x + 3; pentru x = 5: 50 + 25 + 3 = 78 m².
Ex. 20Excelență
Simplifică: (x + 3) × (x + 4) − (x + 2) × (x + 5), și observă dacă rezultatul depinde de x sau este o constantă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(x² + 7x + 12) − (x² + 7x + 10) = 2: rezultatul este o constantă, nu depinde de x.