Încărcăm partea curentă…

Asemănarea triunghiurilor

Triunghiuri asemenea și raportul de asemănare

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Se scrie △ABC ∼ △MNP, iar ordinea literelor arată ce element îi corespunde fiecărui element.

Spre deosebire de congruență, unde laturile sunt egale, la asemănare laturile păstrează un raport constant, numit raport de asemănare și notat k: ABMN = BCNP = CAPM = k.

Dacă k = 2, fiecare latură a primului triunghi este de două ori mai mare decât latura corespunzătoare din al doilea, iar unghiurile rămân identice.

De ținut minte

△ABC ∼ △MNP
ABMN = BCNP = CAPM = k
unghiurile corespunzătoare sunt egale
  • Triunghiurile asemenea au aceeași formă, dar mărimi diferite.
  • Congruența este cazul particular al asemănării cu k = 1.

Exemplu rezolvat · alte date

△PQR ∼ △XYZ, cu ∠P = 40° și ∠Q = 75°. Află ∠Z.

  1. 1Al treilea unghi din PQR este 180 − 40 − 75 = 65°.
  2. 2Ordinea corespondenței dă R ↔ Z.
  3. 3∠Z = 65°, deoarece unghiurile corespunzătoare sunt egale.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Asemănarea triunghiurilor: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Două triunghiuri asemenea au unghiurile corespunzătoare egale și laturile corespunzătoare proporționale. Cazurile UU, LUL și LLL permit demonstrarea asemănării.

Triunghiuri asemenea și raportul de asemănare

Două triunghiuri sunt asemenea dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile respectiv proporționale. Se scrie △ABC ∼ △MNP, iar ordinea literelor arată ce element îi corespunde fiecărui element.

Spre deosebire de congruență, unde laturile sunt egale, la asemănare laturile păstrează un raport constant, numit raport de asemănare și notat k: ABMN = BCNP = CAPM = k.

Dacă k = 2, fiecare latură a primului triunghi este de două ori mai mare decât latura corespunzătoare din al doilea, iar unghiurile rămân identice.

  • △ABC ∼ △MNP
  • ABMN = BCNP = CAPM = k
  • unghiurile corespunzătoare sunt egale
  • Triunghiurile asemenea au aceeași formă, dar mărimi diferite.
  • Congruența este cazul particular al asemănării cu k = 1.

Exemplu rezolvat · alte date

△PQR ∼ △XYZ, cu ∠P = 40° și ∠Q = 75°. Află ∠Z.

  1. Al treilea unghi din PQR este 180 − 40 − 75 = 65°.
  2. Ordinea corespondenței dă R ↔ Z.
  3. ∠Z = 65°, deoarece unghiurile corespunzătoare sunt egale.

Cazurile de asemănare

Cazul UU: dacă două unghiuri ale unui triunghi sunt respectiv congruente cu două unghiuri ale altui triunghi, triunghiurile sunt asemenea. E de ajuns să verifici două unghiuri, fiindcă al treilea rezultă automat din suma de 180°.

Cazul LUL: dacă două laturi sunt proporționale cu două laturi ale celuilalt triunghi, iar unghiurile cuprinse între ele sunt congruente, triunghiurile sunt asemenea.

Cazul LLL: dacă toate cele trei perechi de laturi sunt proporționale, triunghiurile sunt asemenea. Verificarea înseamnă să calculezi cele trei rapoarte și să constați că sunt egale.

  • UU: ∢A = ∢M și ∢B = ∢N
  • LUL: ABMN = ACMP și ∢A = ∢M
  • LLL: 63 = 84 = 105
  • UU este cel mai des folosit, fiindcă cere cel mai puțin.
  • La asemănare, laturile sunt proporționale, nu egale ca la congruență.

Exemplu rezolvat · alte date

Două triunghiuri au laturile 3, 4, 5 și 9, 12, 15. Justifică asemănarea.

  1. Raporturile corespunzătoare sunt 93, 124, 155.
  2. Toate sunt 3.
  3. Se aplică LLL: laturile corespunzătoare sunt proporționale.

Aflarea laturilor prin proporții

Odată stabilită asemănarea, laturile necunoscute se află scriind o proporție și aplicând proprietatea fundamentală: produsul extremilor egal cu produsul mezilor.

Important este să scrii rapoartele în aceeași ordine: latura din primul triunghi la numărător, latura corespunzătoare din al doilea la numitor.

Aceeași metodă rezolvă problemele practice cu umbre: stâlpul și umbra lui formează un triunghi asemenea cu cel format de copac și umbra lui, fiindcă razele soarelui cad la fel.

  • ABMN = BCNP
  • 32 = h8 ⇒ h = 12
  • Scrie proporția cu grijă: o inversare schimbă complet rezultatul.
  • La probleme cu umbre, raportul înălțime : umbră este același pentru toate obiectele.

Exemplu rezolvat

Un stâlp de 3 m aruncă o umbră de 2 m. În același moment, un copac aruncă o umbră de 8 m. Ce înălțime are copacul?

  1. Triunghiurile formate de obiecte și umbrele lor sunt asemenea, deci 32 = h8.
  2. Aplicăm proprietatea fundamentală: 2 × h = 3 × 8 = 24.
  3. Rezultă h = 12 m.

Perimetre și arii la triunghiuri asemenea

La triunghiuri asemenea, perimetrele au același raport ca laturile: dacă k = 2, perimetrul triunghiului mare este de două ori mai mare.

La arii însă raportul este k2, nu k: dacă laturile sunt de 3 ori mai mari, aria este de 9 ori mai mare. Motivul este că aria se măsoară în două direcții deodată.

Formula merge și invers: dacă raportul ariilor este 25, raportul de asemănare este √25 = 5.

  • P1P2 = k
  • A1A2 = k2
  • k = A1A2
  • Perimetrul crește de k ori, aria de k2 ori.
  • Ca să afli k din arii, extragi rădăcina pătrată a raportului.

Exemplu rezolvat · alte date

Două triunghiuri asemenea au raportul mare/mic 4 și aria celui mic 7 cm2. Află aria celui mare.

  1. Lungimile cresc de 4 ori.
  2. Ariile cresc de 42 = 16 ori.
  3. Aria mare este 16·7 = 112 cm2.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Două triunghiuri au câte două unghiuri egale. Ce caz de asemănare aplicăm?

    Vezi rezolvarea
    1. În fiecare triunghi, suma unghiurilor este 180°.
    2. Dacă două perechi sunt egale, și a treia pereche este egală.
    3. Se aplică criteriul UU; nu trebuie să știm lungimile laturilor.

    Răspuns: UU

  2. Exercițiul 2

    △ABC ∼ △DEF, AB = 8 cm și DE = 4 cm. Calculează k = ABDE.

    Vezi rezolvarea
    1. Ordinea ABC ∼ DEF dă corespondența AB ↔ DE.
    2. Raportul cerut este primul triunghi împărțit la al doilea: k = 84.
    3. k = 2. Raportul invers ar fi 12 și ar răspunde altei cerințe.

    Răspuns: 2

  3. Exercițiul 3

    △ABC ∼ △MNP, AB = 12 cm, MN = 6 cm și BC = 9 cm. Calculează NP.

    Vezi rezolvarea
    1. AB ↔ MN și BC ↔ NP. Raportul primului triunghi la al doilea este 126 = 2.
    2. BCNP trebuie să fie tot 2: 9NP = 2.
    3. NP = 92 = 4,5 cm. Nu înmulțim cu 2 când trecem de la triunghiul mare la cel mic.

    Răspuns: 4,5

  4. Exercițiul 4

    Raporturile laturilor sunt 63 = 84 = 105. Ce caz se aplică?

    Vezi rezolvarea
    1. Comparăm trei perechi de laturi corespunzătoare.
    2. 63 = 84 = 105 = 2.
    3. Se aplică LLL pentru asemănare, fiindcă rapoartele sunt egale; congruența ar cere lungimi egale.

    Răspuns: LLL

  5. Exercițiul 5

    Două triunghiuri asemenea au k = 3, iar aria celui mic este 12 cm2. Calculează aria celui mare.

    Vezi rezolvarea
    1. Lungimile se multiplică cu k = 3.
    2. Aria se multiplică cu k2 = 9, fiind produsul a două lungimi.
    3. Aria mare este 12·9 = 108 cm2; 36 ar folosi greșit raportul liniar pentru o arie.

    Răspuns: 108

  6. Exercițiul 6

    Laturile a două triunghiuri respectă 42 = 63, iar unghiurile cuprinse între aceste laturi sunt egale. Ce caz de asemănare aplicăm?

    Vezi rezolvarea
    1. Două perechi de laturi sunt proporționale.
    2. Unghiurile cuprinse sunt egale.
    3. Cazul este LUL.

    Răspuns: LUL

  7. Exercițiul 7

    △ABC ∼ △DEF, ∢A = 50° și ∢B = 60°. Cât este ∢F?

    Vezi rezolvarea
    1. ∢C = 180° − 50° − 60° = 70°.
    2. În triunghiuri asemenea, unghiurile corespunzătoare sunt egale.
    3. ∢F = ∢C = 70°.

    Răspuns: 70°

  8. Exercițiul 8

    △ABC ∼ △DEF și k = ABDE = 3. Dacă DE = 5 cm, cât este AB, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. ABDE = 3.
    2. AB = 3 · 5.
    3. AB = 15 cm.

    Răspuns: 15

  9. Exercițiul 9

    △ABC ∼ △DEF, AB = 10 cm, DE = 4 cm și EF = 6 cm. Calculează BC, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. k = 104 = 2,5.
    2. BC = k · EF = 2,5 · 6.
    3. BC = 15 cm.

    Răspuns: 15

  10. Exercițiul 10

    Două triunghiuri asemenea au raportul de asemănare 2, iar perimetrul celui mic este 15 cm. Calculează perimetrul celui mare, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. P mareP mic = k = 2.
    2. P mare = 2 · 15.
    3. P mare = 30 cm.

    Răspuns: 30

  11. Exercițiul 11

    Aria unui triunghi este de 25 de ori mai mare decât aria unui triunghi asemenea cu el. Care este raportul de asemănare?

    Vezi rezolvarea
    1. k2 = 25.
    2. k > 0.
    3. k = 5.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Un stâlp de 3 m aruncă o umbră de 2 m. În același moment, un copac aruncă o umbră de 8 m. Ce înălțime are copacul, în metri?

    Vezi rezolvarea
    1. Înălțime/umbră este același raport: 32 = h8.
    2. 2h = 24.
    3. h = 12 m.

    Răspuns: 12

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Se dă △MNP ∼ △XYZ. Scrie proporția dintre laturile corespunzătoare.

    Vezi răspunsul

    MNXY = NPYZ = MPXZ

  2. 2. Dificultate redusă

    Două triunghiuri au câte două unghiuri respectiv egale: 40° și 75°. Sunt cele două triunghiuri asemenea? Ce caz se aplică?

    Vezi răspunsul

    Da, prin cazul UU (două unghiuri respectiv congruente).

  3. 3. Dificultate redusă

    Se dă △ABC ∼ △DEF, cu AB = 9 cm, DE = 3 cm. Calculează raportul de asemănare k.

    Vezi răspunsul

    k = ABDE = 9 : 3 = 3

  4. 4. Dificultate redusă

    Se dă △ABC ∼ △MNP, cu m(∢B) = 65°. Cât este m(∢N)?

    Vezi răspunsul

    m(∢N) = m(∢B) = 65°

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce înseamnă că laturile a două triunghiuri asemenea sunt proporționale?

    Vezi răspunsul

    Rapoartele dintre laturile corespunzătoare sunt egale, toate cu același număr k (raportul de asemănare).

  6. 6. Dificultate medie

    Se dă △ABC ∼ △MNP, cu AB = 15 cm, MN = 5 cm, BC = 12 cm. Calculează NP.

    Vezi răspunsul

    k = 15 : 5 = 3, deci NP = 12 : 3 = 4 cm.

  7. 7. Dificultate medie

    Două triunghiuri au laturile proporționale: 84, 105, 126. Sunt cele două triunghiuri asemenea? Ce caz se aplică?

    Vezi răspunsul

    Da, prin cazul LLL: toate rapoartele sunt egale cu 2.

  8. 8. Dificultate medie

    Se dă △ABC ∼ △DEF, cu raportul de asemănare k = 4. Dacă DE = 3 cm, calculează AB.

    Vezi răspunsul

    AB = 4 × 3 = 12 cm

  9. 9. Dificultate medie

    Se dau triunghiurile ABC și MNP, cu ABMN = ACMP = 3, iar m(∢A) = m(∢M) = 50°. Ce caz de asemănare se aplică?

    Vezi răspunsul

    Cazul LUL: două laturi proporționale și unghiul dintre ele congruent.

  10. 10. Dificultate medie

    Se dă △ABC ∼ △MNP, cu perimetrul lui ABC de 48 cm și raportul de asemănare k = 4. Calculează perimetrul lui MNP.

    Vezi răspunsul

    48 : 4 = 12 cm

  11. 11. Dificultate ridicată

    Doi stâlpi verticali, unul de 5 m înălțime, celălalt de necunoscut, proiectează umbre de 4 m, respectiv 12 m, în același moment al zilei. Calculează înălțimea celui de-al doilea stâlp.

    Vezi răspunsul

    54 = h12, deci h = 15 m.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Se dă △ABC ∼ △DEF, cu AB = 18 cm, BC = 24 cm, CA = 30 cm, iar perimetrul lui DEF este 36 cm. Calculează lungimile laturilor DE, EF, FD.

    Vezi răspunsul

    Perimetrul lui ABC este 72 cm, deci k = 72 : 36 = 2: DE = 9 cm, EF = 12 cm, FD = 15 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Într-un triunghi MNP, o dreaptă paralelă cu latura NP intersectează laturile MN și MP în punctele Q și R. Explică de ce △MQR ∼ △MNP.

    Vezi răspunsul

    QR ∥ NP, deci ∢MQR ≡ ∢MNP și ∢MRQ ≡ ∢MPN (unghiuri corespondente), iar ∢M este comun. Cazul UU: △MQR ∼ △MNP.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Se dă △ABC ∼ △MNP, cu k = 3, iar aria lui MNP este 12 cm2. Folosind faptul că raportul ariilor este k2, calculează aria lui ABC.

    Vezi răspunsul

    Aria lui ABC = 32 × 12 = 108 cm2

  15. 15. Dificultate ridicată

    Doi triunghiuri asemenea au perimetrele de 40 cm și 60 cm. Dacă latura cea mai mică a primului triunghi este 10 cm, calculează latura corespunzătoare din al doilea triunghi.

    Vezi răspunsul

    k = 60 : 40 = 1,5, deci latura corespunzătoare are 10 × 1,5 = 15 cm.

  16. 16. Excelență

    Într-un triunghi ABC, o dreaptă paralelă cu BC intersectează AB în M și AC în N, astfel încât AM = 4 cm, MB = 6 cm. Dacă AC = 15 cm, calculează AN, folosind asemănarea △AMN ∼ △ABC.

    Vezi răspunsul

    AB = 10 cm, deci ANAC = AMAB = 410 și AN = 15 × 0,4 = 6 cm.

  17. 17. Excelență

    Se dau triunghiurile ABC și DEF, asemenea, cu raportul de asemănare k = 53. Dacă suma perimetrelor celor două triunghiuri este 64 cm, calculează perimetrul fiecărui triunghi.

    Vezi răspunsul

    P1P2 = 53 și P1 + P2 = 64: P1 = 40 cm, P2 = 24 cm.

  18. 18. Excelență

    Doi copaci proiectează umbre în același moment al zilei: primul, de 6 m înălțime, are umbra de 4 m; al doilea are umbra de 10 m. Calculează înălțimea celui de-al doilea copac, folosind asemănarea triunghiurilor formate.

    Vezi răspunsul

    64 = h10, deci h = 15 m.

  19. 19. Excelență

    Un triunghi ABC, cu perimetrul 40 cm, este asemenea cu un triunghi DEF, cu perimetrul 60 cm. Dacă aria triunghiului ABC este 32 cm2, calculează aria triunghiului DEF, folosind raportul ariilor (k2), dedus din raportul perimetrelor.

    Vezi răspunsul

    k = 60 : 40 = 32, deci raportul ariilor este 94: aria lui DEF = 32 × 9 : 4 = 72 cm2.

  20. 20. Excelență

    Se dă un triunghi ABC. Punctele M și N sunt mijloacele laturilor AB și AC. Explică, folosind cazul LUL (AMAB = ANAC = 12, iar unghiul A este comun), de ce △AMN ∼ △ABC, cu raportul de asemănare k = 12, apoi precizează ce relație rezultă între segmentul MN și latura BC (segmentul MN se numește linie mijlocie a triunghiului).

    Vezi răspunsul

    AMAB = ANAC = 12 și ∢A este comun, deci △AMN ∼ △ABC (LUL), cu k = 12. Rezultă MN = BC2, iar MN ∥ BC.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.