Asemănarea triunghiurilor

Două triunghiuri asemenea au unghiurile corespunzătoare egale și laturile corespunzătoare proporționale. Cazurile UU, LUL și LLL permit demonstrarea asemănării.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

M este pe AB, N pe AC și MN ∥ BC. Triunghiurile AMN și ABC sunt asemenea: AM/AB = AN/AC = MN/BC. În schema aceasta M și N sunt mijloace, deci raportul este 1/2.

Triunghiuri asemenea și raportul de asemănare

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Se scrie △ABC ∼ △MNP, iar ordinea literelor arată ce element îi corespunde fiecărui element.

Spre deosebire de congruență, unde laturile sunt egale, la asemănare laturile păstrează un raport constant, numit raport de asemănare și notat k: ABMN = BCNP = CAPM = k.

Dacă k = 2, fiecare latură a primului triunghi este de două ori mai mare decât latura corespunzătoare din al doilea, iar unghiurile rămân identice.

△ABC ∼ △MNP

ABMN = BCNP = CAPM = k

unghiurile corespunzătoare sunt egale

Triunghiurile asemenea au aceeași formă, dar mărimi diferite.
Congruența este cazul particular al asemănării cu k = 1.

Exemplu rezolvat

△ABC ∼ △DEF, ∢A = 50° și ∢B = 60°. Cât este ∢F?

1.Unghiurile corespunzătoare sunt egale, deci ∢D = 50° și ∢E = 60°.
2.În triunghiul DEF, suma unghiurilor este 180°.
3.Deci ∢F = 180° − 50° − 60° = 70°.

Cazurile de asemănare

Cazul UU: dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, triunghiurile sunt asemenea. E de ajuns să verifici două unghiuri, fiindcă al treilea rezultă automat din suma de 180°.

Cazul LUL: dacă două laturi sunt proporționale cu două laturi ale celuilalt triunghi, iar unghiurile cuprinse între ele sunt congruente, triunghiurile sunt asemenea.

Cazul LLL: dacă toate cele trei perechi de laturi sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea. Verificarea înseamnă să calculezi cele trei rapoarte și să constați că sunt egale.

UU: ∢A = ∢M și ∢B = ∢N

LUL: ABMN = ACMP și ∢A = ∢M

LLL: 63 = 84 = 105

UU este cel mai des folosit, fiindcă cere cel mai puțin.
La asemănare, laturile sunt proporționale, nu egale ca la congruență.

Exemplu rezolvat

Laturile a două triunghiuri respectă 42 = 63, iar unghiurile cuprinse între aceste laturi sunt egale. Ce caz de asemănare aplicăm?

1.Avem două perechi de laturi cu același raport: 42 = 63 = 2.
2.Unghiul dat este cel dintre aceste laturi.
3.Deci se aplică cazul LUL.

Aflarea laturilor prin proporții

Odată stabilită asemănarea, laturile necunoscute se află scriind o proporție și aplicând proprietatea fundamentală: produsul extremilor egal cu produsul mezilor.

Important este să scrii rapoartele în aceeași ordine: latura din primul triunghi la numărător, latura corespunzătoare din al doilea la numitor.

Aceeași metodă rezolvă problemele practice cu umbre: stâlpul și umbra lui formează un triunghi asemenea cu cel format de copac și umbra lui, fiindcă razele soarelui cad la fel.

ABMN = BCNP

32 = h8 ⇒ h = 12

Scrie proporția cu grijă: o inversare schimbă complet rezultatul.
La probleme cu umbre, raportul înălțime : umbră este același pentru toate obiectele.

Exemplu rezolvat

Un stâlp de 3 m aruncă o umbră de 2 m. În același moment, un copac aruncă o umbră de 8 m. Ce înălțime are copacul?

1.Triunghiurile formate de obiecte și umbrele lor sunt asemenea, deci 32 = h8.
2.Aplicăm proprietatea fundamentală: 2 × h = 3 × 8 = 24.
3.Rezultă h = 12 m.

Perimetre și arii la triunghiuri asemenea

La triunghiuri asemenea, perimetrele au același raport ca laturile: dacă k = 2, perimetrul triunghiului mare este de două ori mai mare.

La arii însă raportul este k², nu k: dacă laturile sunt de 3 ori mai mari, aria este de 9 ori mai mare. Motivul este că aria se măsoară în două direcții deodată.

Formula merge și invers: dacă raportul ariilor este 25, raportul de asemănare este √25 = 5.

P₁P₂ = k

A₁A₂ = k²

k = A₁A₂

Perimetrul crește de k ori, aria de k² ori.
Ca să afli k din arii, extragi rădăcina pătrată a raportului.

Exemplu rezolvat

Două triunghiuri asemenea au k = 3, iar aria celui mic este 12 cm². Calculează aria celui mare.

1.Raportul ariilor este k² = 3² = 9.
2.Aria celui mare este de 9 ori mai mare: 12 × 9.
3.Rezultă 108 cm².

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Se dă △MNP ∼ △XYZ. Scrie proporția dintre laturile corespunzătoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MNXY = NPYZ = MPXZ
Ex. 2Dificultate redusă
Două triunghiuri au câte două unghiuri respectiv egale: 40° și 75°. Sunt cele două triunghiuri asemenea? Ce caz se aplică?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da, prin cazul UU (două unghiuri respectiv congruente).
Ex. 3Dificultate redusă
Se dă △ABC ∼ △DEF, cu AB = 9 cm, DE = 3 cm. Calculează raportul de asemănare k.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = ABDE = 9 : 3 = 3
Ex. 4Dificultate redusă
Se dă △ABC ∼ △MNP, cu m(∢B) = 65°. Cât este m(∢N)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢N) = m(∢B) = 65°
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă că laturile a două triunghiuri asemenea sunt proporționale?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Rapoartele dintre laturile corespunzătoare sunt egale, toate cu același număr k (raportul de asemănare).
Ex. 6Dificultate medie
Se dă △ABC ∼ △MNP, cu AB = 15 cm, MN = 5 cm, BC = 12 cm. Calculează NP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 15 : 5 = 3, deci NP = 12 : 3 = 4 cm.
Ex. 7Dificultate medie
Două triunghiuri au laturile proporționale: 84, 105, 126. Sunt cele două triunghiuri asemenea? Ce caz se aplică?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da, prin cazul LLL: toate rapoartele sunt egale cu 2.
Ex. 8Dificultate medie
Se dă △ABC ∼ △DEF, cu raportul de asemănare k = 4. Dacă DE = 3 cm, calculează AB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 4 × 3 = 12 cm
Ex. 9Dificultate medie
Se dau triunghiurile ABC și MNP, cu ABMN = ACMP = 3, iar m(∢A) = m(∢M) = 50°. Ce caz de asemănare se aplică?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cazul LUL: două laturi proporționale și unghiul dintre ele congruent.
Ex. 10Dificultate medie
Se dă △ABC ∼ △MNP, cu perimetrul lui ABC de 48 cm și raportul de asemănare k = 4. Calculează perimetrul lui MNP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
48 : 4 = 12 cm
Ex. 11Dificultate ridicată
Doi stâlpi verticali, unul de 5 m înălțime, celălalt de necunoscut, proiectează umbre de 4 m, respectiv 12 m, în același moment al zilei. Calculează înălțimea celui de-al doilea stâlp.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
54 = h12, deci h = 15 m.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă △ABC ∼ △DEF, cu AB = 18 cm, BC = 24 cm, CA = 30 cm, iar perimetrul lui DEF este 36 cm. Calculează lungimile laturilor DE, EF, FD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Perimetrul lui ABC este 72 cm, deci k = 72 : 36 = 2: DE = 9 cm, EF = 12 cm, FD = 15 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Într-un triunghi MNP, o dreaptă paralelă cu latura NP intersectează laturile MN și MP în punctele Q și R. Explică de ce △MQR ∼ △MNP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
QR ∥ NP, deci ∢MQR ≡ ∢MNP și ∢MRQ ≡ ∢MPN (unghiuri corespondente), iar ∢M este comun. Cazul UU: △MQR ∼ △MNP.
Ex. 14Dificultate ridicată
Se dă △ABC ∼ △MNP, cu k = 3, iar aria lui MNP este 12 cm². Folosind faptul că raportul ariilor este k², calculează aria lui ABC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria lui ABC = 3² × 12 = 108 cm²
Ex. 15Dificultate ridicată
Doi triunghiuri asemenea au perimetrele de 40 cm și 60 cm. Dacă latura cea mai mică a primului triunghi este 10 cm, calculează latura corespunzătoare din al doilea triunghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 60 : 40 = 1,5, deci latura corespunzătoare are 10 × 1,5 = 15 cm.
Ex. 16Excelență
Într-un triunghi ABC, o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în M și AC în N, astfel încât AM = 4 cm, MB = 6 cm. Dacă AC = 15 cm, calculează AN, folosind asemănarea △AMN ∼ △ABC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AB = 10 cm, deci ANAC = AMAB = 410 și AN = 15 × 0,4 = 6 cm.
Ex. 17Excelență
Se dau triunghiurile ABC și DEF, asemenea, cu raportul de asemănare k = 53. Dacă suma perimetrelor celor două triunghiuri este 64 cm, calculează perimetrul fiecărui triunghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P₁P₂ = 53 și P₁ + P₂ = 64: P₁ = 40 cm, P₂ = 24 cm.
Ex. 18Excelență
Doi copaci proiectează umbre în același moment al zilei: primul, de 6 m înălțime, are umbra de 4 m; al doilea are umbra de 10 m. Calculează înălțimea celui de-al doilea copac, folosind asemănarea triunghiurilor formate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
64 = h10, deci h = 15 m.
Ex. 19Excelență
Un triunghi ABC, cu perimetrul 40 cm, este asemenea cu un triunghi DEF, cu perimetrul 60 cm. Dacă aria triunghiului ABC este 32 cm², calculează aria triunghiului DEF, folosind raportul ariilor (k²), dedus din raportul perimetrelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
k = 60 : 40 = 32, deci raportul ariilor este 94: aria lui DEF = 32 × 9 : 4 = 72 cm².
Ex. 20Excelență
Se dă un triunghi ABC. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC. Explică, folosind cazul LUL (AMAB = ANAC = 12, iar unghiul A este comun), de ce △AMN ∼ △ABC, cu raportul de asemănare k = 12, apoi precizează ce relație rezultă între segmentul MN și latura BC (segmentul MN se numește linie mijlocie a triunghiului).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AMAB = ANAC = 12 și ∢A este comun, deci △AMN ∼ △ABC (LUL), cu k = 12. Rezultă MN = BC2, iar MN ∥ BC.