Încărcăm partea curentă…

Calcul algebric

Monoame, polinoame și regulile puterilor

Un monom este o expresie formată dintr-un singur termen: un număr, numit coeficient, înmulțit cu una sau mai multe litere, eventual la puteri. Sunt monoame 3x2, −5xy și chiar 7.

Un polinom este o sumă sau o diferență de monoame. Expresia 3x2 + 5x − 2 este un polinom cu trei termeni.

Regulile puterilor, învățate la numere, se aplică la fel și literelor: xm × xn = xm+n, xm : xn = xm−n și (xm)n = xmxn.

De ținut minte

am × an = am+n
am : an = am−n
(am)n = amxn
  • La înmulțire exponenții se adună, la puterea unei puteri se înmulțesc.
  • x înseamnă x1, deci x × x3 = x4.

Exemplu rezolvat

Calculează (x4)2 și x3 · x5.

  1. 1La puterea unei puteri se înmulțesc exponenții: (x4)2 = x8.
  2. 2La produsul puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: x3 · x5 = x8.
  3. 3Ambele expresii dau același rezultat, x8, deși regulile sunt diferite.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Calcul algebric: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Calculul algebric combină regulile puterilor cu proprietatea distributivă. Înmulțim fiecare termen necesar și reducem numai termenii asemenea.

Monoame, polinoame și regulile puterilor

Un monom este o expresie formată dintr-un singur termen: un număr, numit coeficient, înmulțit cu una sau mai multe litere, eventual la puteri. Sunt monoame 3x2, −5xy și chiar 7.

Un polinom este o sumă sau o diferență de monoame. Expresia 3x2 + 5x − 2 este un polinom cu trei termeni.

Regulile puterilor, învățate la numere, se aplică la fel și literelor: xm × xn = xm+n, xm : xn = xm−n și (xm)n = xmxn.

  • am × an = am+n
  • am : an = am−n
  • (am)n = amxn
  • La înmulțire exponenții se adună, la puterea unei puteri se înmulțesc.
  • x înseamnă x1, deci x × x3 = x4.

Exemplu rezolvat

Calculează (x4)2 și x3 · x5.

  1. La puterea unei puteri se înmulțesc exponenții: (x4)2 = x8.
  2. La produsul puterilor cu aceeași bază se adună exponenții: x3 · x5 = x8.
  3. Ambele expresii dau același rezultat, x8, deși regulile sunt diferite.

Înmulțirea unui monom cu un polinom

Se aplică proprietatea distributivă: monomul se înmulțește cu fiecare termen al polinomului, iar rezultatele se adună.

Exemplu: 3x × (2x2 + 5x − 4) = 6x3 + 15x2 − 12x. La fiecare produs, coeficienții se înmulțesc între ei, iar exponenții literelor se adună.

Când monoamele au mai multe litere, procedezi la fel, literă cu literă: 3a2b × 2ab3 = 6a3b4.

  • m(a + b + c) = ma + mb + mc
  • 3x(2x2 + 5x − 4) = 6x3 + 15x2 − 12x
  • Nu uita niciun termen din paranteză și păstrează semnele.
  • Coeficienții se înmulțesc, exponenții acelorași litere se adună.

Exemplu rezolvat · alte date

Dezvoltă 4x(2x2 − 3x + 5).

  1. Înmulțim monomul cu fiecare termen.
  2. Produsele sunt 8x3, −12x2 și 20x.
  3. Rezultatul este 8x3 − 12x2 + 20x.

Înmulțirea a două polinoame

Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare termen din a doua, apoi se reduc termenii asemenea: (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Exemplu: (x + 3)(x + 5) = x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15. Așa apar cele patru produse, dintre care două se adună între ele.

La semne, ai grijă: (x + 2)(x − 4) = x2 − 4x + 2x − 8 = x2 − 2x − 8.

  • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
  • (x + 3)(x + 5) = x2 + 8x + 15
  • Din două paranteze cu câte doi termeni ies patru produse.
  • Verifică rezultatul dând o valoare lui x în ambele forme.

Exemplu rezolvat · alte date

Dezvoltă (x + 3)(x + 5).

  1. Fiecare termen din prima paranteză se înmulțește cu fiecare din a doua.
  2. Obținem x2 + 5x + 3x + 15.
  3. Reducem termenii asemenea: x2 + 8x + 15.

Expresii cu mai multe produse

Când o expresie conține mai multe produse legate prin plus sau minus, dezvolți fiecare produs separat, apoi reduci termenii asemenea.

Atenție la minusul din fața unei paranteze: el schimbă semnul fiecărui termen dinăuntru. În 2x(x + 3) − (x − 2)(x + 5), al doilea produs este x2 + 3x − 10, iar scăderea lui dă −x2 − 3x + 10.

  • −(x2 + 3x − 10) = −x2 − 3x + 10
  • 2x(x + 3) − (x − 2)(x + 5) = x2 + 3x + 10
  • Dezvoltă întâi produsele, apoi aplică semnul din fața lor.
  • Dacă toți termenii cu x se anulează, rezultatul este un număr constant.

Exemplu rezolvat

Simplifică (x + 1)(x + 3) − x(x + 4).

  1. Dezvoltăm primul produs: x2 + 4x + 3.
  2. Dezvoltăm al doilea: x2 + 4x, pe care îl scădem.
  3. Termenii x2 și 4x se anulează, deci rămâne 3.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează x3 · x5.

    Vezi rezolvarea
    1. x3 · x5 = x3+5 = x8.

    Răspuns: x8

  2. Exercițiul 2

    Calculează (x4)2.

    Vezi rezolvarea
    1. (x4)2 = x4·2 = x8.

    Răspuns: x8

  3. Exercițiul 3

    Dezvoltă 3x(2x + 4).

    Vezi rezolvarea
    1. 3x · 2x = 6x2 și 3x · 4 = 12x.
    2. Rezultatul este 6x2 + 12x.

    Răspuns: 6x2 + 12x

  4. Exercițiul 4

    Calculează (x + 3)(x + 5).

    Vezi rezolvarea
    1. Obținem x2 + 5x + 3x + 15.
    2. Reducem termenii asemenea: x2 + 8x + 15.

    Răspuns: x2 + 8x + 15

  5. Exercițiul 5

    Care este forma simplificată a lui 2x(x + 3) − (x − 2)(x + 5)?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x(x + 3) = 2x2 + 6x.
    2. (x − 2)(x + 5) = x2 + 3x − 10.
    3. Diferența este x2 + 3x + 10.

    Răspuns: x2 + 3x + 10

  6. Exercițiul 6

    Calculează x2 · x4.

    Vezi rezolvarea
    1. Baza este aceeași, x.
    2. 2 + 4 = 6.
    3. x2 · x4 = x6.

    Răspuns: x6

  7. Exercițiul 7

    Calculează (x3)3.

    Vezi rezolvarea
    1. (x3)3 = x3 · x3 · x3.
    2. 3 · 3 = 9.
    3. (x3)3 = x9.

    Răspuns: x9

  8. Exercițiul 8

    Dezvoltă 2x(3x − 5).

    Vezi rezolvarea
    1. 2x · 3x = 6x2.
    2. 2x · (−5) = −10x.
    3. 2x(3x − 5) = 6x2 − 10x.

    Răspuns: 6x2 − 10x

  9. Exercițiul 9

    Calculează 3a2b · 2ab3.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 · 2 = 6.
    2. a2 · a = a3 și b · b3 = b4.
    3. Rezultatul este 6a3b4.

    Răspuns: 6a3b4

  10. Exercițiul 10

    Calculează (x + 2)(x − 4).

    Vezi rezolvarea
    1. x · x − 4x + 2x − 8.
    2. −4x + 2x = −2x.
    3. Rezultatul este x2 − 2x − 8.

    Răspuns: x2 − 2x − 8

  11. Exercițiul 11

    Calculează valoarea expresiei (x + 1)(x + 2) pentru x = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 1 = 4.
    2. x + 2 = 5.
    3. 4 · 5 = 20.

    Răspuns: 20

  12. Exercițiul 12

    Care este forma simplificată a lui (x + 1)(x + 3) − x(x + 4)?

    Vezi rezolvarea
    1. (x + 1)(x + 3) = x2 + 4x + 3.
    2. x(x + 4) = x2 + 4x.
    3. Diferența este 3.

    Răspuns: 3

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Calculează: x3 × x5.

    Vezi răspunsul

    x8

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează: x9 : x4.

    Vezi răspunsul

    x5

  3. 3. Dificultate redusă

    Calculează: (x4)2.

    Vezi răspunsul

    x8

  4. 4. Dificultate redusă

    Înmulțește: 3x × (2x + 4).

    Vezi răspunsul

    6x2 + 12x

  5. 5. Dificultate redusă

    Înmulțește: 5 × (x2 − 3x + 2).

    Vezi răspunsul

    5x2 − 15x + 10

  6. 6. Dificultate medie

    Înmulțește: 2x2 × (3x − 5x2 + 2).

    Vezi răspunsul

    6x3 − 10x4 + 4x2, adică −10x4 + 6x3 + 4x2.

  7. 7. Dificultate medie

    Calculează produsul: (x + 3) × (x + 5).

    Vezi răspunsul

    x2 + 5x + 3x + 15 = x2 + 8x + 15

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează produsul: (x − 4) × (x + 6).

    Vezi răspunsul

    x2 + 6x − 4x − 24 = x2 + 2x − 24

  9. 9. Dificultate medie

    Simplifică: 4x × (x + 3) + 3x2.

    Vezi răspunsul

    4x2 + 12x + 3x2 = 7x2 + 12x

  10. 10. Dificultate medie

    Calculează produsul: (3x + 2) × (x − 4).

    Vezi răspunsul

    3x2 − 12x + 2x − 8 = 3x2 − 10x − 8

  11. 11. Dificultate ridicată

    Simplifică: 4x × (x − 3) − 2x × (x + 2).

    Vezi răspunsul

    4x2 − 12x − 2x2 − 4x = 2x2 − 16x

  12. 12. Dificultate ridicată

    Calculează produsul: (x + 5) × (x − 5), apoi observă tiparul rezultatului obținut.

    Vezi răspunsul

    x2 − 25: pătratul primului termen minus pătratul celui de-al doilea.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Simplifică: (x + 5) × (x + 3) − (x − 2) × (x + 4).

    Vezi răspunsul

    (x2 + 8x + 15) − (x2 + 2x − 8) = 6x + 23

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are lungimea (x + 6) și lățimea (x + 3). Scrie expresia algebrică a ariei, apoi dezvoltă produsul.

    Vezi răspunsul

    A = (x + 6)(x + 3) = x2 + 9x + 18

  15. 15. Dificultate ridicată

    Simplifică: 3 × (x + 2) × (x − 4) + 5x, dezvoltând mai întâi produsul dintre paranteze.

    Vezi răspunsul

    3(x2 − 2x − 8) + 5x = 3x2 − 6x − 24 + 5x = 3x2 − x − 24

  16. 16. Excelență

    Simplifică expresia: (x + 2)2 − (x − 2)2, dezvoltând fiecare pătrat ca produs (x+2)(x+2), respectiv (x−2)(x−2), apoi reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 4x + 4) − (x2 − 4x + 4) = 8x

  17. 17. Excelență

    Se dă expresia E = (x + a) × (x + b), unde a și b sunt necunoscute. Știind că, după dezvoltare, coeficientul lui x este 7, iar termenul liber este 12, află valorile posibile pentru a și b (numere naturale).

    Vezi răspunsul

    a + b = 7 și a × b = 12, deci a = 3, b = 4 (sau a = 4, b = 3).

  18. 18. Excelență

    Simplifică: 2x × (x + 1) × 3 − (x + 4) × (x − 4), efectuând întâi înmulțirile, apoi reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    6x2 + 6x − (x2 − 16) = 5x2 + 6x + 16

  19. 19. Excelență

    Un teren dreptunghiular are lungimea (2x + 3) metri și lățimea (x + 1) metri. Scrie expresia algebrică a ariei, dezvoltă produsul, apoi calculează aria pentru x = 5.

    Vezi răspunsul

    A = (2x + 3)(x + 1) = 2x2 + 5x + 3; pentru x = 5: 50 + 25 + 3 = 78 m2.

  20. 20. Excelență

    Simplifică: (x + 3) × (x + 4) − (x + 2) × (x + 5), și observă dacă rezultatul depinde de x sau este o constantă.

    Vezi răspunsul

    (x2 + 7x + 12) − (x2 + 7x + 10) = 2: rezultatul este o constantă, nu depinde de x.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.